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MATEMÁTICA
Ensino médio
1a SÉRIE
M
A
TETM
Á
TIC
A
1
a SÉRIE
PROFESSOR
CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 9CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 9 27/12/23 15:3327/12/23 15:33
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–
–
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–
Uma produção
MATEMÁTICA | 1ª SÉRIE - PROFESSOR - EM
Direção Editorial
Tiago Braga
Organização
Antonio Nicolau Youssef
Colaboradores 
Angel Honorato
Conceição Longo
Revisão
Ana Cristina Mendes Perfetti
Giovanna Petrólio
Miriam de Carvalho Abões
Victor Pugliese
Ilustrações
Dawidson França
Projeto Gráfico
Amplitude.PP
Diagramação
Fórmula Produções
Imagens
Adobe Stock
Shutterstock
Produção Executiva
Antonio Braga Filho
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MA
CATI
MÁTE
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Sumário
Números ������������������������������ 7
Videoaula ����������������������������������� 9
Números reais ������������������������������ 10
Potência com expoentes negativos e fracionários � 12
Porcentagens �������������������������������� 13
Geometria ���������������������������� 19
Ângulo central e ângulo inscrito ����������������� 20
Videoaula ���������������������������������� 20
Ângulo central ���������������������������� 21
Ângulo inscrito ���������������������������� 21
 Ângulos formados por paralelas cortadas 
por uma transversal �������������������������� 22
Videoaula ���������������������������������� 22
Semelhança de triângulos ��������������������� 25
Videoaula ���������������������������������� 25
Casos de semelhança de triângulos ������������� 26
Teorema de Tales ���������������������������� 33
Videoaula ���������������������������������� 33
Triângulos retângulos �������������������������� 37
Relações métricas no triângulo retângulo ������� 38
Teorema de Pitágoras ������������������������ 39
Videoaula ���������������������������������� 39
Aplicações dos casos de semelhança ����������� 42
Álgebra ������������������������������ 53
Produtos notáveis e fatoração ������������������ 54
Videoaula ���������������������������������� 54
Quadrado da soma ������������������������� 55
Quadrado da diferença ���������������������� 55
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Produto da soma pela diferença ��������������� 56
Resolvendo equações por fatoração ������������ 57
Equação polinomial de 2° grau do tipo ax2 5 b ���� 58
Equação polinomial de 2° grau completa �������� 58
Funções ������������������������������������ 62
Gráfico de uma função ���������������������� 63
Determinação do domínio de uma função ��������� 66
Videoaula ���������������������������������� 66
Zeros ou raízes de uma função ���������������� 68
Sinais de uma função ����������������������� 69
Funções crescentes e funções decrescentes ������ 70
Grandezas e medidas �������������������� 77
Prefixos de unidades de medida ���������������� 78
Videoaula ���������������������������������� 78
Medida de áreas e volume em um prisma ����������� 80
Classificação dos prismas �������������������� 81
Área lateral de um prisma �������������������� 82
Volume de um prisma ����������������������� 83
Probabilidade e estatística ���������������� 87
Probabilidade de eventos aleatórios ��������������� 88
Pesquisa: planejamento, execução e divulgação ������� 89
Tipos de gráficos ���������������������������� 89
Videoaula ���������������������������������� 89
Tabelas ���������������������������������� 90
Gráficos cartesianos ������������������������ 90
Gráficos de linhas �������������������������� 91
Gráficos de barras e colunas ������������������ 91
Gráficos de setores ������������������������ 93
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
Este é um material cuidadosamente desenvolvido para auxiliá-lo na recomposição 
de aprendizagem dos alunos. Reconhecemos o desafio constante de proporcionar 
um ambiente educacional motivador, estimulando e criando oportunidade de 
aprendizagem eficaz numa sala de aula sempre muito heterogênea, principalmente 
quando nos reportamos ao ensino de conceitos e práticas matemáticas, e é com esse 
propósito que este material foi concebido. Por isso, estamos felizes em estar com você 
nessa jornada de redescoberta e fortalecimento do conhecimento matemático dos seus 
alunos. Esperamos que o Rever e Aprender Matemática possa ser um aliado valioso para 
reforçar os alicerces da aprendizagem, fornecendo ferramentas práticas e estratégias 
pedagógicas para resgatar o interesse e a confiança dos alunos.
Sabemos que a Matemática não é apenas um conjunto de conceitos abstratos, mas uma 
inguagem que possibilita a compreensão e a relação diária com o mundo ao nosso redor. 
Ao dominar as habilidades matemáticas desde os primeiros anos escolares, os alunos 
não apenas adquirem competências técnicas, mas também desenvolvem o pensamento 
lógico, a resolução de problemas e a capacidade de raciocínio crítico.
O letramento matemático deve ser estruturado de acordo com as diretrizes estabelecidas 
pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC). A BNCC propõe uma abordagem 
interdisciplinar, valorizando a contextualização dos conteúdos e a aplicação prática 
dos conceitos. Nesse sentido, nosso material busca alinhar-se com tais princípios, 
apresentando atividades e recursos que promovem a aprendizagem significativa e 
conectada ao cotidiano dos estudantes.
Uma palavra inicial
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Números
O QUE VAMOS REVISAR 
• Números irracionais
• Números reais
• Porcentagem
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UNIDADE 1
PROFESSOR
1. Números reais
2. Números irracionais
3. Conjunto dos números reais
4. Potência com expoentes negativos e fracionários
5. Porcentagens
Apresentaremos exemplos e exercícios para revisar os números reais, destacando os números 
irracionais e as operações envolvendo expoentes negativos e fracionários. O material e as 
atividades foram desenvolvidos para permitir uma revisão na qual os estudantes possam adquirir 
conhecimentos e reforçar habilidades indicadas na BNCC. Para garantir que os estudantes 
alcancem um aprendizado significativo, é essencial que você, professor, forneça uma base sólida 
para a compreensão destes conceitos ao explorar cada tópico com explicações claras, exemplos 
práticos, exercícios resolvidos e estratégias diferenciadas, como a utilização de recursos digitais 
(gamificação e softwares). 
Desenvolvimento 
em 5 temas
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Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 1
Tema 1: Números reais
Os números reais formam um conjunto que inclui todos os números que podem ser representados 
na reta numérica. Isso inclui números inteiros, números racionais e números irracionais.Ao abordar o tema em sala de aula, levante com os estudantes o que conhecem sobre os conjun-
tos numéricos e faça uma breve explicação sobre as características de cada conjunto — se possí-
vel, utilize diagramas, como no modelo a seguir:
N Z Q
R
I
Essa abordagem, além de explicativa, possibilita a compreensão da ideia de conjuntos e subcon-
juntos e permite a observação de que cada conjunto é uma ampliação do conjunto anterior (o con-
junto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros; e o conjunto dos 
números inteiros, uma ampliação do conjunto dos números naturais).
Em seguida, desenhe na lousa uma reta numérica pequena, mas com espaço para incluir números 
reais, como no modelo a seguir:
1
2
6
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Mostre a reta numérica como uma representação visual dos números reais. Neste momento, peça 
a colaboração dos estudantes com exemplos de números inteiros, racionais e irracionais que es-
tejam no intervalo da reta numérica desenhada. Ao utilizar este tipo de abordagem, atenderá a 
habilidade EF09MA01, da BNCC, e facilitará a compreensão de que o conjunto dos números reais 
é um conjunto que contém os elementos dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e 
irracionais. 
Na resolução da atividade 1, permita que os estudantes conversem entre si para responder se 
cada afirmação é verdadeira ou falsa. Durante a correção, questione-os sobre suas respostas com 
perguntas como “o que levou você a dizer que tal afirmação é verdadeira — ou falsa?” Em seguida, 
confirme se a resposta está correta ou indique se a afirmação é V ou F — justificando para que os 
estudantes compreendam a razão.
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Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 1
Tema 2: Números irracionais
Destaque as características dos números irracionais. Utilize as informações do quadro comparativo 
entre números racionais e irracionais para reforçar as características dos números irracionais. Se 
possível, a cada item do quadro, escreva um número irracional como exemplo. Também, mostre 
exemplos de números irracionais, como 2 , 3 e o número π. 
Durante a explicação, desenhe uma reta numérica na lousa e insira nela os números irracionais 
utilizados como exemplo para que os estudantes possam visualizar que os números irracionais são 
números reais com infinitas casas decimais não periódicas e que não podem ser expressos como 
frações. Atende-se, assim, a habilidade EF09MA02, da BNCC.
Promova a participação dos estudantes e peça para que eles calculem o valor do número irracio-
nal 5 , na calculadora. Em seguida, anote o resultado na lousa e demonstre como calcular o valor 
aproximado. 
Tema 3: Potência com expoentes negativos 
Comece com explicações que apresentem a ideia básica de uma potência com expoente negativo. 
Utilizando a lousa, explique que, quando o expoente é negativo, significa que estamos lidando com 
frações e inversos. Mostre exemplos simples, como:
2-1 = 1
21
 = 1
2
 e 3-2 = 1
31
 = 1
3
 
