Métodos Numéricos para Engenharia

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Métodos Numéricos
para Engenharia
Quinta Edição
 Steven C. Chapra
Raymond P. Canale
 Steven C. Chapra
Raymond P. Canale
Métodos Numéricos
para Engenharia
QUINTA EDIÇÃO
Steven C. Chapra
Berger Chair em Computação e Engenharia
Universidade de Tufts 
Raymond P. Canale
Professor Emérito de Engenharia Civil 
Universidade de Michigan
Tradução Técnica
Helena Castro
Professora Doutora do Instituto de Matemática e 
Estatística da Universidade de São Paulo — IMEUSP
Versão impressa
 desta obra: 2008
2011
Métodos Numéricos para Engenharia
Tradução da Quinta Edição
ISBN 978-85-86804-87-8
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Tradução da quinta edição em inglês de Numerical Methods for Engineers, publicada pela McGraw-Hill, uma unidade de
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Programming Applications. 
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Produção Editorial: Nilcéia Esposito
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C467m Chapra, Steven C. 
Métodos numéricos para engenharia [recurso
eletrônico] / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ;
tradução técnica: Helena Castro. 5. ed. Dados 
eletrônicos. Porto Alegre : AMGH, 2011.
Publicado também como livro impresso em 2008.
ISBN 978-85-8055-011-5
1. Engenharia Método numérico. I. Canale, Raymond 
P. II. Título. 
CDU 62:51 
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus CRB 10/2052
Para
Margaret e Gabriel Chapra
Helen e Chester Canale
SUMÁRIO
PREFÁCIO xv
VISÃO GERAL DO LIVRO xviii
SOBRE OS AUTORES xxi
PARTE UM
MODELAGEM, PT1.1 Motivação 2
COMPUTADORES, E PT1.2 Fundamentos Matemáticos 4
ANÁLISE DE ERROS 1 PT1.3 Orientação 6
CAPÍTULO 1
Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de Engenharia 9
1.1 Um Modelo Matemático Simples 9
1.2 Leis de Conservação e Engenharia 15
Problemas 18
CAPÍTULO 2
Programação e Software 21
2.1 Pacotes e Programação 21
2.2 Programação Estruturada 22
2.3 Programação Modular 30
2.4 Excel 31
2.5 MATLAB 35
2.6 Outras Linguagens e Bibliotecas 38
Problemas 39
CAPÍTULO 3
Aproximações e Erros de Arredondamento 43
3.1 Algarismos Significativos 41
3.2 Exatidão e Precisão 45
3.3 Definições de Erros 46
3.4 Erros de Arredondamento 49
Problemas 62
CAPÍTULO 4
Erros de Truncamento e Séries de Taylor 63
4.1 A Série de Taylor 63
4.2 Propagação de Erros 77
4.3 Erro Numérico Total 81
4.4 Enganos, Erros de Formulação e Incerteza nos dados 82
Problemas 83
vii
EPÍLOGO: PARTE UM 86
PT1.4 Prós e Contras 86
PT1.5 Relações e Fórmulas Importantes 89
PT1.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 89
PARTE DOIS
RAÍZES DE PT 2.1 Motivação 92
EQUAÇÕES 92 PT 2.2 Fundamentos Matemáticos 94
PT 2.3 Orientação 95
CAPÍTULO 5
Métodos que Isolam a Raiz em Intervalos 98
5.1 Métodos Gráficos 98
5.2 Método da Bisecção 101
5.3 O Método da Falsa Posição 108
5.4 Buscas Incrementais e Determinação de Aproximações Iniciais 113
Problemas 114
CAPÍTULO 6
Métodos Abertos 116
6.1 Iteração de Ponto Fixo Simples 116
6.2 O Método de Newton-Raphson 121
6.3 O Método da Secante 125
6.4 Raízes Múltiplas 130
6.5 Sistemas de Equações Não Lineares 132
Problemas 136
CAPÍTULO 7
Raízes de Polinômios 138
7.1 Polinômios na Engenharia e Ciência 138
7.2 Cálculos Computacionais com Polinômios 140
7.3 Métodos Convencionais 143
7.4 O Método de Miller 144
7.5 O Método de Bairstow 147
7.6 Outros Métodos 152
7.7 Localização de Raízes com Bibliotecas e Pacotes 152
Problemas 160
CAPÍTULO 8
Estudos de Caso: Raízes de Equações 162
8.1 Leis dos Gases Ideais e Não-Ideais (Engenharia Química e Bioquímica) 162
8.2 Escoamento de Canal Aberto (Engenharia Civil/Ambiental) 164
8.3 Projeto de um Circuito Elétrico 168
8.4 Análise de Vibração (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 170
Problemas 175
EPÍLOGO: PARTE DOIS 184
PT2.4 Prós e Contras 184
PT2.5 Relações e Fórmulas Importantes 185
PT2.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 185
PARTE TRÊS
EQUAÇÕES PT3.1 Motivação 188
ALGÉBRICAS PT3.2 Fundamentos Matemáticos 190
LINEARES 188 PT3.3 Orientação 196
viii SUMÁRIO
SUMÁRIO ix
CAPÍTULO 9
Eliminação de Gauss 199
9.1 Resolução de um Número Pequeno de Equações 199
9.2 Eliminação de Gauss Ingênua 205
9.3 Armadilhas nos Métodos de Eliminação 211
9.4 Técnicas para Melhorar Soluções 215
9.5 Sistemas Complexos 221
9.6 Sistemas de Equações Não-Lineares 222
9.7 Gauss-Jordan 223
9.8 Resumo 225
Problemas 225
CAPÍTULO 10
Decomposição LU e Inversão de Matrizes 228
10.1 Decomposição LU 228
10.2 A Matriz Inversa 236
10.3 Análise de Erro e Condicionamento do Sistema 239
Problemas 244
CAPÍTULO 11
Matrizes Especiais e Gauss-Seidel 246
11.1 Matrizes Especiais 246
11.2 Gauss-Seidel 250
11.3 Equações Algébricas Lineares com Bibliotecas e Pacotes 256
Problemas 262
CAPÍTULO 12
Estudos de Caso: Equações Algébricas Lineares 264
12.1 Análise do Estado Estacionário de um Sistema de Reatores 
(Engenharia Química/ Bioengenharia) 264
12.2 Análise de uma Treliça Estaticamente Determinada 
(Engenharia Civil/Ambiental) 267
12.3 Correntes e Voltagens em Circuitos Resistores (Engenharia Elétrica) 269
12.4 Sistemas Massa/Mola (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 271
Problemas 273
EPÍLOGO: PARTE TRÊS 282
PT3.4 Prós e Contras 282
PT3.5 Relações e Fórmulas Importantes 283
PT3.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 283
PARTE QUATRO
OTIMIZAÇÃO 285 PT4.1 Motivação 286
PT4.2 Fundamentos Matemáticos 290
PT4.3 Orientação 292
CAPÍTULO 13
Otimização Unidimensional sem Restrições 294
13.1 Busca da Razão Áurea 295
13.2 Interpolação Quadrática 300
13.3 O Método de Newton 302
Problemas 304
CAPÍTULO 14
Otimização Multidimensional sem Restrições 306
14.1 Métodos Diretos 306
14.2 Métodos Gradiente 310
Problemas 321
CAPÍTULO 15 
Otimização Restrições 323
15.1 Programação Linear 323
15.2 Otimização com Restrições Não-lineares 332
15.3 Otimização com Pacotes 333
Problemas 343
CAPÍTULO 16 
Estudos de Caso: Otimização 345
16.1 Projeto de Menor Custo de um Tanque (Engenharia Química/Bioengenharia) 345
16.2 Tratamento de Baixo Custo para Dejetos Líquidos (Engenharia Civil/Ambiental) 349
16.3 Potência Máxima Transferida para um Circuito (Engenharia Elétrica) 353
16.4 Projeto de Montain Bike (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 356
Problemas 358
EPÍLOGO: PARTE QUATRO 363
