PROFMULTIPLO_EF2_ANO6_MAT_B4_C7_Ãngulos polÃ_gonos e circunferências

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MATEMÁTICA
A
N
O
LIVRO DO PROFESSOR
Matemática
OBJETIVOS
•	 Identificar ponto, reta e plano.
•	 Reconhecer e classificar figuras planas.
•	Diferenciar uma figura poligonal de uma não 
poligonal.
•	 Identificar padrões geométricos nas bandeiras 
do mundo.
Capítulo 8 Grandezas e 
medidas, 120
Capítulo 7 Ângulos, polígonos e 
circunferências, 86
OBJETIVOS
•	 Reconhecer diferentes unidades de medida 
e relacioná-las às grandezas correspondentes.
•	 Utilizar as unidades do sistema internacional de 
medidas.
•	 Resolver situações-problema que envolvam 
medidas.
Grandezas e unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . 122
Medidas de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Perímetro de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Unidades de área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Área de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Medidas de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Volume de sólidos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Medidas de capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Medidas de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Medidas de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Tratamento da informação – Calcular 
média aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Resolução de problemas – Fazer 
um desenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Somando cultura – Regras do futebol . . . . . . . . 158
Matemática e tecnologia – Média 
aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Organizando o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Exercícios integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Amplie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Medida e classificação de um ângulo . . . . . . . . . . . 92
Retas concorrentes e retas paralelas . . . . . . . . . . . . . 96
Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Circunferências e círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Tratamento da informação – Ler e intrerpretar 
gráfico de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Resolução de problemas – Diagrama 
de árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Somando cultura – Vexilologia . . . . . . . . . . . . . . . 116
Matemática e tecnologia – Construção de 
retas perpendiculares e de retas paralelas . . . . . . 118
Organizando o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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291GUIA DIDÁTICO
7capítulo Ângulos, polígonos e circunferências
Cada povo elege para si alguns símbolos nacionais para representar 
seu país em eventos públicos. Os símbolos mais comuns são as 
armas nacionais – representadas por brasões –, os hinos nacionais 
e as bandeiras. Cidades, estados e até empresas também possuem 
suas bandeiras, que são hasteadas na comemoração de datas 
especiais.
Muitas delas apresentam formas geométricas bem simples, como 
quadriláteros, triângulos e circunferências fáceis de desenhar. 
Outras, no entanto, têm um desenho mais sofisticado, como a 
bandeira brasileira, que tem o formato retangular, um losango ao 
centro e um círculo. Dentro do círculo há uma faixa com a inscrição 
“Ordem e Progresso”, além de 27 estrelas que representam os 
estados da nação e o Distrito Federal.
Bandeira da Arábia Saudita Bandeira do Japão
Bandeira do Sri Lanka Bandeira da Suíça
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INFORMAÇÃO ADICIONAL
O objetivo deste capítulo é abordar 
a geometria plana, desde conceitos 
primitivos, como o ponto, a reta e o 
plano, até construções como ângu-
los, polígonos e formas circulares. Os 
alunos são motivados a compreen-
der o significado desses conceitos, 
além de manusear instrumentos de 
desenho, como régua, esquadro, 
transferidor e compasso, para fazer 
construções geo métricas e efetuar 
medições com o intuito de estabe-
lecer relações entre a teoria matemá-
tica e suas aplicações.
Neste capítulo, os temas abordados 
são:
• Ponto, reta e plano
• Ângulos
• Medida e classificação de um ângulo
• Retas concorrentes e retas paralelas
• Polígonos
• Triângulos
• Quadriláteros
• Circunferências e círculos
• Tratamento da informação: Ler e 
interpretar gráfico de setores
• Resolução de problemas: Diagra-
ma de árvore
• Somando cultura: Vexilologia
• Matemática e tecnologia: Cons-
trução de retas perpendiculares e 
de retas paralelas
292 GUIA DIDÁTICO
A bandeira do Nepal, nas cores 
vermelha, azul e branca, tem a forma de 
dois triângulos superpostos.
pesquise
O estudo das bandeiras dos países é 
conhecido como vexilologia.
A palavra vexilologia tem origem na 
palavra latina vexillum – nome das 
bandeiras dos exércitos romanos.
Todos os países do globo possuem 
bandeiras oficiais, são 195 ao todo. 
A bandeira do Nepal é a única que 
não apresenta formato retangular. 
Pesquise qual é a bandeira do 
Nepal e qual é o seu formato.
Para começar
1 Você conhece algum outro símbolo do Brasil diferente do hino 
nacional e da bandeira? 
2 Indique o nome das figuras que aparecem nas bandeiras que 
ilustram a abertura deste capítulo.
3 Se você tivesse de separar essas figuras em dois grupos, conside-
rando o formato de seu contorno, como ficaria essa divisão?
O esperado é que os alunos falem dos demais 
hinos, das armas nacionais e do selo nacional.
Círculos e regiões planas (poligonais e não poligonais).
3 Espera-se que os grupos sejam divididos em figuras poligonais e em 
figuras curvas.
Bandeira do Brasil com as siglas dos estados posicionadas próximas às estrelas, indicando 
qual estado cada estrela representa.
AM
MS
RO
MT
AP
RR
TO
GO
PA
AC
BA
SP
DF
PIRJ 
MG
MA
CE
RN
PB
PE
AL
SE
PR SC
RS
ES
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia o texto inicial com os alunos e 
promova uma conversa sobre os sím-
bolos nacionais dos países para veri-
ficar se eles atribuem importância 
a esses símbolos. Comente sobre a 
composição da bandeira brasileira, 
suas cores, suas formas e seus signi-
ficados. Em geral, as bandeiras apre-
sentam desenhos constituídos de 
formas geométricas, figuras variadas 
e contêm cores associadas a caracte-
rísticas culturais e geográficas do país. 
No caso da bandeira brasileira, por 
exemplo, as constelações que apare-
cem no círculo azul retratam o aspec-
to do céu no dia 15 de novembro de 
1889 na cidade do Rio de Janeiro.
Relacione o formato da bandeira eos 
desenhos nela representados às figu-
ras geométricas planas e comente 
que esse estudo faz parte da área da 
matemática conhecida como geome-
tria, que também trata das relações 
numéricas existentes nessas figuras.
Explore a primeira atividade do boxe 
Para começar para verificar o conhe-
cimento dos alunos sobre os símbo-
los nacionais e motivar a descoberta 
de mais informações a respeito. Se 
possível, apresente alguns desses 
símbolos, como o Selo Nacional e um 
trecho do Hino da Independência. As 
atividades 2 e 3 pretendem levantar 
os conhecimentos prévios dos alunos 
sobre figuras geométricas e caracte-
rísticas específicas, como nomencla-
tura e classificação.
No boxe Pesquise, introduz-se o ter-
mo Vexilologia e seu significado. 
Contudo, esse estudo será retomado 
de maneira mais detalhada na seção 
Somando cultura.
AMPLIE
Acesse o link a seguir para saber mais sobre 
os símbolos nacionais.
http://oxbr.cc/AMmP0W
293GUIA DIDÁTICO
A
r
α
α
r
s
B
A
C
O P
CAP 7
ObjetivOs
•	 Reconhecer os conceitos primiti-
vos da geometria plana.
•	Diferenciar reta, semirreta e seg-
mento de reta.
O estudo da geometria baseia-se em três conceitos iniciais que 
não têm definição: ponto, reta e plano.
O Egito antigo foi uma das maio-
res civilizações da Antiguidade. 
O agrimensor era um funcio-
nário nomeado pelo faraó para 
verificar se as fronteiras entre as 
propriedades estavam sendo 
respeitadas. O trabalho desse 
profissional é o que os egípcios 
chamavam de geometria, do 
grego, geometría, que significa 
medida (metría) da terra (geo).
Mais ainda
Quando encostamos um lápis no papel, fazemos uma marca. 
Essa marca é a representação de um ponto. Para nomear os pontos 
usamos as letras latinas maiúsculas.
Uma reta é como uma linha sem curvas que não tem co-
meço nem fim. Uma linha traçada com o auxílio da régua é a 
representação de uma reta. Para nomear as retas usamos as le-
tras latinas minúsculas. Para denotar a reta que passa por A e B, 
escrevemos AB
� ��
. Há vários pontos em uma reta e vários pontos 
fora dela.
Uma face de um poliedro é uma superfície plana. Para ter 
ideia do que é um plano, imagine essa superfície estendida 
em todas as direções, mantendo-se sempre plana. Os planos 
contêm retas e pontos. Há vários pontos tanto em um plano 
quanto fora dele. Para nomear os planos utilizamos as letras 
gregas minúsculas, como: a (alfa), b (beta), g (gama) e θ (teta).
Uma semirreta é parte de uma reta com início determinado 
por um ponto, chamado origem da semirreta, mas que não tem 
fim. Para denotar a semirreta com origem em O que passa por P, 
escrevemos OP
� ��
.
Os pontos A e B pertencem ao plano a, e as retas r e 
s estão contidas nesse plano. O ponto C está fora do 
plano, ou seja, não pertence a ele.
Ponto, reta e plano
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OBJETIVOS
• Apresentar os conceitos 
primitivos da geometria plana.
• Discutir a diferença entre reta, 
semirreta e segmento de reta.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia o texto inicial com os alunos para 
apresentar os conceitos primitivos da 
geometria plana. Dê exemplos do 
cotidiano que podem ser associados 
às ideias desses conceitos, por exem-
plo: uma estrela no céu dá a ideia de 
um ponto; a faixa contínua de um 
trecho retilíneo de uma rodovia dá a 
ideia de reta; a superfície de um lago, 
sem oscilações, dá a ideia de plano. 
Além disso, use a lousa para represen-
tar esses conceitos articulando-os aos 
exemplos. Deixe claro que os dese-
nhos no estudo de geometria são 
representações de conceitos abstra-
tos. Comente que a reta e o plano 
não têm extremidades, ou seja, são 
infinitos. Por outro lado, o ponto não 
tem dimensão.
Mostre que há notações diferentes 
para esses três conceitos geométri-
cos. Para representar o ponto, são 
usadas letras latinas maiúsculas; as 
retas são denotadas por letras minús-
culas; e os planos, por letras gregas 
minúsculas.