Utilize esses exemplos para demonstrar que um expoente negativo indica que estamos dividindo 1 
pelo número elevado à potência positiva correspondente, a-n = 1
an
.
Enfatize as regras de operações com potências negativas, como multiplicação e divisão. Por exem-
plo, explique que, quando você multiplica números com expoentes negativos, subtrai-se os ex-
poentes, e quando divide números com expoentes negativos, adiciona-se os expoentes. Utilize 
aplicações em física, com cálculo de velocidade média; e química, em diluições.
Tema 4: Potências com expoentes fracionários
Professor, inicie o assunto com uma explicação sobre radiciação. Use a lousa para apresentar aos 
estudantes raízes e suas soluções. Comece pela nomenclatura, destacando a importância de saber 
o nome correto (é comum os estudantes confundirem o radical com a raiz).
15
3
Radical symbol
Radical
Radicand
IndexÍndice
Radicando
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Aproveite para escrever alguns exemplos na lousa, como: 0 , 1 , 16 , 25 , 83 e 164 . Peça para 
identificarem quais são o índice, o radical e o radicando de cada uma delas; e, em seguida, encontre 
a raiz (resultado) de cada uma delas.
16 = 4 pois 4 ⋅ 4 = 4²
25 = 5 pois 5 ⋅ 5 = 5²
83 = 2 pois 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³
164 = 2 pois 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24
A 0 = 0 e 1 = 1
Ao explorar raízes fracionárias, explique que a fração pode ser entendida como uma divisão; e que, 
portanto, podemos aplicar uma propriedade da radiciação — a propriedade da divisão, na qual a raiz 
de uma divisão pode ser escrita como a divisão entre raízes. Resolva dois exemplos na lousa, como 
e 1
4
 , 25
100
 e aplique tal propriedade.
1
4
 = 1
 4
 = 1
31
 25
 100
 = 5
10
 = 1
5
 = 0,2
O expoente fracionário representa uma raiz, como a raiz quadrada (√) ou a raiz cúbica (∛). Mostre 
que expoentes fracionários podem ser utilizados para calcular raízes de números, e que uma raiz 
pode ser escrita na forma de expoente fracionário – o radicando será a base; o expoente do radi-
cando, o numerador do expoente fracionário; e o índice, o denominador. 
am = a
n m
n
Para demonstrar que uma raiz pode ser escrita na forma de um expoente fracionário, mostre exem-
plos na lousa, como: x = x
1
2 e x3 = x
1
3 .
Em seguida, sugerimos que inverta a situação e apresente dois exemplos com expoentes fracioná-
rios –4
1
2 e –4
1
3 – e peça para que os estudantes resolvam. Para encontrar o resultado, será neces-
sário transformar em raiz. 
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Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 1
Exemplo 1
4
1
2 = 2
Transforme a potência fracionária em raiz: 4
1
2 = 4
Logo, teremos que: 4 = 22 = 2.
Exemplo 2
8
1
3 = 2
Transforme a potência fracionária em raiz: 8
1
3 = 813
Logo, teremos que: 813 = 233 = 2.
Professor, lembre-se de adaptar sua abordagem ao nível de compreensão dos estudantes e de 
oferecer exemplos variados e exercícios práticos para desenvolver o aprendizado. Também, esteja 
preparado para esclarecer dúvidas e oferecer suporte individualizado, se necessário, para garantir 
que os alunos dominem esses conceitos.
Tema 5: Porcentagens
Nas situações cotidianas envolvendo educação financeira, compra, venda, financiamento, inves-
timentos, taxa de desenvolvimento, natalidade, resultados de pesquisas, entre outros temas, os 
estudantes estão constantemente em contato com o cálculo de porcentagem. Neste sentido, com-
preender informações que utilizam e trabalham com proporções expressas em termos de uma cen-
tena — ou seja, em frações de 100% —, é fundamental para que os alunos consigam aplicar essas 
aprendizagens em diversas áreas de seu interesse.
Além disso, é essencial que o aluno compreenda e associe que informações expressas em porcen-
tagens também podem ser apresentadas utilizando decimais e frações em suas representações, 
como, por exemplo, em 25% = 25
100
 = 0,25.
Neste sentido, introduza o assunto porcentagem, propondo que o aluno identifique, em notícias 
de jornais ou em sites, informações que utilizam essas representações em diversas situações coti-
dianas. Amplie essa abordagem solicitando que associem as representações decimais e fracionárias 
com a suas respectivas representações percentuais.
Apresente a utilização do cálculo de porcentagem nas análises do desempenho escolar em relação 
às notas e à frequência; ao planejamento de eventos (cálculo de orçamentos e custos); escolhas de 
carreira (quantidade de inscritos por vagas, benefícios e escolhas educacionais); e conscientização 
cívica (questões sociais e políticas, resultados de pesquisas eleitorais e estatísticas). 
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Apresente outros exemplos cotidianos, como:
• desconto de 20% em um vestido que custa R$100,00 (significa que o cliente economizou 
R$20,00 na compra do vestido);
• 10% de um bolo com 10 fatias (significa que foi retirada 1 fatia);
• 30% dos alunos de uma sala gostam de Matemática (significa que 30 de cada 100 alunos têm 
essa preferência).
Demonstre como calcular porcentagem utilizando a regra de três simples:
Um produtor precisou mandar para análise 20% de sua produção de soja. 
Se sua fazenda produziu 80 toneladas de soja, quantas toneladas foram 
encaminhadas para análise?
80
x
 = 100%
20%
 → x = 16 toneladas
Utilize gráficos de pizza para representar as porcentagens visualmente.
Em uma roda de conversa, aborde o tema Finanças Pessoais. Estimule os estudantes a refletir sobre 
as quantias que recebem — em “mesadas” ou em trabalhos, como no programa Jovem Aprendiz — e 
como o dinheiro está sendo utilizado. Busque debater questões sobre compras inteligentes, iden-
tificando preços e descontos, bem como condições de pagamento e planejamentos financeiros a 
curto, médio e longo prazo.
Aprofunde seus conhecimentos sobre educação financeira acessando:
Educação financeira: importância e relevância para jovens brasileiros
O material a seguir apresenta debates sobre o endividamento de famílias 
brasileiras e a importância de se trabalhar com temas de educação financeira 
com todas as faixas etárias.
https://linkja.net/importanciaeducacaofinanceira
Acesso em 12 e out. 2023.
Educação financeira para crianças e adolescentes
 O seguinte trabalho aborda técnicas de ensino que motivam estudantes 
a lidarem com as finanças de uma forma inteligente e responsável.
https://linkja.net/educacaofinanceiraparacriancaseadolescentes
Acesso em 12 de out. 2023.
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9
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Números irracionais
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10
Números reais
Os números que não são racionais são denominados números irracionais, têm infinitas casas deci-
mais e não podem ser representados na forma de uma fração.
As diferentes características entre os racionais e os irracionais podem ser resumidas como no qua-
dro a seguir. Observe-o com atenção.
Característica Números racionais Números irracionais
Casas decimais Finitas ou infinitas Infinitas
Período Quando têm infinitas casas 
decimais, possuem período Não têm
Representação em forma de fração Sempre Nunca
Uma conclusão extremamente importante que se tira é que os números irracionais nunca re-
sultam de uma divisão de números inteiros, pois não podem ser escritos como uma fração. 
Porém os números irracionais aparecem em muitos cálculos matemáticos, como na operação 
de cálculo de uma raiz quadrada. Por exemplo, 2 e 3 são números irracionais. Veja suas dez 
primeiras casas decimais:
2 5 1,4142135623...
3 5 1,7320508075...
Normalmente, quando os cálculos matemáticos permitem, utilizamos aproximações para números 
irracionais originados por raízes quadradas não exatas. 
Utilizando a calculadora ou métodos matemáticos mais sofisticados, podemos encontrar essas raí-
zes quadradas aproximadas. Mas é interessante que você saiba fazer estimativas para esses valores, 
a partir de tentativas de aproximação. Observe, por exemplo, como podemos determinar um valor 
aproximado para o irracional 2 :
Considerando os inteiros positivos 1 e 2, temos:
12 5 1
22 5 4
Esta primeira aproximação indica que o número que elevado ao quadrado dá 2 está entre 1 e 2. 
Tentamos, então, 1,5:
1,52 5 2,25
Observe que excedemos o valor 2. 
Tentamos, então, um décimo abaixo de 1,5:
1,42 5 1,96
Perceba que 2 se encontra entre 1,4 e 1,5.
Tentamos 1,45:
1,452 5 2,1025
Números irracionais
Para auxiliar no entendimento 
principalmente dos números irracionais, 
proponha aos estudantes que, com o 
auxílio de uma calculadora calculem, 
calculem, por exemplo, a raiz de 85, dando 
o máximo de dígitos que a calculadora 
permitir. Depois, questione-os se teria 
como representar esse número como 
uma fração de dois números inteiros com 
denominador diferente de zero. Espera-se 
que eles percebam que esse número não 
pode ser representado dessa forma, pois 
não tem período.
EF09MA01, EF09MA02 e EF09MA04
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11
Concluímos que 2 é menor que 1,45. Vamos então experimentar alguns centésimos abaixo 
de 1,45:
1,442 5 2,0736
1,432 5 2,0449
1,422 5 2,0164
1,412 5 1,9881
Observe nos dois últimos resultados, que 2 se encontra entre 1,41 e 1,42. Poderíamos repetir esse 
processo para a casa dos milésimos, começando por 1,415 e calculando os quadrados. No entanto, 
podemos dizer que 1,41 é um resultado aproximado para a raiz quadrada de dois e apontamos essa 
aproximação com o símbolo >, que significa aproximadamente.
2 > 1,41
Por outro lado, devemos sempre considerar que nem toda raiz quadrada resulta em um número 
irracional. Basta lembrar dos números que chamamos de quadrados perfeitos: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 
49 etc. Suas raízes quadradas são números naturais:
0 5 0; 1 5 1; 4 5 2; 9 5 3; 16 5 4 
etc.
Os números naturais que não são quadrados perfeitos têm como raízes quadradas números 
irracionais. Veja alguns exemplos:
3 5 1,73205...
5 5 2,23606...
7 5 2,64575...
8 5 2,82842...
 → números irracionais
Existem também números não inteiros cujas raízes são decimais exatos. Observe: 
10,24 5 3,2
2,89 5 1,7
26,01 5 5,1
 → números racionais
O conjunto dos números reais R está formado por todos os números racionais e todos os números 
irracionais.
Naturais N
Inteiros negativos
Decimais exatos
Decimais periódicos
Racionais Q
Irracionais I
Inteiros ZConjunto dos números reais R
Todos os números reais podem ser representados na reta numérica. 
Todos os números irracionais da forma a , em que a é um número natural, podem ser representados 
de forma exata na reta real, decompondo o radicando em soma de quadrados de dois números 
naturais. 
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12
Potência com expoentes negativos e fracionários 
Até aqui, estudamos e fizemos cálculos com potências de expoentes inteiros. Vamos agora definir o 
significado das potências com expoentes racionais como, por exemplo, (3)
1
2, (2)
1
3, (281)
2
3 etc. 
Dados a [ R, n [ Z* e m [ Z, define-se que:
b
3
2 5 bna
Em linguagem comum, toda potência de expoente racional n
o
, com n Þ 0 e m e n inteiros, é igual à 
raiz de índice n (denominador do expoente) da base elevada a m (numerador do expoente). 
Dessa maneira, podemos escrever:
2 5 2
1
2
23 5 2
1
3
Não é muito prático trabalharmos com a radiciação exprimindo-a como potência de expoente ra-
cional. No entanto esta definição pode permitir que, em diversas situações, seja mais fácil fazer 
simplificações em expressões que envolvem a radiciação e que se obtenha um melhor entendimen-
to das principais propriedades da radiciação.
Antes de estudarmos detalhadamente suas propriedades, vamos rever o que estudamos sobre a 
radiciação nas séries anteriores.
Já estudamos a raiz quadrada e sabemos que, sendo a > 0, a raiz quadrada de a é o número real 
não negativo b, tal que b2 5 a. Sabemos também que, em R, não existe a raiz de número negativo.
Por exemplo:
• 64 5 8,pois 82 5 8 ? 8 5 64 
• 264 não existe em R, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte em 264.
Estudamos também que a raiz cúbica de um número real a é um número real b tal que b3 5 a e que, 
neste caso, não há restrições quanto ao radicando, que pode ser positivo, negativo ou nulo.
Por exemplo:
• 283 5 22, pois (22)3 5 (22) ? (22) ? (22) 5 28.
• 1 0003 5 10, pois 103 5 10 ? 10 ? 10 5 1 000.
De forma geral, as radiciações de índices pares (raiz quadrada, raiz quarta, raiz sexta etc.) comportam-
se de forma semelhante à raiz quadrada, e as de índices ímpares (raiz cúbica, raiz quinta etc.), de 
forma semelhante à raiz cúbica.
Observe os exemplos:
• 814 5 3, pois 34 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 81 
• 2814 não existe em R, pois não existe número real que, elevado à quarta, resulte 281.
• 2325 5 22, pois (22)5 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 232
• 325 5 2, porque 25 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32.
• 216 não existe em R.
• 217 5 21, pois (21)7 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 21
EF09MA03
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13
Porcentagens 
Inicialmente, vamos recordar os principais aspectos do cálculo com porcentagens, uma vez que ele 
é empregado em praticamente todos os problemas e cálculos financeiros.
Denominamos porcentagem toda razão a
b
, na qual b 5 100. Essas razões de denominador 100 são 
representadas pelo símbolo %. Observe os exemplos:
5
100
 5 0,05 5 5%
137
100
 5 1,37 5 137%
4
25
 5 16
100
 5 0,16 5 16%
155
1 000
 5 15,5
100
 5 0,155 5 15,5%
É importante, também, que os conceitos de fração, razão e regra de três envolvidos na maioria das 
situações em que cálculos financeiros são necessários tenham sido bem assimilados. 
Atividades
1. Indique se são verdadeiras ou falsas as afirmações.
a) Há números inteiros que não são racionais.
b) Todos os números decimais podem ser escritos na forma de fração.
c) Todos os números racionais podem ser escritos mediante frações.
d) Todos os números reais são racionais.
e) Um número real é racional ou irracional.
f) Se um número real é expresso por uma fração, se o numerador é múltiplo do denominador, ele 
é um número inteiro. a) F  b) V  c) V  d) F  e) V  f) V 
2. Fazendo tentativas, calcule, com aproximação de duas casas decimais, as raízes quadradas a 
seguir, utilizando a calculadora para os cálculos intermediários e registrando essas operações. 
a) 7
b) 429
c) 55
d) 635
3. Quais dos seguintes números são racionais e quais são irracionais?
a) 25
b) 36
c) 30
d) 189
a) 7 5 2,64
b) 429 5 20,71
c) 55 5 7,41
d) 635 5 25,19
a) 25 → racional
b) 36 → racional
c) 30 → irracional
d) 189 → irracional
Ressalte o contexto da educação financeira 
na abordagem do conteúdo sobre 
porcentagem, resgatando os conceitos 
que eles já vêm discutindo ao longo do 
Ensino Fundamental. Se possível, selecione 
algumas propagandas com valores 
monetários de produtos comprados à vista 
com descontos ou parcelados com juros e 
discuta cada caso.
Sempre que possível, separe algumas 
atividades para os estudantes resolverem 
em pequenos grupos focais, nos quais 
possam ajudar-se mutuamente nas 
resoluções, o que será útil para seu 
desenvolvimento no processo de ensino e 
aprendizagem.
EF09MA05
EF08MA01, EF08MA02, EF08MA03, EF08MA04 e EF08MA05
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4. Calcule as raízes quadradas a seguir e verifique se elas são números racionais ou irracionais. 
Faça os cálculos com a calculadora.
a) 42,25
b) 841
c) 77,44
d) 906,01
5. Observe alguns números que são quadrados perfeitos:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196
Responda e justifique sua resposta:
a) Um quadrado perfeito qualquer pode terminar em 3?
b) 3 727 é um número racional ou irracional? 
6. Calcule as raízes.
a) 4
b) 25
c) 2 64
d) 100
e) 2 225
f) 441
g) 1
7. Dê o valor das seguintes raízes cúbicas.
a) 83
b) 273
c) 2643
d) 2163
e) 21 0003
f) 11
8. Calcule o valor das raízes a seguir.
a) 2 25
b) 2643
c) 2 2643
d) 2 400
e) 2 273
f) 213
g) 2 13
h) 2 213
9. Dê o resultado de cada raiz.
a) 814
b) 2564
c) 325
d) 1 0245
e) 646
f) 16
10. Calcule as raízes.
a) 1253
b) 2273
c) 2 164
d) 22435
e) 2 2325
f) 2 814
g) 2117
h) 018
a) 42,25 → racional
b) 841 → racional
c) 77,44 → racional
d) 906,01 → irracional
a) Não, pois 3 não é um quadrado perfeito.
b) Irracional, pois nenhum quadrado produzirá um 
radicando terminado em 7.
a) 2
b) 5
c) 28
d) 10
e) 215
f) 21
g) 1
a) 2
b) 3
c) 24
d) 6
e) 210
f) 1
a) 25
b) 24
c) 4
d) 220
e) 23
f) 21
g) 21
h) 1
a) 3
b) 4
c) 2
d) 4
e) 2
f) 1
a) 5
b) 23
c) 22
d) 23
e) 2
f) 23
g) 21
h) 0
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15
11. Calcule a raiz e reduza as frações.
a) 8
27
3
b) 81
10 000
4
c) 1
243
5 2
d) 729
64
6
12. Verifique se:
a) 90 é maior, menor ou igual a 9. b) 1003 é maior, menor ou igual a 5.
a) 9
2 5 81
102 5 100 90 está entre 9 e 10.
Portanto, 90 é maior que 9.
b) 5
3 5 125
43 5 64 1003 está entre 4 e 5.
Portanto, 1003 é menor que 5.
13. No lugar de     , escreva ,, 5 ou ..
a) 50  ,  25 b) 1 000  ,  32
14. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que realiza. Qual foi a sua comissão em 
uma venda de R$ 36 000,00?
A comissão do vendedor é 3% da venda, ou seja: 
C 5 3% de 36 000 5 3
100 ? 36 000 5 R$ 1 080,00
15. Uma loja está oferecendo 5% de desconto para pagamento à vista na compra de um automóvel 
que custa R$ 34 700,00. Quanto uma pessoa pagará por esse carro à vista?
Se é oferecido um desconto de 5%, restam 95% do preço. Portanto o preço à vista será 95% de 34 700 5 0,95 ? 34 700 5 
5 R$ 32 965,00
16. Um funcionário recebeu um reajuste salarial de 7,5%. Quanto passará a receber se o salário 
atual é de R$ 1 200,00?
Esse cálculo pode ser resolvido de dois modos:
1o modo: calculamos o reajuste e o adicionamos ao salário 
atual:
reajuste salarial 5 7,5% de 1 200 5 0,075 ? 1 200 5 R$ 
90,00
Em seguida, fazemos 
novo salário 5 salário atual 1 reajuste salarial
novo salário 5 R$ 1 200,00 1 R$ 90,00 5 R$ 1 290,00
2o modo: calculamos o índice de atualização utilizado no 
reajuste salarial:
novo salário 5 salário atual
x
 1 7,5% de salário atual
x
novo salário 5 x 1 7,5% x
novo salário 5 x 1 0,075x 5 (1 1 0,075) x
novo salário 5 1,075x
O número 1,075 é o índice ou fator de atualização. Portanto 
o novo salário será:
1,075 ? 1 200 5 R$ 1 290,00
a) 2
3
b) 3
10
c) 2 1
3
d) 3
2
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16
17. O aluguel de uma casa passou de R$ 450,00 para R$ 504,00. Qual foi a porcentagem de 
aumento? E qual foi o índice de atualização do aluguel?
O aumento foi de: R$ 504,00 2 R$ 450,00 5 R$ 54,00.
A porcentagem de aumento se refere sempre ao valor anterior, portanto:
porcentagem valor
100 450
x 54
100
x 5 450
54 ⇒ x 5 100 ? 54
450 5 12 
Logo a porcentagem de aumento foi de 12%.