PT4.4 Prós e Contras 363
PT4.5 Referências Adicionais 364
PARTE CINCO
AJUSTE DE PT5.1 Motivação 366
CURVAS366 PT5.2 Fundamentos Matemáticos 368
PT5.3 Orientação 376
CAPÍTULO 17
Regressão por Mínimos Quadrados 379
17.1 Regressão Linear 379
17.2 Regressão Polinomial 393
17.3 Regressão Linear Múltipla 396
17.4 Mínimos Quadrados Linear Geral 398
17.5 Regressão Não Linear 403
Problemas 406
CAPÍTULO 18
Interpolação 409
18.1 Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton 409
18.2 Polinômios Interpoladores de Lagrange 419
18.3 Coeficientes de um Polinômio Interpolador 423
18.4 Interpolação Inversa 424
18.5 Comentários Adicionais 425
18.6 Interpolação por Splines 426
Problemas 436
CAPÍTULO 19
Aproximação de Fourier 438
19.1 Ajuste de Curvas com Funções Senoidais 439
19.2 Série de Fourier Contínua 444
19.3 Domínios de Freqüência e Tempo 447
19.4 Integral e Transformada de Fourier 450
19.5 Transformada de Fourier Discreta (TFD) 452
19.6 Transformada Rápida de Fourier (FFT) 454
19.7 O Espectro de Potência 459
x SUMÁRIO
SUMÁRIO xi
19.8 Ajuste de Curvas com Bibliotecas e Pacotes 460
Problemas 467
CAPÍTULO 20
Estudos de Caso: Ajuste de Curvas 470
20.1 Regressão Linear e Modelos Populacionais 
(Engenharia Química/Bioengenharia) 470
20.2 Uso de Splines para Estimar Transferência de Calor 
(Engenharia Civil/Ambiental) 473
20.3 Análise de Fourier (Engenharia Elétrica) 475
20.4 Análise de Dados Experimentais (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 476
Problemas 477
EPÍLOGO: PARTE CINCO 486
PT5.4 Prós e Contras 486
PT5.5 Relações e Fórmulas Importantes 487
PT5.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 489
PARTE SEIS
INTEGRAÇÃO PT 6.1 Motivação 491
DERIVAÇÃO PT 6.2 Fundamentos Matemáticos 499
NUMÉRICAS 491 PT 6.3 Orientação 501
CAPÍTULO 21
Fórmulas de Integração de Newton-Cotes 504
21.1 A Regra do Trapézio 505
21.2 Regras de Simpson 513
21.3 Integração com Segmentos Desiguais 521
21.4 Fórmulas de Integração Abertas 524
21.5 Integrais Múltiplas 524
Problemas 526
CAPÍTULO 22
Integração de Equações 528
22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para Equações 528
22.2 Integração de Romberg 530
22.3 Quadratura de Gauss 534
22.4 Integrais Impróprias 540
Problemas 543
CAPÍTULO 23
Derivação Numérica 545
23.1 Fórmulas de Derivação de Alta Precisão 545
23.2 Extrapolação de Richardson 548
23.3 Derivadas de Dados Desigualmente Espaçados 549
23.4 Derivadas e Integrais para Dados com Erros 550
23.5 Integração e Derivação Numéricas com Bibliotecas e Pacotes 551
Problemas 554
CAPÍTULO 24
Estudos de Caso: Integração e Derivação Numéricas 545
24.1 Integração para Determinar a Quantidade Total de Calor (Engenharia
Química/Bioengenharia) 545
24.2 Força Efetiva no Mastro de um Veleiro de Corrida 
(Engenharia Civil/Ambiental) 559
24.3 Corrente Eficaz por Integração Numérica (Engenharia Elétrica) 561
24.4 Integração Numérica para Calcular o Trabalho 
(Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 563
Problemas 566
EPÍLOGO: PARTE SEIS 575
PT6.4 Prós e Contras 575
PT6.5 Relações e Fórmulas Importantes 576
PT6.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 576
PARTE SETE
EQUAÇÕES PT7.1 Motivação 578
DIFERENCIAIS PT7.2 Fundamentos Matemáticos 582
ORDINÁRIAS 578 PT7.3 Orientação 584
CAPÍTULO 25
Métodos Runge-Kutta 587
25.1 Método de Euler 588
25.2 Melhorias no Método de Euler 597
25.3 Métodos de Runge-Kutta 604
25.4 Sistemas de Equações 612
25.5 Métodos de Runge-Kutta Adaptativos 617
Problemas 623
CAPÍTULO 26
Rigidez e Métodos de Passo Mútiplo 625
26.1 Rigidez 625
26.2 Métodos de Passo Múltiplo 628
Problemas 646
CAPÍTULO 27
Problemas de Contorno e de Autovalor 648
27.1 Métodos Gerais para Problemas de Contorno 649
27.2 Problemas de Autovalor 654
27.3 EDOs e Autovalores com Bibliotecas e Pacotes 664
Problemas 670
CAPÍTULO 28
Estudos de Caso: Equações Diferenciais Ordinárias 673
28.1 Usando EDOs para Analisar a Resposta Transiente de um Reator 
(Engenharia Química/Bioengenharia) 673
28.2 Modelos Predador-Presa e Caos (Engenharia Civil/Ambiental) 788
28.3 Simulando Correntes Transientes para um Circuito Elétrico 
(Engenharia Elétrica) 682
28.4 O Pêndulo Oscilante (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 686
Problemas 689
EPÍLOGO: PARTE SETE 695
PT7.4 Prós e Contras 695
PT7.5 Relações e Fórmulas Importantes 696
PT7.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 696
PARTE OITO
EQUAÇÕES PT8.1 Motivação 699
DIFERENCIAIS PT8.2 Orientação 702
PARCIAIS 699
xii SUMÁRIO
SUMÁRIO xiii
CAPÍTULO 29
Diferenças Finitas: Equações Elípticas 705
29.1 A Equação de Laplace 705
29.2 Técnicas de Solução 707
29.3 Condições de Contorno 712
29.4 A Abordagem por Volume de Controle 717
29.5 Software para Resolver Equações Elípticas 720
Problemas 721
CAPÍTULO 30
Diferenças Finitas: Equações Parabólicas 722
30.1 A Equação de Condução do Calor 722
30.2 Métodos Explícitos 723
30.3 Um Método Implícito Simples 726
30.4 O Método de Crank-Nicolson 730
30.5 Equações Parabólicas em Duas Dimensões Espaciais 732
Problemas 735
CAPÍTULO 31
Método dos Elementos Finitos 736
31.1 A Abordagem Geral 737
31.2 Aplicação de Elementos Finitos em uma Dimensão Um 740
31.3 Problemas Bidimensionais 748
31.4 Resolvendo EDPs com Bibliotecas e Pacotes 751
Problemas 756
CAPÍTULO 32
Estudos de Caso: Equações Diferenciais Parciais 758
32.1 Balanço de Massa Unidimensional de um Reator 
(Engenharia Química/Bioengenharia) 758
32.2 Deflexões em uma Placa (Engenharia Civil/Ambiental) 762
32.3 Problemas de Campo Eletrostáticos Bidimensionais (Engenharia Elétrica) 763
32.4 Solução por Elementos Finitos de uma Série de Molas 
(Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 766
Problemas 769
EPÍLOGO: PARTE OITO 771
PT 8.3 Prós e Contras 771
PT 8.4 Relações e Fórmulas Importantes 771
PT 8.5 Métodos Avançados e Referências Adicionais 772
APÊNDICE A: A SÉRIE DE FOURIER 773
APÊNDICE B: INICIAÇÃO AO MATLAB 774
BIBLIOGRAFIA 781
ÍNDICE REMISSIVO 785
PREFÁCIO
Já se passaram 20 anos desde a publicação da primeira edição deste livro. Nesse período,
nossa asserção de que os métodos numéricos e os computadores figurariam mais proemi-
nentemente nos currículos de engenharia — particularmente em seus primeiros anos —
se tornou dramaticamente verdadeira. Muitas universidades agora oferecem cursos tanto
em introdução à computação quanto de métodos numéricos em seus primeiros três anos.
