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Representação gráfica da função polinomial do segundo grau do tipo 
1ª série
Aula 3 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Representação gráfica da função polinomial do segundo grau do tipo .
Representar, no plano cartesiano, a relação entre as grandezas de uma função polinomial de 2º grau do tipo em situações diversas.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: (EM13MAT502) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo .
Estimativa de tempo para o desenvolvimento das seções:
Para começar: 10 min
Foco no conteúdo: 10 min
Na prática: 15 min
Aplicando: 10 min
Área e perímetro de um quadrado
No seu caderno de anotações, elabore uma tabela que contenha as quatro medidas dos lados de um quadrado e os respectivos valores de seu perímetro, e uma segunda tabela que contenha as mesmas medidas dos lados e as respectivas medidas das áreas. 
Após a elaboração das duas tabelas, desenhe um plano cartesiano e esboce o gráfico do perímetro em função da medida do lado do quadrado e também o gráfico da área em função da medida do lado do quadrado. Existe um valor para a medida do lado do quadrado em que a medida do perímetro é igual à medida da área?
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 min
Para começar
Correção
	Medida do lado
L	Medida do perímetro (P(L)) = 4L
	2	8
	3	12
	4	16
	5	20
	Medida do lado
L	Medida da
área
 (S(L))= 
	2	4
	3	9
	4	16
	5	25
Para começar
Correção
Como podemos constatar na representação gráfica, existe um ponto de intersecção entre as medidas de perímetro e da área, e isso mostra que, quando a medida do lado do quadrado é igual a 4 U.M., tanto o perímetro e área têm medida igual a 16 U.M. e , respectivamente.
Para começar
Anteriormente, vimos a relação de interdependência entre duas grandezas x e y, em que y é diretamente proporcional ao quadrado de x, isto é, , ou seja, .
De modo geral, a relação serve de base para iniciarmos os estudos das funções polinomiais de 2º grau, cuja forma geral é: 
Grandeza proporcional ao quadrado de outra: 
a função polinomial de 2º grau 
Tempo: 10 min
Foco no conteúdo
Nosso objetivo, agora, é estudar a representação gráfica da função 
Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta com inclinação igual a 1. Para construir o gráfico de , é preciso considerar tais aspectos:
O quadrado de um número situado entre 0 e 1 é menor que o próprio número, ou seja, , para ;
O quadrado de um número maior do que 1 é maior que o próprio número, ou seja, , para ;
Foco no conteúdo
O gráfico de é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que , para todo x;
O gráfico de encosta “suavemente” no eixo x, sem formar um “bico”.
Resumindo tais informações, temos o esboço gráfico a seguir, em que a curva correspondente é uma parábola.
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
Partindo do gráfico de fica fácil construir o gráfico de , com 
Para tanto, a cada valor de x, devemos fazer corresponder o produto , que é maior que , quando a > 1, e é menor que , quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam tanto mais “fechadas” quanto maior for o valor de a e tanto mais “abertas” quanto menor for o valor de a. Alguns gráficos desse tipo estão apresentados a seguir. 
Foco no conteúdo
Da mesma maneira, para os valores negativos de a, os gráficos mantêm a mesma forma, mas os valores de y tornam-se negativos. Observe a figura a seguir. 
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
Resumindo:
Observe que, quanto maior o valor absoluto do coeficiente a, mais “fechada” é a parábola. Quanto menor o valor absoluto de a, mais “aberta” ela é. O sinal de a indica se a concavidade (abertura) da parábola estará voltada para cima (a>0) ou para baixo (a<0). 
Foco no conteúdo
Atividade 1
A relação entre x e y é uma função polinomial do 2º grau. Represente, em um mesmo plano cartesiano, as situações 1 e 2 e, em outro plano cartesiano, as situações 3 e 4. 
	Situação 1	
	x	y
	-2	4
	-1	1
	0	0
	1	1
	2	4
	Situação 2	
	x	y
	-2	8
	-1	2
	0	0
	1	2
	2	8
	Situação 3	
	x	y
	-2	-4
	-1	-1
	0	0
	1	-1
	2	-4
	Situação 4	
	x	y
	-2	-8
	-1	-2
	0	0
	1	-2
	2	-8
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 15 min
Na prática
	Situação 1	
	x	y
	-2	4
	-1	1
	0	0
	1	1
	2	4
	Situação 2	
	x	y
	-2	8
	-1	2
	0	0
	1	2
	2	8
Correção
Na prática
Correção
	Situação 3	
	x	y
	-2	-4
	-1	-1
	0	0
	1	-1
	2	-4
	Situação 4	
	x	y
	-2	-8
	-1	-2
	0	0
	1	-2
	2	-8
Na prática
Atividade 2
Analise os dados das situações 1, 2, 3 e 4 e escreva a expressão algébrica entre a relação x e y. 