O índice de atualização do aluguel é um número que, multiplicado pelo valor antigo, dá como produto o novo valor. Assim, se
450 ? IA 5 504 → IA 5 504
450 5 1,12
o índice de atualização do aluguel foi de 1,12.
Vale salientar que poderíamos ter calculado a porcentagem de aumento por meio do índice de atualização. Para isso, bastava 
dividir o novo salário pelo antigo e subtrair 1. Assim, obteríamos 1,12 2 1 5 0,12 5 12%.
18. Uma vendedora recebe 9% de comissão nas vendas realizadas. Qual foi a sua comissão em 
uma venda de R$ 3 000,00?
C 5 0,09 ? 3000 → C 5 R$ 270,00
19. Um corretor recebeu R$ 2 800,00 pela venda de duas casas, dos quais 5% referem-se à taxa 
de comissão. Qual o valor de venda das propriedades?
2 800 5 0,05 ? p → p 5 R$ 56 000,0020. Juca devia R$ 200,00 a Rodrigo e pagou apenas R$ 74,00. Quantos por cento da dívida foram 
pagos?
74
200 5 0,37
Foram pagos 37% da dívida.
21. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 30,00 foi vendida com 15% de abatimento. 
Quanto passou a custar a camisa?
Com 15% de desconto, o preço P a pagar é de 85% do preço original. Logo:
P 5 0,85 ? 30 → P 5 R$ 25,50
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17
22. A estagiária Júlia recebeu um reajuste salarial de 11,5%. Quanto passou a ganhar se a sua 
bolsa inicial era de R$ 820,00?
O novo valor da bolsa V será o anterior mais 11,5%. Logo:
V 5 820 1 0,115 ? 820 5 820(1 1 0,115) 5 820 ? 1,115 5 R$ 914,30
23. Marcelo passou a ganhar R$ 5 500,00 porque teve um reajuste salarial de 10%. Quanto era 
seu salário antes do reajuste?
5 500 5 1,1 ? s
s 5 R$ 5 000,00
24. O aumento das mensalidades escolares foi de 12%. Se em uma escola essa mensalidade 
passou a ser de R$ 425,60, qual era o valor anterior? Qual foi o índice ou fator de atualização das 
mensalidades?
425,60 5 1,12 ? m → m 5 R$ 380,00. O fator de atualização é de 1,12 (1112%).
25. Celso prestou serviço para uma empresa no valor de R$ 800,00. Quanto recebeu se foram 
descontados 5% referentes ao Imposto Sobre Serviços (ISS) tributado pelo município?
Com desconto de 5%, o valor recebido será de 95% do valor bruto. Logo:
V 5 0,95 ? 800 → V 5 R$ 760,00
26. Ana ganha mensalmente R$ 1 200,00. Em cada mês, seu salário é descontado em média 10%, 
a título de previdência social e imposto sobre a renda. Qual é o valor descontado mensalmente?
D 5 0,1 ? 1 200 → D 5 R$ 120,00
27. Certo produto custava, em determinado mês, R$ 500,00, mas foi reajustado (aumentado) 
em 6%. No mês seguinte, em uma campanha de vendas, ele foi oferecido com um desconto de 
6% sobre o preço reajustado. Responda:
a) Qual o valor do reajuste?
b) Qual o valor do desconto dado na campanha de vendas?
c) Qual o preço cobrado pelo produto na campanha de vendas?
d) O preço promocional é maior ou menor que o preço anterior ao reajuste?
28. Dados n 5 3 e m 5 23 , classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.
a) n 1 m é racional.
b) n ? m é irracional.
c) m2 é irracional.
d) m3 é irracional.
reajuste 5 0,06 ? 500 → reajuste 5 R$ 30,00 → novo preço 5 R$ 530,00
campanha → desconto de 6% sobre o novo preço → d 5 0,06 ? 530 → d 5 R$ 31,80
preço de campanha 5 530 2 31,80 5 R$ 498,20
O preço promocional é menor que o preço anterior.
a) n 1 m é racional. → Falsa
b) n ? m é irracional. → Verdadeira
c) m2 é irracional. → Verdadeira
d) m3 é irracional. → Falsa
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18
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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19
Geometria
O QUE VAMOS REVISAR 
• Ângulos e arcos 
• Semelhança de triângulos
• Teorema de Tales 
• Triângulos retângulos 
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18
UNIDADE 2
PROFESSOR
1. Ângulo central 
2. Ângulo inscrito
3. Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal 
4. Semelhança de triângulos
5. Teorema de Tales
6. Triângulo retângulo – relações métricas
Nesta unidade temática, apresentaremos exemplos e exercícios para revisar os conceitos de ângulos 
e arcos. De forma clara e objetiva, serão tratados os tipos de ângulos, como ângulos centrais, 
ângulos inscritos e ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal; bem como 
suas respectivas características. O material foi desenvolvido para possibilitar uma revisão na qual 
os estudantes possam adquirir conhecimentos e, ao mesmo tempo, reforçar habilidades indicadas 
na BNCC. Para garantir que os estudantes alcancem um aprendizado significativo, é essencial que 
você, professor, forneça uma base sólida para a compreensão destes conceitos ao explorar cada 
tópico com explicações claras, exemplos práticos e exercícios resolvidos. Quando possível, utilize 
recursos digitais, atendendo a habilidade EF09MA11, da BNCC. 
Desenvolvimento 
em 6 temas
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19
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
Tema 1: Ângulo central
Ao abordar o tema em sala de aula, levante com os estudantes o que conhecem sobre ângulos. Em 
seguida, explique que um ângulo central é um ângulo cujo vértice está localizado no centro de uma 
circunferência e sua medida é igual à medida do arco correspondente. Para melhor entendimento 
dos estudantes, projete imagens de ângulos centrais ou desenhe na lousa um ângulo central, como 
o indicado no livro. Uma opção é utilizar o exemplo a seguir, destacando o ângulo central e as in-
formações como o comprimento dos segmentos AO e OC — que possuem medidas iguais ao raio 
da circunferência.
A C
O
Ângulo central AÔC = arco AC 
Os segmentos AO e OC têm a mesma medida que o raio da circunferência. 
AO = OC = raio
Sugerimos que peça aos alunos para que desenhem um círculo, e para que criem seus próprios ân-
gulos centrais medindo o arco correspondente, a fim de encontrar a medida do ângulo com auxílio 
de um transferidor
Informe-os de que as medidas dos ângulos podem ser expressas em graus ou em radianos. Desta-
que a importância de saber converter graus em radianos, já que, em algumas questões, essa con-
versão torna-se necessária. Mostre que tal conversão pode ser realizada utilizando a regra de três 
simples, na qual π radianos é igual a 180°, e dê exemplos sobre como converter um ângulo de 45° 
em radianos.
Monte, na lousa, duas colunas separadas pelas grandezas radianos e graus e inclua as informações 
cedidas para a conversão:
Onde obtêm-se: 
180 ⋅ X = 45 ⋅ π 
180X = 45 π
 X = 45 π
180 → X = π
4 radianos
radianos graus
π rad. 180º
X 45º
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
Tema 2: Ângulo inscrito
Desenhe um ângulo inscrito e questione qual a diferença entre ele e o ângulo central. Espera-se 
que, ao visualizar a imagem, os estudantes identifiquem a diferença da posição do ângulo que não 
está mais no centro da circunferência e sim na própria circunferência. Após ouvir as respostas, 
destaque, indicando na imagem, que um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice está na circunfe-
rência, e cujos lados interceptam dois pontos distintos na mesma. 
Para ajudar na compreensão da medida do ângulo inscrito, desenhe uma circunferência com ângulo 
central AÔB = 80°, utilizando o modelo indicado a seguir:
A
B
AÔB = 80°
amplitude do arco AB = 80°80°O
Em seguida, na mesma imagem, crie um ponto E na circunferência e construa um ângulo AÊB, ligan-
do os pontos A e B ao ponto E. Forma-se, assim, um ângulo inscrito com o mesmo arco do ângulo 
central. Destaque que, apesar de possuírem o mesmo arco, a medida do ângulo inscrito é a metade 
da medida do ângulo central.
A
E
B
AÔB = 80°
amplitude do arco AB = 80°
AÊB = 40°
ângulo
80°
40°
O
Com ajuda de um transferidor, meça o ângulo AÊB e obterá a metade do ângulo central, ou seja, 
40°. 
Nessa experiência, você poderá demonstrar que a medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo 
central que tem o mesmo arco. Logo:
Med ângulo inscrito = Med ângulo central
2
Outra informação relevante aos estudantes é a de queo ângulo central formado por um arco cuja 
extremidades formam um diâmetro tem medida de 180°, e o ângulo inscrito correspondente terá 
sempre 90°. Para demonstrar esta característica aos estudantes, utilize softwares como o Geoge-
bra; caso não seja possível, desenhe um ângulo central de 180° e, em seguida, marque um ponto D 
na circunferência, criando um ângulo inscrito ADB. Veja a ilustração a seguir:
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D
α = 44°
A
c
β = 46°
δ = 90°
α = 44°
β = 46°
δ = 90°
Com ajuda de um transferidor ou de um esquadro, verifique se a medida do ângulo inscrito é igual 
a 90°. Demonstre que, mesmo mudando a posição do ponto D, o ângulo inscrito permanecerá 90°, 
formando um triângulo retângulo. Desta demonstração, pode-se afirmar que temos um triângulo 
retângulo inscrito na circunferência, o que implica que a distância entre os pontos A e B — que é a 
hipotenusa deste triângulo — terá medidas iguais a do diâmetro da circunferência, e a distância DC 
será igual ao raio.
Tema 3: Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal
Quando duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta, chamada transversal, diversos pa-
res de ângulos são formados. Esses ângulos apresentam características que podem agilizar cálculos 
e facilitar a resolução de problemas que os envolvem.
Para introduzir esse assunto em sala de aula, sugerimos a utilização de material visual, como dese-
nhos, diagramas e softwares, a fim de tornar os conceitos mais concretos. Dessa forma, facilita-se 
a observação das relações entre os ângulos formados por retas paralelas e cortados por uma trans-
versal, atendendo a habilidade EF09MA10, da BNCC. 
É muito importante incentivar a participação dos estudantes fazendo perguntas e envolvendo-os 
na identificação dos ângulos, que, quando possível, devem ser relacionados a aplicações práticas 
do cotidiano, como a medição de ângulos em construção civil ou em mapas. 
Inicie a aula questionando se os alunos conhecem o que são retas paralelas. Em seguida, faça um 
desenho de duas delas, as retas r e s. Ao concluí-lo, faça uma reta transversal (t) cortando r e s e 
gerando em r um ângulo de 60° e outro de 120°, conforme ilustra a figura a seguir. 
+
60°
120°
r
s
Em seguida, nomeie os ângulos gerados nas reta r e s. Depois, explique que, como a reta t intercep-
ta as retas r e s com a mesma inclinação, podemos afirmar que, para cada ângulo gerado na reta r, 
também será gerado um ângulo correspondente na reta s com a mesma medida, conforme ilustra 
a figura a seguir.
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
+
â
ê
b
c
d
g
h
f
r
s
Observando a imagem, escreva ao lado os ângulos correspondentes: â e ê, c e g, b e f, d e h. 
Destaque que os ângulos correspondentes têm a mesma medida.
Peça aos alunos para verificarem se há outros ângulos que podem ter a mesma medida. Dê di-
cas e, após obter as respostas, anote os ângulos que possuem a mesma medida, alegando que 
são OPV (opostos pelo vértice) — â e d, b e c, ê e h, f e g.
Perceba que, na imagem, podemos identificar outros tipos de ângulos, como: alternos (internos 
e externos) e colaterais internos e externos. Deixe claras as características de cada um deles. 
Os ângulos colaterais são os que estão do mesmo lado em relação à transversal; já os 
ângulos alternos, estão em lados distintos da transversal. 
São internos os ângulos que se encontram entre as duas retas paralelas; já externos, 
são os que não se encontram entre as duas retas paralelas.
Aproveitando a imagem feita na lousa, monte, ao lado, uma tabela relacionando os ângulos e suas 
características.
Alternos internos (c e f), (ê e d) Possuem a mesma medida
Alternos externos (â e h), (b e g) Possuem a mesma medida
Colaterais internos (c e ê), (d e f) São ângulos suplementares, ou 
seja, a soma entre eles resulta em 
180°
Colaterais externos (a e g), (b e h)
Correspondentes (â e ê), (c e g), 
(b e f) e (d e h)
Possuem a mesma medida
Com essas orientações e exemplos, os alunos devem ser capazes de compreender e de aplicar 
efetivamente os conceitos de ângulos formados por duas paralelas e cortados por uma transversal. 
Na resolução da atividade 4, permita que conversem entre si para que encontrem os valores dos 
ângulos. Ao concluirem, a atividade destaque o caso de cada um dos ângulos analisados (se são 
correspondentes, colaterais internos, colaterais externos, alternos internos ou alternos externos).
Lembre-se de adaptar a abordagem ao nível de compreensão dos estudantes e de oferecer exem-
plos variados e exercícios práticos para desenvolver o aprendizado. Também, esteja preparado para 
esclarecer dúvidas e oferecer suporte individualizado, a fim garantir que os alunos dominem tais 
conceitos.
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Tema 4: Semelhança de triângulos
O estudo da semelhança de triângulos é uma parte fundamental da Geometria. Os princípios da 
semelhança de triângulos e da proporção entre seus lados foram desenvolvidos pelos antigos ma-
temáticos gregos, especialmente por Tales de Mileto, no século VI a.C. O famoso Teorema de Tales 
é um dos primeiros resultados conhecidos que lidam com a semelhança de triângulos.
Ao introduzir o conceito sobre semelhança de triângulos, apresente a imagem do experimento de 
Tales de Mileto e as pirâmides.
metade do
comprimento
da base
altura
sombra
bastãosombra
Motive-os a analisar como Tales de Mileto determinou a altura da pirâmide fincando um bastão verti-
calmente no chão. O bastão e a pirâmide deveriam estar paralelos, e a sombra do bastão estar com seu 
tamanho real, determinando, assim, a altura da pirâmide. Saliente que Tales realizou muitas medições 
até o momento ideal para a identificação da altura investigada. Explore visualmente a semelhança entre 
triângulos, solicitando que os alunos identifiquem os elementos semelhantes entre as figuras. 
Utilizando o exemplo a seguir, expresse formalmente a propriedade da proporcionalidade entre os 
triângulos ABC e EDF.
13 12
5
A C
B
6,5 6
2,5
D F
E
      AB
DE = BC
EF = AC
DF
A razão entre os comprimentos dos lados correspondentes é constante. Neste caso, a 
razão é 2.
REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 23REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 23 08/01/24 18:5508/01/24 18:55
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
Apresentar imagens de triângulos semelhantes aos estudantes é fundamental para que eles com-
preendam que, triângulos que têm a mesma forma e tamanhos diferentes, são triângulos seme-
lhantes. Na sequência, apresente informações sobre os critérios de semelhança entre triângulos, de 
modo que o aluno reconheça as condições necessárias para que dois triângulos sejam semelhantes, 
conforme indica a habilidade EF09MA12, da BNCC.
Critérios de semelhança de triângulos 
Dois triângulos são considerados semelhantes se:
• AA (ângulo – ângulo): dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruen-
tes, então são semelhantes.
• LAA (lado – ângulo – ângulo): dois triângulos têm dois ângulos correspondentes 
congruentes e o lado entre esses ângulos é proporcional aos lados corresponden-
tes, então são semelhantes.
• LAL (lado – ângulo – lado): dois triângulos têm dois lados correspondentes propor-
cionais e o ângulo entre esses lados é congruente, então são semelhantes.
• LLL (lado – lado – lado): dois triângulos tem todos os três lados correspondentes 
proporcionais, então são semelhantes.
Mostre exemplos de como aplicar esses critérios para determinar a semelhança de triângulos em 
problemas específicos.
Na resolução das atividades, proponha que, além de investigar o critério de semelhança entre ostriângulos, os alunos também investiguem a razão entre os lados correspondentes. Explore o cál-
culo da regra de três para identificar as medidas dos lados correspondentes. 
Aprofunde os conhecimentos dos estudantes sobre o tema, fornecendo progressivamente proble-
mas e exercícios mais complexos de acordo com o desenvolvimento e aprendizagem deles. Inclua 
uma variedade de questões que abranjam diferentes aspectos da semelhança de triângulos.
Lembre-se de fazer uma investigação prévia do conhecimento dos estudantes e oferecer exemplos 
práticos para desenvolver o aprendizado. Durante a resolução das atividades, circule dando supor-
te aos alunos e fomentando questões que aprofundem suas aprendizagens.
Tema 5: Teorema de Tales
A revisão do Teorema de Tales é uma oportunidade valiosa para consolidar o entendimento dos alu-
nos sobre esse conceito fundamental na Geometria: proporcionalidade de segmentos. Para auxiliar 
nessa tarefa, o material a seguir, os exemplos e as orientações visam garantir que os estudantes com-
preendam o tópico e que sejam capazes de aplicá-lo em situações práticas. Além disso, permite uma 
revisão pela qual possam reforçar as habilidades indicadas na BNCC e prepararem-se para solucionar 
questões apresentadas nas disciplinas do campo de exatas no Ensino Médio e nos vestibulares.
Comece com uma introdução clara e envolvente. Explique o que é o Teorema de Tales, sua origem 
histórica e sua relevância na Geometria. Destaque sua aplicação em vários ramos da Matemática, 
Engenharia e outras disciplinas. Assista a videoaula O Teorema de Tales e, se possível, projete-o em 
sala para os estudantes. 
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Pergunte se já conhecem o teorema e permita que compartilhem suas experiências. Após ouvi-los, 
informe-os de que o Teorema de Tales estabelece o seguinte: se você traçar um feixe de retas para-
lelas e elas forem cortadas por retas transversais, os segmentos formados nas retas transversais se-
rão proporcionais. Durante a explicação, desenhe três retas (r, s e t) paralelas entre si. Em seguida, 
desenhe duas retas transversais cortando as paralelas, como no exemplo a seguir: 
u v
A A’
B B’
r
s
t
C C’
  AB
BC = A´B´
B´C´ 
Os segmentos formados na transversal u serão proporcionais aos segmentos formados na trans-
versal v; portanto, a razão entre os segmentos formados em u será igual a razão gerada pelos 
segmentos correspondentes em v. 
Dê valores em medidas para os segmentos da figura. Por exemplo: AB = 3 cm, BC = 6 cm, A’B’ = 2 
cm e B’C’ = 4 cm.
u v
A A’
3 cm 2 cm
6 cm 4 cm
B B’
r
s
t
C C’
Substitua os valores na igualdade AB
BC = A´B´
B´C´ , obtendo a proporção:
3 cm
6 cm = 2 cm
4 cm
Realce a igualdade entre as razões:
3
6 = 0,5 e 2
4 = 0,5.
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
Explique que a relação que ocorre em é a mesma que ocorre em : o denominador tem o dobro da 
medida do numerador. Como o segmento BC tem o dobro da medida de AB, logo, o segmento B’C’ 
tem o dobro da medida de A’B’. 
3 cm
6 cm = 2 cm
4 cmx2 x2
Estabelecida a relação de proporção, desenhe um feixe de retas paralelas cortadas por uma trans-
versal — igual ao modelo apresentado no livro — e indique todas as proporções possíveis. 
u v
A A’
3 cm 2 cm
6 cm 4 cm
B B’
r
s
t
C C’
   