Além disso, muitos de nossos colegas estão integrando problemas orientados para o com-
putador em outros cursos em todos os níveis do currículo. Logo, esta nova edição ainda
está fundamentada na premissa básica de que é preciso oferecer aos estudantes de enge-
nharia uma introdução forte e o mais cedo possível aos métodos numéricos. Conseqüen-
temente, embora tenhamos expandido nossa cobertura nesta nova edição, tentamos man-
ter muitas das características que tornaram a primeira edição acessível a estudantes tanto
do início quanto do final da graduação. Elas incluem:
• Orientação para problemas. Os estudantes de engenharia aprendem melhor
quando motivados por problemas. Isso é particularmente verdadeiro para matemá-
tica e computação. Então, adotamos uma abordagem de uma perspectiva de reso-
lução de problemas.
• Pedagogia Orientada para o Estudante. Desenvolvemos diversas características para
tornar este livro tão amigável ao estudante quanto possível. Elas incluem a organização
geral, o uso das introduções e dos epílogos para consolidar os tópicos principais e o uso
extensivo de exemplos trabalhados e estudos de casos de todas as áreas da engenharia.
Tentamos também manter nossas explicações simples e orientadas para a prática.
• Abordagem por “Caixas Transparentes”. Embora enfatizemos a resolução de pro-
blemas, acreditamos que é autolimitante para os engenheiros abordar os algoritmos
numéricos como “caixas pretas”. Assim, incluímos teoria suficiente para permitir que
os usuários entendam os conceitos básicos por trás dos métodos. Em particular, enfa-
tizamos a teoria relacionada à análise de erros, as limitações desses métodos e os prós
e contras entre os métodos.
• Orientação para Computadores Pessoais. Inicialmente, quando escrevemos este
livro, existia um grande abismo entre o mundo batch dos computadoresde grande
porte e o mundo interativo dos PCs. Hoje em dia, conforme o desempenho dos PCs
aumenta, essa distinção está desaparecendo. Dito isso, este livro ainda enfatiza as vi-
sualizações e os cálculos iterativos, que são os marcos dos computadores pessoais.
• Capacitação dos Estudantes. Obviamente, introduzimos os estudantes aos recursos-
padrão, prontos para o uso, de pacotes como o Excel e o software MATLAB. Entre-
tanto, também é mostrado aos estudantes como desenvolver programas simples, bem
estruturados, para estender os recursos básicos desses ambientes. Esse conhecimento
se transporta para linguagens de programação padrão como Visual Basic, Fortran 90
e C/C++. Acreditamos que a fuga da programação de computadores representa um
pouco de uma queda nos currículos de engenharia. O ponto principal é que, enquanto
os engenheiros não estiverem satisfeitos em ficar limitados pelas ferramentas, preci-
sarão escrever códigos. Só que agora eles podem ser chamados de “macros” ou 
“M-files”. Este livro é projetado para capacitá-los a fazer isso. 
xv
Além desses cinco princípios originais, a principal melhoria da quinta edição é uma
grande revisão e expansão dos conjuntos de problemas dos finais dos capítulos. A maio-
ria dos problemas foi modificada, de modo que fornecem soluções numéricas diferentes
das edições anteriores. Além disso, diversos novos problemas foram incluídos. Como nas
edições anteriores, incluímos tanto problemas matemáticos quanto aplicados de todos os
ramos da engenharia. Em todos os casos, nosso propósito é fornecer aos estudantes exer-
cícios para verificarem seu entendimento e para ilustrar como os métodos numéricos
podem ajudá-los a resolver problemas mais eficientemente.
Como sempre, nossa principal intenção ao escrever este livro é fornecer aos estu-
dantes uma sólida introdução aos métodos numéricos. Acreditamos que os estudantes
motivados que apreciem os métodos numéricos, a computação e a matemática irão, no
final, tornar-se melhores engenheiros. Se nosso livro estimular um entusiasmo por esses
assuntos, consideraremos nossos esforços um sucesso.