Peça aos alunos que atentem para a 
diferença entre o conceito de reta e 
o de semirreta. Enquanto a reta se 
estende indefinidamente em dois 
sentidos opostos, a semirreta tem 
uma extremidade, ou seja, inicia em 
um ponto e se estende indefinida-
mente. Comente sobre a diferença 
entre a notação de reta e a de semir-
reta e registre-a na lousa.
Aproveite o boxe Mais ainda para 
correlacionar o desenvolvimento da 
geometria e a história da humanidade 
e mostrar como a matemática teve 
um papel relevante nas modificações 
do espaço e no avanço tecnológico.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
A obra Os Elementos, de Euclides (século III a.C.), 
é constituída de 13 livros, nos quais ele reuniu 
todo o conhecimento geométrico conhecido 
da época. A matemática grega apresenta um 
diferencial relevante em relação à de outros 
povos. A geometria desenvolvida pelos egíp-
cios, de caráter experimental, deu lugar a uma 
construção hipotética e dedutiva na Grécia. A 
obra escrita por Euclides apresenta, inicialmen-
te, algumas noções comuns, definições e pos-
tulados que são aceitos sem demonstração, 
além de teoremas e proposições, que são resul-
tados demonstrados.
294 GUIA DIDÁTICO
0 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 999
A B
AB = 9 cm
X
A
B
C
D
rD A B C
Ponto, reta e plano
Um segmento de reta é parte de uma reta com início e fim de-
terminados por dois pontos. Para denotar o segmento com extre-
midades em A e B, escrevemos AB. Como um segmento tem início 
e fim determinados, podemos medi-lo. Para indicar a medida de 
AB, escrevemos apenas AB. Quando dois segmentos têm medidas 
iguais, dizemos que são segmentos congruentes.
Como a medida de AB é 9 cm, escrevemos AB = 9 cm.
exercícios ProPostos
1 Considere os pontos a seguir e, com auxílio da régua, trace:
a) AB
� ��
b) CD
� ��
c) X, ponto onde cruzam 
AB
� ��
 e CD
� ��
ObservaçãO
Toda reta pode ser dividida em duas semirretas de mesma origem. Para 
isso, basta definir o ponto de origem: para um lado desse ponto, temos 
uma semirreta e, para o outro lado, outra semirreta.
B O A
OB
OA
(origem)
3 De acordo com a resposta do exercício 2, podemos afirmar que o com-
primento de AB é maior ou menor do que o comprimento de CD?
AB < CD, pois os pontos A e B pertencem a CD.
2 Na reta r, marque os pontos A, B, C e D distintos, de modo que AB 
esteja contido em AC e em BD.
Exemplo de resposta.
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Apresente o conceito de segmento 
de reta e comente que os pontos 
que o limitam são denominados 
extremidades do segmento. A con-
sequência direta dessa característica 
do segmento de reta é que ele pode 
ser medido; com isso, é possível dizer 
que o segmento tem comprimento, 
e a essa grandeza está associada 
uma medida, chamada medida de 
comprimento do segmento ou sim-
plesmente medida do segmento. 
Comente com os alunos a diferença 
entre a notação de segmento e a de 
medida de segmento.
Use o boxe Observação para corre-
lacionar o conceito de reta e o de 
semirreta e mostre que toda reta 
pode ser dividida em duas semirretas.
Aproveite a definição de congruência 
de segmentos para explicar o signifi-
cado dessa palavra em matemática. 
Comente que se duas figuras geomé-
tricas planas se sobrepõem perfeita-
mente elas são congruentes.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Na obra de Euclides, são apresenta-
das 15 definições. Veja como ele de-
fine ponto, reta e plano.
1. Ponto é aquilo de que nada é parte.
2. E linha é comprimento sem largura.
[...]
4. E superfície é aquilo que tem somente 
comprimento e largura.
Euclides. Os Elementos. Tradução de Irineu Bicudo. 
São Paulo: Editora Unesp, 2009. p. 97.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe a representação dos pontos A, 
B e C na reta r.
A B C r
 Responda:
a) Considerando os pontos A, B e C como 
origem de semirretas distintas, quantas 
delas estão contidas na reta r? Quais são?
b) Considerando os pontos A, B e C como 
extremidade de segmentos de reta distintos, 
quantos deles podem ser obtidos na reta r? 
Quais são?
Resolução
a)Seis semirretas. A semirreta de origem no ponto 
A, cuja linha se estende indefinidamente à 
esquerda de A; a semirreta de origem no ponto 
C, cuja linha se estende indefinidamente à 
direita de C; AB ou AC; BC ; CB ou CA e BA .
b) Três segmentos: AB ou BA ; BC ou CB ; AC 
ou CA.
295GUIA DIDÁTICO
A
O B
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1
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6
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4
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3
4
5
Em 1 hora, o ponteiro
dos minutos percorre
uma volta.
Em 6 horas, o ponteiro
das horas percorre
meia volta.
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1
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3
4
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3
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Em 15 minutos, o ponteiro
dos minutos dá um giro
de de volta.1
4
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8
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1
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11
3
4
5
Em 2 horas, o ponteiro
das horas dá um giro
de de volta.1
6
ObservaçãO
12
6
9
8
7
1
210
11
3
4
5
12
6
9
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1
210
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3
4
5
6
39
12122
6
9
8
7
1
210
11
3
4
5
CaP 7
O movimento de cada ponteiro do relógio pode ser considera-
do como um giro.
Ângulos
Os ponteiros do relógio gi-
ram sempre no mesmo senti-
do, o sentido horário. Mas um 
giro pode ser definido tanto 
no sentido horário quanto no 
anti-horário (sentido contrário 
ao do movimento dos pontei-
ros do relógio).
Além disso, é possível definir 
um giro com mais de uma vol-
ta. Por exemplo, da 1 hora até 
as 4 horas, o ponteiro das ho-
ras gira 1
4
 de volta, e o pontei-
ro dos minutos dá três voltas 
completas.
Em um ângulo, a origem das semirretas é chamada vértice do 
ângulo, e cada uma das semirretas é um lado do ângulo. Para dar 
nome ao ângulo, coloca-se um acento circunflexo sobre o nome 
do vértice ou escolhem-se dois pontos, um em cada semirreta, e 
escreve-se o vértice com o acento circunflexo entre os nomes des-
ses pontos. Por exemplo:
Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem.
Cada um desses giros corresponde a um ângulo.
O� ou AOB� ou BOA�
ObjetivO
•	 Identificar, classificar e construir 
ângulos.
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OBJETIVOS
• Discutir o conceito de ângulo.
• Dar condições para que os alunos 
classifiquem e construam 
ângulos.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Use o exemplo do giro dos ponteiros 
do relógio para apresentar o concei-
to de ângulo. Se possível, leve um 
relógio (de ponteiros) de parede para 
a aula e explore com os alunos outros 
ângulos relacionados aos movimen-
tos dos ponteiros. Isso também pos-
sibilita que se compreenda melhor a 
relação entre o ponteiro dos minutos 
e o ponteiro das horas.
Trabalhe com as noções de giro em 
relação às frações de uma volta. A gra-
duação dos minutos no visor do reló-
gio facilita essa compreensão, que 
pode ser articulada ao conceito de 
fração equivalente. Aproveite para res-
gatar essa ideia com os alunos. A 
visualização do movimento, associada 
à numeração do relógio, pode facilitar 
o entendimento sobre o sentido do 
giro, ou seja, se ele ocorre em sentido 
horário ou em sentido anti-horário.
296 GUIA DIDÁTICO
Ângulos
exercícios ProPostos
1 Um jogo consiste em descobrir qual é a regra de formação de uma 
sequência de figuras para adivinhar qual é a próxima. Em certo nível 
do jogo, as figuras mostradas foram:
Nessas condições, responda:
a) Qual é a regra de formação dessa sequência de figuras?
Giro de um quarto de volta no sentido anti-horário.
b) Qual das figuras a seguir é a próxima da sequência? A figura II.
2 O cofre é um dispositivo de segurança que consiste em uma caixa, 
normalmente metálica, lacrada com uma fechadura que contém um 
segredo. Uma vez fechado, a única maneira de abri-lo é conhecendo 
esse segredo.
A sequência de giros que permite abrir o cofre abaixo, partindo do 
número 1, é:
•	 Meia volta no sentido anti-horário.
•	 1
4
 de volta no sentido horário.
•	 5
8
 de volta no sentido anti-horário.
•	 Duas voltas e um quarto no sentido 
horário.
•	 Uma volta e meia no sentido anti-
-horário.
•	 3
4
 de volta no sentido horário.
Ao final dessa sequência, a seta estará apontando para qual número?
Para o número 6.
2
• Ao dar meia volta no sentido anti-
-horário, a seta passa a apontar o 
número 5.
• Ao dar um quarto de volta no sentido 
horário, a seta passa a apontar o 
número 7.
• Ao dar cinco oitavos de volta no 
sentido anti-horário, a seta passa a 
apontar o número 2.
• Ao dar duas voltas e um quarto no 
sentido horário, a seta passa a apontar 
o número 4.
• Ao dar uma volta e meia no sentido 
anti-horário, a seta passa a apontar o 
número 8.
• Ao dar três quartos de volta no 
sentido horário, a seta passa a apontar 
o número 6.
m
a
t
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m
á
t
ic
a
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 1, os alunos devem iden-
tificar na imagem inicial os giros da-
dos de maneira sequencial para que 
a disposição do círculo de cores se 
altere em cada passo. Chame a aten-
ção para a divisão do círculo em 8 
partes iguais, destacadas com dife-
rentes cores. Logo, um giro de 1
8
 de 
volta deslocaria uma cor em relação 
ao ponteiro.
Se julgar conveniente, promova um 
debate com a turma para que os alu-
nos tenham a oportunidade de refle-
tir sobre objetos ou situações do 
cotidiano que funcionam segundo 
um movimento circular. Espera-se 
que surjam exemplos como a roda 
da bicicleta ou de automóveis, o pra-
to do micro-ondas ou as hélices de 
um liquidificador. Verifique se eles 
percebem que há apenas dois senti-
dos para algo que se movimenta se-
gundo um giro: sentido horário ou 
sentido anti-horário.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Elabore uma sequência formada por 
4 giros para abrir o cofre do exercício 
2 desta página. Lembre-se de que a 
posição inicial da seta vermelha é o 
número 1. Além disso, adote a seguinte 
regra: alterne o sentido de rotação a 
cada passo da sequência.