AB
BC = A´B´
B´C´ 
Substituindo, temos 3
6 = 2
4 .
AC
BC = A´C´
B´C´
Substituindo, temos 3
2 = 6
4 .
AC
BC = A´C´
B´C´
Substituindo, temos 9
6 = 6
4
Dê um exemplo com cálculo para auxiliar o entendimento de como esse conhecimento pode ser 
aplicado. Desenhe um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal, igual ao modelo do 
livro. Peça para que os alunos descobram o valor correspondente a x, na figura.
 
t u
23
x6
9
m
n
s
Na correção, explique passo a passo os procedimentos realizados:
• Organize e iguale as razões 3
6 = 2
x .
• Como temos uma proporção, aplicamos o princípio fundamental das proporções (o 
produto dos extremos é igual ao produto dos meios):
3
6 = 2
x → 3 ⋅ x = 6 ⋅ 2 → 3x = 12 → x = 12
3 → x = 4
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O Teorema de Tales também tem aplicação na proporcionalidade dos segmentos de retas em triân-
gulos semelhantes. Demonstre essa característica desenhando a figura a seguir: 
A
B C
D E
2
x
1,5
1
α = 50,5°
Na figura, temos 2 triângulos, ∆ABC e ∆ADE, que possuem um ângulo (â) em comum. Para des-
cobrir a medida do segmento BD, utilize o Teorema de Tales e, para facilitar o entendimento dos 
estudantes durante a explicação, desenhe uma reta sobre o segmento DE e outra reta sobre o 
segmento BC. Mostre aos alunos que essas retas são paralelas e, em seguida, desenhe uma terceira 
reta que passe pelo ponto A e seja paralela à BC. Veja a imagem a seguir:
A
B C
D E
2
x
1,5
1
α = 50,5°
A imagem facilitará a visualização e compreensão dos estudantes sobre a aplicação do Teorema de 
Tales em triângulos semelhantes. Finalize a explicação com a resolução:
2
x = 1
1,5 → 1 ⋅ x = 2 ⋅ 1,5 → x = 3
Utilize diagramas e, se possível, faça uso de recursos tecnológicos — como o Geogebra — para facili-
tar a visualização das figuras por parte dos estudantes e para tornar a aula mais dinâmica e atraente.
Tema 6: Triângulo retângulo – relações métricas
Neste tema, vamos abordar as relações métricas no triângulo retângulo, explorando os conheci-
mentos aprendidos sobre semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras. Ele pode ser intro-
duzido de forma simples e experimental, de modo que os alunos entendam facilmente as relações 
entre os lados e ângulos desse tipo de triângulo. Em uma cartolina, desenhe um triângulo retângulo 
ABC, conforme ilustra a figura com seus respectivos elementos, onde:
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
a = hipotenusa
b e c = catetos
h = altura
m e n = projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
A
H
a
bc
h
nm
B C
Corte o triângulo ABC no segmento AH, de modo a obter dois triângulos semelhantes HBA e HAC.
c
h
m
B H
A
b
h
n
CH
A
Ao analisar os triângulos, faça conexões entre a semelhança e as relações métricas. Se necessário, 
gire o triângulo HAC de modo a colocá-lo na mesma posição do triângulo HBA.
Nesse ponto, é importante evidenciar que os três triângulos — ABC, HBA e HAC — são semelhan-
tes entre si, o que nos permite estabelecer proporções entre as medidas de seus lados.
Apresente as relações de semelhança entre triângulos, de modo que o aluno visualize as re-
lações por meio de imagens e de cálculos algébricos. Aborda-se as habilidades EF09MA13 e 
EF09MA14, indicadas na BNCC.
Por meio das observações métricas no triângulo retângulo, evidencie como o Teorema de Pi-
tágoras pode ser utilizado para a obtenção das medidas dos lados de um triângulo retângulo. 
Neste ponto, faça diferentes investigações empíricas para demonstrar o teorema. A seguir, 
algumas sugestões de como este tema pode ser investigado.
Vídeo: A demonstração do Teorema de Pitágoras (via experimento)
Disponível em: https://linkja.net/teoremadepitagoras 
Acesso em 13 de out. 2023.
Vídeo: Demonstração do Teorema de Pitágoras com EVA 
Disponível em: https://linkja.net/teoremadepitagoraseva
 Acesso em 13 de out. 2023.
Vídeo: Demonstração do Teorema de Pitágoras com recicláveis
Disponível em: https://linkja.net/teoremadepitagorasreciclaveis
Acesso em 13 de out. 2023.
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Explore o triângulo retângulo em uma semicircunferênciapara ilustrar o conceito de relações mé-
tricas e o Teorema de Pitágoras de forma detalhada.
Conforme modelo a seguir, desenhe uma semicircunferência de raio 5 cm. Com a mesma medida 
do raio, trace um arco na semicircunferência e chame-o de “A”. Este ponto será um dos vértices do 
triângulo ABC. Os vértices B e C são as extremidades do diâmetro da semicircunferência. Ligue os 
vértices A, B e C. 
Marque o ponto médio entre o centro da semicircunferência e o ponto B. Este ponto será oposto 
ao ângulo reto formado no vértice A. Trace a altura do triângulo retângulo ligando o vértice A ao 
ponto médio obtido. Essa será a altura do triângulo AOB.
A
B O
2,5 cm 2,5 cm
60° 30°
C
medianamediatriz
Mostre que a medida do raio da semicircunferência é a mesma distância entre os vértices A e B, o 
que torna o triângulo AOB equilátero.
Explore observações quanto aos ângulos formados nos triângulos, evidenciando os ângulos retos. 
Utilize o Teorema de Pitágoras para obter as medidas dos lados do triângulo.
n = 2,5 cm
c = 5 cm
b = 8,7 cm
h = 4,3 cm
m = 7,5 cm
Retome as ideias de semelhança de triângulos e aplique as relações métricas no triângulo retângulo.
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VIDEOAULA
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DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
20
Ângulo central e ângulo inscrito
EF09MA10 e EF09MA11
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21
Ângulo central
Chamamos de ângulo central a todo ângulo que tem vértice no centro da circunferência. Observe 
na figura o ângulo central AOC. 
A C
O
Ângulo inscrito
A um ângulo central AOC corresponde sempre um ângulo inscrito ABC, com vértice B pertencente 
à circunferência.
A C
B
O
A medida do ângulo inscrito em uma circunferência será sempre igual à metade da medida do 
ângulo central correspondente.
med (ABC) 5 med (AOC)
2
Observe a seguir alguns exemplos das relações entre um ângulo inscrito e o correspondente ângulo 
central.
110°
220°
A
C
O
B
52°
104°
O
B
A
C 29°
58°
B
A
C
O
Uma consequência bastante importante 
da relação entre as medidas dos ângulos 
inscrito e central é a que se verifica quando 
este é 180°. Note que, qualquer que seja 
o ponto P pertencente à circunferência, o 
ângulo APB será 90° e, portanto, o triângulo 
APB será retângulo.
Esta consequência pode, também, ser enunciada da seguinte forma:
Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo.
O
BA
P2 P3P1
O
BA
P
Ângulo central e ângulo inscrito
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PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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Ângulos formados por paralelas 
cortadas por uma transversal
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23
Considere duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, com os ângulos definidos a seguir: 
t
r
s
r//s
â
ê
d̂
ĉ
ĥ̂h
ĝ
f̂
b̂
Nesse caso, os ângulos correspondentes têm medidas iguais, os alternos têm medidas iguais e os 
colaterais são suplementares. 
Atividades
1. Nas figuras a seguir, determine o valor de x e y:
a) 
74°
S
x
y
O
R T
a) y 5 74° → x 5 74o
2 → x 5 37° 
b) 
44°
x
y
O
M
N P
b) y 5 x
2 → x 5 44° → y 5 22°
Ângulos formados por paralelas 
cortadas por uma transversal
EF09MA10, EF09MA11 e EF09MA15
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24
2. Determine o valor de x e o valor dos ângulos internos dos triângulos.
a) 
O
A
A B
2x – 3x + 9
a) 2x 2 3 1 x 1 9 5 90° → x 5 28°
Logo os ângulos são 37°, 53° e 90° 
b) 
P
M
N
x
O
28°
b) x 1 28o 5 90° → x 5 62°
Logo os ângulos são 28°, 62° e 90°
c) 
2x + 15
R
S
3x
O
T
c) 2x 1 15 1 3x 5 90° → x 5 15°
Logo os ângulos são 45°, 45° e 90°
3. A que fração da circunferência corresponde o arco determinado pelos ângulos inscritos de 
45°, 60° e 90°?
45° → 1
4 da circunferência, pois 2 ? 45° 5 90°
60° → 1
3 da circunferência, pois 2 ? 60° 5 120°
90° → 1
2 da circunferência, pois 2 ? 90° 5 180°
4. Considere que as retas r e s são paralelas, e a reta t é transversal a elas:
t
r
s
â b̂
120°
Qual a medida dos ângulos a e b? 60° e 120°, respectivamente.
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VIDEOAULA
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PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Semelhança de triângulos
EF09MA12
Sugira aos estudantes que, para trabalhar 
este tema de maneira prática, construam 
triângulos com régua, transferidor e lápis no 
caderno. Depois, peça-lhes que troquem de 
caderno com um colega com o intuito de 
cada um produzir um triângulo semelhante 
ao construído pelo colega. Peça-lhes que 
reproduzam pelo menos três, a fim de 
desenvolver os três casos trabalhados adiante.
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26
Já conhecemos as condições gerais de semelhança de dois polígonos: lados correspondentes propor-
cionais e ângulos correspondentes congruentes. No entanto, nem sempre ter lados correspondentes 
proporcionais implica que dois polígonos têm ângulos correspondentes congruentes. Veja, por exem-
plo, o caso de um quadrado ABCD de lados 4 cm e um losango MNPQ de lados 2 cm:
4 cm4 cm
4 cm
4 cm CD
BA
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
P
M
NQ
60°
60°
120° 120°
Note que os lados correspondentes são proporcionais, pois:
AB
MN 5 BC
NP 5 CD
PQ 5 DA
QM 5 4
2 5 2
Porém os ângulos internos do quadrado são todos iguais a 90°, enquanto os do losango são iguais 
a 60°, 60°, 120° e 120°. Essa diferença entre os ângulos internos correspondentes é suficiente para 
que os dois polígonos não sejam semelhantes.
No caso de dois triângulos, essa dupla condição (lados proporcionais e ângulos internos congruentes) 
não é necessária. Se uma ocorrer, a outra também ocorrerá, devido à característica de rigidez, que 
se observa nos triângulos e que os demais polígonos não possuem.
Assim, podemos dizer que os triângulos têm as seguintes propriedades:
a) Se dois triângulos têm lados correspondentes proporcionais, então seus ângulos internos corres-
pondentes são congruentes;
b) Se dois triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então seus lados correspondentes 
serão proporcionais.
Casos de semelhança de triângulos
Considerando as características de dois triângulos, existem alguns casos que nos permitem estabe-
lecer a semelhança entre dois triângulos. 
1° caso
Denominado de LLL (lado – lado – lado), este caso é uma consequência da propriedade que estu-
damos há pouco: se dois triângulos têm lados correspondentes proporcionais, eles serão semelhan-
tes, pois, como vimos, os ângulos internos correspondentes serão congruentes.
Considere, como exemplo deste caso de semelhança, os triângulos ABC e DEF:
3 5
4
A
B C
6 10
8
D
E F
Semelhança de triângulos
REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 26REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 26 08/01/24 18:5608/01/24 18:56
27
Como 3
6 5 4
8 5 4
8 → A 5 D, B 5 E, C 5 F. Assim, os ângulos internoscorrespondentes dos dois 
triângulos serão congruentes. Observe:
3 5
4
A
B C
6 10
8
D
E F
2° caso
Este caso é denominado AA (ângulo – ângulo) e fundamenta-se no fato de que, se dois triângulos 
têm dois pares de ângulos correspondentes congruentes, terão os três ângulos correspondentes 
congruentes. Como vimos, se isto ocorrer, eles terão lados correspondentes proporcionais. Assim, 
concluímos que bastam dois ângulos congruentes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Observe, como exemplo, os triângulos ABC e DEF:
B C E
D
F
A
60º
60º
Note que A 5 D 5 60° e B 5 E 5 90°. 
Assim, C 5 F 5 180° 2 60°2 90° 5 30°
Neste caso, como temos dois ângulos correspondentes congruentes, os triângulos são semelhantes:
AB
DE 5 BC
EF 5 AC
DF
3° caso
Este caso de semelhança de dois triângulos ocorre quando eles têm dois lados proporcionais, e os 
ângulos definidos por esses lados nos dois triângulos são congruentes. Por essa razão, este caso é 
denominado LAL (lado – ângulo – lado).
Vamos analisar este caso partir dos triângulos ABC e DEF:
8
6
A
C
B
62° 62°
4
3 F
E
D
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28
Como AB, BC, DE e EF são proporcionais, nessa ordem, pois 8
4 5 6
3 , e B 5 E 5 62°, os triângulos 
ABC e DEF são semelhantes. Se fizermos uma translação do triângulo DEF, fazendo o vértice E 
coincidir com o vértice B do triângulo ABC, verificaremos que A 5 D e C 5 F, pois DE//AC. Assim, 
se os pares de ângulos correspondentes nos dois triângulos são congruentes, os dois triângulos 
são semelhantes. Note que esta situação é idêntica àquela em analisamos paralelas cortadas por 
transversais, que determinam segmentos proporcionais. 
A
C
62°
F
D
B E
Atividades
5. Os pares de triângulos a seguir são semelhantes. Identifique o caso de semelhança (LLL, AA 
ou LAL) em cada um dos casos.
a) 
D
FE
1 1
1
A
CB
3 3
3
b) A B
E
C
D
c) A C
B
15
9
FD
E
3
5
d) A
CB
ED
LLL
AA
LAL
AA
EF09MA12
REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 28REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 28 08/01/24 18:5608/01/24 18:56
29
6. Identifique os triângulos semelhantes em cada caso e determine os valores de x e y 
indicados nas figuras.
a) A
B C
xD
y
1,8
3 4
b) 
x
y
ED
B
C
A
15
12
10
12
c) D
C
B
D
F
y
x
E
5 7
6
9
d) 
A
B
Cy
x
4
159
D
E
3
e) 
x + 6
B
x
y
D C
A
E
5
4 12
f) 
B
A
C
y
x
E
D
9
12
5
4
DABD ~ DABC ~ DADC 
y
4 5 
1,8
3 → y 5 2,4
y
3 5 
x
4 → 
2,4
3 5 
x
4 → x 5 3,2
DABC ~ DADE
15
25 5
12
12 1 y → y 5 8
x
12 5 
15
25 → x 5 7,2 
DABC ~ DDEF
x
7 5 
6
5 → x 5 
42
5
y
9 5 
6
5 → y 5 
54
5
DABC ~ DDCE
y
4 5 
9
4 → y 5 12
x
15 5 
3
9 → x 5 5
DABC ~ DEBD
5
y 5 
4
16 → y 5 20
x 1 6
x 5 
16
4 → x 5 2
DABC ~ DDEC
x
9 5 
4
12 → x 5 3
y
5 5 
12
4 → y 5 15
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30
7. Identifique os triângulos semelhantes em cada figura e determine x e y.
a) 
B
D E
x
y
C
A
12
15
20
6
b) 
y
B C
E
A
x
D 7,5
9
2 3
c) 
B
A M
C
N
y x
6
12
3
4
d) 
D
E
C
B
A
x
y
8
4
1
6
e) A
N
x
M
y
B C
1,5
2
4,5
5
8. Na figura a seguir o lado AB 5 12 cm, BC 5 15 cm, DE 5 8 cm e DC 5 6 cm. Determine as 
medidas de AC e EC, sabendo que AB//DE.
B C
A
D
E
Temos:
AC
6 5 
12
8 → AC 5 9
EC
6 5 
8
12 → EC 5 10
DABC ~ DADE
x
x 1 6 5 
15
20 → x 5 18
12
12 1 y 5 
15
20 → y 5 4
DABC ~ DADE
x
x 1 12 5 
9
12 → x 5 6
6
8 5 
7,5
y → y 5 10
DABC ~ DMBN
x
12 5 
6
9 → x 5 8
y
4 5 
9
6 → y 5 6
DABC ~ DADE
6 1 x
6 5 
5
4 → x 5 
3
2
y
4 5 
9
6 → y 5 6
DAMNC ~ DABC
x
x 1 5 5 
1,5
4,5 → x 5 2,5
2
2 1 y 5 
1,5
4,5 → y 5 4
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31
9. Calcule o perímetro do trapézio EDCB, sabendo-se que sua base menor mede 10 cm, AE 5 4 
cm, EB 5 2 cm e AC 5 12 cm.
B C
A
DE
Temos:
6
4 5 
12
AD → AD 5 8 → DC 5 4
4
6 5 
10
BC → BC 5 15 → 2p 5 2 1 10 1 4 1 15 → 2p 5 31 cm
10. Determine x e y na figura a seguir.
8
4 4 4
y
x
Temos:
x
8 5 → x 5 
8
3
y
8 5 
8
12 → y 5 
16
3
11. Determine a área do retângulo MNPB na figura abaixo.
15
20
A
B P
C
N2xM
x
A 5 2x ? x 5 2x2
15
x 5 
2x
20 → 2 x2 5 300
12. Determine a altura da torre, considerando que uma 
árvore de 5 m de altura, distante 12 m do pé da torre, 
tem uma sombra de 2,5 m, enquanto, no mesmo instan-
te, a sombra da torre é de 12 m.
Por semelhança de triângulos:
h
15 5 
12
2,5 → h 5 72 m h
5 m
2,5 m 12 m
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32
13. Calcule a altura do prédio da figura, sabendo que sua sombra mede 33,6 m, no mesmo instante 
em que a sombra de um poste de 7 m de altura mede 8,4 m.
8,4 m
33,6 m
Prédio
B
D C
A
14. Determine a distância AB entre os dois prédios, sabendo que o observador está a 120 metros 
do ponto A, 140 metros do ponto B e, respectivamente, a 6 metros e 7 metros de F e E, que 
distam entre si 4 metros.
A B
C
EF
15. Para medir a distância AB entre as duas margens de um rio, quatro pessoas se posicionaram 
nos pontos B, C, D e E e mediram as distâncias entre elas, indicadas na figura. Determine a dis-
tância AB.
B
E
C
D
A
1 m
3 m
1,8 m
Por semelhança de triângulos:
h
7 5 
33,6
8,4 → h 5 28 m
Por semelhança de triângulos:
120
6 5 
AB
4 → AB 5 80 m
Por semelhança de triângulos:
AB
1,8 5 
3
1 → h 5 5,4 m
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Teorema de Tales
EF09MA16
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34
Vamos considerar os retângulos ABCD e MNQP a seguir:
3 cm
6 cm
14 cm
7 cm
A
B
D
M
N
P
Q
C
Observe o que acontece com as razões AB
BC
 e MN
NQ
:
AB
BC
 5 3 cm
6 cm
 5 1
2
 e MN
NQ
 5 7 cm
14 cm
 5 1
2
 → AB
BC
 5 MN
NQ
Dizemos, então, que os segmentos AB, BC e MN e NQ são, nessa ordem, proporcionais, pois suas 
medidas formam uma proporção. Faça as atividades a seguir, considerando sempre a ordem de 
proporcionalidade proposta.
• O Teorema de Tales
Considere a figura a seguir, em que as retas r, s e t são paralelas, e as retas p e q são transversais a 
essas paralelas. 
r
sE
F
C
B
D
p q
A
t
Note que a reta p intercepta as paralelas r, s e t nos pontos A, B e C e que a reta q intercepta as 
paralelas r, s e t nos pontos D, E e F. Dessa forma, o feixe de retas paralelas (r, s e t) determina os 
segmentos AB, BC e AC na transversal p, e os segmentos DE, EF e DF na transversal q. 
O teorema de Tales afirma que um feixe de paralelas cortado por transversais determina nessa última 
segmentos de retas proporcionais. Assim, podemos estabelecer as seguintes ordens de segmentos 
proporcionais:
AB
BC 5 DE
EF e AB
AC 5 DE
DF e AC
BC 5 DF
EF
Por comodidade, a partir deste ponto deixaremos de representar a unidade de medida dos 
segmentos e consideraremos que há uma informação contrária, ou seja, todos os segmentos têm a 
mesma unidade de medida. Observe as proporcionalidades nos exemplos a seguir:
r
s
p q
t
3
3
4
4
a) r//s//t
3
3 5 4
4 e 3
6 5 4
8
b) m//n//s
3
6 5 2
4 e 3
9 5 2
6
Teorema de Tales
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35
16. Em cada caso, verifique se os segmentos, na ordem apresentada, são proporcionais.
a) AB 5 4 cm, CD 5 6 cm, EF 5 6 cm e GH 5 9 cm Sim, pois 4
6
6
95 
b) AB 5 2,5 cm, CD 5 7,5 cm, EF 5 1 cm e GH 5 3 cm Sim, pois 2,5
7,5
1
35 
c) AB 5 18 cm, CD 5 9 cm, EF 5 4 cm e GH 5 8 cm Não, pois 18
9
4
8Þ 
17. No triângulo a seguir, os segmentos AB, BD, AC e CE são, nessa ordem, proporcionais. 
Calcule a medida do lado AD.
ED
B C
A
2 cm 1 cm
1,5 cm
2
AD 5 
1
2,5 → AB 5 5 cm
18. Calcule x em cada uma das figuras, sabendo que a//b//c.
a) a
b
c
2 10
4 x
b) 
a
b
c
2
510
x
c) a
b
c
2
84
x
d) 
61,2
8
x
a b c
e) 
a
b
c
x3
4
2
3
9
8
f) 1442
x
a b c
x +14
2
4 5 
10
x → x 5 20
5
2 5 
10
x → x 5 4
12
4 5 
x
3 → x 5 9
x
8 5 
1,2
6 → x 5 1,6
3
4
2
3
 5 
9
8
x
 → x 5 1
42
14 5 
x 1 14
x → x 5 7
Atividades EF09MA16 e EF09MA17
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36
19. Observe a figura r//s//t//u.
3
9
1
3
2
6
A B C D
E
F
G
H
r s t u
Responda:
a) Qual é a razão entre os segmentos AB e BC? 
AB
BC
2
15 
b) Qual é a razão entre os segmentos EF e FG? 
EF
FC
6
35 
c) Os segmentos AB, BC, EF e FG são, nessa ordem, proporcionais? Sim, pois 6
3
2
15 
d) Fazendo o mesmo raciocínio, verifique se os segmentos AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, 
proporcionais. 
2
3
6
95 → são proporcionais 
e) Verifique, agora, se os segmentos AC, CD, EG e GH são, nessa ordem, proporcionais.
 