Agradecimentos. Gostaríamos de agradecer a nossos amigos na McGraw-Hill. Em
particular, Amanda Green, Suzanne Jeans e Peggy Selle, que forneceram uma atmosfera
positiva e de apoio para a criação desta edição. Como sempre, Beatrice Sussman fez um
excelente trabalho na edição do manuscrito e Michael Ryder fez importantes con-
tribuições durante a produção do livro. Agradecimentos especiais aos professores Wally
Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee e Kevin Mace (Virginia Tech) e à
professora Theresa Good (Texas A&M), que contribuiu com problemas para nosso livro
ao longo dos anos. Como nas edições passadas, David Clough (Universidade do Co-
lorado) e Jerry Stedinger (Universidade de Cornell) generosamente compartilharam seu
discernimento e suas sugestões. Sugestões úteis também foram feitas por Bill Philpot
(Universidade de Cornell), Jim Guilkey (Universidade de Utah), Dong-Il Seo (Universi-
dade Nacional de Chungnam, Coréia) e Raymundo Cordero e Karim Muci (ITESM, Mé-
xico). A presente edição também se beneficiou das revisões e sugestões fornecidas pelos
seguintes colegas:
Ella M. Atkins, University of Maryland
Betty Barr, University of Houston
Florin Bobaru, University of Nebraska–Lincoln
Ken W. Bosworth, Idaho State University
Anthony Cahill, Texas A&M University
Raymond C. Y. Chin, Indiana University–Purdue, Indianapolis
Jason Clark, University of California, Berkeley
John Collings, University of North Dakota
Ayodeji Demuren, Old Dominion University
Cassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of Technology
Subhadeep Gan, University of Cincinnati
Aaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State University
Gregory L. Griffin, Louisiana State University
Walter Haisler, Texas A&M University
Don Hardcastle, Baylor University
Scott L. Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University
David J. Horntrop, New Jersey Institute of Technology
Tribikram Kundu, University of Arizona
Hysuk Lee, Clemson University
Jichun Li, University of Nevada, Las Vegas
Jeffrey S. Marshall, University of Iowa
George Novacky, University of Pittsburgh
Dmitry Pelinovsky, McMaster University
Siva Parameswaran, Texas Technical University
Greg P. Semeraro, Rochester Institute of Technology
Jerry Sergent, Faifield University
Dipendra K. Sinha, San Francisco State University
Scott A. Socolofsky, Texas A&M University
xvi PREFÁCIO
PREFÁCIO xvii
Robert E. Spall, Utah State University
John C. Strikwerda, University of Wisconsin-Madison
Karsten E. Thompson, Louisiana State University
Kumar Vemaganti, University of Cincinnati
Peter Wolfe, University of Maryland
Yale Yurttas, Texas A&M University
Nader Zamani, University of Windsor
Viktoria Zoltay, Tufts University
Devemos enfatizar que, embora tenhamos recebido sugestões úteis das pessoas men-
cionadas, somos responsáveis por quaisquer imprecisões ou erros que possam ser detec-
tados nesta edição. Por favor, contate Steve Chapra por e-mail se detectar algum erro. 
Finalmente, gostaríamos de agradecer a nossa família, amigos e estudantes por sua
paciência e seu apoio permanentes. Em particular, Cyntia Chapra e Claire Canale estão
sempre lá, fornecendo compreensão, perspectiva e amor.
Steven C. Chapra
Medford, Massachusetts
steven.chapra@tufts.edu
Raymond P. Canale
Lake Leelanau, Michigan
VISÃO GERAL DO LIVRO
Para fornecer uma perspectiva dos métodos numéricos,
organizamos o texto em partes e apresentamos
informações unificadoras nos elementos Motivação,
Fundamentos Matemáticos, Orientação e Epílogo.
Todos os capítulos contêm problemas para casa
novos e revisados. Oitenta por cento dos problemas
são novos ou revisados. No texto, são incluídos
problemas desafiadores tirados de todas as
disciplinas de engenharia.
Seções do texto, bem como problemas para casa,
são dedicados à implementação de métodos
numéricos com o Excel da Microsoft e o software
MATLAB do The MathWorks, Inc.
PT 3.1
Motivação
PT 3.2
Fundamentos
matemáticos PT 3.3
Orientação
9.1
Sistemas
pequenos
9.2
Eliminação de
Gauss ingênuaPARTE 3
 Equações
Algébricas
Lineares
PT 3.6
Métodos
avançados
EPÍLOGO
CAPÍTULO 9
Eliminação
de Gauss
PT 3.5
Fórmulas
importantes
PT 3.4
Prós e contras
12.4
Engenharia
mecânica
12.3
Engenharia
elétrica
12.2
Engenharia
civil 12.1
Engenharia
química 11.3
Bibliotecas
e pacotes
11.2
Gauss-
Seidel
11.1
Matrizes
especiais
CAPÍTULO 10
Decomposição LU
e Inversão de
Matrizes
CAPÍTULO 11
Matrizes Especiais
e Gauss-Seidel
CAPÍTULO 12
Estudos de Caso:
Equações 
Algébricas
Lineares
10.3
Condicionamento
do sistema
10.2
A matriz
inversa
10.1
Decomposição
LU
9.7
Gauss-Jordan
9.6
Sistemas de
equações
não-lineares
9.5
Sistemas
complexos
9.4
Técnicas para
melhorar soluções
9.3
Armadilhas dos
métodos de 
eliminação
PROBLEMAS 436
18.6.4 Algoritmo Computacional para Splines Cúbicos
O método para calcular splines cúbicos delineados na seção anterior é ideal para imple-
mentação computacional. Lembre-se de que, por algumas manipulações engenhosas, o
método reduziu o problema à resolução de n − 1 equações simultâneas. Um benefício
adicional da dedução é que, como especificado pela Equação (18.37), o sistema de
equações é tridiagonal. Como descrito na Seção 11.1, estão disponíveis algoritmos para
resolver tais sistemas de maneira extremamente eficiente. A Figura 18.18 esboça um es-
quema computacional que incorpora essas características.
Observe que a rotina na Figura 18.18 retorna um único valor interpolado, yu, para
um dado valor da variável independente xu. Essa é apenas uma das formas como a inter-
polação por splines pode ser implementada. Por exemplo, você poderia querer determinar
os coeficientes uma única vez e então fazer muitas interpolações. Além disso, a rotina re-
torna tanto a primeira (dy) quanto a segunda (dy2)derivadas em xu. Embora não seja
necessário calcular essas quantidades, elas se mostram úteis em muitas aplicações de in-terpolação por splines.
PROBLEMAS
18.1 Faça uma estimativa do logaritmo comum de 10 usando inter-
polação linear.
(a) Interpole entre log 8 � 0,9030900 e log 12 � 1,0791812.
(b) Interpole entre log 9 � 0,9542425 e log 11 � 1,0413927. Para
cada interpolação, calcule o erro relativo percentual baseado no
valor verdadeiro.
18.2 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 2o grau para
fazer uma estimativa de log 10 usando os dados do Problema 18.1
em x � 8, 9 e 11. Calcule o erro relativo percentual verdadeiro.
18.3 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 3o grau 
usando os dados do Problema 18.1.
18.4 Considere os dados
x 1,6 2 2,5 3,2 4 4,5
f ( ) 2 8 14 15 8 2
18.9 Use interpolação inversa para determinar o valor de x que cor-
responde a f (x) � 0,85 para os seguintes dados tabulados:
x 0 1 2 3 4 5
f (x) 0 0,5 0,8 0,9 0,941176 0,961538
Observe que os valores na tabela foram gerados com a função 
f (x) � x3�(2 � x3). 
(a) Determine o valor correto analiticamente.
(b) Use interpolação cúbica de x em função de y. 
(c) Use interpolação inversa com interpolação quadrática e a fór-
mula quadrática. 
(d) Use interpolação inversa com interpolação cúbica e bissecção.
Para as partes (b) a (d) calcule o erro relativo percentual ver-
dadeiro.