 Criada a sequência, troque-a com um 
colega para que ele descubra qual número 
será apontado pela seta no final.
Resolução
Exemplo de resposta: a seguir, apresenta-se uma 
sequência de giros que tem a seta apontada para 
o número 7 no final. Veja:
• 1
4
 de volta no sentido anti-horário;
• Uma volta e 3
4
 de volta no sentido horário;
• 1
4
 de volta no sentido anti-horário;
• Meia volta no sentido horário.
297GUIA DIDÁTICO
1o
360º
180º
90º
150º
210º
0
10
20
30
40
50
60
70
80 90
100 110 120 130
140
150
160
170
18018
0
17
0
16
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20
10
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centro do transferidor linha de fé
0
50
18
0
13
0
A O
B
50
00
13
0
BB
O0 188 A OA
B
10
20
30
40
60
700
80 90
100 110 120 130
140
150
160
170
1880
17
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0
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100 80 70
60
50
40
30
20
10
00
CAP 7
ObjetivOs
•	Analisar como se mede e como se 
constrói um ângulo com o uso do 
transferidor.
•	Examinar a classificação de ân-
gulos.
Uma das unidades de medida usadas 
para medir a abertura de um ângulo é 
o grau, cujo símbolo é º. Para obter 
a medida de um grau, imagine uma 
circunferência dividida em 360 partes 
iguais. Cada uma dessas partes corres-
ponde a um ângulo de 1º (lê-se: um grau).
Um giro de uma volta completa determina um ângulo chama-
do ângulo de uma volta, que mede 360º; um giro de meia volta de-
termina um ângulo de meia volta, que mede 180º; um giro de um 
quarto de volta determina um ângulo de um quarto de volta, que 
mede 90º; e assim por diante.
Medida e classificação de um ângulo
O modo de contar dos 
babilônios
Na atual região do Iraque, no 
Oriente Médio, viveu há cerca 
de 3 700 anos uma civilização 
conhecida por babilônia, que 
foi uma das mais avançadas 
da Antiguidade, deixando es-
tudos de matemática, física e 
astronomia.
A divisão da volta completa 
em 360º foi iniciada por eles, 
que tinham ainda 360 dias por 
ano em seu calendário. Divi-
dir a hora em 60 minutos e os 
minutos em 60 segundos tam-
bém foi uma contribuição dos 
babilônios.
Mais ainda
Em um ângulo, para indicar a medida que está sendo conside-
rada, costuma-se desenhar um arcopróximo ao vértice.
Transferidor
O transferidor é um instrumento usado para medir e cons-
truir ângulos. O transferidor da ilustração é o de 180º, mas exis-
te também o de 360º. Ambos apresentam duas escalas gradua-
das de grau em grau: uma no sentido horário e outra no sentido 
anti-horário.
Para medir um ângulo com o transferidor, por exemplo, o ângu-
lo AOB desenhado, deve-se proceder da seguinte maneira:
 I Sobreponha o centro do transferidor sobre o vértice do 
ângulo.
 II Alinhe um dos lados do ângulo com a linha de fé do 
transferidor.
 III Verifique o ponto em que o outro lado do ângulo cruzou 
com a escala do transferidor. A medida estará determinada.Neste caso, AOB� mede 47°.
92
OUP_6ANO_EF2_MATEMATICA_B4_C7_SD_R2.indd 240 29/01/14 15:09
OBJETIVOS
• Mostrar como usar o transferidor 
para medir e construir ângulos.
• Apresentar a classificação dos 
ângulos.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia o texto desta página com os alu-
nos para apresentar a definição da 
unidade de medida de ângulo. Por 
convenção, divide-se o ângulo corres-
pondente ao giro de uma volta com-
pleta em 360 partes iguais e cada uma 
dessas partes é denominada grau. 
Explore a noção de giro para definir 
essa unidade de medida e aproveite 
para destacar a medida de ângulos 
como o de uma volta, o de meia vol-
ta e o de quarto de volta.
Aproveite o boxe Mais ainda para 
justificar, por meio de fatos históricos, 
a adoção do número 360 para a me-
dida de um ângulo correspondente 
ao giro de uma volta. É uma possibili-
dade de usar a história da matemática 
como recurso e reconhecer a impor-
tância dos babilônios no estudo da 
astronomia e sua forma de medir o 
tempo.
Apresente aos alunos o transferidor, 
instrumento usado para medir ângu-
los. Como a régua é graduada em 
centímetros e milímetros, que são 
unidades de medida de comprimen-
to, a graduação do transferidor é feita 
usando o grau como unidade. Apre-
sente a linha de fé e o centro do 
transferidor. Mostre aos alunos como 
devem usar esse instrumento para 
medir ângulos.
Comente com eles que alguns mode-
los de transferidor têm duas gra dua-
ções, uma interna e outra externa. Isso 
ocorre para facilitar o uso, de modo 
que é possível medir ângulos corres-
pondentes a giros nos dois sentidos. 
Para evitar equívocos na determina-
ção da medida de um ângulo, deve-
-se observar cuidadosamente o zero 
correspondente ao lado do ângulo 
posicionado na linha de fé. Se for o 
zero localizado na graduação interna 
do transferidor, esta deve ser a refe-
rência. Caso contrário, considera-se a 
graduação externa.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Na mesma época em que florescia a civilização egíp-
cia à margem do rio Nilo, vários povos estabelece-
ram-se na região da Mesopotâmia, [...] acádios, 
sumérios, babilônios, assírios e caldeus constituíram, 
ao longo de milênios, o que ficou conhecida na histó-
ria como a civilização mesopotâmica. [...]
Os mesopotâmios deixaram importantes contribui-
ções nas ciências, na Arquitetura e na Literatura. [...] 
Todos os conhecimentos eram registrados com um 
estilete em tabuletas de barro, que depois eram cozi-
das no fogo ou, então, secadas ao sol. O importante é 
que este sistema mostrou-se muito mais eficiente que 
o utilizado pelos egípcios, porque as tabuletas de ar-
gila mostraram-se bem menos vulneráveis aos estra-
gos do tempo do que os papiros.
Enquanto todas as civilizações da Antiguidade usaram 
o sistema decimal, os mesopotâmicos adotaram um 
sistema de numeração com base 60. Não foi encontra-
da explicação muito convincente sobre as causas dessa 
escolha, mas é possível que tenha sido adotada em 
vista da divisão da circunferência em 360o.
Hélio Gordon. A História dos Números. 
São Paulo: FTD, 2002. pp.18-9.
298 GUIA DIDÁTICO
F G
0 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
E E
F G
E
F G
65º
0 
cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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0
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60
50
40
30
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10
000000
GF
B AO
F
G H Q
P
R
T
S
U C D E
K L
M
ângulo nulo ângulo agudo ângulo reto
ângulo obtuso ângulo raso ângulo côncavo
medida e classificação de um ângulo
Para construir um ângulo com régua e transferidor, por exem-
plo, um ângulo EFG de 65º, deve-se proceder da seguinte maneira:
 I Trace um lado do ângulo e marque o vértice.
 II Sobreponha o centro do transferidor sobre o vértice do ân-
gulo, alinhando o lado desenhado com a linha de fé do 
transferidor.
 III Procure na escala graduada a medida desejada e marque o 
ponto que pertencerá ao outro lado.
 IV Trace o outro lado do ângulo.
Classificação de ângulos
Um ângulo pode ser classificado de acordo com sua medida.
• Um ângulo de 0º é um ângulo nulo.
• Um ângulo que mede entre 0º e 90º é um ângulo agudo.
• Um ângulo de 90º é um ângulo reto. O símbolo indica um 
ângulo reto.
• Um ângulo que mede entre 90º e 180º é um ângulo obtuso.
• Um ângulo de 180º é um ângulo raso.
• Um ângulo que mede entre 180º e 360º é um ângulo côncavo.
m
a
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e
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á
t
ic
a
93
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Na segunda parte da aula, disponibi-
lize um momento para que os alunos 
acompanhem os passos da constru-
ção de um ângulo e os reproduzam 
com auxílio do transferidor. Se neces-
sário, proponha outros exemplos de 
ângulos para serem construídos.
Apresente a classificação de ângulos 
de acordo com a proposta da aula. 
Aproveite para classificar os ângulos 
correspondentes a giros já trabalha-
dos pelos alunos em aulas anteriores. 
Por exemplo:
O giro de um quarto de volta deter-
mina um ângulo de 90º, ou seja, um 
ângulo reto.
O giro de meia volta determina um 
ângulo de 180º, ou seja, um ângulo raso.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Siga as orientações a seguir para 
representar:
a) um ângulo agudo
 Passo 1: desenhe dois pontos distintos. 
Nomeie esses pontos como O e A;
 Passo 2: trace a semirreta OA;
 Passo 3: posicione o centro do 
transferidor no ponto O e a linha de 
fé sobre a semirreta OA e desenhe um 
ponto localizado entre a graduação de 0º e 
de 90º. Nomeie esse ponto como B;
 Passo 4: trace a semirreta OB.
b) um ângulo obtuso
 Passo 1: desenhe dois pontos distintos. 
Nomeie esses pontos como O e C;
 Passo 2: trace a semirreta OC;
 Passo 3: posicione o centro do transferidor 
no ponto O e a linha de fé sobre a semirreta 
OC e desenhe um ponto localizado entre a 
AMPLIE
Maria Ignez de S. V. Diniz e Kátia C. 
S. Smole. O Conceito de Ângulo no 
Ensino de Geometria. CAEM – Centro 
de Aperfeiçoamento do Ensino de 
Matemática do Instituto de Mate-
mática e Estatística da Universidade 
de São Paulo.
A leitura do livro pode contribuir 
com a reflexão sobre o ensino desse 
conceito no Ensino Fundamental.
graduação de 90º e de 180º. Nomeie esse 
ponto como D;
 Passo 4: trace a semirreta OD.
Resolução
Exemplos de resposta:
a) 
O A
B b) 
O C
D
299GUIA DIDÁTICO
CAP 7
Giro Voltas Graus
cisne-negro 4 voltas 1 440o
cascata 1 980o
turbilhão 2 610o
ObjetivO
•	 Identificar, classificar e construir 
ângulos.