2 1 1
3 5 
6 1 3
9 → são proporcionais 
f) Faça o mesmo para os segmentos AB, BD, EF e FH. 
2
1 1 3 5 
6
3 1 9 → são proporcionais 
g) Os segmentos AD, BC, EH e FG são, nessa ordem, proporcionais? Por quê?
Sim, pois 
2 1 1 1 3
1 5 
6 1 3 1 9
3 
h) Os segmentos BD, AD, FH e EH são, nessa ordem, proporcionais? Por quê?
Sim, pois 
1 1 3
2 1 1 1 3 5 
3 1 9
6 1 3 1 9 
20. Construa a figura e resolva o seguinte problema: dois segmentos adjacentes, de 7 cm e 3 cm, 
são determinados por um feixe de três paralelas sobre uma das transversais que intercepta as 
retas desse feixe. Em outra transversal, não paralela à primeira, o menor segmento determinado 
pelo feixe mede 4 cm. Qual a medida do outro segmento determinado nessa transversal?
Temos: 
7
3 5 
4
x → x 5 
12
7 cm
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37
21. Os lados de um triângulo medem 6 cm, 10 cm e 12 cm. O maior lado de um outro triângulo 
semelhante a esse mede 9 cm. Calcule a razão de semelhança entre o primeiro e o segundo 
triângulo.
Se os triângulos são semelhantes, k 5 
12
9 → k 5 
4
3
22. Os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
6
7
4
A
B C
D
E F
Determine o perímetro do triângulo DEF, sabendo que a razão de semelhança entre ABC e DEF é 
3
5 .
DE 5 6 ? 
5
3 5 10
DF5 7 ? 
5
3 5 
35
3
EF 5 4 ? 
5
3 5 
20
3
2p 5 DE 1 DF 1 EF → 2p 5 
85
3
Triângulos retângulos
Já sabemos que todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado triângulo retângulo. O 
estudo dos triângulos retângulos e das relações existentes entre suas medidas e seus ângulos é 
fundamental para os cálculos geométricos envolvidos em projetos e problemas das mais diversas 
áreas do conhecimento. 
O triângulo ABC da figura é retângulo em A, e seus elementos são:
H
h
B
c b
m n
a
C
A
 
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
EF09MA13 e EF09MA14
Para trabalhar com as relações 
métricas de triângulos, proponha 
aos estudantes que construam 
essas figuras geométricas 
no caderno, utilizando régua 
e transferidor, a fim de que 
possam, além de fazer o cálculo 
algébrico, realizar medições para 
confirmar.
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38
Relações métricas no triângulo retângulo
chamamos de relações métricas no triângulo retângulo às relações existentes entre os diversos 
segmentos dele. Para estabelecer essas relações, vamos analisar os triângulos ABC, ABH e AHC, na 
figura a seguir:
H
h
B
c b
m n
a
C
A
a
a
b
b
Os triângulos ABH e AHC, determinados quando traçamos a altura h do triângulo ABC, também 
são retângulos. Observe que os ângulos internos correspondentes desses dois triângulos são iguais, 
o que faz com que eles sejam semelhantes. Pela mesma razão, esses dois triângulos são também 
semelhantes ao triângulo ABC. 
Vamos isolar os triângulos para visualizar melhor as semelhanças e, a partir delas, estabelecer as 
relações métricas existentes. Confira as posições dos ângulos nos triângulos ABC, ABH e AHC. 
Eles determinam, respectivamente, os catetos e as hipotenusas dos triângulos.
B
c b
a
C
A
a
a
b
H
b
n
hh
C
a
H
B
c
m
A A
b
b
• Primeira semelhança: 
a
c
 5 b
h
 → b ? c 5 a ? h
a
c
 5 c
m
 → c2 5 a ? m
b
h
 5 c
m
 → b ? m 5 c ? h
a
c
 5 b
h
 5 c
m
• Segunda semelhança: 
a
b
 5 b
h
 → b2 5 a ? n
a
b
 5 c
h
 → b ? c 5 a ? h
b
n
 5 c
h
 → c ? n 5 b ? h
a
b
 5 b
n
 5 c
h
 
Considerando as igualdades obtidas, as relações a seguir são importantes e muito úteis em 
problemas que envolvem triângulos retângulos:
a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a 
hipotenusa.
b2 5 a ? n e c2 5 a ? m
b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
b ? c 5 a ? h
c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h25 m ? n
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39
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Teorema de Pitágoras
REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 39REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 39 08/01/24 18:5708/01/24 18:57
40
Esse teorema relaciona as medidas da hipotenusa e dos catetos de um triângulo retângulo e é 
atribuído a Pitágoras, que o teria enunciado por volta de 500 a.C. 
Existem centenas de processos algébricos e geométricos que demonstram o teorema de Pitágoras, 
desenvolvidos através dos séculos por diversos geômetras. Observe dois dos mais conhecidos:
a) No triângulo retângulo ABC da figura a seguir, b e c são os catetos, a é a hipotenusa, e a altura 
determina os segmentos m e n.
H
B
c b
m n
a
C
A
A partir das relações métricas que determinamos para o triângulo retângulo, e considerando 
a 5 m 1 n, temos:
b2 5 a ? n
c2 5 a ? m
→ b2 1 c2 5 a ? n 1 a ? m → b2 1 c2 5 a ? (m 1 n) → b2 1 c2 5 a2
O enunciado do teorema de Pitágoras fica, então, da seguinte forma:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
Para o triângulo retângulo ABC, de hipotenusa a e catetos b e c, temos:
a2 5 b2 1 c2
b)  Observe agora a representação geométrica do teorema de Pitágoras, que também é uma 
verificação de sua validade. Para um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, podemos 
expressar o teorema por meio dos quadrados cujos lados sejam iguais à hipotenusa e aos catetos: 
a2
b2
c2
cb
a
Veja, por exemplo, o que ocorre com um triângulo retângulo de hipotenusa 5 e catetos 3 e 4. 
Perceba a equivalência entre as áreas do quadrado de lado 5 e a soma das áreas dos quadrados de 
lados 4 e 3.
= +1625 9
5
4 3
Teorema de Pitágoras
REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 40REVER E APRENDER_Unidade_2_018a051_REV8_NOVO.indd 40 08/01/24 18:5708/01/24 18:57
41
Acompanhe agora alguns exemplos da utilização das relações métricas no triânguloretângulo.
a) No triângulo ABC da figura, vamos calcular a, h, m e n:
A
B
c = 6
m n
h b = 8
C
H
a
Começamos pelo teorema de Pitágoras:
a2 5 b2 1 c2 ⇒ a2 5 82 1 62 ⇒ a 5 10
Em seguida, utilizamos as relações métricas demonstradas:
c2 5 a ? m ⇒ 62 5 10 ? m ⇒ m 5 3,6
b2 5 a ? n ⇒ 82 5 10 ? n ⇒ n 5 6,4
b ? c 5 a ? h ⇒ 8 ? 6 5 10 ? h ⇒ h 5 4,8
b) Acompanhe a determinação da altura de um triângulo equilátero de lado l.
A
B M C
ℓ/2
ℓ
h
AM 5 h (altura do triângulo ABC)
MC 5 <
2
AMC é triângulo retângulo
<2 5 h2 1 <
2
2
<2 5 h2 1 <
4
 ⇒ h2 5 3<2
4
 → h 5 < 3
2
c) Na figura, AB é o diâmetro da semicircunferência e PQ 5 2 6 é perpendicular a este diâmetro. 
Observe como calculamos as medidas de AP e PB.
A B
Q
PO
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42
Qualquer triângulo cujo maior lado é o diâmetro de uma semicircunferência e que tem um vértice 
nesta semicircunferência é retângulo.
A B
Q
P
x10 – x
2√6
10
O
Os segmentos AB e PQ são, respectivamente, hipotenusa e altura relativa à hipotenusa do triângulo 
AQB. Assim, chamando de x e (10 2 x) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, temos:
(2 6 )2 5 x ? (10 2 x) → 24 5 10x 2 x2 
x2 2 10x 1 24 5 0 ⇒ x 5 4 ou x 5 6
Logo, AP 5 6 e PB 5 4
Aplicações dos casos de semelhança
Diversas situações geométricas em que aparecem triângulos retângulos podem ser analisadas com 
base nos casos que estudamos de semelhança de triângulos. Para isso, é bom relembrar os casos 
de semelhança:
1° caso
LLL (lado – lado – lado): dois triângulos que têm lados correspondentes proporcionais são 
semelhantes e têm, portanto, ângulos internos correspondentes congruentes. 
Considere os triângulos retângulos ABC e DEF:
3 5
4
A
B C
6 10
8
D
E F
Como 3
6
 5 4
8
 5 5
10
 → A 5 D, B 5 E, C 5 F. Assim, os ângulos internos correspondentes dos dois 
triângulos serão congruentes. Observe:
3 5
4
A
B C
6 10
8
D
E F
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43
2° caso
AA (ângulo – ângulo): se dois triângulos têm dois pares de ângulos correspondentes congruentes, 
terão os três ângulos correspondentes congruentes. Como vimos, se isto ocorrer, eles terão lados 
correspondentes proporcionais. Assim, concluímos que bastam dois ângulos congruentes para que 
dois triângulos sejam semelhantes. E que, no caso de dois triângulos retângulos, basta que os dois 
triângulos tenham mais um ângulo congruente para serem semelhantes.
Observe os triângulos ABC e DEF:
B C E
D
F
A
60º
60º
Note que A 5 D 5 60° e B 5 E 5 90°. 
Assim, C 5 F 5 180° 2 60° 2 90° 5 30°
Neste caso, como temos dois ângulos correspondentes congruentes, os triângulos são semelhantes 
e:
AB
DE
 5 BC
EF
 5 AC
DF
3° caso
Este caso de semelhança de dois triângulos ocorre quando eles têm dois lados proporcionais, e os 
ângulos definidos por esses lados nos dois triângulos são congruentes. Por essa razão, este caso é 
denominado LAL (lado – ângulo – lado).
Vamos analisar este caso partir dos triângulos ABC e DEF:
6
8
A
CB 3
4
D
FE
Como AB, BC, DE e EF são proporcionais nessa ordem, pois , e , os 
triângulos ABC e DEF são semelhantes. Se fizermos uma translação 
do triângulo DEF, fazendo o vértice E coincidir com o vértice B do 
triângulo ABC, verificaremos que , pois DF//AC. Assim, se os pares de 
ângulos correspondentes nos dois triângulos são congruentes, os dois 
triângulos são semelhantes. 
Para saber se dois triângulos retângulos são semelhantes, tome sem-
pre como referência o ângulo reto. A partir dele, procure mais um par 
de ângulos correspondentes congruentes. Encontrando a semelhan-
ça, estabeleça as relações para os lados correspondentes.
D
F
A
CB = E
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44
23. Determine os valores literais indicados nas figuras:
a) C
A
y
x B
1312
b) A
B
c
m n
h
b
C
5
c) A
B
D
d
C
4
5
d) 
24 10
A
B
O
C
x
24. Determine x nas figuras:
a) A
B C
x
8
b) A
C
x
B
√3
c) Q
R M P
4
5x
132 5 x2 1 122 → x 5 5
12 ? 5 5 13y → y 5 60
13
52 5 32 1 x2 → x 5 4
3 ? 4 5 5h → h 5 12
5
42 5 12
5
 
2
 1 n2 → n 5 16
5
42 5 12
5
 
2
 1 m2 → m 5 9
5
O é o centro da circunferência.
BC2 5 242 1 102 → BC 5 26 → x 5 OC 5 13
Atividades
d2 5 42 1 52 → d 5 41
DABC é equilátero.
82 5 x2 1 42 → x 5 4 3
O DABC é equilátero.
x2 5 x
2
 
2
 1 3 → x 5 2 O DPQR é isósceles.
62 5 1 22 → x 5 4 2
EF09MA13 e EF09MA14
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45
25. Determine x, y e z indicados nas figuras:
a) 
2
8
y
z
x
b) 
10
5
8
x
c) 
x
2x
4√3
d) 
6
15
y
z x
e) 
2√32
y
x
26. Calcule os valores literais indicados na figura ao lado.
4
3
x
y
x
x2 5 32 1 42 → x 5 5
y2 5 52 1 52 → x 5 5 2
x 5 8 2 2 → x 5 6
y2 5 2 ? 6 → y 5 2 3
z2 5 (2 3 )2 1 62 → z 5 4 3
8 ? 5 5 10 ? x → x 5 4
(2x)2 5 x2 1 (4 3 )2 → x 5 4
y2 5 6 ? 9 → y 5 3 5
x2 5 (3 5 )2 1 36 → x 5 9
152 5 z2 1 81 → z 5 12
y2 5 (2 3 )2 1 4 → y 5 4
(2 3 ) ? 2 5 4?x → x 5 3
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46
27. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
AB
D
d
C
ℓ
ℓ
28. Calcule o lado de um quadrado cuja diagonal mede 8 2
3 .
8 2
3
 5 l2 1 l2 → d 5 l 2
29. Determine a medida da projeção do maior cateto sobre a hipotenusa de um triângulo retân-
gulo de catetos que medem 60 cm e 80 cm.
a 5 hipotenusa → a2 5 602 1 802 → a 5 100
h 5 altura → 80 ? 60 5 100 ? h → h 5 40
n 5 projeção do maior cateto → 802 5 402 1 n2 → n 5 40 3
30. Um losango tem perímetro de 80 cm e uma das diagonais medindo 32 cm. Determine a me-
dida da outra diagonal.
32 cm
31. A soma das medidas da altura e de um dos lados de um triângulo equilátero é igual a 
(2 1 3 ) m. Determine as medidas da altura e lado.
ℓ
h
ℓ
2
8 5 lado do losango → l 5 80
4
 → l 5 20
d 5 diagonal menor → d
2
2
 1 162 → d 5 24
l 1 h 5 2 1 3
h 5 l 3
2
h 5 l 3
2
 5 2 1 3 → (2 1 3 ) 5 4 1 2 3 l 5 2 → h 5 3
d2 5 l2 1 l2 → d 5 l 2
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47
32. Um triângulo retângulo ABC está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcule sua 
altura relativa à hipotenusa, sabendo que a corda AB mede 8 cm.
C B
A
8 cm
33. Os catetos de um triângulo retângulo medem 4 e 7 . Calcule a medida da hipotenusa.
x2 5 4 1 7 → x 5 11
34. No triângulo ABC, AB 5 AC 5 6 cm. Determine CD.
D
BA
C
30º
35. No triângulo retângulo ABC, AB 5 6 cm. Obtenha AD, BC e CD.
D
AC
B
45º 60º
C 5 45° → ABC é isósceles → AC 5 AB 5 6cm
BC2 5 2 ? 62 → BC 5 6 2 cm 
Prolongando DA, obtemos D’ e a figura, em que BDD’ é equilátero, de altura 6 cm.
D A
D’C
B
45º 60º
Logo 6 5 2AD 3
2
 → AD 5 
80
3 → AD 5 3 3
202 5 82 1 AC2 → AC 5 4 21
8 ? 4 21 5 20 ? h → h 5 8 21
5
ABC é equilátero → CD 5 6 3
2
 → CD 5 3 3
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48
36. Os ângulos da base de um triângulo isósceles medem 45°, e um dos seus lados iguais mede 
4 cm. Determine a altura relativa à base.
Se os ângulos da base são iguais a 45°, o triângulo será retângulo.
h
45º 45º
44
A hipotenusa x será:
x2 5 2 ? 42
x 5 4 2
42 5 h2 1 (2 2 )2
h 5 2 cm
37. A espiral da figura é obtida a partir do triângulo retângulo isósceles ABO cujos catetos medem 
1. Os demais triângulos também são retângulos e têm um cateto de medida 1 e vértice em O. 
Determine as hipotenusas dos triângulos que compõem a espiral e verifique por que razão esta 
figura é chamada de “espiralde raízes quadradas”.
a
O A
B
bc
d
e
f
g
h
i
j k l
m
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
38. Determine a medida de AB em cada caso a seguir.
a) 
3
2
4
BC
A
P
Q
DACB , DPQB → 4
2
 5 CB
3
 → CB 5 0
AB2 5 42 1 62 → AB 5 2 13
b) 2
2
5
ED
C
BA B
DABC , DDCE → AB
2
 5 2
5
AB 5 4
5
Partindo-se do triângulo AOB e aplicando 
sucessivamente o teorema de Pitágoras, 
temos:
a 5 2 ; b 5 3 ; c 5 4 ; d 5 5 ; e 5 
6 e assim sucessivamente.
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49
39. Uma escada de oito degraus está encostada em um muro no ponto H, de tal forma que o 
quarto degrau encontra-se a 2 m do pé da escada e a 2 metros do solo. Determine:
2 m
2 m
a) a que distância do pé do muro está o pé da escada
O ângulo formado pela escada com o chão é de 45° e, a partir do 4o degrau, faltam outros quatro degraus. Logo a escada 
está a 4 m do pé do muro.
b) a que altura do muro está encostada a escada
O triângulo formado pelo pé da escada, o ponto H e o pé do muro é isósceles, de lado 4 m e ângulo da base 5 45°. Logo o 
ponto H está a 4 m de altura.
c) o comprimento aproximado da escada
l2 5 2 ? 42 → l 5 4 2
l > 5,6 m 
40. Determine a altura de uma pessoa, distante 5,3 m de uma árvore de 4,8 m de altura, sabendo 
que sua sombra mede 2 m.
2 m
5,3 m
4,8 m
h
Temos:
h
4,8
 5 2
5,3
h > 1,81 m
h
1
 5 30
1,5
h 5 20m
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50
41. Determine a altura de um prédio, sabendo que seu topo é visto do mesmo ângulo em que 
se observa uma estaca de 1 m de altura, que está a 1,5 m do ponto de observação e a 28,5 m do 
prédio.
1,5 m
1 m 28,5 m
42. Calcule a medida da hipotenusa do triângulo DEF, sabendo que DE // BC.
A
F CB
D E
4655 50
64
45 40
 