7.7 LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES COM BIBLIOTECAS E PACOTES 155
7.7.2 MATLAB
Como resumido na Tabela 7.1, o software MATLAB é capaz de localizar raízes de uma
única equação algébrica ou transcendental. Ele é excelente na manipulação e determi-
nação de raízes de polinômios. 
A função fzero é projetada para localizar uma raiz de uma única equação. Uma re-
presentação simplificada de sua sintaxe é
fzero(f,x0,options)
onde f é a função que você está analisando, x0 é a aproximação inicial, e options são os
parâmetros de otimização (estes são mudados usando-se a função optimset). Se options
for omitido, serão usados valores-padrão. Observe que podem ser utilizadas uma ou duas
aproximações. Se forem usadas duas aproximações, é suposto que elas cerquem uma raiz.
O exemplo a seguir ilustra como fzero pode ser usado.
TABELA 7.1 Funções comuns no MATLAB relacionadas com
a localização de raízes e manipulação de
polinômios.
Função Descrição
fzero Raiz de uma única função.
roots Encontra raízes de polinômios.
poly Constrói polinômios com raízes especificadas.
polyval Calcula valores de polinômios.
polyvalm Calcula valores de polinômios com argumentos matriciais.
residue Expansão em frações parciais (resíduos).
polyder Deriva polinômios.
conv Multiplica polinômios.
deconv Divide polinômios.
EXEMPLO 7.6 Usando o MATLAB para a Localização de Raízes
xviii
Nosso texto apresenta diversos exemplos trabalhados
para fornecer ao estudante ilustrações passo a passo
de como os métodos numéricos são implementados.
Há 28 estudos de casos de engenharia para ajudar
os estudantes a ligar os métodos numéricos aos
principais campos da engenharia.
Recursos Disponíveis no Site
O Online Learning Center (Centro de Aprendizagem Online) no
endereço www.mhhe.com/chapra oferece recursos para o estudante e
para o professor. Esses materiais estão disponíveis em inglês e alguns
são comerciais, ou seja, você precisa comprá-los. Os professores
brasileiros necessitam obter uma senha junto à McGraw-Hill do Brasil
para acessarem os recursos on-line. A senha deve ser solicitada por 
e-mail (divulgacao_brasil@mcgraw-hill.com). Na Europa, a senha deve ser
obtida junto à McGraw-Hill de Portugal (servico_clientes@mcgraw-hill.com).
Todos os softwares utilizados nos recursos on-line foram desenvolvidos pela McGraw-Hill dos EUA.
A McGraw-Hill Interamericana do Brasil não oferece suporte para esses softwares nem se responsa-
biliza por qualquer falha que possa ocorrer durante o seu uso. Caso tenha algum problema, acesse o
suporte técnico em www.mhhe.com/support ou ainda o site do produto em www.cosmosm.com.
10.2 A MATRIZ INVERSA 237
EXEMPLO 10.3 Inversão de Matrizes
Enunciado do Problema. Utilize a decomposição LU para determinar a inversa da
matriz do sistema do Exemplo 10.2.
[A] =
[ 3 −0,1 −0,2
0,1 7 −0,3
0,3 −0,2 10
]
Lembre-se de que a decomposição resultou nas seguintes matrizes triangulares superior e
inferior:
[U ] =
[ 3 −0,1 −0,2
0 7,00333 −0,293333
0 0 10,0120
]
[L] =
[ 1 0 0
0,0333333 1 0
0,100000 −0,0271300 1
]
Solução. A primeira coluna da matriz inversa pode ser determinada efetuando-se o
procedimento de solução da substituição progressiva com um vetor unitário (com o 1 na
primeira linha) como vetor do lado direito. Assim, a Equação (10.8), o sistema triangular
inferior, pode ser escrito como[ 1 0 0
0,0333333 1 0
0,100000 −0,0271300 1
]{ d1
d2
d3
}
=
{ 1
0
0
}
e resolvido com substituição progressiva para determinar {D}T = �1 −0,03333
−0,1009�. Esse vetor pode ser usado como lado direito na Equação (10.3),[ 3 −0,1 −0,2
0 7,00333 −0,293333
0 0 10,0120
]{x1
x2
x3
}
=
{ 1
−0,03333
−0,1009
}
a qual pode ser resolvida por substituição regressiva para determinar
{X}T = �0,33249 −0,00518 −0,01008�, que é a primeira coluna da matriz,
[A]−1 =
[ 0,33249 0 0
−0,00518 0 0
0 01008 0 0
] Estudos de Caso: 
Raízes de Equações
O propósito deste Capítulo é usar os procedimentos numéricos discutidos nos Capítulos
5, 6 e 7 para resolver problemas reais de engenharia. As técnicas numéricas são impor-
tantes nas aplicações práticas porque a engenharia freqüentemente encontra problemas
que não podem ser abordados usando-se técnicas analíticas. Por exemplo, modelos
matemáticos simples que podem ser resolvidos analiticamente nem sempre são aplicáveis
quando problemas reais estão envolvidos. Logo, modelos mais complicados precisam ser
usados. Nesses casos, é apropriado implementar uma solução numérica com o computa-
dor. Em outras situações, problemas de projeto de engenharia exigem soluções para as
variáveis implícitas em equações complicadas.
Os estudos de caso a seguir são encontrados rotineiramente nos cursos de graduação
mais avançados e nos de pós-graduação. Além disso, são representativos dos problemas
tratados profissionalmente. Tais problemas são tirados de quatro ramos importantes da
engenharia: química, civil, elétrica e mecânica. Essas aplicações também servem para
ilustrar os prós e contras entre as diversas técnicas numéricas. 
A primeira aplicação, tirada da engenharia química, fornece um exemplo excelente
de como os métodos para localizar raízes permitem usar fórmulas realísticas na prática da
engenharia. Além disso, também ilustra como a eficiência da técnica de Newton-Raphson
é usada com vantagem quando um grande número de localizações de raízes é necessário. 
Os problemas de projeto em engenharia seguintes são tirados da engenharia civil,
elétrica e mecânica. A Seção 8.2 usa tanto os métodos que isolam as raízes em intervalos
quanto os métodos abertos para determinar a profundidade e a velocidade da água es-
coando em um canal aberto. A Seção 8.3 mostra como as raízes das equações transcen-
dentais podem ser utilizadas no projeto de um circuito elétrico. As Seções 8.2 e 8.3 tam-
bém ilustram como os métodos gráficos fornecem percepção do processo de localização
de raízes. Finalmente, a Seção 8.4 usa a localização de raízes de polinômios para analisar
a vibração de um automóvel.
8C A P Í T U L O 8
8.1 LEIS DOS GASES IDEAIS E NÃO-IDEAIS (ENGENHARIA
QUÍMICA E BIOQUÍMICA)
Fundamentos. A lei dos gases ideais é dada por
pV = nRT (8.1)
xix
Steve Chapra leciona no Departamento de Engenharia Civil e Ambiental na Universi-
dade de Tufts, onde ocupa a posição de Louis Berger Chair na Computação e Engenharia.
Seus outros livros incluem Surface Water-Quality Modeling and Applied Numerical
Methods with MATLAB.