Exercícios
exercício resolvido
•	 Uma máquina é composta de duas engrenagens. A engrenagem 
maior gira 900º por segundo, e a menor gira 1080º por segundo. 
Qual é o número de voltas que cada engrenagem dá por segundo?
Resolução
Cada volta completa equivale a 360º. Então, para encontrar o número 
de voltas que cada engrenagem dá por segundo, precisamos dividir 
o total de graus percorridos em um segundo por 360º.
=900º360º 2,5
 =
1080º
360º 3
Portanto, a engrenagem maior dá duas voltas e meia por segundo, e 
a menor dá três voltas por segundo.
exercícios ProPostos
1 Use o transferidor para medir os ângulos abaixo. Anote as medidas 
obtidas e, em seguida, classifique cada ângulo como agudo, obtuso, 
reto ou raso.
a) b) 
c) d) 
60º. Agudo. 90º. Reto.
180º. Raso. 140º. Obtuso.
2 Marina pratica patinação no gelo. Uma de suas melhores manobras 
é o giro em torno de si mesma. De acordo comas informações sobre 
os três giros que Marina executará em uma apresentação, complete 
o quadro a seguir.
5 1
2
 voltas
7 1
4
 voltas
2 cisne-negro: 4 × 360º = 1 440º
 cascata: 
1980º
360º
= 5,5 = 5 1
2
 turbilhão: 
2610º
360º
7,25 7 1
4
= =
94
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OBJETIVO
• Dar aos alunos condições de 
classificar e construir ângulos.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No Exercício resolvido, os alunos 
devem perceber que, se uma engre-
nagem dá um número n de voltas 
por segundo, então em um segun-
do o giro correspondente determina 
um ângulo que mede, em graus, 
n × 360º.
No exercício 1, espera-se que os alu nos 
sejam capazes de medir os ân gulos 
representados usando o transferidor. 
Se necessário, oriente-os sobre a ma-
neira de posicionar o instrumento para 
fazer a medição.
Para completar a tabela do exercício 
2, os alunos devem usar a relação 
entre o número de voltas e a medida 
do ângulo determinado pelo giro 
correspondente. Se julgar pertinente, 
comente que, para determinar o nú-
mero de voltas, basta dividir a medi-
da do ângulo dado por 360º.
AMPLIE
Marion Smoothey. Atividades e Jogos com 
Ângulos. Tradução de Sérgio Quadros. 
São Paulo: Scipione, 1997. (Investigação 
Matemática)
A leitura do livro pode contribuir com a ela-
boração de mais atividades relacionadas ao 
conceito de ângulo.
300 GUIA DIDÁTICO
75º
115º
90º
300º
exercícios
3 Utilize régua e transferidor para desenhar um ângulo de:
a) 75º	 b) 90º
c) 115º	 d) 300º
4 A imagem ao lado mostra a roleta de de-
terminado jogo, cujas regras são:
•	 Em toda rodada, cada jogador esco-
lhe um número diferente.
•	 Gira-se então a roleta, fazendo a bo-
linha metálica se mover nas casas da 
roleta.
•	 Vence a rodada o jogador que escolheu 
o número da casa em que a bolinha parou. 
Caso o número não tenha sido escolhido por algum jogador, ninguém 
ganha.
 Em uma das rodadas, a bolinha metálica estava inicialmente sobre a 
casa do número 1 e percorreu uma trajetória que pode ser descrita 
da seguinte maneira:
•	 giro de 270º no sentido horário;
•	 giro de 180º no sentido anti-horário;
•	 giro de 270º no sentido horário;
•	 giro de 225º no sentido anti-horário.
 Se nessa rodada Carlos escolheu o número 1, Michele escolheu o 
número 2, Flávia escolheu o número 4, e Guilherme escolheu o nú-
mero 7, algum deles ganhou a rodada? Quem?
Sim. Flávia.
4 • Ao dar um giro de 270º no sentido 
horário, a bolinha fica sobre a casa 
do número 7.
 • Ao dar um giro de 180º no sentido 
anti-horário, a bolinha fica sobre a 
casa do número 3.
 • Ao dar um giro de 270º no sentido 
horário, a bolinha fica sobre a casa 
do número 1.
 • Ao dar um giro de 225º no sentido 
anti-horário, a bolinha fica sobre a 
casa do número 4.
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a
t
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t
ic
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se necessário, oriente os alunos a usar 
o transferidor para fazer a representa-
ção de um ângulo de acordo com 
uma medida dada. 
Para resolver a situação-problema do 
exercício 4, os alunos devem atentar 
para a sequência de movimentos 
descrita. Pode ser usado um transfe-
ridor ou eles podem determinar a 
correspondência entre as medidas 
apresentadas em graus e o giro. 
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
 • Observe a roleta a seguir.
1
23
 Escreva o número indicado pela 
seta em cada giro da roleta na 
sequência descrita.
 • 1
3
 de volta no sentido anti- 
-horário;
 • 240º no sentido horário;
 • 2 1
3
 de volta no sentido anti- 
-horário;
 • 360º no sentido horário.
Resolução
3; 2; 1; 1.
301GUIA DIDÁTICO
r = s p q m
n
ponto de intersecção
t
u
ponto de intersecção
CAP 7
ObjetivOs
•	 Identificar as posições relativas 
entre duas retas no plano.
•	Analisar a construção de retas pa-
ralelas e de retas perpendiculares 
com régua e esquadro.
Se considerarmos as barras do portão da fotografia como retas, 
estas nunca vão se cruzar. Duas retas distintas no plano que nunca 
se cruzam são chamadas retas paralelas. Também podemos dizer 
que duas retas distintas de um plano que têm a mesma inclinação 
são retas paralelas ou, ainda, que retas paralelas são aquelas retas 
do plano que não têm pontos em comum.
Ao observar o mapa a seguir, podemos notar que algumas vias 
não se cruzam. Por exemplo, a Avenida Doutor Altino Arantes não 
cruza com a Avenida 11 de Junho nem com a Rua Luís Góis. Já 
a Rua Napoleão de Barros intersecta essas três vias. As vias que 
se cruzam representam retas concorrentes. Diferentemente das 
retas paralelas, as retas concorrentes têm inclinações diferentes 
e exatamente um ponto comum, onde elas se cruzam, chamado 
ponto de intersecção.
Retas concorrentes e retas paralelas
Um caso particular de retas concorrentes ocorre quando duas 
retas se cruzam formando ângulos retos, ou seja, ângulos de 90º. 
Nesse caso, dizemos que são retas perpendiculares. Caso se cru-
zem formando ângulos com quaisquer outras medidas, as retas con-
correntes são oblíquas.
Duas retas no plano podem ainda ocupar o mesmo espaço, ou 
seja, podem estar sobrepostas. Retas que satisfazem essa condição 
são retas coincidentes.
As barras desse portão são paralelas. Elas 
não se cruzam, e todas têm a mesma 
inclinação.
retas concorrentes 
perpendiculares
retas coincidentes retas paralelas retas concorrentes 
oblíquas
96
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OBJETIVOS
• Dar aos alunos condições de 
analisar a posição relativa entre 
duas retas no plano.
• Levar os alunos a desenvolver 
técnicas para traçar retas paralelas 
e retas perpendiculares usando 
régua e esquadro.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Apresente o conceito de retas para-
lelas e o de retas concorrentes com 
base na leitura do texto e na obser-
vação dos exemplos dados. Pergunte 
aos alunos se eles conhecem outros 
exemplos associados a essas ideias. 
Reforce a ideia de que retas paralelas 
têm a mesma inclinação, ou seja, elas 
nunca se encontram; por isso, não 
têm pontos em comum.
Na leitura do mapa, comente que se 
retas distintas do plano não forem 
paralelas, então elas se intersectam 
em um único ponto; esse ponto é 
denominado ponto de intersecção, e 
as retas são concorrentes. Se julgar 
pertinente, faça uma representação 
na lousa.
As retas concorrentes recebem duas 
classificações: perpendiculares ou 
oblíquas. Enfatize que o conceito de 
perpendicularidade é muito utilizado 
na matemática. Localize na sala de 
aula exemplos de objetos cuja super-
fície tenha cantos, que dão ideia de 
ângulo reto (portas, janelas, armários 
etc.), e sugira aos alunos que citem 
outros exemplos.
302 GUIA DIDÁTICO
r r
t
r
r
r
s
retas concorrentes e retas paralelas
Construção de retas paralelas 
e de retas perpendiculares
Vamos construir retas paralelas e retas perpendiculares utili-
zando lápis, régua, esquadro de 45º e esquadro de 60º.
Para traçar uma reta s paralela a uma reta r dada, deve-se pro-
ceder da seguinte maneira:
 I Alinhe um dos lados de um dos esquadros com a reta r.
esquadro de 45º: instrumento de 
desenho no formato de triângulo que 
tem um ângulo reto e dois ângulos 
de 45º.
45º
45º
esquadro de 45º
esquadro de 60º: instrumento de 
desenho no formato de triângulo que 
tem um ângulo reto, um ângulo de 60º e 
um ângulo de 30º.
30º
60º
esquadro de 60º
a/z
Para traçar uma reta t perpendicular a uma reta r dada, proce-
de-se da seguinte maneira:
 I Apoie na reta r um dos lados do esquadro que forma o ân-
gulo reto.
 II Trace a reta sobre o outro lado do esquadro que forma o 
ângulo reto.
 III A reta t assim determinada é perpendicular à reta dada.
 III A reta s assim construída é paralela à reta r.
 II Apoie a régua sobre um dos outros lados do esquadro e des-
lize-o. Depois, trace a reta s sobre o mesmo lado do esquadro 
que estava alinhado com a reta r.
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a
t
e
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Apresente os dois tipos de esquadro 
aos alunose peça a eles que fiquem 
atentos às medidas de cada ângulo 
dos instrumentos. Verifique se eles 
percebem que a soma das medidas 
dos ângulos internos de um triângu-
lo é 180º.
Reproduza na lousa as construções 
apresentadas e oriente os alunos a 
fazer o mesmo no caderno. Aproveite 
para esclarecer possíveis dúvidas quan-
to aos procedimentos de desenho.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
 • Use a régua e o esquadro para traçar 
as retas s e t, de modo que s seja 
paralela a r e t seja perpendicular a s. 
O que se pode afirmar sobre a posição 
relativa entre as retas r e t?
r
Resolução
t
s
r
Pode-se afirmar que as retas r e t são 
perpendiculares.