DE
64
 5 40
90
 → DE 5 256
9
 > 28,4
DF2 5 (28,4)2 1 462 → DF > 54,1
43. Determine os valores de x e y na figura, sabendo que o raio da circunferência de centro O 
mede 4 cm e que CD é igual 3,6 cm.
A C
D
O
y
x
B
DABC é retângulo em A (AC é tangente à circunferência em A).
DADB é retângulo em D (inscrito na semicircunferência).
DABD , DADC → 8
x
 5 y
3,6
 → x ? y 5 28,8
x2 5 y2 1 3,62 → x2 5 28,8
x
2
 1 12,96 → x4 2 12,96x2 − 829,4 5 0 → x 5 6 cm
6y 5 28,8 → y 5 4,8 cm
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51
44. A diagonal maior do quadrilátero ABCD é perpendicular à menor em seu ponto médio E. 
Determine o comprimento da diagonal maior e o perímetro do quadrilátero, a partir do cálculo 
de x e y.
A
DD
x
y
B
6
9
E
DADC e DACB são retângulos (inscritos na semicircunferência).
EB 5 6 → 62 5 9x → x 5 4
y2 5 62 1 42 → y 5 2 13 cm
Logo
AC 5 (9 1 2 13 ) cm 
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52
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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53
Álgebra
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 6° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Produtos notáveis e fatoração
• Resolução de equações com fatoração
• Equação do 2º grau completa
• Funções 
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UNIDADE 3
PROFESSOR
1. Produtos notáveis e fatoração
2. Equação de segundo 
3. Funções
Os produtos notáveis e as equações do 2° grau são conceitos matemáticos fundamentais em 
diversas áreas da Álgebra, desempenhando um papel crucial na resolução de problemas do mundo 
real e no desenvolvimento do raciocínio lógico. Compreender e dominar esses conceitos é essencial 
para a resolução de equações; e são habilidades previstas na BNCC (EF09MA09). 
Desenvolvimento 
em 3 temas
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 3
Tema 1: Produtos notáveis e fatoração
Ao iniciar a aula, sugerimos que comece com um questionamento aos estudantes: “vocês sabem o 
que são produtos notáveis? Conhecem a propriedade distributiva da multiplicação?”.
Ouça as respostas e complemente que os produtos notáveis são expressões algébricas que 
possuem formas especiais de fatoração. Eles são chamados de notáveis porque são facilmente 
reconhecíveis, devido a suas características específicas. Dominar a identificação e aplicação de 
produtos notáveis é essencial para simplificar expressões e resolver equações de forma eficiente. 
Para esta introdução, você poderá, antecipadamente, assistir ao videoaula "Produtos notáveis 
e fatoração", de modo a ampliar seu repertório de exemplos. Se possível, durante a introdução, 
projete-o para os estudantes. 
Após a introdução, siga até a lousa e escreva: 1° caso – o quadrado da soma. Acompanhe:
1° caso – o quadrado da soma (a + b)²
Explique que podemos utilizar a propriedade da potenciação para desenvolver este produto:
(a + b)² = (a +b) ⋅ (a + b), onde a é o primeiro termo; e b, o segundo termo, sendo a e b ≠ 0. 
Utilize a propriedade distributiva para resolver este produto:
(a 1 b)2 5 (a 2 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 ab 2 ba 1 b2 5 a2 2 2ab 1 b2
2ab
2ba
a2
b 2
Ao concluir a resolução, escreva na lousa a igualdade e destaque as observações conforme a 
imagem: 
 
(a 1 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2 2º termo ao quadrado
1º termo ao quadrado 2 vezes o primeiro vezes o segundo
Utilize exemplos algébricos, como (x + 3)², e desenvolva na lousa:
(x + 3)² = (x + 3) . (x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9 
Realce que, como resultado, temos o 1° termo ao quadrado, mais duas vezes o primeiro termo vezes 
o segundo, mais o quadrado do segundo termo. Conclua que, para todo quadrado da soma, vale:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas 
vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 3
2° caso – o quadrado da soma (a − b)²
Semelhante ao primeiro caso, utilize a propriedade da potenciação para desenvolver este produto:
(a − b)² = (a − b) ? (a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²
Explique que, para esse caso, sempre vale:
 “O quadrado da diferença entre de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo termo”.
Use exemplos algébricos como (x – 2)² e peça para que os estudantes possam verificar. Corrija em 
seguida.
3° caso – o produto da soma pela diferença (a + b) ? (a - b)
Utilize a propriedade da potenciação para desenvolver este produto:
(a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2ab 2 ba 1 b2 5 a2 2 b2
Explique que, para esse caso, sempre vale:
 “O produto da soma pela diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos o quadrado do segundo termo”.
Use exemplos algébricos como (x 1 3) ? (x-3) e peça para que os estudantes possam verificar. 
Corrija em seguida.
(x 1 3) ? (x - 3) = x² − 3x 1 3x – 3² = x² − 3²
Tema 2: Equação do 2° grau 
Explique aos alunos como identificar uma equação do 2° grau. Informe que o nome da equação se 
deve ao maior expoente da variávelx. Na lousa, escreva uma equação genérica do 2° grau e, em 
tal exemplo, nomeie cada coeficiente. Exemplo: ax² 1 bx 1 c = 0. Os coeficientes a, b e c e a ≠ 0. 
Mostre alguns modelos de equações do 2° grau, e utilize como exemplo as contidas nos exercícios 
deste livro. 
Para certificar-se de que os estudantes conseguem identificar as equações do segundo grau e 
seus coeficientes, mostre como encontrar soluções iniciando pela equação do 2° grau do tipo 
ax² = b, que é uma equação do 2° grau incompleta, na qual o coeficiente c é igual a zero. Escreva 
um exemplo, como os contidos no livro, e explique a operação passo a passo. 
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Para equação do 2° grau do tipo ax² 1 bx 1 c = 0 (completa), é interessante questionar se os 
estudantes conhecem uma forma de resolvê-la. Provavelmente, as respostas que obter indicarão a 
fórmula de Bhaskara. Reforce-a, solucionando um exemplo junto com eles. Utilize a resolução da 
equação x² – 5x 16 = 0. Ao encontrar o valor de delta ∆, suspenda o cálculo por um breve instante 
e comente sobre a relação dos possíveis valores de ∆ com a solução da equação.
Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes distintas;
Se ∆ = 0, a equação terá única raiz;
Se ∆ < 0, a equação não terá solução em R.
Continue o cálculo e tire as possíveis dúvidas.
Tema 3: Funções
Ao abordar os conceitos sobre funções, construa a ideia de que uma função é uma relação 
matemática que associa cada elemento de um conjunto de entrada (domínio) a um único elemento 
em um conjunto de saída (contradomínio). Para isso, inicie a abordagem utilizando diagramas que 
relacionam seus elementos. Analisando os diagramas, estimule os estudantes a perceberem que:
• o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis;
• o contradomínio de uma função é o conjunto de valores possíveis de saída;
• a imagem de uma função é o valor associado a um elemento do domínio da função;
• cada valor do domínio deve corresponder a um valor no contradomínio;
• a relação entre os elementos do domínio e contradomínio é representada por uma 
regra matemática ou fórmula. 
Neste ponto, o aluno precisa compreender as funções como relações de dependência unívoca 
entre duas variáveis em suas representações algébricas. Neste sentido, utilize tabelas que associam 
valores de x (entrada) e de y (saída). 
Apresente a denotação de uma função como f(x), onde f é o nome da função e x é a variável de 
entrada.
Na lousa, escreva os exemplos de funções a seguir e solicite que os alunos construam seus 
respectivos diagramas e expliquem qual é a regra de cada função.
• f(x) = 2x. Esta função dobra o valor da entrada.
• f(x) = x². Esta função eleva a entrada ao quadrado.
• f(x) = 3x – 4. Esta função triplica o valor da entrada e subtrai quatro.
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 3
Amplie as investigações, solicitando que os alunos indiquem o conjunto domínio da função, o 
contradomínio e a imagem. Identifique o produto cartesiano formado por todos os pares ordenados 
(x, y). Com essas informações, construa um gráfico para cada função.
Neste ponto, é essencial que o aluno compreenda a relação entre o par ordenado e os pontos no 
gráfico.
Determinação do domínio
A determinação do domínio de uma função é o processo de identificação do conjunto de todos os 
valores válidos ou possíveis que uma variável de entrada (x) pode assumir em uma função.
Informe que, para identificar o domínio de uma função, os alunos podem utilizar estratégias como:
• analisar a expressão da função: comece observando a expressão matemática da função. Verifique 
se há alguma restrição específica na expressão, como raízes quadradas, divisões por zero ou 
outros termos que possam causar problemas;
• identificar as restrições: se houver restrições na expressão da função que podem torná-la 
indefinida, identifique-as. Por exemplo, em uma função f: R → R que contém raiz quadrada não 
denominada, o valor sob a raiz não pode ser negativo;
• determinar os valores válidos: com base nas restrições, determine quais valores da variável de 
entrada (x) são válidos. Por exemplo, se houver uma raiz quadrada não denominada, você deve 
garantir que o valor sob a raiz deva ser maior ou igual a zero.
• declarar o domínio: escrever o conjunto de valores válidos em termos de notação de intervalo ou 
em forma de conjunto. Por exemplo, se o domínio para “todos os números reais exceto x igual 
a 2,” você pode representá-lo como “x ∈ (−`, 2) ∪ (2, `)”.
Evidencie que a determinação do domínio de uma função é fundamental para evitar erros 
matemáticos e para garantir que a função seja aplicada apenas aos valores para os quais ela é 
definida.
Zeros ou raízes de uma função
Os zeros de uma função, também chamados de raízes ou de soluções da função, são os valores de 
entrada que fazem a função retornar um valor de saída igual a zero, ou seja, os zeros de uma função 
são os valores de x para os quais f(x) = 0.
Neste tópico, mostre que para encontrar os zeros de uma função, os estudantes podem aplicar 
diferentes estratégias, dependendo da natureza da função, como: fatoração, aplicação de 
propriedades algébricas, uso de fórmulas, entre outras. Observe os exemplos a seguir:
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Funções polinomiais: os zeros de funções polinomiais podem ser encontrados 
fatorando a expressão ou utilizando o Teorema Fundamental da Álgebra. Por 
exemplo, para a função f(x) = x² − 4, podemos utilizar a fatoração como (x − 2)(x + 2) 
e, em seguida, igualar cada fator a zero para encontrar os zeros, que são x = 2 e 
x = −2.
Funções lineares: para funções lineares, como f(x) = 3x – 5, os zeros podem ser 
encontrados igualando a função a zero. temos:
0 = 3x − 5 → x = 53
Funções exponenciais e logarítmicas: os zeros de funções exponenciais e 
logarítmicas podem ser encontrados resolvendo as equações correspondentes. 
Por exemplo, para a função , podemos resolver , o que não tem solução real, uma 
vez que 2 elevado a qualquer potência é sempre maior que zero.
É importante lembrar que nem todas as funções têm zeros reais; e que, em alguns casos, as soluções 
podem ser números complexos. Além disso, as funções podem ter múltiplos zeros.
Sinais de uma função
Os sinais de uma função referem-se à determinação dos intermediários em que a função é positiva, 
negativa ou igual a zero ao longo do domínio. Isso é feito identificando os intervalos em que a 
função produz valores positivos, negativos ou zero.
Inicie apresentando funções afim e quadráticas, para que os alunos possam averiguar pequenos 
intervalos das funções. Saliente que, para compreender os sinais de uma função, é necessário:
• encontrar o(s) zero(s) da função;
• dividir o domínio em intervalos;
• avaliar o sinal da função em pontos de teste;
• registrar os sinais nos intervalos.
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 3
−
+
1
2
Estudo do sinal de uma função afim Estudo do sinal de uma função quadrática
y
y > 0 y > 0
0 x
1
x
2
x
y > 0
A análise dos sinais de uma função é fundamental para estudar equações e desigualdades 
relacionadas a funções e para determinar situações em que as soluções são positivas, negativas ou 
iguais a zero. 
Funções crescentes e funções decrescentes
Aborde esse tema apresentando gráficos de funções crescentes e decrescentes. De forma dinâmica, 
estimule os alunos a analisar os intervalos de uma função investigando o que acontece com f(x),à 
medida em que x aumenta dentro desse intervalo; ou, o que acontece com f(x), à medidaem que x 
diminui dentro desse intervalo. Saliente que uma função é considerada:
Crescente: quando em um intervalo, à medida que aumentam os valores da variável 
x dentro dele, os valores correspondentes da função f(x) também aumentam.
x1 < x2, então f(x1) ≤ f(x2)
Decrescente: quando em um intervalo, à medida que os valores de x aumentam 
dentro desse intervalo, os valores correspondentes da função f(x) diminuem.
x1 < x2, então f(x1) ≥ f(x2)
Apresente diferentes gráficos e solicite que os alunos façam análises para determinar se a função 
é crescente ou decrescente. Conduza as investigações, estimulando os alunos a estabelecer 
o comportamento de funções crescentes e decrescentes. Se possível, utilize softwares como o 
GeoGebra, para explorar diferentes construções gráficas. 
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
54
Produtos notáveis e fatoração
EF09MA09
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55
Algumas operações com polinômios, como a multiplicação, apresentam características dignas 
de nota, por sua regularidade e pelas relações que ficam estabelecidas entre os coeficientes do 
polinômio resultante, ou seja, do produto. Esses produtos, em função das características notáveis 
dos coeficientes, são denominados produtos notáveis. São eles: quadrado da soma, quadrado da 
diferença e produto da soma pela diferença.
Quadrado da soma
Note o que ocorre quando elevamos uma soma (a 1 b) ao quadrado:
(a 1 b)2 5 (a 1 b) ? (a 1 b) 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2 5 a2 5 a2 1 2ab 1 b2
ab
ba
a2
b2
A característica importante desta operação está nas parcelas do polinômio resultante:
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
↑ ↑ ↑
quadrado 
do 1° termo
1
duas vezes 
o 1° pelo 2°
1
quadrado 
do 2° termo
Observe alguns exemplos:
a) (a 1 3)2 5 a2 1 2 ? a ?3 1 32 5 a2 1 6a 1 9
b) (2a 1 5)2 5 (2a)2 1 2 ? (2a) ? (5) 1 52 5 4a2 1 20a 1 25
c) (x3 1 4y)2 5 (x3)2 1 2 ? x3 ? (4y) 1 (4y)2 5 x6 1 8x3y 1 16y2
d) z 1 1
3
2
 5 z2 1 2 ? 1
3
 ? z 1 1
3
2
 5 z2 1 2z
3
 1 1
9
Quadrado da diferença
Fazemos o mesmo que fizemos com o quadrado da soma, pois (a 2 b)2 pode ser entendido como 
[a 1 (2b)]2. Observe que os termos elevados ao quadrado não se alteram e que o duplo produto 
fica negativo:
Produtos notáveis e fatoração
(a 1 b)2 5 (a 2 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 ab 2 ba 1 b2 5 a2 2 2ab 1 b2
2ab
2ba
a2
b2
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56
A característica importante desta operação está nas parcelas do polinômio resultante:
(a 2 b)2 5 a2 22ab 1 b2
↑ ↑ ↑
quadrado 
do 1° termo
2
duas vezes 
o 1° pelo 2°
1
quadrado 
do 2° termo
Acompanhe alguns exemplos do quadrado de uma diferença:
a) (m 2 3)2 5 m2 2 2 ? m ? 3 1 42 5 m2 2 6m 1 9 
b) (2x2 2 3z)2 5 (2x2)2 − (2x2)(23z) 2 (2x2)(23z) 1 (3z)2 5 4x4 2 12x2z 1 9z2
c) 3a
2
 2 b
3
2
 5 3a
2
2
 22 3a
2
  b
3
 1   b
3
2
 5 9a2
4
 2 ab 1 b2
9
Produto da soma pela diferença
Quando fizemos o quadrado da soma (produto da soma por ela mesma), somamos os quadrados 
dos termos e duas vezes o produto deles. Já no quadrado da diferença (produto da diferença por ela 
mesma), somamos os quadrados dos termos e subtraímos o duplo produto. Observe que, quando 
multiplicamos a soma pela diferença, ocorre a anulação dos produtos dos termos: 
(a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2ab 2 ba 1 b2 5 a2 2 b2
2ab
ba
a2
b2 quadrado 
do 1° termo
quadrado 
do 2° termo2
Assim, o produto da soma pela diferença será igual à diferença entre os quadrados dos termos. Veja 
alguns exemplos:
a) (z 1 3)(z 2 3) 5 z2 − 9
b) (3a3 12)(3a32 2) 5 (3a3)2 2 4 5 3a6 − 4
Chamamos de trinômio quadrado perfeito ao quadrado de uma expressão do tipo (mx 1 n). Assim 
(mx 1 n)2 5 m2x2 1 2mnx 1 n2 é a expressão de um quadrado perfeito, em que m e n são números 
reais diferentes de zero.
Observe alguns exemplos:
a) x2 1 8x 1 16 5 (x 1 4)2
b) 9x2 2 6x 1 1 5 (3x 2 1)2
c) x2 2 2x 1 2 5 (x 1 2 )2
A resolução de equações de 2° grau que apresentam quadrados perfeitos é extremamente simples. 
Veja o exemplo:
x2 1 6x 1 9 5 16
(x 1 3)2 5 16 → x 1 3 5 6 16 → x 1 3 5 64
Para x 1 3 5 4 → x 5 1
Para x 1 3 5 2 4 → x 5 2 7 
Logo, S 5 {27, 1}
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57
Resolvendo equações por fatoração
Quando estudamos produtos notáveis, aprendemos que podemos fatorar algumas expressões 
algébricas, como a diferença de quadrados ou o trinômio quadrado perfeito. Observe os dois casos 
a seguir:
a) x2 2 25 5 (x 1 5)(x 2 5) b) x2 1 8x 1 165 (x 1 4)2
Vamos estudar agora a forma de fatorar um trinômio de 2° grau:
ax2 1 bx 1 c, com a 5 1
Observe a multiplicação a seguir:
(x 2 5) (x 2 4) 5 x2 2 4x 2 5x 1 20 5 x2 2 9x 1 20
Note que, no trinômio de 2° grau obtido, o coeficiente 2 9 é a soma (25) 1 (24) e o coeficiente 20 
(termo independente de x) é o produto (25) ? (24) 5 120.
Será que isto ocorre sempre? Vamos analisar de forma genérica, efetuando a multiplicação (x 1 a)
(x 1 b):
(x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 bx 1 ax 1 ab 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab
De fato, em um trinômio de 2° grau, com coeficiente de x2 5 1, o coeficiente de x será a soma a 1 
b, e o termo independente será o produto ab.
A partir disso, podemos executar a fatoração de um trinômio de 2° grau. Observe o exemplo a 
seguir:
Vamos fatorar o trinômio de 2° grau x2 1 4x 13. 
Precisamos de dois números tais que sua soma seja 4 e seu produto 3. Vamos representar esta 
situação da seguinte forma:
a 1 b 5 4
ab 5 3
Fazendo algumas tentativas, podemos descobrir que, neste caso, a 5 3 e b 51.
Podemos então fatorar o trinômio fazendo:
x2 1 4x 13 5 (x 1 3) (x 11)
A partir de processos de fatoração, podemos resolver, quando possível, uma equação de 2° grau sem 
lançar mão da fórmula de Bhaskara. 
Observe a resolução da equação x2 2 x 2 20 5 0, usando a fatoração.
Para fatorar o trinômio x2 2 x 2 20, precisamos de dois números cuja soma seja 21 e cujo pro-
duto seja 20. Os números que satisfazem essas duas condições são 25 e 4, e o trinômio pode ser 
fatorado como (x 2 5) (x 1 4).
Agora podemos resolver a equação x2 2 x 2 20 5 0, pois:
x2 2 x 2 20 5 0 (x 2 5) (x 1 4) 5 0
Temos novamente duas hipóteses: (x 2 5) (x 1 4) 5 0 
(x 2 5) 5 0 ⇒ x 5 5
ou
(x 1 4) 5 0 ⇒ x 5 24
Portanto as raízes dessa equação são x 5 5 e x 5 24 ou S 5 {5, 24}.
É importante salientar que esse tipo de resolução, que se baseia nos coeficientes do trinômio de 
2° grau, só é recomendável quando conseguimos encontrar os números que nos permitem fatorar 
por cálculo mental. Caso seja muito demorada essa pesquisa, devemos aplicar a fórmula de Bhaskara.
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58
Equação polinomial de 2° grau do tipo ax2 5 b
Equação de 2o grau com incógnita x é toda equação do tipo ax2 1 bx 1 c 5 0, em que a, b e c são 
números reais, e a Þ 0.
Observe algumas resoluções:
a) Vamos, agora, resolver a equação (3x 2 1)2 5 25.
(3x 2 1)2 5 25 → 3x 2 1 5 6 25
3x 2 1 5 6 5
Obteremos as duas raízes, fazendo:
3x 2 1 5 5 → x 5 2
3x 2 1 5 5 → x 5 2 4
3
Assim, S5 2
4
3 , 2
b) Observe agora a equação (x 1 5)2 5 9
Esta equação não terá solução no conjunto dos números reais, pois não existe um monômio que 
elevado ao quadrado resulte 9. Analisando por outro ângulo, não existe no conjunto dos reais 29
. Logo, para esta equação,S 5 [.
Equação polinomial de 2° grau completa 
Fórmula de Bhaskara
O desenvolvimento da fórmula de Bhaskara baseia-se em fazer com que uma equação de 2° grau 
ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0, seja reduzida a um trinômio quadrado perfeito.
D 5 0 → x 5 2b 6 D
2a
 ou x 5 2b 6 b2 2 4ac
2a
Observe os exemplos.
a) x2 2 5x 1 6 5 0 
a 5 1, b 5 25 e c 5 6
D 5 b2 2 4ac 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 6 5 25 2 24
D 5 1
Como D . 0, a equação tem duas soluções:
x 5 2b 6 D
2a
 5 2(25) 6 1
2 ? 1
 5 5 6 1
2  
5 1 1
2 5 3
ou
5 2 1
2 5 2
Portanto as raízes da equação são x 5 3 e x 5 2. 
b) 3x2 1 30 5 0.
3x2 1 30 5 0 → 3x2 5 230 → x2 5 210
Como não existe nenhum número real que, elevado ao quadrado, resulte 210, a equação não tem 
solução. Portanto S 5 [.
EF09MA09
EF09MA09
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59
c) 3x2 27x 5 0.
3x2 27x 5 0 → x(3x 2 12) 5 0  
x 5 3
ou
3x 2 7 5 0 → x 5 5 2 1
2
Portanto as raízes da equação são x 5 0 e x 5 7
3 ou S 5 0; 7
3 .
Atividades
1. Resolva as seguintes equações utilizando a fórmula de Bhaskara.
a) 2x2 1 7x 1 5 5 0
b) x2 1 5x 2 14 5 0
c) x2 2 6x 1 9 5 0
d) 2x2 1 8x 1 9 5 0
e) 2x2 1 3x 1 11 5 0
f) 25x2 2 10x 1 1 5 0
2. Um canteiro retangular tem 4 m de comprimento e 3 m de largura. Ao seu redor, externa-
mente, será feito um passeio de largura x. Há material para cimentar uma área de 30 m2. Para se 
utilizar todo esse material, qual deve ser a largura x desse passeio?
x
x
4 cm
3 cm
3. Efetue as expressões a seguir.
a) (m 1 n)2
b) (c 1 2d)2
c) (2a 1 5)2
d) (3x 1 4y)2
e) a3 (a2 1 6)2
f) (x 1 1)2 2 x(x− 2)
g) (b 1 2) 1 (b 1 1)2 2 (b 2 1)2
a) S 5 21; 2 5
2
b) S 5 {2, 27}
c) S 5 {3}
d) S 5 {9, 21}
e) S 5 [
f) S 5 1
5
a) (m 1 n)2 5 m2 1 2mn 1 n2
b) (c 1 2d)2 5 c2 1 4cd 1 4d2
c) (2a 1 5)2 5 4a2 1 20a 1 25 
d) (3x 1 4y)2 5 9x2 1 24xy 1 16y2
e) a3 (a2 1 6)2 5 a3(a4 1 12 a2 1 36) 5 a7 1 12 a5 1 36 a3
f) (x 1 1)2 2 x(x− 2) 5 x2 1 2x 1 1 2 x2 1 2x 5 4x 1 1
g) (b 1 2) 1 (b 1 1)2 2 (b 2 1)2 5 b 1 2 1 b2 1 2b 1 1 2 b2 1 2b −1 5 5b 1 2
EF09MA08 e EF09MA09 Sempre que possível, separe 
algumas atividades para 
os estudantes resolverem 
em pequenos grupos 
focais, nos quais possam 
ajudar-se mutuamente nas 
resoluções, o que será útil 
para seu desenvolvimento 
no processo de ensino e 
aprendizagem.
A área do retângulo menor é 4 ? 3 5 12 m2.
A área do retângulo maior, em m2, é:
(4 1 2x) (3 1 2x).
A área do passeio é a diferença entre as áreas 
desses retângulos.
Área do passeio 5 (4 1 2x) (3 1 2x) 2 12
Como essa área deve ser de 30 m2, temos:
(4 1 2x)(3 1 2x) 2 12 5 30
equação em x
12 1 8x 1 6x 1 4x2 2 12 5 30 → 
→ 4x2 1 14x 2 30 5 0 2x2 1 7x 2 15 5 0
Esta é uma equação de 2o grau, com 
a 5 2, b 5 7 e c 5 215.
Como se trata de uma medida, desprezamos a 
solução negativa e ficamos com x 5 1,5 m
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60
4. Analise as expressões a seguir e as efetue.
a) (m3 1 1)2
b) (n4 1 3)2
c) (a2 1 10)2
d) (2y4 1 5)2
5. Efetue as expressões.
a) (a 2 7)2
b) (a 2 8)2
c) (5b 2 3)2
d) (5a 2 3b)2
e) (a2 2 3)2
f) (4a2 2 b2)2
6. Efetue.
a) (x 1 7)(x 2 7)
b) (3a 1 2b)(3a 2 2b)
c) (a 1 3 )(a 2 3 )
d) (a3 2 2 )(a3 1 2 )
7. Efetue.
a) 2x2 2 1
5
  2x2 2 1
5
b)   3m2n 2 n2
2
2
8. Descubra o que deve substituir = em cada igualdade a seguir.
a) (a 1 2)2 5 a2 1 = 1 4
b) m2 2 = 5   m 1 1
3
  m 2 1
3
c) a2 2 = 5 (a 1 4)(a 2 4) 
d) y2 2 12y 1 = 5 (y 2 6)2 
e) (3a 2 2)2 5 = 2 12a 1 4
9. Substitua cada polinômio por um produto.
a) a2 2 256 5 
b) x2 2 x 1 1
4
 5
c) 4x2 1 x
2
 1 1
16
 5
d) x2 2 y8 5
10. A seguir, cada trinômio é o quadrado de uma expressão, representada por . Qual é essa 
expressão?
a) x2 1 8x 1 16 5 ( )2
b) x2 2 10x 1 25 5 ( )2
c) 4x2 1 12x 1 9 5 ( )2
d) 16x2 2 8x 1 1 5 ( )2
a) (m3 1 1)2 5 m6 1 2m3 1 1
b) (n4 1 3)2 5 n8 1 6n4 1 9
c) (a2 1 10)2 5 a4 1 20 a2 1 100 
d) (2y4 1 5)2 5 4y8 1 20y4 1 25
a) (a 2 7)2 5 a2 2 14a 1 49
b) (a 2 8)2 5 a2 2 16a 1 64
c) (5b 2 3)2 5 25b2 −30b 1 9
d) (5a 2 3b)2 5 25a2 −30ab 1 9b2
e) (a2 2 3)2 5 a4 − 6a2 1 9
f) (4a2 2 b2)2 5 16a4 − 8a2b2 1 b4
a) (x 1 7)(x 2 7) 5 x2 − 49
b) (3a 1 2b)(3a 2 2b) 5 9a2 2 4b2
c) (a 1 3 )(a 2 3 ) 5 a2 2 3
d) (a3 2 2 )(a3 1 2 ) 5 a6 2 2
a) 2x2 2 1
5
  2x2 1 1
5
 5 4x4 2 1
5
b) 3m2n 2 n3
2
 5 9m4n2 2 3m2n4 1   n
6
4
a) (a 1 2)2 5 a2 1 = 1 4 → = 5 4a
b) m2 2 = 5 m 1 1
3
  m 2 1
3
 → = 2 1
9
c) a2 2 = 5 (a 1 4)(a 2 4) → = 5 16
d) y2 2 12y 1 = 5 (y 2 6)2 → = 5 36
e) (3a 2 2)2 5 = 2 12a 1 4 → = 5 9a2
a) a2 2 256 5 (a 1 16)(a − 16)
b) x2 2 x 1 1
4
 5 x 1 1
4
 