Dr. Chapra recebeu diplomas de engenharia do Manhattan College e da Universi-
dade de Michigan. Antes de se juntar ao corpo docente da Tufts, trabalhou para a Agência
de Proteção Ambiental e para a Administração Nacional Atmosférica e Oceânica e lecio-
nou na Universidade A&M do Texas e na Universidade do Colorado. Seus interesses
gerais em pesquisa se concentramna modelagem da qualidade da água superficial e em
aplicações computacionais avançadas na engenharia ambiental.
Ele recebeu diversos prêmios por suas contribuições acadêmicas, incluindo a
medalha Rudolph Hering (ASCE) de 1993 e o Prêmio de Autor Notável da Meriam-
Wiley de 1987 (Sociedade Norte-Americana para Educação em Engenharia). Também foi
reconhecido como um professor destacado entre o corpo docente tanto da Universidade
A&M do Texas (Prêmio Tenneco de 1986) quanto da Universidade do Colorado (Prêmio
Hutchinson de 1992).
Raymond P. Canale é professor emérito da Universidade de Michigan. Durante sua
carreira de mais de 20 anos na universidade, e ministrou diversos cursos na área de com-
putadores, métodos numéricos e engenharia ambiental. Também dirigiu programas de
pesquisa extensivos na área de modelagem matemática e computacional de ecossistemas
aquáticos. Ele foi autor ou co-autor de diversos livros e publicou mais de cem artigos e re-
latórios científicos. Também projetou e desenvolveu software para computadores pes-
soais para facilitar a educação em engenharia e a solução de problemas de engenharia. Ele
ganhou o Prêmio de Autor Notável da Meriam-Wiley da Sociedade Norte-Americana
para Educação em Engenharia por seus livros e software e diversos prêmios por suas pu-
blicações técnicas. 
O professor Canale está atualmente dedicando suas energias a problemas aplica-
dos, nos quais trabalha com empresas e indústrias de engenharia e agências governamen-
tais como consultor e perito.
SOBRE OS AUTORES
xxi
PT1.1 MOTIVAÇÃO 1
PARTE UMPARTE UM
MODELAGEM,
COMPUTADORES E ANÁLISE
DE ERROS
Os métodos numéricos são técnicas pelas quais os problemas matemáticos são formula-
dos de modo que possam ser resolvidos com operações aritméticas. Embora existam
muitos tipos de métodos numéricos, eles têm uma característica em comum: invariavel-
mente envolvem grande número de cálculos aritméticos tediosos. Não é nada surpreen-
dente que, com o desenvolvimento de computadores digitais rápidos e eficientes, o papel
dos métodos numéricos na resolução de problemas de engenharia aumentou dramatica-
mente nos últimos anos.
PT1.1.1 Métodos Não-computacionais
Além de fornecer uma capacidade computacional aumentada, a disponibilidade muito di-
fundida dos computadores (especialmente dos computadores pessoais) e a parceria com
métodos numéricos vêm tendo uma influência significativa na resolução moderna de
problemas de engenharia. Na era antes do computador, em geral havia três formas dife-
rentes pelas quais os engenheiros abordavam a solução de problemas:
1. As soluções eram deduzidas para alguns problemas usando-se métodos analíticos ou
exatos. Essas soluções eram freqüentemente úteis e forneciam uma visão excelente do
comportamento de alguns sistemas. Entretanto, as soluções analíticas podem ser
deduzidas apenas para uma classe limitada de problemas, que incluem os que podem
ser aproximados por modelos lineares e aqueles que têm uma geometria simples e
dimensão baixa. Conseqüentemente, as soluções analíticas têm valor prático limitado
porque, em sua maioria, os problemas reais são não-lineares e envolvem formas e
processos complexos.
2. As soluções gráficas eram usadas para caracterizar o comportamento dos sistemas;
em geral, elas tinham a forma de gráficos ou nomógrafos. Embora as soluções
gráficas freqüentemente possam ser usadas para resolver problemas complexos, os
resultados não são muito precisos. Além disso, soluções gráficas (sem a ajuda de
computadores) são extremamente tediosas e inconvenientes para implementar.
Finalmente, as técnicas gráficas, com freqüência, são limitadas a problemas que
podem ser descritos usando-se três dimensões ou menos.
3. Calculadoras e regras de cálculos eram usadas para implementar os métodos
numéricos manualmente. Embora, em teoria, tais abordagens fossem perfeitamente
adequadas para resolver problemas complexos, na realidade, eram encontradas
muitas dificuldades. Os cálculos manuais são lentos e tediosos. Além disso,
resultados consistentes são esquivos por causa de enganos simples que acontecem
quando tarefas manuais numerosas são realizadas.
Na era pré-computador, uma quantidade significativa de energia era gasta na técnica
de resolução propriamente dita, em vez de na definição e interpretação do problema
(Figura PT1.1a). Essa situação lamentável existia porque muito tempo e trabalho pesado
eram necessários para obter respostas numéricas usando-se as técnicas pré-computador.
Hoje em dia, os computadores e os métodos numéricos fornecem uma alternativa
para tais cálculos complicados. Usando o poder do computador para obter diretamente
soluções, é possível abordar esses cálculos sem o recurso de hipóteses simplificadoras ou
PT1.1 MOTIVAÇÃO
2
PT1.1 MOTIVAÇÃO 3
técnicas para economizar tempo. Embora as soluções analíticas ainda sejam extrema-
mente valiosas tanto para soluções dos problemas quanto para fornecer uma visão geral,
os métodos numéricos representam alternativas que aumentam enormemente os recursos
para confrontar e resolver problemas. Como resultado, mais tempo fica disponível para
ser usado em habilidades criativas. Portanto, mais ênfase pode ser posta na formulação do
problema e na interpretação da solução e na incorporação do sistema total, ou percepção
“holística” (Figura PT1.1b).
PT1.1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS E PRÁTICA DA ENGENHARIA
Desde o fim da década de 1940, a vasta disponibilidade dos computadores digitais levou
a uma verdadeira explosão no uso e desenvolvimento dos métodos numéricos. Inicial-
mente, esse crescimento foi um pouco limitado pelo custo do acesso a computadores de
grande porte — conseqüentemente, muitos engenheiros continuaram a usar a abordagem
analítica simples em uma parte significativa do seu trabalho. É claro que a recente
evolução dos computadores pessoais baratos forneceu pronto acesso a recursos computa-
cionais poderosos. Existem diversas razões adicionais pelas quais se deve estudar méto-
dos numéricos:
1. Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de
problemas. Eles são capazes de lidar com um grande número de equações, não-
linearidades e geometrias complicadas que não são incomuns na prática da
engenharia e, em geral, são impossíveis de resolver analiticamente. Dessa forma, eles
aumentam enormemente a capacidade de resolver problemas.
2. Durante a carreira, o profissional da engenharia freqüentemente terá ocasião de usar
pacotes comercialmente disponíveis, ou programas de computador “enlatados” que
envolvem métodos numéricos. O uso inteligente desses programas depende, com
freqüência, do conhecimento da teoria básica fundamental dos métodos.