303GUIA DIDÁTICO
r
s
t
w
r
t
s
A
B
O
CAP 7
ObjetivOs
•	 Identificar as posições relativas de 
duas retas no plano.
•	Construir com régua e esquadro 
retas paralelas e retas perpendi-
culares.
exercícios ProPostos
1 De acordo com a ilustração abaixo, classifique cada par de retas como 
paralelas, concorrentes oblíquas ou concorrentes perpendiculares. 
Se necessário, use transferidor e esquadros.
Exercícios
a) r e s Paralelas.
b) r e t Concorrentes perpendiculares.
c) r e w Concorrentes oblíquas.
d) s e w Concorrentes oblíquas.
e) t e w Concorrentes oblíquas.
2 Construa as retas r, s e t, distintas, tais que r seja perpendicular a s, e 
s seja perpendicular a t. Exemplo de resposta:
 Agora responda: qual é a posição relativa das retas r e t?
As retas r e t são paralelas.
3 Use um transferidor e responda: qual é a medida do ângulo AOB re-
presentado? 60º
98
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OBJETIVOS
• Rever o conceito de posições 
relativas entre duas retas no plano.
• Promover situações para que os 
alunos tracem retas paralelas e 
retas perpendiculares.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se considerar necessário, oriente os 
alunos a iniciar a construção propos-
ta no exercício 2 pelas retas r e s ou 
pelas retas s e t, para concluírem que 
r e t serão paralelas nessa condição. 
Peça a eles que comparem as respos-
tas, de modo que verifiquem que 
essa propriedade é sempre válida, 
independentemente da posição que 
as retas ocupam no plano.
304 GUIA DIDÁTICO
A
B
C
D
E
F
G
H
Praça Professor
José Ariolando
Praça dos
Revolucionários
Praça da
Independência
Rua do Ouro
Rua da Prata
Rua Diamante
Rua Granito
Av
. B
ras
il
Av
. B
ras
il
Av. Tiradentes
Av. Tiradentes
Ru
a 
Sã
o 
Pa
ul
o
Ru
a 
Ri
o 
de
 Ja
ne
iro
Ru
a 
Es
pí
rit
o 
Sa
nt
o
exercícios
4 No mapa abaixo está representada parte da hipotética cidade São José 
do Pará. Observe as ruas e as avenidas para responder às questões.
a) Quais ruas mostradas no mapa são paralelas à Rua Granito?
Rua do Ouro, Rua da Prata e Rua Diamante.
b) Alguma das ruas representadas nesse trecho do mapa é perpendicular 
à Rua Diamante? Qual(is)?
Sim. Rua São Paulo, Rua Rio de Janeiro e Rua Espírito Santo.
c) Qual é a posição relativa entre a Avenida Brasil e a Rua Rio de Janeiro? 
E a posição relativa entre a Rua do Ouro e a Rua da Prata?
A Avenida Brasil é concorrente oblíqua à Rua Rio de Janeiro, e a Rua do Ouro é
paralela à Rua da Prata.
5 Observe a imagem a seguir. Ela mostra um cubo e, ao lado, apenas 
suas arestas.
a) Determine um segmento de reta paralelo a AB . 
b) Determine um segmento de reta perpendicular a AB. 
c) É possível ligar dois vértices desse cubo e formar algum segmento de 
reta, não necessariamente uma aresta do cubo, que seja concorrente 
e oblíquo a AB? Caso seja possível, que segmento seria esse?
Sim. BE AF AH BH AG BG, , , e, são respostas possíveis.
CD EF GH,  e são 
respostas possíveis.
AD BC AE BF, , e são 
respostas possíveis.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 4, os alunos devem fazer 
a correspondência entre cada rua do 
mapa e uma reta do plano. Desse 
modo, eles poderão associar a posi-
ção relativa das ruas com base no 
conceito geométrico de posição re-
lativa entre retas no plano.
Para determinar as soluções dos itens 
do exercício 5, as arestas do cubo de-
vem ser relacionadas com segmentos 
contidos em retas para analisar as po-
sições relativas correspondentes.
No item a é provável que os alunos 
verifiquem o paralelismo entre AB e 
EF e entre AB e CD por estarem conti-
dos no mesmo plano.
A percepção do paralelismo entre GH 
e AB é mais difícil de ocorrer, uma vez 
que visualizar o plano que contém 
esses segmentos é menos trivial e 
requer maior abstração.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Complete as frases de acordo com 
o que foi estudado sobre a posição 
relativa entre duas retas no plano.
a) As retas r e s são __________ quando 
não têm nenhum ponto em comum.
b) O ângulo formado por duas retas 
mede _____; portanto, essas retas são 
concorrentes perpendiculares.
c) A medida do ângulo formado por duas 
retas é 45º; portanto, essas retas são 
_________________.
d) Duas retas concorrentes possuem 
_________ ponto em comum.
Resolução
a) paralelas
b) 90º
c) concorrentes oblíquas
d) um único
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Duas retas são não coplanares se não 
existir um plano que as contenha. 
Nesse caso, dizemos que elas são re-
versas. Essas retas nunca se intersec-
tam, apesar de não possuírem a 
mesma inclinação.
305GUIA DIDÁTICO
interior
diagonal
exterior
vértice
B C
D
EF
lado
ângulo interno
A
A
B C
D
EF
CAP 7
ObjetivOs
•	 Reconhecer polígonos, suas carac-
terísticas e suas nomenclaturas.
•	Diferenciar polígono de região 
poligonal.
A figura a seguir tem algumas características que podemos 
destacar:
• É uma figura plana.
• É uma linha fechada.
• É formada apenas por segmentos de 
reta.
• Os segmentos de reta que a compõem são 
unidos pelas extremidades.
As figuras planas que apresentam todas essas características 
são chamadas polígonos. Polígono é uma palavra de origem grega, 
polygon, que significa muitos (poly) ângulos (gon).
Polígonos
Um polígono é uma linha plana fechada formada por segmentos de 
reta que são unidos pelas extremidades.
Elementos de um polígono
Cada segmento de reta que forma o polígono é denominado 
lado. As extremidades dos lados são os vértices do polígono.
Todo polígono divide o plano em duas regiões, uma interior e 
outra exterior.
Um ângulo interno de um polígono é determinado por dois 
lados consecutivos. A medida é feita na região interior do po-
lígono.
Cada segmento de reta que une dois vértices não consecutivos 
em um polígono é chamado diagonal.
ObservAçãO
Um polígono sempre apresen-
ta o mesmo número de lados e 
de ângulos internos.
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OBJETIVOS
• Apresentar o conceito de 
polígono.
• Discutir a diferença entre 
polígono e região poligonal.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Neste momento, retoma-se o estudo 
de polígonos com o objetivo de apro-
fundar a análise dos elementos que 
o constituem.
Com base no texto da aula, apresente 
a origem etimológica da palavra po-
lígono. Se julgar conveniente, pergun-
te por que figuras com apenas um ou 
com apenas dois ângulos não podem 
ser consideradas polígonos. Espera-se 
que os alunos percebam que, nesses 
casos, se a figura for uma linha poli-
gonal simples, ela não será fechada 
e, portanto, será um não polígono.
Faça uma representação geométrica 
na lousa para indicar os elementos de 
um polígono. Enfatize que os lados 
do polígono são segmentos de reta 
(se julgar conveniente, recorde que 
polígonos não apresentam linhas cur-
vas) e as extremidades desses seg-
mentos são os vértices, que são pontos 
em que os segmentos se intersectam. 
Observe que dois lados de um polígo-
no com o ponto de intersecção entre 
eles definem um ângulo. Como o po-
lígono é uma figura fechada, ele di-
vide o plano em duas regiões: a região 
interna ao polígono e a região externa.
Use o boxe Observação e a repre-
sentação feita na lousa para mostrar 
que o número de ângulos internos 
de um polígono é igual ao número de 
vértices e ao númerode lados.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Veja como Euclides apresenta o conceito 
de polígono em Os Elementos:
[...]
19. Figuras retilíneas são as contidas por retas, por 
um lado, triláteras, as por três e, por outro lado, 
quadriláteras, as por quatro, enquanto multiláte-
ras, as contidas por mais do que quatro retas [...].
Euclides. Os Elementos. Tradução de Irineu Bicudo. 
São Paulo: Editora Unesp, 2009. p. 98.
306 GUIA DIDÁTICO
triângulo quadrilátero pentágono hexágono octógono
polígono convexo polígono não convexo ou côncavo
Polígonos
Polígonos convexos e polígonos 
não convexos
Um polígono é classificado em convexo se, para quaisquer dois 
pontos que escolhemos no seu interior, o segmento de reta com ex-
tremidades nesses pontos fica inteiramente contido no interior do 
polígono. Caso isso não ocorra, isto é, se o segmento passar pelo ex-
terior do polígono, ele é chamado não convexo ou côncavo. côncavo: curvado para dentro, cavado.
a/z
para recOrdar
Região poligonal
Um polígono e o interior dele 
formam uma região plana poli-
gonal ou, simplesmente, região 
poligonal.
polígono
região poligonal
Número de lados Nome do polígono
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
Número de lados Nome do polígono
 9 eneágono
10 decágono
11 undecágono
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 icoságono
Outra maneira de saber se um polígono é ou não convexo é 
checar a medida de seus ângulos internos. Caso apresente algum 
ângulo cuja medida seja maior do que 180º, o polígono é côncavo 
(não convexo). Já se as medidas de todos os ângulos internos forem 
menores do que 180º, ele é convexo.
Nomenclatura dos polígonos
Um polígono é nomeado de acordo com o número de lados que 
tem. Os quadros a seguir mostram o nome de alguns polígonos:
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia o texto com os alunos para mos-
trar a eles como classificar os polígo-
nos em convexos e não convexos. Se 
julgar pertinente, reproduza as figu-
ras na lousa para reforçar essa ideia. 
Peça a eles que fiquem atentos à me-
dida dos ângulos internos dos po-
lígonos e relacionem essa observação 
à classificação correspondente.
Os polígonos também são classifica-
dos com base no número de lados 
(verifique se os alunos compreende-
ram que esse número também cor-
responde ao número de vértices ou 
de ângulos); isso pode ser observado 
analisando o prefixo do nome do po-
lígono. Por exemplo: o pentágono 
(penta – gono) é um polígono de 
5 lados (ou 5 ângulos, ou 5 vértices).