2
 
c) 4x2 2 x
2
 1 1
16
 5 2x 1 1
4
 
2
 
d) x2 2 y8 5 (x 1 y4)(x 2 y4)
a) x 1 4
b) x 2 5
c) 2x 1 3 
d) 4x 2 1 
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61
11. A expressão dada é um trinômio quadrado perfeito. Qual é o monômio que está no lugar 
de ?
a) x2 1 1 36
b) 4x2 2 1 36
c) x2 2 1 49
d) 9x2 1 1 49
12. Qual é o monômio de 2o grau que deve ser colocado no lugar de para que a expressão 
dada seja um trinômio quadrado perfeito?
a) 2 16x 1 64
b) 2 16x 1 4
c) 1 44x 1 121
d) 2 44x 1 4
13. Com x [ R, resolva as equações.
a) x2 2 6x 1 9 5 49
b) x2 1 2x 1 1 5 100
c) 4x2 2 36x 1 81 5 9
d) 9x2 1 30x 1 25 5 216
14. Fatore os trinômios de 2° grau.
a) x2 2 6x 1 8
b) x2 1 10x 1 21
c) x2 2 3x 2 10
d) x2 2 x 2 30 5 0 
15. Quando for possível, fatore:
a) 5x2 2 15x 1 10
b) 2x2 24x 2 4
c) x2 1 x 1 1
d) 2x2 2 1
e) 24x2 1 16x 2 15
f) 3x2 1 7x 1 5
16. Simplifique a expressão x2 1 x 2 6
x2 2 5x 1 6
.
x2 1 x 2 6 5 (x 1 3) (x 2 2) e
x2 2 5x 1 6 5 (x 2 2) (x 2 3)
Então:
x2 1 x 2 6
x2 2 5x 1 6 5 (x 1 3)(x 2 2)
(x 2 2)(x 2 3) 5 x 1 3
x 2 3
17. Resolva as equações a seguir sem utilizar a fórmula de Bhaskara.
a) x2 2 8x 1 15 5 0
b) x2 2 9x 1 14 5 0
c) x2 1 6x 1 8 5 0
d) x2 1 12x 1 11 5 0
e) x2 2 5x 1 6 5 0
f) x2 1 5x 2 6 5 0
g) x2 2 x 2 12 5 0
h) x2 2 14x 2 32 5 0
i) x2 2 12x 1 36 5 0
j) x2 1 4x 1 4 5 0
18. Resolva as equações tentando, inicialmente, não utilizar a fórmula de Bhaskara. 
a) x2 2 13x 1 12 5 0
b) x2 1 10x 1 21 5 0
c) 2x2 2 7x 1 6 5 0
d) x2 1 x 2 56 5 0
e) x2 2 5x 1 71 5 0
f) x2 2 14x 1 49 5 0
g) x2 2 12x 1 20 5 0
a) 12x
b) 12x
c) 14x
d) 42x
a) x2
b) 4x2
c) x2
d) 121x2
a) S 5 {0, 6}
b) S 5 {210, 8}
a) 5 (x 2 1) (x 2 2)
b) 2 (x 1 2)2
c) Não é possível fatorar.
a) (x 2 2)(x 2 4)
b) (x 1 3)(x 1 7)
c) (x 1 2)(x 2 5)
d) 2 x 2 1
2
 (x 1 3)
d) 2 x 1 2
2
  x 2 2
2
e) 24 x 2 3
2   x 2 5
2
f) Não é possível fatorar.
a) S 5 {3, 5}
b) S 5 {2, 7}
c) S 5 {22, 24}
d) S 5 {21, 211}
e) S 5 {2, 3}
f) S 5 {1, 26}
g) S 5 {4, 23}
h) S 5 {16, 22}
i) S 5 {6}
j) S 5 {22}
a) S 5 {1, 12}
b) S 5 {23, 27}
c) S 5 2, 3
2
d) S 5 {7, 28}
e) S 5 [
f) S 5 {7}
g) S 5 {2, 10}
c) S 5 {3, 6}
d) Não tem solução real.
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62
Funções: representações 
numérica, algébrica e gráfica 
Dados os conjuntos A e B, uma função f: A → B (lê-se “uma função de A em B”) é uma lei, regra 
(ou conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento x [ A, denominado variável da 
função, um único elemento y 5 f(x) [ B. O conjunto A chama-se domínio, e B é o contradomínio da 
função f. 
Veja alguns exemplos de representação de funções de A em B em diagramas:
1
A B
f
f
f
A B
A B
1
1
–1
1
1
1
0
2 2
2
2
2
3 3
3
0
0
3
3
4 4
4
4
56
Observe que em cada diagrama todo elemento de A tem um único correspondente em B.
–1
A
Bf
Im
1
1
2
–2
3
2
4
5
O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é chamado de conjunto imagem (Im). Nesse 
caso, representamos os conjuntos Domínio (D), Contradomínio (CD) e Imagem (Im) da seguinte 
forma:
D 5 {22, 21, 1, 2}
CD 5 {1, 2, 3, 4, 5}
Im 5 {1,2}
EF09MA06
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63
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função f: A → B é o subconjunto G do produto cartesiano A × B formado por to-
dos os pares ordenados (x, y), em que x é um ponto qualquer do conjunto A, e y 5 f(x) é um ponto 
do conjunto B. Veja como representamos o conjunto G de forma simbólica:
G 5 {(x, y) [ A × B | y 5 f(x)}
Para construir gráficos de funções definidas por leis y 5 f(x), montamos uma tabela a partir de al-
guns valores x do domínio, obtendo y através da fórmula da função. A cada par (x, y) associamos um 
ponto no plano cartesiano. O conjunto de todos os pontos (x, y) será o gráfico de f(x). O domínio 
será representado no eixo x, também chamado de eixo das abscissas, e o contradomínio, no eixo y, 
chamado de eixo das ordenadas.
Acompanhe atentamente os exemplos a seguir:
a) Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 2}, B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a função f: A → B definida pela lei 
f 5 {(x, y) [ A × B | y 5 2x 1 1}, vamos obter os pares ordenados de f, o domínio, o conjunto imagem 
e representar a função na forma de diagrama e no plano cartesiano. Iniciamos pela construção da 
tabela que relaciona x e y 5 2x 1 1:
x [ A y [ B e y 5 2x 1 1
0 y 5 2 ? 0 1 1 5 1
1 y 5 2 ? 1 1 1 5 3
2 y 5 2 ? 2 1 1 5 5
Observe na tabela que os pares ordenados de f são (0, 1); (1, 3) e (2, 5)
Como o domínio é formado pelos primeiros elementos dos pares, e a imagem pelos segundos ele-
mentos, teremos:
D 5 {0, 1, 2} e Im 5 {1, 3, 5}.
Conhecendo-se os pares ordenados, podemos representar a função em um diagrama e também no 
plano cartesiano.
fA B
2
1 01
30
2
4
5
Representação da função em diagrama.
0
1
1 2
y
x
2
3
4
5
Representação da função no plano cartesiano.
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64
b) Dizemos que uma função é de variável real quando seu domínio e seu contradomínio são o 
conjunto dos números reais. Seja, por exemplo, f: R → R, uma função de variável real, definida pela 
lei f(x) 5 x2 2 3x. 
Para essa função, podemos determinar, por exemplo, a imagem de 22 substituindo x por 22 e na 
lei da função e efetuando os cálculos.
f(22) 5 (22)² 2 3(22) 5 10
Da mesma forma, se substituirmos x por 0, obteremos f(0), que é a imagem de zero.
f(0) 5 0² 2 3(0) 5 0
c) Neste exemplo, vamos obter o valor da variável x, conhecendo-se sua imagem. Seja a função f: 
R → R definida pela lei f(x) 5 3x 14. Qual o valor de x cuja imagem é zero? 
Para encontrar o elemento do domínio que tem imagem igual a zero, igualamos a função a zero. 
f(x) 5 0
3x 1 4 5 0 → 3x 5 24
x 5 2
4
3
Logo para x 5 2
4
3 , temos f 2
4
3 5 0.
Você consegue perceber que, nesse caso, resolvemos uma equação? Por essa razão, quando temos 
um elemento do domínio cuja imagem é zero, ele é chamado de raiz da função, pois, para encontrá-
lo, resolvemos a equação f(x) 5 0.
d) Considere a função f: A → B, em que A 5 {22, 21, 1, 2}, B 5 {21, 0, 1, 2, 3, 4} e f(x) 5 x 1 1. 
Vamos construir seu gráfico.
Inicialmente organizamos uma tabela em que substituímos x por 22, 21, 1 e 2, efetuamos o cálculo 
e obtemos y 5 f(x):
x f(x) 5 x 1 1
⇒
X f(x)
22 22 1 1 5 21 22 21
21 21 1 1 5 0 21 0
1 1 1 1 5 2 1 2
2 2 1 1 5 3 2 3
Em seguida, representamos os pares ordenados no plano obtendo, assim, o gráfico.
0
1
–1
1–1–2 2
f(x)
x
2
3
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65
e) Vamos agora esboçar o gráfico de uma função de variável real. Seja a função f: R → R, por 
y 5 22x 1 1.
Para organizar a tabela de valores, escolhemos alguns valores, já que o domínio é o conjunto infinito 
dos números reais. Depois, efetuamos os cálculos e obtemos y.
x f(x) 5 x 1 1
⇒
X f(x)
22 22 ? (22) 1 1 5 5 22 5
21 22 ? (21) 1 1 5 3 21 3
0 22 ? 0 1 1 5 1 0 1
1 22 ? 1 1 1 5 21 1 21
2 22 ? 2 1 1 5 23 2 23
Representamos esses pares ordenados no plano.
0
1
–1
–2
–3
1
–1–2
2
y
x
2
3
4
5
A tabela mostra que os pontos (22, 5), (21, 3), (0, 1), (1, 21) e (2, 23) que pertencem ao gráfico são 
alinhados, isto é, pertencem todos a uma mesma reta. Como a função é de variável real, podemos 
traçar a reta que passa pelos pontos.
0
1
–1
–2
–3
1
–1–2
2
y
x
3
2
4
5
É possível demonstrar que esses pontos estão na mesma reta, isto é, que o gráfico dessa função é 
uma reta. Veremos mais adiante que isso sempre irá ocorrer para funções de variáveis reais do tipo 
y 5 f(x) 5 ax 1b.
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
66
Determinação do domínio de uma função
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67
O domínio de uma função de variável real pode ser determinado verificando-se quais são os valores 
que a variável real pode assumir na fórmula da função. Por essa razão, o domínio de uma função é 
também chamado domínio de validade ou de existência da função. Observe nos exemplos como 
podemos determinar o domínio de uma função.
a) f(x) 5 2x 1 1
Nesse caso, qualquer x [ R pode ser operado por f(x) 5 2x 1 1, existindo, assim, uma imagem 
correspondente. 
Logo D 5 R.
b) f(x) 5 
1
x 2 2
Em f(x) 5 
1
x 2 2 , o domínio da função é obtido impondo-se a condição de existência da fração, ou 
seja, o denominador deve ser diferente de zero. Assim:
x 2 2 Þ 0, portanto x Þ 2
Logo D 5 {x [ R | x Þ 2}
c) f(x) 5 x 1 1
O domínio de f(x) 5 x 1 1 é obtido impondo-se a condição de existência do radical, ou seja, o 
radicando deve ser maior que zero ou igual a zero. Podemos, então, escrever:
x 1 1 > 0, portanto x > 21
Logo D 5 {x [ R | x > 21}
Também é possível determinar o domínio e a imagem de uma função a partir de seu gráfico. Observe 
o exemplos.
Considere uma função que tem o seguinte gráfico:
0
–1
–5 6
y
x
4
Para obtermos o domínio e a imagem a partir do gráfico, projeta-se a curva nos eixos Ox e Oy, 
respectivamente.
0
–1
–5 6
y
D
lm
x
4
O domínio será dado pela projeção no eixo Ox, e a Imagem pela projeção no eixo Oy:
D 5 {x [ R | 25 < x < 6}
Im 5 {y [ R | 21 < y < 4}
Determinação do domínio 
de uma função
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68
Zeros ou raízes de uma função
Denomina-se zero ou raiz de uma função todo valor de x [ D tal que f(x) 5 0.
Isso equivale a dizer que os zeros de uma função são os valores de x para os quais y 5 0. Por essa 
razão, os zeros ou raízes da função são os pontos em que seu gráfico cruza o eixo Ox. 
Suponha, por exemplo, o gráfico de y 5 f(x) a seguir:
Ox1 x2 x3
y
x
f(x1) 5 0
f(x2) 5 0
f(x3) 5 0
 ⇒ x1, x2 e x3 são os zeros da função ou as raízes da equação f(x) 5 0.
Para calcular os zeros ou raízes, deve-se igualar a função a zero e resolver a equação obtida. Veja 
outros exemplos de obtenção dos zeros de uma função:
a) f(x) 5 2x 1 4
2x 1 4 5 0 ⇒ x 5 22
b) f(x) 5 x2 2 3x 1 2
x2 2 3x 1 2 5 0 
Calculamos inicialmente D 5 b2 2 4ac. Assim, temos:
x2 2 3x 1 2 5 0
D 5 b2 2 4ac 5 (23)2 2 4 ? 1 ? 2 5 9 2 8 5 1
Depois, obtemos x 5 2(23) 6 1
2
, ou seja:
x 5 3 1 1
2
 5 2 ou x 5 3 2 1
2
 5 1
Logo os zeros da função são 2 e 1, o que equivale a dizer que seu gráfico cruzará o eixo Ox em dois 
pontos.
c) f(x) 5 x 1 1 2 4
Temos aqui uma equação irracional. Lembre-se que resolvemos esse tipo de equação elevando 
ambos os membros ao quadrado:
( x 1 1 )2 5 4² ⇒ x 1 1 5 16 ⇒ x 5 15É necessário verificar se a solução x 5 15 satisfaz a condição de existência do radical. Para tanto, 
substituímos esse valor na função:
f(15) 5 15 1 1 2 4
f(15) 5 16 2 4 5 4 2 4 5 0
Como está verificada a condição de existência, 15 é o zero da função.
d) Dada a função f(x) 5 2x 1 k, vamos determinar o valor de k para que 2 3 seja o zero da função.
Como 2 3 é o zero da função, podemos escrever a seguinte equação:
f(23) 5 0 ⇒ 2 ? (23) 1 k 5 0 ⇒ k 5 6
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69
Sinais de uma função
Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores de x, do domínio da função, 
teremos y 5 f(x) positivo, negativo ou nulo.
Graficamente, o estudo do sinal é feito localizando-se os pontos que estão acima, abaixo ou no eixo 
das abscissas, pois, assim, saberemos se y 5 f(x). Veja o gráfico a seguir:
Ox1 x2 x3
+ +
– –
y
x
Para os valores x do domínio, menores do que x1 ou entre x2 e x3, a imagem assume valores 
negativos, pois o gráfico está abaixo do eixo Ox. Assim, podemos escrever:
x , x1 ou x2 , x , x3 ⇒ y , 0
Para os valores x do domínio, entre x1 e x2 ou maiores do que x3, a imagem assume valores positivos, 
pois o gráfico está acima do eixo Ox. Então, escrevemos:
x1, x , x2 ou x . x3 ⇒ y . 0
E, como vimos há pouco, os valores x1, x2 e x3 do domínio, onde o gráfico “corta” o eixo Ox, são os 
zeros ou raízes da função.
x 5 x1 ou x 5 x2 ou x 5 x3 ⇒ y 5 0
Observe, por exemplo, o gráfico da função y 5 f(x) a seguir. Vamos, a partir dele, fazer o estudo do 
sinal:
0 2 7
y
x
Primeiramente notamos que os zeros da função são 2 e 7. Depois, localizamos os pontos do gráfico 
que estão acima ou abaixo do eixo x.
0 2 7
y
y > 0 y > 0
y < 0
x 0 2 7
y
y > 0 y > 0
x
Observe que as raízes são 2 e 7 e que, para x menor que 2 ou para x maior que 7, temos y acima do 
eixo das abscissas, e que, para x entre 2 e 7, y está abaixo do eixo das abscissas. Podemos, então, 
escrever:
x , 2 ou x . 7 ⇒ y . 0
x 5 2 ou x 5 7 ⇒ y 5 0
2 , x , 7 ⇒ y , 0
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70
Funções crescentes e funções decrescentes
Uma função y 5 f(x) é crescente em um intervalo de seu domínio se, para quaisquer x1 e x2 desse 
intervalo, ocorrer:
x1 . x2 ⇒ f(x1) . f(x2)
Veja o gráfico de uma função crescente. Note que, para x2 . x1, temos f(x2) . f(x1).
0
f(x2)
y
xx1
f(x1)
x2
Uma função y 5 f(x) será decrescente em um intervalo contido no domínio D se, para quaisquer x1 
e x2 desse intervalo, ocorrer:
x2 . x1 ⇒ f(x2) , f(x1)
Veja o gráfico de uma função decrescente, pois, para x2 . x1, temos f(x2) , f(x1).
0
f(x2)
y
xx1
f(x1)
x2
Uma mesma função pode ser crescente em um intervalo do domínio e decrescente em outro 
intervalo. Pode também ser uma função constante, caso, em um intervalo, não haja nem crescimento 
nem decrescimento. Veja, por exemplo, a análise dos intervalos de crescimento ou decrescimento 
da função representada pelo gráfico a seguir.
0
y
x
–3
1
3 112
8
• f é crescente para 
23 < x < 1
11
2 < x < 8
• f é decrescente para 1 < x < 3
• No intervalo de 3 a 11
2 , a função não cresce nem decresce. Por essa razão, f é constante para 
3 < x < 11
2 .
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71
19. Seja f: R → R uma função definida pela lei f(x) 5 x2 2 x 1 1. Determine:
a) f(0)
f(0) 5 02 2 0 1 1 5 1
b) f 
1
2
c) f( 2 )
f( 2 ) 5 ( 2 )2 2 2 1 1 5 3 2 2
20. Determine o conjunto-imagem da função f: A → B, sendo A 5 {22, 0, 2}, 
B 5 {0, 1, 2, 3, 4} e f(x) 5 x2.
f(−2) 5 4; f(0) 5 0; f(2) 5 4
Im 5 {0, 4}
21. Dados os conjuntos A 5 {x [ Z | 23 < x < 2} e B 5 {x [ Z | 25 < x < 5}, determine o 
conjunto-imagem das funções f: A → B definidas pelas leis:
a) y 5 f(x) 5 x
Im 5 {y [ Z | 23< y < 2}
b) y 5 f(x) 5 2x 1 1
Im 5 {y [ Z | 25< y < 5}
22. Sabendo que f: R → R é definida por f(x) 5 2x 2 8, determine quais elementos do domínio 
têm as seguintes imagens:
a) 22
− 2 5 2x − 8 → x 5 3 b) 
2
5
− 2
5
 5 2x − 8 → x 5 38
10
Atividades EF09MA06
f 1
2
2
 2 1
2
 1 1 5 2 3
4
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72
23. Construa o gráfico das seguintes funções f: R → R.
a) f(x) 5 x 1 2
O gráfico será:
0
2
4
x
y
2
b) f(x) 5 x 2 2
O gráfico será:
0
2
x
y
2
c) f(x) 5 2x 1 2
O gráfico será:
0
2
6
x
y
2
d) f(x) 5 2x 1 
1
2O gráfico será:
0 x
y
1
2
7
2
3
2
24. Um pesquisador descobriu que a população de peixes de um lago f(x) variava em função dos 
x meses do ano, segundo a lei f(x) 5 210x2 1 100x 1 p, em que p representa a população dos 
peixes no início do ano.
a) Se em janeiro de 2011 a população inicial de peixes era p 5 2 000, qual seria a população do 
lago em abril (x 5 4) e junho (x 5 6) desse ano? 
f(x) 5 210x2 1 100x 1 2 000
f(4) 5 210 ? 42 1 100 ? 4 1 2 000 5 2 560
f(4) 5 210 ? 62 1 100 ? 6 1 2 000 5 2 960
b) Em que mês de 2011 a população atingiria 2 210 peixes?
2 210 5 210x2 1 100x 1 2 000
210x2 1 100x 1 2 000 2 2 210 5 0 
x2 2 10x 1 21 5 0
D 5 16 → x 5 10 6 4
2
 → x 5 3 (em março) e x 5 7 (em julho)
25. Determine o domínio de cada uma das seguintes funções de variáveis reais:
a) f(x) 5 x2 2 3x 1 2
D 5 R
b) f(x) 5 x3
D 5 R
c) f(x) 5
1
xD 5 R*
d) f(x) 5
1
x 2 3
x 2 3 Þ 0 → x Þ 3 → D 5 {x [ R / x Þ 3}
e) f(x) 5 2x 2 7
2x 2 7 > 0 → x > 7
2
 → D 5 {x [ R / x > 7
2
}
f) f(x) 5 x
4 2 x
4 2 x . 0 → x , 4 → D 5 {x [ R / x , 4}
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73
26. Qual é o domínio e a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos?
a) 
0–5/2
–5/2
–4
5
–7 6
y
x
b) 
0
4
–2 2
y
x
c) 
O
y
x
27. Determine os zeros das funções de variáveis reais.
a) f(x) 5 2x 2 6
2x 2 6 5 0 → x 5 3
b) f(x) 5 3x 1 12
3x 1 12 5 0 → x 5 − 4
c) f(x) 5 x2 2 4x 2 5
D 5 36 → x 5 4 6 6
2
 → x1 5 21 e x2 5 5
d) f(x) 5 2x2 1 3x 1 1
D 5 1 → x 5 23 6 1
4
 → x1 5 21 e x2 5 1
2
28. Obtenha os zeros das funções de variáveis reais.
a) f(x) 5 3x 1 1 2 5
3x 1 1 2 5 0 → 3x 1 1 5 5
3x 1 1 5 25 → x 5 8 (que satisfaz a equação original)
b) f(x) 5 2x 1 1 x 1 4
2x 1 1 2 x 1 4 5 0 → 2x 1 1 5 x 1 4
2x 1 1 5 x 1 4 → x 5 3 (que satisfaz a equação original)
29. Calcule m para que o valor indicado de x seja o zero da função f.
a) x 5 1 e f(x) 5 m2x 2 9 5 0
f(1) 5 0 → m2 2 9 5 0 → m 5 63
b) x 5 3 e f(x) 5 mx 1 3
x 1 1
 5 0
f(3) 5 0 → 3m 1 1
4
 5 0→ 3m 1 3 5 0 → m 5 −1
D 5 {x [ R / −7 < x < 7}
Im 5 {y [ R / −4 < y < 5}
D 5 R
Im 5 {y [ R / y < 4}
D 5 Im 5 R*
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74
30. A partir dos gráficos, indique, se existirem, os zeros das funções.
a) 
0
4
1 4
–9/4
5/2
y
x
b) 
0 1
y
x
c) 
0 1–1
1
5
y
x
d) 
0 2
y
x
31. Faça o estudo do sinal de cada função representada nos gráficos a seguir.
a) 
0 2
y
x
b) 
0 2 9/2–5/2
–5 7/2
y
x
y 5 0 para x 5 1 ou para x 5 4 → logo 1 e 4 são zeros da função y 5 f(x).
x tal que y 5 0, logo y 5 f(x) não tem raízes reais.
x tal que y 5 0, logo y 5 f(x) não tem raízes reais.
y 5 0 para x 5 2 → logo 2 é zero ou raiz da função y 5 f(x).
x , 2 ⇒ y . 0
x 5 2 ⇒ y 5 0
x . 2 ⇒ y, 0
−5 < x , 2 5
2 → y , 0
x 5 2 5
2 → y 5 0
2
5
2 , x (2 → y) 0
x 5 2 → y 5 0
2 , x , 7
2 → y , 0
x 5 7
2 → y 5 0
7
2 , x < 9
2 → y . 0
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75
c) 
0 1–1
1
5
y
x
d) y
xO
e) 
O
y
x
f) y
x0 1
32. Faça o gráfico das funçõese verifique se elas são crescentes, decrescentes ou constantes.
a) f(x) 5 2x 2 1
y
x1
–1
0
1
Para todo x [ R, f(x) é crescente.
b) f(x) 5 22x 1 3
y
x3
2
0
3
Para todo x [ R, f(x) é decrescente.
33. Faça o gráfico das funções e verifique se elas são crescentes, decrescentes ou constantes.
a) f(x) 5 x2
a) f(x) 5 x2
y
x0
f(x) é decrescente para x , 0 e crescente para x.0.
b) f(x) 5 5
b) f(x) 5 5
x
y
0
5
f(x) é constante.
21 < x < 5 → y . 0
x R → y , 0
x , 0 → y , 0
x 5 0 → y 5 0
x . 0 → y . 0
0 , x , 1 → y , 0
x5 1 → y 5 0
x . 1 → y . 0
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76
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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77
Grandezas 
e medidas
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 6° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Prefixos de unidades de medidas
• Áreas e volumes em um prisma
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UNIDADE 4
PROFESSOR
1. Prefixos de unidades de medida
2. Medidas de áreas e volume em um prisma
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 4
Tema 1: Prefixos de unidades de medidas
Antes de trabalhar o conteúdo, verifique o conhecimento prévio dos estudantes, fazendo questio-
namentos sobre medidas as quais eles consigam acesso ou relativas a objetos que façam parte de 
seu cotidiano, como por exemplo: qual o comprimento de um lápis? Qual a distância aproximada da 
porta da sala até a mesa do professor? Qual a distância da sua cidade até uma cidade próxima?. Após 
essas perguntas, questione-os sobre medidas exageradamente grandes, fazendo perguntas como: 
quantos bytes tem uma memória de 2 gigas?. 
Permita que usem recursos eletrônicos para consulta e conclua esta introdução fornecendo os va-
lores: 2 Gb equivalem a 2 000 000 000 de bytes. O prefixo Giga significa o mesmo que 1 milhão, 
e o utilizamos para facilitar a escrita e os cálculos: assim, 1.000.000.000 pode ser escrito na forma 
de potência de base 10. Escreva na lousa a igualdade 2 Gb = 2 ⋅ 109. Essa escrita facilitará a visua-
lização e o entendimento do aluno de que Gb = 109.
Informe que também temos números muito pequenos que são representados por prefixos, como o 
nano, que é uma parte de um bilhão (0,000000001), ou seja, é tão pequeno que se torna grande para 
escrever ou para calcular. O nano pode ser escrito em potência de base 10. Logo, 1 nano = 1 ⋅ 10−9. 
Após as explicações, apresente a tabela de prefixos fornecida no livro. Realce que todas podem ser 
escritas em notação científica (base 10) o que facilita a escrita e também o cálculo, já que nesse 
caso utilizamos regras de potência. Faça na lousa algumas operações entre potências de mesma 
base para que os alunos recordem tal procedimento. 
Destaque o produto de potências da mesma base, onde conservamos a base e adicionamos os 
expoentes. Exemplo:
 105 3 103 = 10(5 1 3) = 108
Destaque, também, a divisão de produtos de mesma base, onde conservamos a base e subtraímos 
os expoentes. Exemplo:
105 3 103 = 105 2 3 = 102
Conclua com exemplos de conversão. Lembre-se de que a notação científica deve ser escrita sem-
pre na forma de Mx, onde M é chamado de Mantissa e 0 < M < 10, ou seja, sempre será um número 
entre 0 e 10. Exemplo:
1.230.000 pode ser escrito como 1,23 3 106
 Nesse caso, para termos um número entre 0 e 10, colocamos a vírgula após o 1. Verificamos que, 
do final do número até a atual posição, foram andadas 6 casas decimais, então o expoente é 6. 
1.230.000 = 1,23 3 106 = 1,23 mega
6 casas decimais
Esclareça que esse procedimento só altera a unidade, porém a nova unidade mantém o mesmo 
valor que a anterior. Demonstre isso fazendo a operação reversa:
 1,23 3 106 = 1,23 3 1.000.000 = 1.230.000
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 4
O mesmo procedimento pode ser utilizado com medidas como:
0.000013 = 1,3 3 1026 = 1,3m (micro)
6 casas decimais
Tema 2: Medidas de áreas e volume em um prisma
Utilize as imagens fornecidas no livro para apresentar a definição de um prisma e, se possível, 
utilize projetor para compartilhar com os estudantes. Leve um prisma — pode ser uma caixa de suco 
ou de leite — para a aula. Explique que, quanto à classificação, um prisma pode ser reto ou oblíquo. 
A caixa que você levou representa um prisma reto e, quando ela está sobre um plano (a mesa, por 
exemplo), forma-se um ângulo de 90°; já no prisma oblíquo, forma-se um ângulo oblíquo. Faça um 
desenho na lousa ou, se possível, uma projeção.
Desenhe dois ou três prismas retos como os da imagem a seguir:
O prisma é um poliedro que, dentre suas características, podemos destacar que, dentre suas faces, 
duas são iguais (uma delas chamamos de base) e as demais são as faces laterais, que possuem 
formato retangular.
A nomenclatura dos prismas é dada pelo nome do polígono da base. Por exemplo, o nome dos 
modelos que indicamos desenhar na lousa são: prisma triangular, prisma quadrangular e prisma 
pentagonal. Quando o prisma possui uma figura regular na base, por exemplo, um quadrado, 
chamamos de prisma quadrangular regular.
Junto com os prismas, estudamos outros dois sólidos: o paralelepípedo e o cubo. O paralelepípedo 
é um prisma com todas as faces retangulares; já o cubo, destaca-se por ter suas seis faces iguais.
Para explicar o cálculo da área de um prisma, você poderá levar um prisma planificado ou desenhar, 
na lousa, a planificação de um prisma, conforme a imagem a seguir. Este tipo de imagem permite 
que o estudante visualize as partes de um prisma e compreenda melhor o seu cálculo.
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No prisma triangular regular da figura acima, temos de base um triângulo equilátero e três faces 
laterais com a mesma medida. A área do triângulo equilátero é dada por l2 7
4
, e área do retângulo 
por b x h. Logo, a área total desse prisma é dada por:
Área total = 2 ? l2 7
4
 + 3 ? (b x h) área lateral
Dessa observação, podemos ter uma fórmula geral para a área do prisma:
 At = 2 ? Ab + At , onde At = área total, Ab = área da base e Al= área lateral
O volume de um prisma é dado sempre em função da sua altura. Logo, o volume de um prisma 
sempre será a área da base vezes a sua altura. Veja:
 V = Ab ? h
área da base
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
78
Prefixos de unidades de medida
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79
Algumas áreas do conhecimento lidam com comprimentos muito pequenos e precisam utilizar pre-
fixos do metro, como o micrômetro e o nanômetro.
O prefixo micro indica 1026 cujo símbolo é m (letra grega “mi”), portantoo micrômetro é uma uni-
dade de medida que equivale a 1026 do metro e é representado por mm:
1 mm 5 1026 m
Ou:
1 mm 5 1
1 000 000 m
O nanômetro seria 10-9 m, ainda menor que o micrômetro.
Por sua vez, outras áreas do conhecimento lidam com valores muito grandes, como as distâncias 
entre planetas e as interestelares.
A distância de 40 000 000 000 000 000 metros entre o Sol e a estrela mais próxima do Sistema So-
lar, a Próxima Centauri, que equivale a 40 ? 1015 m, pode ser escrita utilizando-se prefixo: 40 pm.
No cotidiano, utilizamos várias unidades de medida já com prefixos, como as de comprimento: 
quilômetro (km), centímetro (cm) e milímetro (mm). A tabela a seguir contém os principais prefixos 
utilizados para medidas de grandezas muito pequenas ou muito grandes:
Prefixo Potência de 
base 10 Valor decimalNome Símbolo
iocto y 10−24 0,000 000 000 000 000 000 000 001
zepto z 10−21 0,000 000 000 000 000 000 001
atto a 10−18 0,000 000 000 000 000 001
femto f 10−15 0,000 000 000 000 001
pico p 10−12 0,000 000 000 001
nano n 10−9 0,000 000 001
micro m 10−6 0,000 001
mili m 10−3 0,001
centi c 10−2 0,01
deci d 10−1 0,1
100 1
deca da 101 10
hecto h 102 100
quilo k 103 1 000
mega M 106 1 000 000
giga G 109 1 000 000 000
tera T 1012 1 000 000 000 000
peta P 1015 1 000 000 000 000 000
exa E 1018 1 000 000 000 000 000 000
zeta Z 1021 1 000 000 000 000 000 000 000
iota Y 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Prefixos de unidades de medida
Inicie a contextualização conversando com os 
estudantes sobre o tamanho de coisas muito 
pequenas, como o raio de um átomo, por exemplo, 
e sobre distâncias muito grandes, como os espaços 
interplanetários e interestelares. Dessa forma, eles 
podem visualizar a praticidade dos prefixos que estão 
estudando.
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80
Medida de áreas e volume em um prisma
Considere dois planos a e b paralelos, um polígono P contido em a e uma reta r concorrente aos 
