19 TRIÂNGULOS E ALGUNS PONTOS NOTÁVEIS

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ATIVIDADE 19: TRIÂNGULOS E ALGUNS 
 PONTOS NOTÁVEIS. 
 
OBJETIVOS: Identificar as principais propriedades de circuncentro, 
 baricentro, incentro e ortocentro em um triângulo 
 qualquer. 
 
PARTE 1: CONSTRUÇÕES E CONGRUÊNCIAS DE TRIÂNGULOS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Régua, compasso. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Comente com a classe que em algumas construções que eles 
já sabem fazer, com régua e compasso, podemos identificar triângulos 
congruentes. Para verificar isso, eles devem construir: 
a) A mediatriz de um segmento de reta qualquer. 
b) A perpendicular a um segmento de reta qualquer, por um 
ponto localizado fora dele. 
 
 Solicite que desenhem, numa folha de papel, um ângulo 
qualquer e proponha o seguinte problema: 
 
 TRAÇAS A BISSETRIZ DESSE ÂNGULO, 
 SEM USAR O TRANSFERIDOR, 
 MAS USANDO RÉGUA E COMPASSO. 
 
 Dê um tempo para que discutam métodos a serem usados. 
 Estimule a discussão comentando que os pontos pertencentes 
à bissetriz são pontos que têm a mesma distância dos dois lados do ângulo: as 
perpendiculares aos lados do ângulo, que passam por ponto da bissetriz 
formam os triângulos OAC e OBC. Pergunte à classe se são ou não 
congruentes. 
 
 “Passando a limpo” esse desenho, podemos marcar os pontos 
A e B, eqüidistantes de o, com ajuda do compasso. A seguir, levantamos 
perpendiculares por esses pontos, aos lados do ângulo, respectivamente. O 
ponto C, de encontro de ambas, pertence à bissetriz. Resta apenas traçar a 
semi-reta OC. 
 
 Outro procedimento simples, consiste em, uma vez marcado 
os pontos A e B, achar ponto D também eqüidistantes de A e B, que não está 
sobre as semi-retas perpendiculares AC e BC. 
 
 
 Proponha à classe, como exercício, traçar com o auxilio do 
transferidor ângulos adjacentes, com as seguintes medidas: 
 
a) 20º e 160º b) 30º e 150º 
c) 45º e 135º d) 60º e 120º 
 
 A seguir eles deverão obter as bissetrizes ( com compasso ) de 
cada ângulo desses pares e analisar os resultados obtidos, em particular, o 
perpendicularismo entre elas. 
 
PARTE 2: MEDIATRIZ E CIRCUNCENTRO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-19. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Com uma aula de antecedência, coloque na lousa o seguinte 
problema, para ser debatido pelos alunos, na aula seguinte: 
 
 TRACE UMA CIRCUNFERÊNCIA QUALQUER. 
 A SEGUIR, SEM DOBRÁ-LA, ENCONTRE O SEU CENTRO. 
 
 Na aula seguinte discuta com a classe as soluções 
apresentadas. Caso não surja solução adequada, não importa. Deixe o 
problema aguardando outro momento para ser solucionado. 
 Entregue a cada grupo de 4 alunos, uma folha-tipo I-19 que 
deverá ser recortada por eles, de modo que cada aluno fique com dois 
triângulos para trabalhar. 
 
 Proponha que tracem as mediatrizes de cada lado, em cada 
um dos triângulos ( cada aluno construirá 6 mediatrizes ). Se houver 
necessidade, retome o processo de construção de mediatrizes. 
 Feito o trabalho eles verificarão que as três mediatrizes se 
encontraram num dado ponto, em qualquer dos casos. Peça então, que 
procurem observar se esse tal ponto possui propriedades interessantes. É 
provável que os alunos percebam que a distância desse ponto a cada um dos 
vértices do triângulo é sempre a mesma ... e isso nos permite traçar uma 
circunferência, com centro em tal ponto, passando pelos três vértices do 
triângulo ( quer dizer, é possível circunscrever a circunferência, ao triângulo ). 
 
 Comente que é por esse motivo que esse ponto é chamado: 
CIRCUNCENTRO. 
 
 Faça com que comparem esse resultado, com o problema 
proposto no início desta atividade e enunciem um procedimento para achar o 
centro de uma circunferência dada. 
 
 
PARTE 3: MEDIANAS E BARICENTRO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo usado na parte anterior. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Os alunos serão convidados a resolver o seguinte problema: 
 
 
 
 Desenhe um triângulo escaleno qualquer, num pedaço de 
papel cartão. A seguir, descubra em que ponto do seu interior você deve fazer 
um buraco para amarrar um barbante, de tal modo que, ao suspender o 
triângulo por esse barbante, ele se mantenha em equilíbrio ( com o lado de 
baixo paralelo à horizontal ). Anote na lousa as soluções pelos alunos, para o 
problema proposto. Se não surgir solução adequada não importa. Não forneça 
a solução. Peça aos mesmos grupos de alunos que reconstruam, numa folha de 
papel, os triângulos da folha-tipo I-19. Convide-os a traçar segmentos de reta 
que unam cada vértice do triângulo, ao ponto médio do lado oposto ( para 
achar o ponto médio o processo é o mesmo usado para construir as 
mediatrizes), ou seja, as MEDIANAS do triângulo. Cada aluno trabalha com 
dois triângulos. 
 Terminado o trabalho, chame a atenção para o fato de que, 
em todos os casos, as medianas também se encontram num ponto. A tarefa 
agora é descobrir propriedades desse ponto. É provável que a classe perceba 
que ele é o “ponto de equilíbrio” procurado. É bom que façam seus testes. 
Apresente o nome de tal ponto: 
 BARICENTRO 
 