INTERPRETAÇÃO
Facilidade de cálculos permite o
desenvolvimento de pensamentos
holísticos e da intuição; a 
sensibilidade e o comportamento
do sistema podem ser estudados
FORMULAÇÃO
Exposição profunda da
relação entre o problema
e as leis fundamentais
SOLUÇÃO
Método
computacional
fácil de usar
(b)
INTERPRETAÇÃO
Análise profunda
limitada pela
solução demorada
FORMULAÇÃO
As leis fundamentais
eram explicadas
resumidamente
SOLUÇÃO
Método elaborado e, em geral,
complicado para tornar os
problemas tratáveis
(a)
FIGURA PT1.1
Há três fases de resolução de
problemas de engenharia (a)
na era pré-computador e (b) na
era do computador. O tamanho
das caixas indica o nível de
ênfase direcionada a cada
fase. Os computadores
facilitaram a implementação 
da técnica de resolução e,
portanto, permitiram mais
ênfase nos aspectos criativos
da formulação do problema e
na interpretação dos resultados.
3. Muitos problemas não podem ser abordados utilizando programas enlatados. Se o
engenheiro estiver familiarizado com métodos numéricos e souber programar o
computador, poderá projetar seu próprio programa para resolver problemas sem ter de
comprar ou contratar softwares caros.
4. Os métodos numéricos são um veículo eficiente para o aprendizado do uso de
computadores. É bem conhecido que uma forma eficiente de aprender a programar é
realmenteescrever um programa de computador. Como os métodos numéricos são, na
maior parte, projetados para implementação em computadores, eles se mostram ideais
para esse propósito. Além disso, são especialmente adequados para ilustrar o poder e
as limitações dos computadores. Quando se implementam com sucesso métodos
numéricos em um computador e, então, eles são aplicados para resolver problemas
intratáveis de outra forma, tem-se acesso a uma demonstração dramática de como os
computadores podem ajudar o desenvolvimento profissional. Ao mesmo tempo,
aprende-se a identificar e a controlar os erros das aproximações, que são parte
essencial de cálculos numéricos em grande escala.
5. Os métodos numéricos fornecem um veículo para o profissional reforçar seu
entendimento da matemática. Como uma função dos métodos numéricos é reduzir a
matemática mais avançada a operações aritméticas básicas, eles chegam aos detalhes
práticos de alguns tópicos que, de outra forma, seriam obscuros. Aprimoramento do
entendimento e da percepção pode resultar dessa perspectiva alternativa.
4 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
PT1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Todas as partes deste livro usam alguns fundamentos matemáticos. Conseqüentemente, o
material introdutório para cada parte inclui uma seção, como a presente seção, sobre fun-
damentos matemáticos. Como a Parte Um propriamente dita é devotada à revisão de ma-
terial em matemática e computadores, esta seção não envolve uma revisão de um tópico
matemático específico. Em vez disso, aproveita-se a oportunidade para introduzir o tipo
de assuntos da matemática cobertos neste livro. Como resumido na Figura PT1.2, esses
assuntos são:
1. Raízes de Equações (Figura PT1.2a). Esses problemas dizem respeito ao valor de
uma variável ou a um parâmetro que satisfaz uma única equação não-linear. Eles são
especialmente importantes no contexto de projetos de engenharia, em que
freqüentemente é impossível resolver explicitamente as equações para os parâmetros
do projeto.
2. Sistemas de Equações Algébricas Lineares (Figura PT1.2b). Esses problemas são
similares aos das raízes de equações, no sentido de que dizem respeito aos valores
que satisfazem tais equações. Entretanto, em contraste a satisfazer uma única
equação, é procurado um conjunto de valores que satisfaça simultaneamente um
conjunto de equações algébricas lineares. Essas equações aparecem em uma grande
variedade de contextos de problemas e em todas as disciplinas da engenharia. Em
particular, elas se originam na modelagem matemática de grandes sistemas de
elementos interconectados, como estruturas, circuitos elétricos e redes de fluidos.
Entretanto, também são encontradas em outras áreas dos métodos numéricos, como
ajustes de curva e equações diferenciais.
3. Otimização (Figura PT1.2c). Esses problemas envolvem a determinação de um valor
ou valores de uma variável independente que corresponde ao “melhor” valor ou ao
valor ótimo de uma função. Portanto, como na Figura PT1.2c, a otimização envolve
a identificação de máximos e mínimos. Tais problemas ocorrem rotineiramente no
contexto de projetos de engenharia. Eles também aparecem em uma variedade de
outros métodos numéricos. A otimização sem restrições é tratada tanto em uma
variável quanto em muitas variáveis. Também é descrita a otimização restrita, com
ênfase particular na programação linear.
PT1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 5
f(x)
x
Raiz
x2
x1
Solução
Mínimo
f(x)
x
Interpolação
f(x)
x
f(x)
x
Regressão
f(x)
I
(a) Parte 2: Raízes de equações
Resolva f(x) = 0 determinando x.
(c) Parte 4: Otimização
(b) Parte 3: Equações algébricas lineares
Dados os a’s e os c’s, resolva
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para determinar os x’s.
Determine x que dê o valor ótimo de f(x).
(e) Parte 6: Integração
 I = �a
b f (x) dx
 Encontre a área sob a curva.
(d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
y
x
(g) Parte 8: Equações diferenciais parciais
 Dada
 resolva, encontrando u como função
 de x e y
= f (x, y)�2u
�x2
�2u
�y2+
t
Inclinação =
f(ti, yi)
y
�t
ti ti + 1
( f ) Parte 7: Equações diferenciais ordinárias
 Dada
 resolva, encontrando y como função de t.
 yi + 1 = yi + f (ti , yi ) �t
� = f (t, y)
dy
dt
�y
�t
FIGURA PT1.2
Resumo dos métodos numéricos
cobertos neste livro.
4. Ajuste de Curvas (Figura PT1.2d). Freqüentemente é necessário ajustar curvas a
conjuntos de dados. As técnicas desenvolvidas para esse propósito podem ser
divididas em duas categorias gerais: regressão e interpolação. A regressão é
empregada quando existe um grau significativo de erro associado aos dados. Os
resultados experimentais são geralmente desse tipo. Para tais situações, a estratégia é
desenvolver uma única curva que represente a tendência geral dos dados, sem
necessariamente coincidir com nenhum ponto individual. Em contraste, a
interpolação é usada quando o objetivo é determinar valores intermediários entre
dados relativamente livres de erros — usualmente, é o caso para informações
tabuladas. Para tais situações, a estratégia é ajustar a curva diretamente pelos pontos
dados e usar essa curva para prever os valores intermediários.
5. Integração (Figura PT1.2e). Como descrito, uma interpretação física de integração
numérica é a determinação da área sob a curva. A integração tem muitas aplicações
na prática da engenharia, variando da determinação de centróides de objetos de forma
estranha a cálculos de quantidades totais baseados em conjuntos de medidas
discretas. Além disso, as fórmulas de integração numérica desempenham um papel
importante na solução de equações diferenciais.
