Diagonais de um Polígono

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ATIVIDADE 4: DIAGONAIS DE UM POLÍGONO. 
 
OBJETIVOS: Desenvolver o conceito de diagonal de um polígono. 
 Observar e analisar as propriedades das diagonais dos 
 quadriláteros. 
 Determinar o número de diagonais de um polígono. 
 
 
PARTE 1: A DIAGONAL. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-4. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Pergunte aos alunos se eles conhecem a palavra DIAGONAL 
e em que contexto ela pode ser utilizada. Se achar necessário pode até sugerir o 
levantamento do seu significado em um dicionário da língua portuguesa. 
 Num primeiro momento, a discussão sobre significados da 
palavra auxilia na conceituação de diagonal, uma vez que os usos correntes da 
palavra contêm o sentido matemático da mesma, por exemplo: 
 
 “ Fiz uma leitura em diagonal do texto.” 
 “O carro atravessou a rua numa diagonal.” 
 No dicionário do Aurélio diagonal é: 
1. Oblíquo. 
2. Diz-se a fazenda sulcada em sentido diferente do 
longitudinal ou do transversal da peça. 
3. Direção oblíqua, indireta. 
 
4. Num polígono, segmento que une um vértice a outro não 
consecutivo. 
 
 Todos eles sugerem a mesma idéia. Tomando o último 
significado como referência entregue a cada grupo de 4 alunos uma folha-tipo I-
4, com diferentes polígonos, e solicite que tracem algumas das suas diagonais. 
Após um tempo para esse trabalho represente algumas delas na lousa, por 
exemplo: 
 
 Cabe discutir o que observaram ao tentarem traçar as 
diagonais dos polígonos, a partir de questões: 
 Qual o menor número de diagonais de um polígono? 
 Quantas diagonais têm o triângulo? 
 Você acha que é possível determinar o número de diagonais 
de qualquer polígono? 
 Em um quadrilátero quantas diagonais aparecem? 
 Peça para destacarem as figuras abaixo, analisarem suas 
características e o que ocorre com suas diagonais. 
 
 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 Destaque o fato de que há polígonos convexos e não 
convexos, explicitando as diferenças entre eles, embora já tenham tido 
oportunidade de identificá-los em outra atividade. 
 No caso dos triângulos não há diagonal, uma vez que os 
vértices são consecutivos dois a dois. 
 No caso dos quadriláteros: 
 Todo quadrilátero tem duas diagonais. 
 Nos quadriláteros, uma diagonal determina sempre dois 
triângulos: 
 
 
 
 
 Nos quadriláteros convexos as diagonais 
necessariamente se interceptam: 
 
 
 
 
PARTE 2: AS DIAGONAIS DE UM QUADRILÁTERO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Varetas de madeira ou canudos de 
 refrigerante em dois tamanhos ( 18 grandes 
 e 6 pequenos), linha. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Tendo observado que: 
 - As diagonais dos quadriláteros são duas, cada uma divide a 
figura em dois triângulos. 
 - Elas se cruzam se o quadrilátero for convexo. 
 Passaremos a examinar outras propriedades dos quadriláteros 
convexos a partir das suas diagonais. 
 Entregue a cada grupo de quatro alunos ( ou peça para 
providenciarem em casa ) 18 varetas de madeira ( ou canudinho ) de um mesmo 
tamanho e 6 menores. Solicite que amarrem, duas a duas, combinando duas 
grandes ou uma grande e um pequena da seguinte forma: 
 
 
 Fora do ponto médio das duas: 
 
 Após prender os palitos nas posições indicadas, sugira que 
formem quadriláteros usando um dos dois processos: 
1. Passar uma linha pelas extremidades das varetas, por 
exemplo: 
 
 
2. Marcar numa folha de papel os pontos relativos às 
extremidades das varetas e em seguida desenhar o quadrilátero correspondente 
e as respectivas diagonais: 
 
 Proponha aos alunos que analisem cada uma das figuras 
obtidas e tendo como referencia as propriedades ( paralelismo dos lados, 
 
medidas dos ângulos de um quadrilátero ) e a condição adotada para fixar as 
varetas, respondam a pergunta do tipo: 
 Que tipos de quadriláteros obtiveram? 
 Quando se obtém um quadrado? Um paralelogramo? 
Um trapézio? Um trapezóide isóscele? Etc. 
 