 
 
 Outra propriedade importante de ser analisada, caso os alunos 
não a observem, refere-se às medidas dos segmentos determinados pelo 
baricentro, sobre cada mediana. Chamando os vértices dos triângulos da folha-
tipo I-19, de A, B e C, os pontos médios de D, E, e F, de modo que as 
medianas sejam AD, BE e CF, e o baricentro de G, organize com a classe uma 
tabela para anotar as medidas desse segmentos: 
 
 
 
 Preenchida a tabela, na lousa, comente com os alunos que os 
resultados obtidos vêm sempre acompanhados de pequenos “erros”, mas que 
mesmo assim é possível observar alguma relação entre eles e concluir que: 
O BARICENTRO DE QUALQUER TRIÂNGULO DIVIDE CADA UMA DE 
SUAS MEDIANAS EM DOIS SEGMENTOS CUJAS MEDIDAS ESTÃO NA 
RAZÃO DE 2 PAR 1 ( OU DE 1 PARA 2, como queiramos ). 
 Mais uma propriedade pode ser observada quanto ao traçado 
das medianas de um triângulo, ou seja, “cada mediana divide o triângulo em 
dois triângulos de mesma área”. 
 Estimule os alunos a observarem esse fato, através de 
perguntas como: 
 
 
 - Qual é a altura do triângulo 
ABC, relativamente à base BC? 
 - Qual é a altura do triângulo 
ABD, relativamente à base BD? 
 - Qual é a altura do triângulo 
ADC, relativamente à base DC? 
 - Como se calcula a área do 
Triângulo ABD? 
 - E a área do triângulo ADC? 
 Se achar conveniente, organize as conclusões, “passando a 
limpo” a demonstração desse teorema e identificando “tese, hipótese e 
demonstração”. 
 Discuta com eles: o fato de esses triângulos terem a mesma 
área, nos permite dizer que eles são congruentes? Por quê? 
 Peça aos alunos que, num triângulo qualquer, do qual já 
determinaram o baricentro, unam esse ponto a cada um dos vértices do 
triângulo, obtendo assim, três triângulos. E levante questões sobre a figura, 
tais como: - O que podemos afirmar sobre as áreas dos triângulos ABD e 
ADC? 
 - O que o segmento GD representa no triângulo BGC? 
 - O que podemos afirmar sobre as áreas dos triângulos BGD 
e GDC? 
 - O que obtemos fazendo a diferença entre as áreas dos 
triângulos ABD e BGD? 
 - O que obtemos fazendo a diferença entre as áreas dos 
triângulos ACD e CGD? 
 - O que podemos concluir a respeito das áreas de ABG e 
ACG? Por quê? 
 
 
 Área do Δ ABD = Área do Δ ADC 
 Área do Δ BGD = Área do Δ GDC 
 
 
 
 Área do Δ ABD – Área do Δ BGD = Área do Δ ADC – Área do Δ GDC 
 Área do Δ ABG = Área do Δ AGC. 
 
 Repetindo esse mesmo raciocínio para os triângulosdeterminados pelas medianas BE ( ou CF ), que conclusões você tira a respeito 
das áreas dos triângulos ABG e BCG ( ou BGC e AGC )? 
 
 
 
 Proponha à classe, a solução de um problema, que será 
discutido na aula seguinte: 
 
 Construa um triângulo escaleno qualquer. Descubra que 
ponto do seu interior deve ser usado como centro de uma circunferência que 
tangencie cada um dos lados desse triângulo, ou seja, da circunferência inscrita 
nesse triângulo. 
 
 
PARTE 4: BISSETRIZES E INCENTRO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo usado na parte anterior. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Discuta com a classe as conclusões a que chegaram sobre o 
problema proposto. Rascunhando a solução, os alunos provavelmente 
perceberão que os segmentos que unem o centro da circunferência e os pontos 
de tangência, são respectivamente, perpendiculares aos lados do triângulo e 
tem todos a mesma medida ( correspondente ao raio da circunferência ). 
 Peça aos mesmos grupos de alunos que, usando os mesmos 
triângulos da folha-tipo I-19 tracem as bissetrizes de cada uma dos ângulos 
internos de cada triângulo. Se preciso, retome o processo de construção. 
 Os alunos poderão verificar que essas bissetrizes se 
encontram num ponto. Pergunte então, se esse ponto tem algo a ver com o 
problema proposto. Apresente o nome: 
INCENTRO 
e relacione-o com a circunferência inscrita. 
 
 
PARTE 5: ALTURAS E ORTOCENTRO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo usado nas partes anteriores desta 
 atividade. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 Mais uma vez serão usados os triângulos da folha-tipo I-
19. Desta vez, os alunos serão solicitados a construir as 3 alturas de cada 
triângulo, relativamente a cada uma de suas bases. Auxilie-os, retomando essa 
construção na lousa. 
 A classe observará que as três alturas se encontram num ponto 
e você apresentara o nome desse ponto: 
 
ORTOCENTRO. 
 
 Peça aos alunos que observem nas várias situações da folha-
tipo I-19, se o circuncentro, o baricentro, o incentro e o ortocentro se 
localizaram internamente, externamente ou sobre um dos lados do triângulos e 
outras curiosidades ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FOLHA-TIPO I-19 
Mediatrizes e circuncentro.