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Determine o número de lados, de 
vértices e de ângulos internos de:
a) um icoságono;
b) um undecágono;
c) um octógono;
d) um eneágono.
Resolução
a) 20 lados, 20 ângulos e 20 vértices.
b) 11 lados, 11 ângulos e 11 vértices.
c) 8 lados, 8 ângulos e 8 vértices.
d) 9 lados, 9 ângulos e 9 vértices.
307GUIA DIDÁTICO
CAP 7 Exercícios
exercícios ProPostos
1 Observe as figuras e circule apenas os polígonos convexos.
exercícios resolvidos
1 Determine quais são as diagonais de cada um dos polígonos.
a) 
A
B
C
D
EF
 b) 
M
N
O
Resolução
a) As diagonais desse hexágono são ,AC ,AD ,AE ,BD ,BE ,BF ,CE CF 
e .DF
b) O triângulo não tem diagonais.
2 Verifique se os polígonos são convexos ou não convexos.
a) b) 
Resolução
a) Convexo. Qualquer segmento de reta com início e fim no interior 
do polígono fica inteiramente contido em seu interior.
b) Não convexo. Podemos traçar um segmento de reta com extremi-
dades no interior do polígono que passe por fora dele, conforme 
vemos na figura ao lado.
ObjetivOs
•	 Reconhecer polígonos, suas carac-
terísticas e suas nomenclaturas.
•	Diferenciar polígono de região 
poligonal.
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OBJETIVOS
• Levar os alunos a identificar os 
elementos de um polígono.
• Enfatizar a diferença entre um 
polígono e a região poligonal 
correspondente.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No Exercício resolvido 1, retome o 
conceito de diagonal e peça aos alunos 
que tracem as diagonais no polígono 
representado no item a. Verifique se 
eles percebem quantas diagonais 
“partem” de cada vértice. Aproveite o 
Exercício resolvido 2 para retomar 
o conceito de polígono convexo e o 
de polígono não convexo.
Espera-se que no exercício 1 os alu-
nos identifiquem quais dos polígonos 
representados são convexos com base 
no que foi estudado (observação da 
existência de segmentos de reta com 
extremidades no interior do polígono 
e com pontos pertencentes à região 
externa a ele; observação das medidas 
dos ângulos internos). Se possível, 
incentive-os a usar o transferidor para 
resolver esse exercício e retomar o 
procedimento de medição de ângulos. 
Aproveite para analisar se os alunos 
compreenderam como manusear 
esse instrumento de medida. Os es-
quadros também são uma possibili-
dade de trabalho.
308 GUIA DIDÁTICO
exercícios
2 Escreva o nome de cada polígono formado pelo contorno dos es-
quadros unidos a seguir.
a) b) 
c) 
3 Determine o número de diagonais dos polígonos.
a) Pentágono 5 diagonais.
b) Quadrilátero 2 diagonais.
c) Hexágono 9 diagonais.
4 Observe as planificações de alguns sólidos. Assinale os itens em que 
as planificações são compostas somente de regiões poligonais.
a) b) 
cone
cubo
poliedro com 14 faces
não poliedro
Hexágono. Pentágono.
Dodecágono.
Itens b e c.
c) d) 
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para responder ao exercício 2, os alu-
nos devem identificar o número de 
lados (ou de vértices) dos polígonos 
correspondentes ao contorno das 
composições feitas com esquadros. A 
proposta da Atividade complementar 
foi feita com base nessas imagens.
Para determinar o número de diago-
nais de um polígono, como pedido 
no exercício 3, espera-se que os alunos 
usem a representação geométrica 
como estratégia ou usem o raciocínio 
dedutivo. Considere que, nesse mo-
mento, eles ainda não conhecem a 
fórmula que relaciona o número de 
diagonais de um polígono ao número 
de lados.
No exercício 4, espera-se que os alu-
nos percebam que a planificação de 
um sólido geométrico é constituída 
apenas de polígonos quando se tra-
tar de um poliedro. Se necessário, 
retome algumas ideias e conceitos 
que considere relevantes para que 
essa conclusão seja alcançada.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe atentamente as composições 
feitas com esquadro no exercício 2 e 
responda às questões com base na 
medida dos ângulos internos.
a) O contorno de alguma das composições é 
um polígono convexo? 
b) O contorno de alguma das composições 
é um polígono não convexo? 
 
Resolução
a) Sim. O contorno da figura do item a é um 
polígono convexo, pois as medidas dos 
ângulos internos são menores do que 180º.
b) Sim. O contorno da figura dos itens b e c é 
um polígono não convexo, pois a medida 
de pelo menos um dos ângulos internos é 
maior do que 180º.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Para determinar a quantidade de dia-
gonais, representada por d, de um 
polígono de n lados, pode-se usar a 
seguinte expressão:
d = 
−n n( 3)
2
309GUIA DIDÁTICO
A B C
D E
F
CAP 7
ObjetivOs
•	 Identificar triângulos e suas carac-
terísticas.
•	Classificar triângulos conforme 
as medidas dos lados e de acor-
do com as medidas dos ângulos 
internos.
Um triângulo é um polígono de três lados. Observe os triângu-
los a seguir.
Triângulos
Podemos classificá-los de acordo com as medidas dos lados:
• O triângulo A tem todos os lados congruentes, isto é, com 
medidas iguais. Os triângulos que têm essa característica são 
chamados equiláteros.
• Os triângulos B, C e F apresentam dois lados congruentes. Os 
triângulos que têm essa característica são chamados isósceles.
• Os triângulos D e E têm os três lados com medidas diferen-
tes. Os triângulos que têm essa característica são chamados 
escalenos.
Também podemos classificar os triângulos de acordocom as 
medidas de seus ângulos internos:
• Os três ângulos internos dos triângulos A e C são agudos. Por 
isso, são chamados de triângulos acutângulos.
• Os triângulos B e D têm um ângulo interno reto, isto é, que 
mede 90º. Por isso, são chamados retângulos.
• Os triângulos E e F têm um ângulo interno obtuso. Por isso, 
são chamados de triângulos obtusângulos.
Dadas as medidas dos lados de 
um triângulo, é possível formar 
dois triângulos diferentes, ou 
seja, com formatos diferentes?
Para responder a essa pergun-
ta, você pode realizar a ativida-
de a seguir. Você vai precisar de 
canudos retos de refrigerante 
e linha de pesca (ou similar).
i Corte os canudos em peda-
ços com diferentes compri-
mentos (por exemplo, com 
5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm e 
10 cm de comprimento).
ii Escolha três pedaços de ca-
nudo diferentes, passe a li-
nha por dentro deles e tente 
formar diferentes triângulos, 
considerando como lados os 
canudos. É possível?
Para refletir
Os alunos devem concluir que não é 
possível formar triângulos diferentes se 
as medidas dos lados são conhecidas. 
Isso ocorre porque o triângulo é uma 
figura rígida. Os alunos estudarão mais 
sobre o assunto no 8o ano. Para auxiliá-los 
a chegar a essa conclusão, peça que 
formem outras figuras; por exemplo, 
quadriláteros, que não são rígidos, 
ou seja, podem ser deformados para 
formar diversos quadriláteros com 
lados de medidas iguais entre si e 
ângulos internos de medidas diferentes 
entre si.
ClassifiCação dos TRiÂNgulos
Quanto aos lados Quanto aos ângulos
três lados 
congruentes
dois lados 
congruentes
lados de medidas 
distintas
três ângulos 
agudos
um ângulo 
reto
um ângulo 
obtuso
equilátero isósceles escaleno acutângulo retângulo obtusângulo
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OBJETIVOS
• Apresentar as principais 
características de um triângulo. 
• Discutir a classificação de um 
triângulo de acordo com a 
medida dos lados e, 
posteriormente, com base na 
medida dos ângulos internos.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
O triângulo é o polígono com o me-
nor número de lados. Se considerar 
pertinente, inicie a aula reproduzindo 
as figuras na lousa, para destacá-las, 
e pergunte aos alunos se eles identi-
ficam características comuns entre 
algumas dessas representações e se 
as separariam em grupos de acordo 
com os elementos que as consti-
tuem. Espera-se que eles percebam 
que as medidas dos lados e dos ân-
gulos podem variar. Oriente-os na 
leitura do texto e peça que observem 
novamente as figuras.
Verifique se eles percebem que qual-
quer triângulo pode ser classificado 
quanto à medida dos lados e quanto 
à medida dos ângulos internos.
Se possível, propicie um momento 
para que os alunos realizem a ativida-
de do boxe Para refletir. Essa ativi-
dade pode ser realizada em grupo, 
em sala de aula ou em casa, com a 
ajuda dos pais. Os alunos podem 
apresentar por escrito um relato do 
que foi observado.
310 GUIA DIDÁTICO
triângulos
exercícios ProPostos
1 Com o auxílio da régua, meça os lados de cada triângulo e anote na 
própria figura as medidas obtidas. Em seguida, classifique os triân-
gulos de acordo com as medidas dos lados.
a) 
4,5 cm
3 cm 2,2 cm
 b) 
3,4 cm
3,4 cm3,4 cm
c) 
2 cm
3 cm3 cm
 d) 
3 cm
2,3 cm
3,8 cm
2 Com o auxílio do transferidor, meça os ângulos internos de cada 
triângulo e escreva na própria figura as medidas encontradas. 
Em seguida, classifique os triângulos de acordo com as medidas 
dos ângulos.
a) 
75º
60º 45º
 b) 
90º
55º
35º
c) 
45º
105º
30º
 d) 
25º
95º
60º
Triângulo escaleno.
Triângulo isósceles.
Triângulo equilátero.
Triângulo escaleno.
Triângulo acutângulo.
Triângulo obtusângulo.
Triângulo retângulo.
Triângulo obtusângulo.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 1, os alunos devem medir 
o comprimento dos lados de cada 
triângulo com uma régua e classificá-
-los com base nesse resultado. No 
exercício 2, eles devem usar o transfe-
ridor para medir os ângulos internos 
dos triângulos e fazer a classificação 
quanto a essas medidas.
Se julgar oportuno, peça aos alunos 
que classifiquem, posteriormente, os 
triângulos representados no exercício 
1 quanto à medida dos ângulos in-
ternos e, no exercício 2, quanto à 
medida dos lados.