 Coloque na lousa uma tabela e peça que façam o mesmo no 
seu caderno para preencherem-na com os nomes dos quadriláteros, fazendo uma 
primeira sistematização: 
Diagonais iguais Diagonais diferentes 
Perpendiculares 
Não Perpendiculares 
 
 Com certeza, aparecerão figuras do mesmo tipo em diferentes 
quadros, no entanto, servirão para evidenciar propriedades dessas figuras, 
possibilitando sistematização mais detalhadas, por exemplo: 
 
 
 
 De outro modo, você pode propor além dessa tabela mais 
detalhada que organizem os resultados das suas observações, numa árvore de 
possibilidades: 
 
 Ponto médio das duas 
 
 
 
 
 
 Perpendiculares Ponto médio de uma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fora do ponto médio 
 Diagonais iguais 
 
 
 
 
Ponto médio das duas 
 
 
 
 
 
 
 
 Não perpendiculares Ponto médio de uma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ponto médio das duas 
 
 
 
 
 
 Perpendiculares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagonais diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não perpendiculares 
 
 
 
 
 
 
 
 COMENTÁRIOS: 
 Verifique se os alunos obtiveram todos os tipos de 
quadriláteros convexos: 
 
 Paralelogramos. 
 Trapézios: 
 Isósceles, retângulos, escaleno. 
 Trapezóides: 
 Isósceles ou não. 
 
 Verifique também sua disposição na tabela ou na árvore: 
 
 
 
PARTE 3: QUANTAS DIAGONAIS TÊM UM POLÍGONO? 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha tipo I-4. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Desenvolva este trabalho primeiramente com polígonos 
convexos, regulares ou não e posteriormente proponha a verificação para outros 
tipos de polígonos. 
 Solicite aos alunos, organizados em grupo de 4, que 
inicialmente tentem achar a quantidade de diagonais dos polígonos convexos da 
folha-tipo I-4. Dê um tempo para a discussão em cada grupo e depois disso, 
compare os resultados encontrados. 
 Pergunte: 
 Que método usaram para determiná-las? 
 O que observaram ao traçarem as diagonais dos 
polígonos? 
 
 É possível chegar numa lei geral para determinar o 
número de diagonais de um polígono? 
 
 Verifique se observam que ao traçarem as diagonais a partir 
de um vértice, em dado momento elas começam a se repetir porque já foram 
desenhadas a partir de outro vértice. 
 
 Proponha agora um método organizado, caso não tenham 
deduzido, solicitando que desenhem diferentes polígonos convexos, com 
número de lados n > 3: 
 Peça a eles que desenhem todas as diagonais a partir de um 
vértice. 
 Pergunte: 
 Quantas são as diagonais que partem de um vértice do 
pentágono? 
 No caso do pentágono o número de diagonais é o número de 
vértices multiplicado pelo número de diagonais que partem de cada um dos 
vértices? Por quê? 
 No caso do quadrilátero ele tem 4 diagonais? 
 Peça então para indicarem o número de lados e o número de 
diagonais que partem de um vértice nos seguintes casos: 
 
 
 Pergunte se o número de lados do polígono fosse n qual seria 
o número de diagonais que “saem” de um vértice? 
 
 Verifique se eles perceberam que esse número é n – 3 . E que 
ao traçarmos as diagonais de cada vértice, cada diagonal é computada duas 
vezes. Peça para eles escreverem uma expressão geral para determinar o 
número de diagonais de um polígono, após a discussão indique: 
 
 Nº de diagonais = n . ( n – 3 ) : 2 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 Conhecida essa expressão, proponha exercícios em que os 
alunos determinem o número de diagonais de um polígono regular ou não, 
conhecido o número de lados. Outro tipo de problema é calcular o número de 
lados, conhecidos o número de diagonais. Nesse último caso será necessário 
resolver através de equação do 2º grau, por isso pode ser proposto na8ª série, 
como problema do 2º grau. 
 Peça agora que eles verifiquem a validade dessa expressão 
para polígonos não convexos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FOLHA-TIPO I-4