dois.
α
β
r
B C
F E
DA ℘
Chamamos de prisma o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com 
extremidades no polígono P e no plano b.
B’ C’
β
℘’
F’ E’
D’A’
r
B C
F E
DA
α
℘
Observe que em b fica determinado um polígono P’, congruente a P. Os dois polígonos são 
denominados bases e seus lados, arestas das bases.
A distância entre as bases recebe o nome de altura do prisma e será igual a uma aresta lateral 
quando esta for perpendicular à base.
Aresta
da Base
Base
Superior
Aresta
Lateral
Face
Lateral
Altura
Base
Inferior
EF09MA19
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81
Classificação dos prismas
Além de ser especificado pelo polígono da base, um prisma pode ser classificado como:
a) reto: quando as arestas laterais são perpendiculares às bases.
Prisma reto pentagonal.
b) oblíquo: quando não é reto.
Altura
Prisma oblíquo pentagonal.
Um prisma é regular quando sua base é um polígono regular.
Prisma reto hexagonal regular.
Note que nos prismas retos as faces sempre são retângulos.
Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal
Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal
Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal
Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal
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82
Paralelepípedos
Os prismas cujas bases são paralelogramos denominam-se paralelepípedos.
Todo paralelepípedo reto cuja base é um retângulo chama-se paralelepípedo retângulo ou reto-
retângulo.
Cubo
Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces quadradas. Isto é, todas as arestas do cubo 
são congruentes.
Área lateral de um prisma
Calcula-se a área lateral de um prisma somando as áreas das faces laterais. No caso de um prisma 
regular, a área lateral (Sl) é dada por:
Si 5 n ? (área de um retângulo)
em que n é o número de arestas da base.
Observe, por exemplo, a área lateral de um prisma pentagonal regular:
Sl 5 5 ? (área de um retângulo)
Calcula-se a área total de um prisma somando-se a área lateral (Sl) com as áreas das bases (Sb).
St 5 2 ? Sb 1 Sl
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83
Volume de um prisma
Antes de estabelecermos a fórmula para o cálculo do volume de um prisma, vamos determinar o 
volume de um paralelepípedo retângulo.
a
b
c
a
b b b b b
c
Para obter seu volume devemos observar que ele é proporcional a cada um de suas dimensões. Isto 
quer dizer que se mantivermos, por exemplo, constantes o comprimento a e a altura c e se multipli-
carmos a largura b por um número natural n, o volume ficará também multiplicado por n.
Este fato pode ser generalizado para qualquer número real e isto quer dizer que, mantidas constan-
tes duas dimensões de um paralelepípedo retângulo, seu volume é proporcional à terceira dimen-
são. Logo, sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, temos:
V 5 a ? b ? c
Como o produto ab é área da base, é costume dizer que o volume de um paralelepípedo retângulo 
é o produto da área base pela altura.
V 5 Sb ? h
Atividades
1. Dê cada valor a seguir em prefixos.
a) 0,000 014 m
14 ? 1026 m 5 14 mm
b) 96 000 s
96 ? 103 s 5 96 ks
c) 640 milhões de km
640 ? 106 K 5 640 MK
EF09MA18 e EF09MA19
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84
2. Luís leu o valor do comprimento de um dos lados de determinada caixa: 323 milímetros. 
Quanto é essa quantidade em metros?
323 mm 5 323 ? 1023 m 5 0,323 m
3. O planeta Júpiter se localiza após Marte no Sistema Solar, a uma distância média de 5,2 UA 
(unidade astronômica) do Sol. 
Se 1 UA 5 1,5 ? 1011 m, escreva a distância de Júpiter ao Sol em metros.
Temos que 1 UA 5 1,5 ? 1011 m (em metros, unidade padrão de comprimento no SI).
Portanto 5,2 UA 5 5,2 ? 1,5 ? 1011 m 5 7,8 ? 1011 m
4. Determine a área lateral de um prisma reto triangular regular de 6 cm de altura e aresta da 
base igual a 5 cm.
A’B’
C’
AB
Sb
6 cm
5 cm
C
A área lateral será dada por:
Sl 5 3 ? 5 ? 6 → Sl 5 90 cm2
5. Determine a área lateral, a área da base, a área total e o volume de um cubo de aresta a.
a
a
a
Observe o cubo planificado:
a
a
a
a
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85
St 5 4 ? a2
Sb 5 a2
 → St 5 6a2 V 5 Sb ? h
V 5 a2 ? a → V 5 a3
6. Em um prisma triangular regular, a aresta da base e a altura medem 3 cm. Determine sua área 
lateral.
Sl 53 ? (área de um retângulo)
Sl 5 6 ? 3 ? 3 → Sl 5 54 cm2
7. A área lateral de um primas pentagonal regular é 180 cm2. Sabendo que a aresta da base 
mede 2 cm, calcule a altura do prisma.
Sl 55 ? (área de um retângulo)
180 5 5 ? 2 ?h → h 5 18 cm
8. Em um prisma triangular reto, a base é um triângulo retângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm. 
Determine a área lateral, a área da base e a área total do prisma, sabendo que sua altura é 2 cm.
Sl 52 ? 3 1 2 ? 4 1 2 ? 5 → Sl 5 24 cm2
St 5 4 ? 3
2
 1 24 → St 5 30 cm2
9. Calcule a área lateral de um prisma hexagonal regular que tem 6 cm de altura, e a aresta da 
base mede 4 cm. 
Sl 56 ? (área de um retângulo)
Sl 5 6 ? 6 ? 4 → Sl 5 144 cm2
10. Um prisma reto hexagonal regular tem 5 cm de altura e a aresta da base mede 3 cm. 
Determine:
a) a área da base;
a) Área da base (hexágono regular):
Sb 5 6 ? (área do triângulo equilátero)
Área do triângulo equilátero 5 
a2 3
4
Sb 5 6 ? 32 3
4
Sb 5 27 3
2
 cm2
b) o volume;
b) Volume:
V 5 Sb ? h → V 5 27 3
2
 ? 5
V 5 135 3
2
cm3
c) a área lateral.
c) Área lateral:Sl 5 6 ? (área de um retângulo)
Sl 5 6 ? 3 ? 5 → Sl 5 90 cm2
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86
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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87
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 6° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Probabilidade de eventos aleatórios
• Tipos de pesquisas
• Tipos de gráficos
Probabilidade 
e estatística
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UNIDADE 5
PROFESSOR
1. Probabilidade
2. Pesquisa: planejamento, execução e divulgação
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5
Tema 1: Probabilidade
Neste tópico, abordaremos os conceitos de probabilidade e estatística. É importante que o aluno 
compreenda que estas são duas áreas inter relacionadas da Matemática, que desempenham um 
papel fundamental em diversas áreas do conhecimento e de aplicações práticas.
Converse com os estudantes acerca das características dos estudos probabilísticos. Informe que a 
probabilidade é o estudo da incerteza e da aleatoriedade, a qual lida com a quantificação da incer-
teza e a análise de eventos incertos. 
De forma dinâmica e utilizando exemplos, apresente os principais conceitos de probabilidade:
1. Experimento aleatório: um experimento aleatório é um processo cujo resultado é incerto. 
Exemplo: lançar um dado; jogar uma moeda; medir a temperatura diariamente; retirar uma car-
ta do baralho; entre outros.
2. Espaço amostral: o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um expe-
rimento aleatório. Por exemplo, no lançamento de um dado de seis faces, o espaço amostral é 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Evento: trata-se de um subconjunto do espaço amostral que descreve um resultado específico 
ou uma coleção de resultados. Por exemplo, no lançamento de um dado, o evento “obter um 
número par” pode ser representado por {2, 4, 6}.
4. Probabilidade de um evento: trata-se da medida da chance em que um evento ocorre. A proba-
bilidade é expressa com um número entre 0 (evento impossível) e 1 (evento certo).
5. Lei dos Grandes Números: trata-se de um princípio que afirma que, à medida que o número de 
tentativas (ou experimentos) aumenta, a frequência relativa de um evento se aproxima de sua 
probabilidade teórica.
Analise a compreensão e aprendizagens dos alunos sobre a temática e, se possível, amplie as 
reflexões apresentando algumas regras essenciais da probabilidade. Seguem:
Regra da soma (ou Regra da união):
Seja A e B dois eventos mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), 
a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é dada por P(A ∪ B)= P(A) + P(B).
Regra geral da soma 
Para eventos quaisquer A e B, a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é dada 
por P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), onde P(A ∩ B) é a probabilidade de ambos os 
eventos, A e B, ocorrerem.
Regra do complemento
A probabilidade do evento complementar de A (não A) é P(A’) = 1 - P(A).
Regra da multiplicação (ou Regra da interseção)
Seja A e B dois eventos quaisquer, a probabilidade de ambos os eventos, A e B, 
ocorrerem, é dada por P(A ∩ B) = P(A) ? P(B | A), onde P(B | A) é a probabilidade de B 
ocorrer, dado que A ocorreu.
Regra geral da multiplicação
Para eventos quaisquer A e B, P(A ∩ B) = P(A) ? P(B | A) = P(B) ? P(A | B).
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5
Essas regras são utilizadas para calcular e interpretar probabilidades em uma variedade de contextos, 
desde experimentos simples até análises estatísticas complexas.
Evidencie que a probabilidade de eventos aleatórios é uma ferramenta poderosa para entender, 
modelar e prever eventos incertos, e que é uma parte essencial da teoria da probabilidade. Além 
disso, ela é utilizada em uma variedade de contextos e para tomar decisões baseadas em dados de 
riscos.
Tema 2: Pesquisa: planejamento, execução e divulgação
Ao iniciar a abordagem do tema Pesquisa: planejamento, execução e divulgação, enfatize a importância 
de conhecer os processos estatísticos.
Esclareça que a estatística é o estudo de como coletar, organizar, analisar, interpretar e apresentar 
dados. Por meio destes estudos, é possível tirar conclusões e tomar decisões com base em 
informações quantitativas. 
De forma dinâmica esclareça alguns conceitos-chave da estatística:
1. Coleta de Dados: a primeira etapa de uma pesquisa é coletar dados relevantes para um estudo 
ou problema. Isso pode envolver pesquisas, experimentos, observações e análises de registros 
existentes.
2. Análise de dados: depois de coletar os dados, a estatística fornece uma variedade de técnicas 
para resumir e analisar as informações, incluindo medidas de tendência central, dispersão, 
regressão e inferência estatística.
3. Inferência estatística: envolve uma generalização de conclusões a partir de uma amostra 
de dados para uma população maior. Isso inclui a construção de intervalos de confiança e a 
realização de testes de hipóteses.
4. Apresentação de dados: as técnicas estatísticas mais utilizadas para representar dados de uma 
pesquisa é a utilização de gráficos e tabelas. Essas ferramentas facilitam a compreensão e a 
comunicação das informações.
Para ampliar essa abordagem, proponha que os estudantes realizem pesquisas de modo a aplicar 
os conceitos apresentados. Se possível, leve-os à sala de informática e solicite que coloquem os 
dados coletados em uma tabela (com ou sem agrupamentos) e que representem essas informações 
graficamente. Aproveite o momento para elucidar a preferência ou utilização de alguns tipos de 
gráficos:
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Gráfico cartesiano: consiste em duas linhas perpendiculares que se cruzam em ponto 
comum chamado de origem (0, 0). Essas duas linhas são chamadas de eixos. Os valores 
nos eixos são números reais, e eles são usados para representar as coordenadas de 
pontos no plano. Cada ponto no plano é representado por um par ordenado (x, y), onde 
“x” é a coordenada no eixo horizontal e “y” é a coordenada no eixo vertical. 
Gráfico de linhas: um gráfico de linhas é muito usado para representar dados de uma 
série ao longo de um período de tempo ou em uma sequência ordenada. Nesse gráfico, 
os dados são representados por pontos que são conectados por segmentos de linha, 
formando uma linha contínua. Os gráficos de linhas são amplamente utilizados para 
mostrar tendências, variações e mudanças em dados ao longo do tempo. Eles são 
particularmente eficazes quando se deseja visualizar a evolução de uma variável ao 
longo.
Gráfico de barras simples: nesse tipo de gráfico, as categorias ou valores são 
exibidos no eixo horizontal (eixo x), enquanto a altura das barras representa a medida 
correspondente no eixo vertical (eixo y). Cada barra é independente e não se sobrepõe 
às outras. Esse tipo de gráfico é comumente usado para mostrar dados discretos ou 
categorizados, como a quantidade de vendas de produtos, a distribuição de idades em 
uma população, ou a frequência de ocorrência de eventos.Gráfico de barras duplas: é um gráfico de barras agrupadas. Neste tipo de gráfico, é feita 
a comparação de duas ou mais séries de dados diferentes, geralmente categorizadas 
da mesma forma, lado a lado.
Gráfico de setor: um gráfico de setor é um gráfico circular utilizado para representar 
distribuição de categorias ou valores em relação a um todo, especialmente quando se 
lida com porcentagens. Eles são úteis para representar categorias ou variáveis discretas 
em que a ênfase está na comparação de proporções ou na ilustração da distribuição 
relativa de elementos.
Nesse ponto, mostre aos alunos, utilizando exemplos, que a escolha de um gráfico é uma etapa 
importante para representar os dados coletados. Fomente discussões acerca do uso de gráficos em 
pesquisas de jornais, buscando verificar, com os estudante, se os gráficos e tabelas foram utilizados 
de forma adequada e se trouxeram facilidade na interpretação dos dados.
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88
Probabilidade de eventos 
aleatórios 
Em um experimento aleatório, dois eventos são 
independentes quando a ocorrência de um não causa 
nenhum efeito sobre a probabilidade no outro. O 
experimento aleatório de obter cara ou coroa ao lançar uma 
moeda, por exemplo, caracteriza eventos independentes, 
pois obter uma face em uma jogada não afeta o resultado 
da jogada seguinte.
Obter cara em uma jogada não afeta o 
resultado da próxima jogada.
Já eventos dependentes são aqueles em que o resultado de um afeta a probabilidade de se obter 
o outro. Por exemplo, consideremos um baralho comum de 52 cartas. Definimos A como o evento 
de tirar uma carta de ouros, e B como o evento de tirar uma carta de paus.
A probabilidade de o evento A ocorrer, sabendo que há 13 cartas de cada naipe, é:
P(A) 5 13
52
 5 0,25 ou 25%
Como a primeira carta retirada não é devolvida para o baralho, o número de cartas disponíveis 
diminui para 51. Assim, a probabilidade de o evento B ocorrer será:
P(B) 5 13
51
 5 0,255 ou 25,5%
Note, então, que a probabilidade de o segundo caso ocorrer é diferente da do primeiro caso, pois o 
espaço amostral foi alterado. 
Adobe Stock
Ad
ob
e 
St
oc
k
EF09MA20
Neste tópico, retomamos o conceito de 
experimento aleatório para aprofundar 
o cálculo da probabilidade em eventos 
independentes e eventos dependentes. 
Se possível, leve uma moeda, um dado 
comum e um baralho para a classe, a 
fim de simular os dois tipos de eventos 
na prática e calcular as probabilidades 
relacionadas.
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89
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Tipos de gráficos
EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23
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90
Para representar o resultado de uma pesquisa estatística, podemos tratar os dados com as medidas 
de tendência centrais, como média, moda e mediana, e usar recursos com tabelas e gráficos, dei-
xando a informação mais fácil de ser interpretada. Veículos de comunicação, como jornais, revistas 
e internet, utilizam-se extensivamente de tabelas e gráficos em reportagens e notícias, associando 
a eles ilustrações que os tornam mais agradáveis e de mais fácil compreensão pelo público leitor.
Tabelas
As tabelas são produzidas dispondo-se os dados em linhas e colunas, de tal maneira que se possa 
observar a relação entre eles. A organização de uma tabela deve sempre objetivar o maior conforto 
possível em sua leitura e traduzir as grandes categorias de variáveis envolvidas no fenômeno 
estudado.
Tabelas também são úteis para a apresentação de variáveis de forma ordenada, como a apresentada 
a seguir, que mostra as 12 carreiras mais escolhidas em um ano de uma universidade pública:
Carreira Inscrições
Medicina 159 428
Engenharia 139 414
Direito 95 335
Administração 64 276
Ciências Biológicas 49 999
Comunicação Social 43 072
Letras 36 020
Educação Física 35 636
Pedagogia 34 234
Psicologia 34 077
Ciência da Computação 31 150
Note que, nesse caso, os valores foram postos do maior para o menor na segunda coluna.
Gráficos cartesianos
Os gráficos cartesianos são utilizados quando dispomos de duas variáveis e desejamos representar 
uma delas em função da outra. É a forma mais elementar de representação gráfica em dois eixos 
coordenados e fundamental para a compreensão da grande maioria dos demais tipos de gráficos.
Tipos de gráficos
Para auxiliar no 
aprofundamento 
das habilidades 
relacionadas ao 
uso de tabelas e 
gráficos, selecione 
algumas notícias 
que apresentem 
resultados de 
pesquisas por meio 
de gráficos ou 
infográficos, a fim de 
que os estudantes os 
analisem. O site do 
Instituto Brasileiro 
de Geografia e 
Estatística, o IBGE, 
é uma excelente 
fonte para conseguir 
pesquisas mais 
recentes.
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O gráfico a seguir apresenta no eixo das ordenadas a temperatura média da superfície da Terra e, 
no das abscissas, décadas dos séculos XIX a XXI.
1 840
-0,6
-0,4
-0,2
0
0.2
0.4
0.6
1 860 1 880 1 900
V
A
R
. D
A
 T
EM
PE
R
A
TU
R
A
 º
(C
)
ANO
1 920 1 940 1 960 1 980 2 000 2 020
Fonte: https://www.researchgate.net/figure/Figura-28-
Variacoes-da-temperatura-na-superficie-da-Terra-ao-longo-
dos-ultimos-140-anos_fig3_228548814
Gráficos de linhas
Este tipo de gráfico é uma simplificação do gráfico cartesiano, no qual se utiliza uma linha poligonal 
para representar a tendência de variação (crescimentos e decrescimentos) dos dados relativos a 
determinada informação.
Veja o gráfico que mostra a evolução do desmatamento da Amazônia entre 2012 e 2021.
Desmatamento acumulado de janeiro a dezembro (km2)
2012
1 769
2013 2014
2 995 3 098
3 646
2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
11 000
1 144
2 337
5 375
6 200
8 096
10 362
Fonte: Instituto de Pesquisa Ambiental da Amazônia - Ipam - 
Relatório Anual 2022 - pag. 43
Gráficos de barras e colunas
Os gráficos de barras também são uma variação do gráfico cartesiano. Neles, os dados são repre-
sentados por retângulos proporcionais aos valores da variável em causa, dispostas vertical ou hori-
zontalmente. Os retângulos podem também ser substituídos por formas prismáticas, cilíndricas ou 
mesmo por desenhos que sejam mais adequados à informação que se deseja transmitir.
Via de regra, esses gráficos são utilizados para apresentar evoluções do fenômeno estudado ou 
para mostrar a distribuição de diferentes categorias existentes em uma população. Observe os 
exemplos a seguir.
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92
a) Gráfico de barras da população estimada do Brasil de 2010 a 2022.
Estimativa da população brasileira: 2010 - 2022
Po
p
u
la
çã
o
 (
em
 m
ilh
õ
es
)
2010
194,9 
2011 2012
200,00
201,7
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
180
185
190
195
200
205
210
215
220
196,6
203,5
205,2
206,8
208,5
211,8
210,1
213,3
214,8
198,3
Fonte: IBGE
b) Gráfico de barras horizontais com a estimativa da população nos 10 países mais populosos, em 
2017 e em 2100.
2017
População
Onde estão os 10 países mais populosos do mundo no �m do século
China
Índia
Indonésia
Paquistão
Brasil
Nigéria
Bangladesch
Rússia
Japão
1
2
Nº
3
4
5
6
7
8
9
10
2100
População
EUA
3
Nº
1
4
7
5
13
2
25
19
38
732 milhões
1,09 bilhão
336 milhões229 milhões
248 milhões
165 milhões
791 milhões
81 milhões
106 milhões
60 milhões128 milhões
146 milhões
157 milhões
206 milhões
212 milhões
214 milhões
258 milhões
325 milhões
1,38 bilhão
1,4 bilhão
Fonte: Veja - Ed. Abril - 11.jul.2022
c) Gráfico de barras múltiplas, utilizado para a comparação de duas ou mais variáveis partícipes da 
mesma informação gráfica. 
Observe o exemplo do uso de barras múltiplas a partir da tabela com os dados do Censo 2010 do 
IBGE. A partir dela, podemos montar uma nova tabela da qual constam apenas os dados das regiões 
brasileiras em milhões de habitantes, distribuídos por sexo. Veja a seguir. 
Grandes Regiões 
e 
Unidades da Federação
População residente
Total 
Total Homens Mulheres
Nordeste 15 864 454 8 004 915 7 859 539 
Sudeste 53 081 950 25 909 046 27 172 904 
Sul 80 364 410 39 076 647 41 287 763 
Centro-Oeste 27 386 891 13 436 411 13 950 480 
Norte 14 058 094 6 979 971 7 078 123 
Fonte: IBGE, Censo Demográfico 2010.
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93
A visualização da tabela e a compreensão das relações entre seus dados ficam muito mais fáceis 
com o uso de gráficos de barras múltiplas. Veja:
TOTAL
HOMENS
MULHERES
10 000 000
20 000 000
30 000 000
40 000 000
50 000 000
60 000 000
70 000 000
80 000 000
90 000 000
Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste
Gráficos de setores
Bastante utilizados nos mais diversos meios de comunicação, os gráficos de setores não se ba-
seiam na representação cartesiana. Nesse tipo de gráfico, também chamado de gráfico em pizza, 
um círculo representa o total dos dados do fenômeno estudado. Esse círculo é dividido em setores 
proporcionais às parcelas das variáveis que compõem o total. Em geral, gráficos de setores são ex-
pressos em porcentagens.
Veja, no gráfico da distribuição da população brasileira por idade em 2021, como a utilização de 
gráficos de setores é útil para visualizarmos distribuições percentuais. 
Distribuição da população brasileira, em 2021
60 a 64 anos
4,5%
65 anos ou mais
10,2%
30 a 59 anos
41,4%
0 a 13 anos
19,3%
14 a 17 anos
5,8%
18 a 29 anos
18,9%
Fonte: G1.
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94
1. Em uma turma de 25 estudantes, cinco serão escolhidos para representar a turma em uma 
feira de ciências estadual. Os nomes de cada estudante foram colocados em uma urna, e a 
escolha se dará por sorteio. Nesse caso:
a) Inicialmente, qual a probabilidade que cada estudante tem de ser sorteado?
Inicialmente:
1
25 5 4
100 5 ou 4%
b) Ao ser escolhido o primeiro representante, a probabilidade de os estudantes restantes serem 
escolhidos continua a mesma, fica menor ou maior que 4%?
Ficará um pouco maior, pois o espaço amostral diminuiu.
2. Imagine que, em uma linha de produção de garrafas PET, foi constatado que a cada 1 500 
garrafas produzidas, 70 saíam sem tampa.
Nesse contexto:
a) Em um lote de 9 000 garrafas, quantas não terão tampa?
Temos 9 000
1 500 5 6, portanto no lote de 9 000 há 6 ? 70 5 420 garrafas sem tampas.
b) Retirando uma garrafa de maneira aleatória de um lote de 1 500 garrafas, qual a probabilidade 
de pegar uma garrafa sem tampa?
P(E) 5 70
1 500 5 6 ou 4,7%.
3. Em uma quermesse, uma barraca propõe um jogo no qual se utilizam uma roleta e bolinhas 
de gude. Se a roleta parar em um número par, o jogador poderá pegar uma bolinha de gude de 
dentro de um saco. A roleta e o saco de bolinhas de gude estão representados na figura abaixo.
2
6 1
4
8
10
1
4. Os prêmios são distribuídos às pessoas que pegam uma bolinha de gude preta. Sueli jogou 
uma vez. Qual é a probabilidade de Sueli ganhar um prêmio? 
a) Impossível. 
b) Não muito provável. 
c) Cerca de 50% de probabilidade. 
d) Muito provável. 
e) Certeza.
Atividades
Ao girar a roleta, é bastante provável que Sueli tire um número par, pois, dos 6 
números, 5 são pares P 5 1
243
 > 0,83 , ou seja, 83%. O saco de bolinhas de 
gude contém 6 bolinhas pretas e 14 bolinhas brancas, totalizando 20 bolinhas, 
portanto a probabilidade é P 5 6
20
 5 30
100
 5 0,30 ou 30%.
Donde conclui-se que a probabilidade de Sueli ganhar um prêmio é baixa.
EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23
Sempre que possível, separe algumas 
atividades para os estudantes 
resolverem em pequenos grupos 
focais, nos quais possam ajudar-se 
mutuamente nas resoluções, o que 
será útil para seu desenvolvimento no 
processo de ensino e aprendizagem.
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95
5. Roberto vai retirar um bombom de um saco sem olhar. O gráfico abaixo mostra o número de 
bombons de cada cor contidos no saco.
verm
elh
o
Laran
ja
A
m
arelo
V
erd
e
A
zu
l
R
o
sa
R
o
xo
M
arro
m
0
2
4
6
8
Qual é a probabilidade de Roberto pegar um bombom vermelho? 
a) 10% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 50%
6. Analise o gráfico a seguir sobre o uso de terras no Brasil e responda as questões propostas.
OUTROS
57,7%
3,5%
66,3%
20,5%
VEGETAÇÃO
PRESERVADA NOS
IMÓVEIS RURAIS
13,2%
PLASTAGENS
PLANTADAS
8,0%
PLASTAGENS
NATIVAS
13,1%
VEGETAÇÃO
NATIVA EM
UNIDADES DE
CONSERVAÇÃO
18,9%
VEGETAÇÃO NATIVA EM TERRAS
DEVOLUTAS E NÃO
CADASTRADAS
13,8%
VEGETAÇÃO NATIVA
EM TERRAS
INDÍGENAS
9,0%
LAVOURAS E
FLORESTAS
PLANTADAS
3,5%
CIDADES
INFRAESTRUTURA
E OUTROS
PR
O
PR
IE
D
A
D
ES
 R
U
R
A
IS V
EG
ETA
Ç
Ã
O
 N
A
TIV
A
Fonte: SFB, SICAR, EMBRAPA, IBGE, MMA, FUNAI, DNIT, ANA, MPOG
a) Qual a porcentagem das terras brasileiras como propriedades rurais?
50,7 %
b) Levante hipóteses sobre o que representa os 3,5% do gráfico caracterizados por “Outros”.
Hipótese possível: são áreas de uso urbano para moradias, lazer, infraestrutura etc.
c) Qual a diferença percentual entre as pastagens plantadas e as nativas?
13,2% – 8,0% 5 5,2%
O espaço amostral é:
n(V) 5 6 1 5 13 1 3 1 2 1 4 1 2 15 5 30
Pelo gráfico, há 6 bombons vermelhos, então a probabilidade será:
P(E) 5 n(E)
n(V)
 5 6
30
 5 0,20 ou 20%.
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MATEMÁTICA
Ensino médio
1a SÉRIE
M
A
TETM
Á
TIC
A
1
a SÉRIE
PROFESSOR
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	REVER E APRENDER_Unidade_1_006a017_REV8_NOVO
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