AMPLIE
Ernesto Rosa Neto. Saída pelo Triân-
gulo. São Paulo: Ática, 1998. Coleção 
A Descoberta da Matemática
Recomende aos alunos a leitura des-
te livro paradidático. Na história, três 
amigos estão em férias e resolvem se 
aventurar em uma ilha repleta de an-
tigas lendas indígenas. Depois de uma 
forte tempestade, eles só conseguem 
sair de lá com a ajuda da matemática.
311GUIA DIDÁTICO
60º
135º
45º135º
165º
90º
90º 90º
135º
135º
90º
90º
105º
135º
120º
triângulosCAP 7
3 Alguns esquadros foram unidos para formar três figuras. Observe-as 
e, em seguida, faça o que se pede.
a) Qual é o nome do polígono formado pelo contorno dos esquadros 
unidos em cada caso?
Em todos os casos, temos um pentágono.
b) Anote, nas próprias figuras, as medidas dos ângulos internos de cada 
polígono formado pelo contorno dos esquadros unidos.
c) Calcule a soma das medidas dos ângulos internos das três figuras. O 
que você observa?
A soma dos ângulos nas três figuras é igual a 540º.
4 Use régua e transferidor para desenhar dois triângulos na malha 
quadriculada: um que seja escaleno e retângulo e outro que seja 
isósceles e obtusângulo. Exemplo de resposta:
3 b) O esquadro de 45º tem um ângulo 
de 90º e dois ângulos de 45º. O 
esquadro de 60º tem um ângulo 
de 30º, um de 60º e outro de 90º. 
Para determinar as medidas dos 
ângulos internos dos pentágonos 
formados, basta somar as medidas 
adequadas:
 45º + 90º = 135º
 30º + 45º + 90º = 165º
 60º + 30º = 90º
 45º + 30º + 60º = 135º
 30º + 30º + 45º = 105º
 60º + 60º = 120º
 c) 60º + 165º + 45º + 135º + 135º = 540º
 90º + 135º + 90º + 90º + 135º = 540º
 105º + 90º + 135º + 120º + 90º = 540º
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para solucionar o exercício 3, os alu-
nos devem observar quantos e quais 
são os esquadros usados em cada 
figura. Devem também identificar a 
medida do ângulo de cada esquadro 
usado na composição dos ângulos 
internos dos polígonos e adicionar 
essas medidas.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
A classificação de triângulos é apresentada da 
seguinte maneira em Os Elementos:
[...]
20. E, das figuras triláteras, por um lado, triângulo 
equilátero é o que tem os três lados iguais, e, por ou-
tro lado, isósceles, o que tem só dois lados iguais, en-
quanto escaleno, o que tem os três lados desiguais.
E, ainda das figuras triláteras, por um lado, triângu-
lo retângulo é o que tem um ângulo reto, e, por ou-
tro lado, obtusângulo, o que tem um ângulo obtuso, 
enquanto acutângulo, o que tem os três ângulos 
agudos [...].
Euclides. Os Elementos. Tradução de Irineu Bicudo. 
São Paulo: Editora Unesp, 2009. p. 98.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Na figura a seguir, sabendo que o 
polígono ABCD é um quadrado e 
que os pontos A, D e E pertencem 
ao mesmo segmento de reta, 
responda às questões.
A B
C D
E
a) Quantos triângulos você identifica 
na figura?
b) Quais são esses triângulos? (Use os 
vértices para especificá-los.)
c) Classifique os triângulos de acordo 
com a medida dos lados.
d) Classifique os triângulos de acordo 
com a medida dos ângulos internos.
Resolução
a) Espera-se que os alunos identifiquem 
quatro triângulos na figura.
b) ABD, BDE, ACD e ABE.
c) Triângulo isósceles: ACD e ABD; 
triângulo escaleno: ABE e BDE.
d) Triângulo retângulo: ACD e ABD; 
triângulo obtusângulo: ABE e BDE.
312 GUIA DIDÁTICO
DC
BA
CAP 7
ObjetivOs
•	 Identificar quadriláteros e suas 
características.
•	Classificar quadriláteros de acordo 
com suas características.
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. De acordo 
com suas características, podemos classificá-lo de maneirapareci-
da com o que foi feito com os triângulos. Observe os quadriláteros 
a seguir.
Quadriláteros
Alguns quadriláteros têm dois pares de lados opostos parale-
los, como A e B. Já outros têm apenas um par de lados opostos 
paralelos, como o C. Outros, ainda, como o quadrilátero D, não têm 
nenhum par de lados opostos paralelos.
• Os quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos 
são chamados trapézios. Veja alguns trapézios:
ObservAçãO
Os quadriláteros que não têm, pelo menos, um par de lados opostos 
paralelos, como o quadrilátero D, não recebem outra nomenclatura e, 
por vezes, são chamados de quadriláteros quaisquer.
• Os quadriláteros que têm dois pares de lados opostos para-
lelos são chamados paralelogramos. Observe alguns para-
lelogramos:
Para verificar se dois segmen-
tos de reta são paralelos, pro-
cedemos como se fôssemos 
traçar retas paralelas. Para isso, 
alinhamos um dos lados do 
esquadro com um dos seg-
mentos e o apoiamos em uma 
régua. Então, deslizamos o es-
quadro em direção ao outro 
segmento de reta, mantendo a 
régua fixa. Se o mesmo lado do 
esquadro também ficar alinha-
do ao segundo segmento de 
reta, então eles são paralelos.
Mais ainda
A
CD
B
é paralelo aAB CD
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A
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e
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iC
A
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se julgar adequado, inicie a aula de 
maneira análoga ao que foi proposto 
para a introdução ao estudo de triân-
gulos e reproduza as figuras na lousa. 
Converse com os alunos sobre o con-
ceito de lados opostos e oriente-os a 
ficar atentos à posição relativa das 
retas suporte dos lados opostos, o 
que determina a classificação dos 
quadriláteros com outras caracterís-
ticas. Em relação às figuras apresen-
tadas, pergunte a eles se percebem 
quais delas apresentam pares de la-
dos opostos paralelos. Esse breve 
debate motiva a leitura do texto ini-
cial, em que se apresentam os con-
ceitos de trapézio, paralelogramo e 
quadrilátero qualquer. As especifica-
ções podem ser sintetizadas em uma 
tabela, como mostrado a seguir:
Classificação de quadriláteros 
de acordo com a posição relativa 
dos lados opostos
Número de pares de 
lados opostos paralelos Classificação
0
quadrilátero 
qualquer
1 trapézio
2 paralelogramo
Use o boxe Mais ainda para retomar 
o trabalho com o procedimento em-
pregado para construir segmentos 
paralelos. Esse procedimento também 
pode ser aplicado para verificar se dois 
segmentos dados são paralelos.
OBJETIVOS
• Apresentar as principais 
características de um quadrilátero.
• Discutir a classificação de um 
quadrilátero de acordo com a 
medida dos lados e, 
posteriormente, com base na 
medida dos ângulos internos.
313GUIA DIDÁTICO
A B
C
D
E F
G
CAP 7
De acordo com as medidas dos ângulos e as medidas dos lados, 
os paralelogramos ainda podem ser classificados em losangos, 
retângulos ou quadrados.
losangos retÂngulos Quadrados
Um losango é um paralelo-
gramo que tem todos os lados 
congruentes.
Um retângulo é um parale-
logramo que tem todos os ân-
gulos retos.
Um quadrado é um parale-
logramo que tem todos os lados 
congruentes e todos os ângulos 
retos.
exercícios ProPostos
1 Use régua e esquadros para classificar cada figura abaixo em tra-
pézio, paralelogramo ou quadrilátero qualquer.
Note que todo quadrado é também um losango e um retângulo.
•	 Trapézios: B e F.
•	 Paralelogramos: A, D e E.
•	 Quadriláteros quaisquer: C e G.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Nesse momento, apresenta-se a ma-
neira como se classificam os parale-
logramos levando em conta a medida 
dos lados e dos ângulos internos.
Ao abordar as especificidades do qua-
drado, relacione-o a definição de lo-
sango e de retângulo. Enfatize que um 
quadrado satisfaz as duas definições.
No exercício 1, certifique-se de que 
todos os alunos tenham à disposição 
régua e esquadro para verificar se os 
lados opostos dos quadriláteros são 
paralelos; se necessário, retome no-
vamente a maneira de manusear 
esses instrumentos.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Em qualquer paralelogramo, os lados 
opostos são congruentes, ou seja, 
têm medidas iguais. Esse resultado 
pode ser demonstrado com base em 
critérios de congruência de triângu-
los e será apresentado em outro vo-
lume. Essa propriedade também é 
válida para ângulos internos opostos, 
que também têm medidas iguais.
314 GUIA DIDÁTICO
Quadriláteros
2 Observe cada quadrilátero formado pelo contorno dos esquadros 
unidos e classifique-o em quadrado, retângulo, losango, paralelo-
gramo, trapézio ou quadrilátero qualquer.
a) b) 
c) d) 
e) f) 
3 Quantos quadrados podemos formar unindo alguns dos 
pontos desenhados ao lado? Seis quadrados.
4 Construa as figuras pedidas na malha quadriculada.
a) Um quadrilátero que tenha apenas um dos ângulos reto.
b) Um quadrilátero com exatamente dois ângulos retos.
Quadrado.
Retângulo.
Paralelogramo.
Trapézio.
Quadrilátero qualquer.
Losango.
a)
Exemplo de resposta:
b)
3 Os seis quadrados que podemos 
formar são:
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 2, os alunos devem identificar quantos dos pares de lados opostos dos quadrilá-
teros formados pela composição de esquadros são paralelos. A proposta da Atividade com-
plementar foi feita com base nessas imagens.
Se julgar pertinente, peça aos alunos que usem a régua para verificar as medidas dos lados de 
cada figura.
No exercício 3, os pontos têm a mesma distância entre si. Logo, os alunos devem perceber 
que, em qualquer quadrado formado de acordo com a orientação do enunciado, os lados 
correspondentes passarão pelo mesmo número de pontos dessa malha.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe atentamente as 
composições feitas com esquadros 
no exercício 2 e faça o que se pede.
a) Represente os quadriláteros 
associados a cada composição.
b) Indique em cada representação a 
medida dos ângulos internos.
