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ATIVIDADE 4: DIAGONAIS DE UM POLÍGONO. OBJETIVOS: Desenvolver o conceito de diagonal de um polígono. Observar e analisar as propriedades das diagonais dos quadriláteros. Determinar o número de diagonais de um polígono. PARTE 1: A DIAGONAL. MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-4. DESENVOLVIMENTO: Pergunte aos alunos se eles conhecem a palavra DIAGONAL e em que contexto ela pode ser utilizada. Se achar necessário pode até sugerir o levantamento do seu significado em um dicionário da língua portuguesa. Num primeiro momento, a discussão sobre significados da palavra auxilia na conceituação de diagonal, uma vez que os usos correntes da palavra contêm o sentido matemático da mesma, por exemplo: “ Fiz uma leitura em diagonal do texto.” “O carro atravessou a rua numa diagonal.” No dicionário do Aurélio diagonal é: 1. Oblíquo. 2. Diz-se a fazenda sulcada em sentido diferente do longitudinal ou do transversal da peça. 3. Direção oblíqua, indireta. 4. Num polígono, segmento que une um vértice a outro não consecutivo. Todos eles sugerem a mesma idéia. Tomando o último significado como referência entregue a cada grupo de 4 alunos uma folha-tipo I- 4, com diferentes polígonos, e solicite que tracem algumas das suas diagonais. Após um tempo para esse trabalho represente algumas delas na lousa, por exemplo: Cabe discutir o que observaram ao tentarem traçar as diagonais dos polígonos, a partir de questões: Qual o menor número de diagonais de um polígono? Quantas diagonais têm o triângulo? Você acha que é possível determinar o número de diagonais de qualquer polígono? Em um quadrilátero quantas diagonais aparecem? Peça para destacarem as figuras abaixo, analisarem suas características e o que ocorre com suas diagonais. COMENTÁRIOS: Destaque o fato de que há polígonos convexos e não convexos, explicitando as diferenças entre eles, embora já tenham tido oportunidade de identificá-los em outra atividade. No caso dos triângulos não há diagonal, uma vez que os vértices são consecutivos dois a dois. No caso dos quadriláteros: Todo quadrilátero tem duas diagonais. Nos quadriláteros, uma diagonal determina sempre dois triângulos: Nos quadriláteros convexos as diagonais necessariamente se interceptam: PARTE 2: AS DIAGONAIS DE UM QUADRILÁTERO. MATERIAL NECESSÁRIO: Varetas de madeira ou canudos de refrigerante em dois tamanhos ( 18 grandes e 6 pequenos), linha. DESENVOLVIMENTO: Tendo observado que: - As diagonais dos quadriláteros são duas, cada uma divide a figura em dois triângulos. - Elas se cruzam se o quadrilátero for convexo. Passaremos a examinar outras propriedades dos quadriláteros convexos a partir das suas diagonais. Entregue a cada grupo de quatro alunos ( ou peça para providenciarem em casa ) 18 varetas de madeira ( ou canudinho ) de um mesmo tamanho e 6 menores. Solicite que amarrem, duas a duas, combinando duas grandes ou uma grande e um pequena da seguinte forma: Fora do ponto médio das duas: Após prender os palitos nas posições indicadas, sugira que formem quadriláteros usando um dos dois processos: 1. Passar uma linha pelas extremidades das varetas, por exemplo: 2. Marcar numa folha de papel os pontos relativos às extremidades das varetas e em seguida desenhar o quadrilátero correspondente e as respectivas diagonais: Proponha aos alunos que analisem cada uma das figuras obtidas e tendo como referencia as propriedades ( paralelismo dos lados, medidas dos ângulos de um quadrilátero ) e a condição adotada para fixar as varetas, respondam a pergunta do tipo: Que tipos de quadriláteros obtiveram? Quando se obtém um quadrado? Um paralelogramo? Um trapézio? Um trapezóide isóscele? Etc. Coloque na lousa uma tabela e peça que façam o mesmo no seu caderno para preencherem-na com os nomes dos quadriláteros, fazendo uma primeira sistematização: Diagonais iguais Diagonais diferentes Perpendiculares Não Perpendiculares Com certeza, aparecerão figuras do mesmo tipo em diferentes quadros, no entanto, servirão para evidenciar propriedades dessas figuras, possibilitando sistematização mais detalhadas, por exemplo: De outro modo, você pode propor além dessa tabela mais detalhada que organizem os resultados das suas observações, numa árvore de possibilidades: Ponto médio das duas Perpendiculares Ponto médio de uma Fora do ponto médio Diagonais iguais Ponto médio das duas Não perpendiculares Ponto médio de uma Ponto médio das duas Perpendiculares Diagonais diferentes Não perpendiculares COMENTÁRIOS: Verifique se os alunos obtiveram todos os tipos de quadriláteros convexos: Paralelogramos. Trapézios: Isósceles, retângulos, escaleno. Trapezóides: Isósceles ou não. Verifique também sua disposição na tabela ou na árvore: PARTE 3: QUANTAS DIAGONAIS TÊM UM POLÍGONO? MATERIAL NECESSÁRIO: Folha tipo I-4. DESENVOLVIMENTO: Desenvolva este trabalho primeiramente com polígonos convexos, regulares ou não e posteriormente proponha a verificação para outros tipos de polígonos. Solicite aos alunos, organizados em grupo de 4, que inicialmente tentem achar a quantidade de diagonais dos polígonos convexos da folha-tipo I-4. Dê um tempo para a discussão em cada grupo e depois disso, compare os resultados encontrados. Pergunte: Que método usaram para determiná-las? O que observaram ao traçarem as diagonais dos polígonos? É possível chegar numa lei geral para determinar o número de diagonais de um polígono? Verifique se observam que ao traçarem as diagonais a partir de um vértice, em dado momento elas começam a se repetir porque já foram desenhadas a partir de outro vértice. Proponha agora um método organizado, caso não tenham deduzido, solicitando que desenhem diferentes polígonos convexos, com número de lados n > 3: Peça a eles que desenhem todas as diagonais a partir de um vértice. Pergunte: Quantas são as diagonais que partem de um vértice do pentágono? No caso do pentágono o número de diagonais é o número de vértices multiplicado pelo número de diagonais que partem de cada um dos vértices? Por quê? No caso do quadrilátero ele tem 4 diagonais? Peça então para indicarem o número de lados e o número de diagonais que partem de um vértice nos seguintes casos: Pergunte se o número de lados do polígono fosse n qual seria o número de diagonais que “saem” de um vértice? Verifique se eles perceberam que esse número é n – 3 . E que ao traçarmos as diagonais de cada vértice, cada diagonal é computada duas vezes. Peça para eles escreverem uma expressão geral para determinar o número de diagonais de um polígono, após a discussão indique: Nº de diagonais = n . ( n – 3 ) : 2 COMENTÁRIOS: Conhecida essa expressão, proponha exercícios em que os alunos determinem o número de diagonais de um polígono regular ou não, conhecido o número de lados. Outro tipo de problema é calcular o número de lados, conhecidos o número de diagonais. Nesse último caso será necessário resolver através de equação do 2º grau, por isso pode ser proposto na8ª série, como problema do 2º grau. Peça agora que eles verifiquem a validade dessa expressão para polígonos não convexos. FOLHA-TIPO I-4
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