	Situação 1	
	x	y
	-2	4
	-1	1
	0	0
	1	1
	2	4
	Situação 2	
	x	y
	-2	8
	-1	2
	0	0
	1	2
	2	8
	Situação 3	
	x	y
	-2	-4
	-1	-1
	0	0
	1	-1
	2	-4
	Situação 4	
	x	y
	-2	-8
	-1	-2
	0	0
	1	-2
	2	-8
Na prática
	Situação 1	
		y
	4	4
	1	1
	0	0
	1	1
	4	4
Correção
Para determinar as expressões algébricas que relacionam os valores das variáveis y em função do quadrado da variável x, partiremos da tabela da Situação 1 e determinaremos a Taxa de Variação Média.
Na prática
Correção
Para estabelecer a expressão algébrica da Situação 2, podemos comparar os valores de y na Situação 1 e 2.
	Situação 1	
	x	y
	-2	4
	-1	1
	0	0
	1	1
	2	4
	Situação 2	
	x	y
	-2	8
	-1	2
	0	0
	1	2
	2	8
Ao comparar os valores de y nas duas tabelas, concluímos que os valores de y na Situação 2 são o dobro dos valores da Situação 1.
Então, podemos concluir que a expressão algébrica da Situação 2 será dada por: 
Na prática
Correção
Realizando o mesmo procedimento para encontrar as expressões algébricas das Situações 3 e 4, temos
	Situação 3	
		y
	4	-4
	1	-1
	0	0
	1	-1
	4	-4
Na prática
Correção
Para estabelecer a expressão algébrica da Situação 2, podemos comparar os valores de y na Situação 3 e 4.
	Situação 3	
	x	y
	-2	-4
	-1	-1
	0	0
	1	-1
	2	-4
	Situação 4	
	x	y
	-2	-8
	-1	-2
	0	0
	1	-2
	2	-8
Ao comparar os valores de y das duas tabelas, concluímos que os valores de y na Situação 4, são o dobro dos valores da Situação 3.
Então, podemos concluir que a expressão algébrica da Situação 4 será dada por: 
Na prática
Função polinomial do segundo grau e função polinomial do primeiro grau
Considere a função, no conjunto dos números reais, definida por :
Faça o esboço do gráfico de f(x);
Esboce graficamente as soluções da equação , determinando a interseção dos gráficos da função polinomial do 2º grau f(x) e da função polinomial do 1º grau g(x) = 4x. 
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 10 min
Aplicando
Correção
a.
Aplicando
Correção
b.
Aplicando
Representamos, no plano cartesiano, a relação entre as grandezas de uma função polinomial de 2º grau do tipo em situações diversas.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 96912
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
26
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Currículo em Ação, V. 1, 1ª série do Ensino Médio, São Paulo, 2020.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Ser protagonista: Matemática e suas tecnologias, números e álgebra. Ensino Médio. 1. ed. São Paulo: Edições SM, 2020. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 5 – Elaborado pelo autor.
Slide 9 – Elaborado pelo autor.
Slide 11 – Elaborado pelo autor.
Slide 12 – Elaborado pelo autor.
Slide 15 – Elaborado pelo autor.
Slide 16 – Elaborado pelo autor.
Slide 23 – Elaborado pelo autor.
Slide 24 – Elaborado pelo autor.
Referências
Material 
Digital
1
1
2
1
2
2
2
2
3
32
3
4
4
2
4
y
143
TVM1
143
x
y
011
TVM1
011
x
y
101
TVM1
101
x
y
413
TVM1
413
x
D
--
====
--
D
D
--
====
--
D
D
-
====
-
D
D
-
====
-
D
2
2
2
1
y
k1ykx
x
y1x
==Þ=×Þ
Þ=×
2
2
y2x
=×
(
)
(
)
(
)
1
1
2
1
2
2
2
2
3
3
2
3
4
4
2
4
y
143
TVM1
143
x
y
011
TVM1
011
x
y
101
TVM1
101
x
y
413
TVM1
413
x
D
---
====-
--
D
--
====-
--
D
D
---
====-
-
D
D
----
====-
-
D
2
2
2
y
k1ykx
x
y1x
==-Þ=×Þ
=-×
2
4
y2x
=-×