PO1_Aula_02

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Pesquisa Operacional I 
(CEP/CT025) – Aula 02
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
CAMPUS MINISTRO PETRÔNIO PORTELLA – CT
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
PROF. ÁLVARO LÉDO FERREIRA
CONTATO: a lvaro.ferre i ra@ufpi .edu.br 
3. Método de resolução gráfica
• Resolução gráfica é aplicável somente em problemas com duas 
variáveis;
• O procedimento inclui duas etapas:
• Determinação da região de soluções viáveis;
• Determinação da solução ótima entre todos os pontos viáveis da região 
de soluções.
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo: A Coral produz Antas para interiores e exteriores com base 
em duas matérias-primas, M1 e M2. Uma pesquisa de mercado 
indica que a demanda diária de Antas para interiores não pode 
ultrapassar a de Antas para exteriores por mais de 1t. Além disso, a 
demanda máxima diária de Anta para interiores é 2t. A Coral quer 
determinar o mix óAmo (o melhor) de produtos de Antas para 
interiores e exteriores que maximize o lucro total diário.
3. Método de resolução gráfica
Toneladas de matéria-prima por tonelada de Disponibilidade máxima 
diária (ton)Tinta para exteriores Tinta para interiores
Matéria-prima M1 6 4 24
Matéria-prima M2 1 2 6
Lucro por tonelada (R$ 1.000) 5 4
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo:
𝑥! = toneladas	de	tintas	para	exteriores	produzidas	diariamente
	
𝑥" = toneladas	de	tintas	para	interiores	produzidas	diariamente
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo:
𝑀𝑎𝑥	𝑍 = 5𝑥! + 4𝑥"
𝑠. 𝑎.
6𝑥! + 4𝑥" ≤ 24
𝑥! + 2𝑥" ≤ 6
𝑥" ≤ 𝑥! + 1 −𝑥! + 𝑥" ≤ 1
𝑥" ≤ 2
𝑥!, 𝑥" ≥ 0
3. Método de resolução gráfica
• Restrições com sinal de igualdade são definidos por uma reta;
• Restrições com sinal de desigualdade dividem o plano em uma reta 
e uma área;
• Dica para desigualdades: 
• Substitua o sinal por igualdade;
• Zere o valor de uma variável e marque o ponto no eixo correspondente;
• Repita o mesmo para a outra variável;
• Conecte os dois pontos.
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo: 6𝑥! + 4𝑥" ≤ 24
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo: 𝑥! + 2𝑥" ≤ 6
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo: 𝑥" ≤ 𝑥! + 1 −𝑥! + 𝑥" ≤ 1
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
3. Método de resolução gráfica
• Exemplo: 𝑥" ≤ 2
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
3. Método de resolução gráfica
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
3. Método de resolução gráfica
A
B
C D
E
F
3. Método de resolução gráfica
• Área azul: região de soluções viáveis;
• Em qual direção a função objeDvo aumenta?
• Exemplo:
• 5𝑥! + 4𝑥" = 10
• 5𝑥! + 4𝑥" = 15
• Solução óDma: ponto na região de soluções além do qual qualquer 
aumento adicional levará 𝑍 para fora da região viável (Ponto C);
3. Método de resolução gráfica
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
5𝑥! + 4𝑥" = 10
3. Método de resolução gráfica
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
x2
x1
5𝑥! + 4𝑥" = 10
5𝑥! + 4𝑥" = 15
3. Método de resolução gráfica
• Uma solução óDma de PL sempre está relacionada com um ponto 
extremo da região de soluções (em que duas retas se cruzam);
• Isso é válido até se, por acaso, a função objeDvo for paralela a uma 
restrição;
• Por exemplo, se a função objeDvo for 𝑍 = 6𝑥! + 4𝑥", que é paralela à 
restrição 1, sempre podemos dizer que a solução óDma ocorre no ponto 
extremo B ou no ponto extremo C;
• Na verdade, qualquer ponto sobre o segmento de reta BC será uma 
alternaDva óDma.
Pesquisa Operacional I 
(CEP/CT025) – Aula 02
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CAMPUS MINISTRO PETRÔNIO PORTELLA – CT
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
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CONTATO: a lvaro.ferre i ra@ufpi .edu.br