Resolução
a) 
b) 
135°
45°
75°
135°
60°
60°
60°
120°
120° 60°
120°
60°120°
315GUIA DIDÁTICO
circunferência círculo
centrocentro
N
A
C
B
D
M
centro
corda
raio
diâmetro
O diâmetro mede sempre o dobro 
da medida do raio. Nesse caso, 
AB = 2 × CD.
ponta-seca ponta de gra�te
CAP 7
ObjetivOs
•	 Identificar formas circulares e ele-
mentos associados a elas.
•	Diferenciar circunferência e círculo.
Entre as figuras planas, algumas são formadas por todos os pon-
tos de um plano localizados a uma mesma distância de certo ponto 
do plano. Cada uma dessas figuras é chamada de circunferência. 
O ponto fixo que define uma circunferência é chamado centro da 
circunferência. A figura formada por uma circunferência e por todos 
os pontos de seu interior é denominado círculo. O centro da circun-
ferência que define um círculo também é o centro do círculo.
Circunferências e círculos
ObservAçãO
O centro de uma circunferência 
não pertence a ela, mas ao seu 
interior. Já o centro de um cír-
culo pertence a ele.
• Um segmento de reta que liga 
o centro de uma circunferên-
cia a um ponto qualquer dela 
é denominado raio.
• Um segmento de reta que une 
dois pontos quaisquer da cir-
cunferência é chamado corda.
• Uma corda que passa pelo 
centro da circunferência é um 
diâmetro.
O instrumento de desenho usado para traçar circunferências é o 
compasso. O compasso tem duas hastes rígidas unidas por uma das 
extremidades, o que possibilita regular a abertura de ambas. A extre-
midade oposta de uma das hastes é de metal (chamada ponta-seca), e 
a ponta da outra haste tem um grafite.
Para construir uma circunferência, definimos inicialmente o pon-
to que será o centro e fixamos sobre ele a ponta-seca do compasso. 
A medida do raio é determinada pela abertura das hastes do com-
passo. Em seguida, traçamos a circunferência com a ponta de grafite.
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OBJETIVOS
• Apresentar as formas circulares e 
seuselementos.
• Discutir a diferença entre 
circunferência e círculo.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Represente na lousa uma circunfe-
rência e um círculo com raio de mes-
ma medida e indique o centro de 
cada figura. Utilize as representações 
para diferenciar os conceitos e, se 
possível, use um barbante para mos-
trar que a distância do ponto central 
à circunferência é a mesma para to-
dos os pontos que a determinam. 
Comente com os alunos que o círcu-
lo é formado pela circunferência, que 
corresponde ao contorno, e pelos 
pontos internos a ela.
Providencie para que todos os alunos 
tenham em mãos um compasso. Apre-
sente esse instrumento de desenho 
e explique como usá-lo; se julgar per-
tinente, liste uma sequência de passos 
com os alunos e faça esse procedi-
mento na lousa. Oriente-os a fazer o 
mesmo no caderno.
316 GUIA DIDÁTICO
A
B
O
E
D
C
Homem Vitruviano, 1490, Leonardo da Vinci.
4 Usando a régua, determine na figura as medidas do lado do quadra-
do e do raio da circunferência.
Lado do quadrado: 4 cm; raio 
da circunferência: 2,4 cm.
circunferências e círculos
exercícios ProPostos
1 Observe a circunferência de centro O. De-
termine, entre os segmentos em destaque, 
quais são:
a) cordas CD DEe .
b) raios OA OB OE, e .
c) diâmetros BE
2 Calcule.
a) A medida do raio do aro de uma tabela de basquete cujo diâmetro 
mede 45 cm.
22,5 cm
b) A medida do diâmetro da circunferência central da quadra de bas-
quete cujo raio mede 1,8 m.
3,6 m
3 Observe a obra de arte a seguir e marque sobre ela um ângulo, um 
triângulo, um quadrilátero, um outro polígono qualquer, uma cir-
cunferência e um círculo.
Yellow, red and blue (1925), do artista russo Vasily Kandinsky 
(1866-1944).
2 a) 45 cm : 2 = 22,5 cm
b) 1,8 m × 2 = 3,6 m
Exemplo de resposta:
ângulo
triângulo
quadrilátero
polígono 
qualquer
circunferência
círculo
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Explore o exercício 1 para verificar se 
os alunos compreenderam o conceito 
de cada elemento da circunferência. 
Aproveite para relembrar a diferença 
entre a notação de segmento de reta 
e a da medida associada a ele.
No exercício 3, espera-se que os alu-
nos sejam capazes de identificar a 
variedade de formas geométricas 
que aparecem na obra de arte. Se 
julgar pertinente, proponha a com-
posição de uma obra usando recortes 
de papel colorido de diferentes for-
matos. Esse trabalho pode ser feito 
com o professor de Artes e exposto 
em um mural.
Se necessário, oriente o manuseio da 
régua no exercício 4. Comente que o 
Homem Vitruviano é um desenho do 
importante pintor renascentista italia-
no Leonardo da Vinci. Se julgar conve-
niente, peça aos alunos que procurem 
mais informações sobre a vida e a obra 
de Wassily Kandinsky e de Leonardo 
da Vinci.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Responda às questões a seguir.
a) Qual é a medida do raio de uma 
circunferência cujo diâmetro mede 12 cm?
b) Qual é a medida do diâmetro de uma 
circunferência cujo raio mede 3 cm?
c) Qual é a medida do raio de uma 
circunferência cujo diâmetro mede 9 cm?
Resolução
Espera-se que os alunos usem a relação: a 
medida do diâmetro é o dobro da medida 
do raio.
a) 6 cm
b) 6 cm
c) 4,5 cm
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Wassily Kandinsky foi um pintor russo, 
nascido no fim do século XIX, cujo 
trabalho teve grande importância 
para o movimento abstracionista.
Outro pintor que tem uma obra muito 
diversificada e que também produziu 
pinturas abstracionistas com elemen-
tos geométricos foi Piet Mondrian, 
contemporâneo de Kandinsky.
317GUIA DIDÁTICO
MAT CAP 7 Repertório conceitual: polígono
1 Luciana usa elásticos para montar o contorno de figuras geométricas planas.
 
Observe o elástico solto e o que está esticado no geoplano. Converse com os colegas a respeito da afirmação 
a seguir.
A forma do elástico do geoplano dá a ideia de um polígono. O elástico solto dá a ideia de um não polígono.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que o fato de o elástico solto representar uma linha fechada curva 
determina que esse formato não é poligonal.
2 Leia a observação sobre a origem da palavra polígono.
A palavra polígono é de origem grega. Vem de polygon, que significa muitos (poly) ângulos (gonos).
Observe as figuras que Luciana fez em um programa de geometria.
Esta figura plana representa um polígono.Esta figura plana não representa um polígono.
a) Converse com os colegas a respeito da característica que diferencia essas figuras.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos identifiquem que o não polígono tem dois segmentos que se intersectam em um 
ponto que não é a extremidade desses segmentos.
b) Observe as figuras a seguir e pinte a região interna daquelas que são polígonos. Em seguida, escreva quantos 
ângulos tem cada um dos polígonos.
 5 ângulos 11 ângulos
Geoplano – placa de madeira 
quadriculada com pinos nos 
vértices dos quadradinhos.
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OBJETIVO
• Promover a reflexão dos alunos 
sobre o termo "polígono".
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe a figura a seguir.
 Para compor a figura acima 
foram usados 2 triângulos, 2 
retângulos e 1 quadrado, como os 
representados abaixo. 
45°
45°
Responda às questões:
a) A figura obtida nessa composição 
é um polígono? Justifique sua 
resposta.
b) Determine as medidas dos ângulos 
destacados na figura.
Resolução
a) Sim, pois é uma figura fechada e 
formada apenas por segmentos de 
retas que se encontram somente em 
suas extremidades.
b) 
45°
315°
270°
AMPLIE
Atividades do 
repertório conceitual:
http://oxbr.cc/7qPYBS
318 GUIA DIDÁTICO
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Organize os alunos em grupos de três para 
compartilhar ideias sobre as atividades pro-
postas e refletir sobre o conceito de polígono.
Inicialmente, pergunte a eles se já viram ou 
manusearam um geoplano. Em caso afirmati-
vo, peça que descrevam esse objeto. Se não 
conhecem, oriente-os a observar a imagem e 
a fazer a leitura da legenda. Comente que nes-
se tipo de objeto é possível esticar elásticos 
para obter diferentes construções que lem-
bram formas geométricas planas formadas 
apenas por linhas retas, embora o elástico solto 
não apresente formato regular. Espera-se que 
na discussão proposta na atividade 1 os alunos 
concluam que o elástico esticado no geoplano 
pode representar um polígono, pois define um 
contorno formado apenas por linhas retas.
Na segunda atividade, relembre com os alu-
nos a origem da palavra polígono e, se neces-
sário, retome o conceito de ângulo. Feito isso, 
peça que observem as imagens e a legenda 
correspondente. Verifique se, ao debater so-
bre as impressões a respeito da relação entre 
a forma de cada figura desenhada e a infor-
mação associada a ela, eles percebem que, 
em um polígono, dois segmentos de reta, que 
caracterizam o lado, intersectam-se apenas 
em suas extremidades.
Posteriormente, no item b da segunda ati-
vidade, os alunos são motivados a reunir as 
informações apresentadas nesta página com 
o que foi desenvolvido no capítulo para ana-
lisar algumas figuras geométricas planas e 
decidir se elas representam polígonos ou 
não polígonos. Em seguida, retome os con-
ceitos de vértice e de lado e oriente-os a 
determinar o número de vértices dos po-
lígonos representados. Peça a eles que aten-
tem para o fato de esse número coincidir 
com o número de lados e com o número de 
ângulos desse tipo de figura.
Depois de corrigir as atividades e debater as 
ideias, peça aos alunos que preencham a ficha. 
Para avaliar esse registro, é interessante apre-
sentar a definição de polígono presente no 
Dicionário Oxford Escolar de Matemática, repro-
duzida a seguir:
AMPLIE
Há alguns aplicativos em que é possível 
explorar atividades que envolvem o 
conceito de polígono. Acesse o link a 
seguir para saber mais sobre esse tipo 
de recurso.
http://oxbr.cc/p4yXdF
polígono
Figura plana que é uma linha 
fechada formada por segmentos 
de reta