6. Equações Diferenciais Ordinárias (Figura PT1.2f). As equações diferenciais
ordinárias têm um grande significado na prática da engenharia, e isso ocorre porque
muitas leis físicas são descritas em termos da taxa de variação de uma quantidade em
vez do valor da quantidade propriamente dita. Os exemplos variam de modelos de
previsão populacional (taxa de variação da população) à aceleração de um corpo em
queda livre (taxa de variação da velocidade). Dois tipos de problemas são tratados:
problemas de valor inicial e valor de contorno. Além disso, o cálculo de autovalores
também é coberto.
7. Equações Diferenciais Parciais (Figura PT1.2g). As equações diferenciais parciais
são usadas para caracterizar sistemas de engenharia nos quais o comportamento de
uma quantidade física é determinado pela sua taxa de variação em relação a duas ou
mais variáveis independentes. Os exemplos incluem a distribuição estacionária de
temperaturas em uma chapa aquecida (duas dimensões espaciais) ou a temperatura
dependendo do tempo de uma haste aquecida (tempo e uma dimensão espacial). Duas
abordagens fundamentalmente diferentes são empregadas para resolver equações
diferenciais parciais numericamente. Neste texto, serão enfatizados os métodos de
diferença finita, que aproximam a solução de maneira pontual (Figura PT1.2g).
Entretanto, também será apresentada uma introdução aos métodos de elementos
finitos, que usam uma abordagem por partes.
6 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
PT1.3 ORIENTAÇÃO
Alguma orientação pode ser útil antes de prosseguir com a introdução aos métodos
numéricos. O que segue deve ser visto como uma visão geral do material na Parte Um.
Além disso, alguns objetivos foram incluídos para focalizar os esforços do aluno ao estu-
dar este material.
PT1.3.1 Escopo e Visão Geral
A Figura PT1.3 é uma representação esquemática do material na Parte Um. Esse dia-
grama foi projetado para fornecer uma visão global desta parte do livro. O sentido de
“perspectiva geral” é crítico no desenvolvimento da intuição nos métodos numéricos.
Quando se lê um texto, é fácil perder-se nos detalhes técnicos. Sempre que o estudante
sentir que está perdendo a perspectiva geral, deve consultar a Figura PT1.3 para se
reorientar. Todas as partes deste livro incluem uma figura similar.
A Figura PT1.3 também serve como uma breve apresentação prévia do material
coberto na Parte Um. O Capítulo 1 foiprojetado para orientar o estudante nos métodos
numéricos e para fornecer motivação, mostrando como essas técnicas podem ser usadas
no processo de modelagem da engenharia. O Capítulo 2 é uma introdução e revisão de 
aspectos dos métodos numéricos relacionados com o computador e sugere o nível de ha-
PT1.3 ORIENTAÇÃO 7
bilidades computacionais que é necessário adquirir para aplicar de forma eficiente as in-
formações que vêm a seguir. Os Capítulos 3 e 4 dizem respeito ao importante tópico da
análise de erros, que precisa ser entendido para o uso eficiente dos métodos numéricos.
Além disso, é incluído um epílogo, no qual são introduzidos os prós e contras, que têm
um grande significado para a implementação efetiva dos métodos numéricos.
PT1.3.2 Metas e Objetivos
Objetivos de Estudo. Após completar a Parte Um, o estudante deverá estar adequada-
mente preparado para embarcar em seus estudos sobre os métodos numéricos. Em geral,
deve ter adquirido um entendimento fundamental sobre a importância dos computadores
e sobre o papel das aproximações e dos erros na implementação e no desenvolvimento
dos métodos numéricos. Além dessas metas gerais, deve ter dominado cada um dos obje-
tivos de estudo específicos listados na Tabela PT1.1.
CAPÍTULO 1
Modelagem
Matemática e
Resolução de
Problemas de
Engenharia
PARTE 1
Modelagem,
Computadores e
Análise
de Erros
CAPÍTULO 2
Programação
e Software
CAPÍTULO 3
Aproximações e
Erros de
Arredondamento
CAPÍTULO 4
Erros de
Truncamento
e Séries de Taylor
EPÍLOGO
2.6
Linguagens e
bibliotecas
2.5 
MATLAB
2.4 
Excel
2.3 
Programação
modular
2.2 
Programação
estruturada
2.1 
Pacotes e
programação
PT 1.2 
Fundamentos
matemáticos
PT 1.6
Métodos 
avançados
PT 1.5 
Relação e fórmulas
importantes
4.4
Enganos, erros 
de formulação e 
incerteza nos dados
4.3
Erro numérico
total
4.2
Propagação
de erros
4.1 
A série de
Taylor
3.4 
Erros de
arredondamento
3.1 
Algarismos
significativos
3.3
Definição
de erros
3.2
Acurácia e
precisão
PT 1.4
Prós e contras
PT 1.3
Orientação
PT 1.1
Motivação
1.2
Leis de
conservação 
e engenharia
1.1
Um modelo 
matemático simples
FIGURA PT1.3
Esquema da organização do material da Parte Um: Modelagem, Computadores e Análise de Erros.
Objetivos Computacionais. Quando completar a Parte Um, o estudante deve ter
adquirido habilidades computacionais suficientes para desenvolver seu próprio software
para os métodos numéricos neste texto. Deve ser capaz de desenvolver programas de com-
putador bem estruturados e confiáveis com base em pseudocódigo, fluxogramas e outras
formas de algoritmos. Também deve ter desenvolvido a capacidade de documentar seus
programas de forma que eles possam ser usados efetivamente pelos usuários. Finalmente,
além dos seus próprios programas, o aluno pode usar pacotes de softwares juntamente com
este livro. Os pacotes como Excel ou The MathWorks, Inc. MATLAB® são exemplos de
tais softwares. O estudante deve estar familiarizado com esses pacotes, de forma que possa
usá-los confortavelmente para resolver problemas numéricos mais adiante neste texto.
8 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
TABELA PT1.1 Objetivos de estudo específicos para a Parte Um.
1. Reconhecer a diferença entre soluções analítica e numérica.
2. Entender como as leis de conservação são empregadas para desenvolver modelos matemáticos do
sistema físico.
3. Definir projeto por refinamento e modular.
4. Definir as regras que fundamentam a programação estruturada.
5. Ser capaz de compor programas estruturados e modulares em uma linguagem de computação de
alto nível.
6. Saber como traduzir fluxogramas estruturados e pseudocódigos para códigos em uma linguagem de
alto nível.
7. Começar a se familiarizar com todos os pacotes de software que serão usados junto com este texto.
8. Reconhecer a distinção entre erros de truncamento e de arredondamento.
9. Entender os conceitos de algarismos significativos, acurácia e precisão.
10. Reconhecer a diferença entre erro relativo verdadeiro εt, erro relativo aproximado εa, e erro aceitável
εs, e entender como εa e εs são usados para finalizar um cálculo iterativo.
11. Entender como os números são representados em computadores digitais e como essa representação
induz a erros de arredondamento. Em particular, saber a diferença entre precisão simples e estendida.
12. Reconhecer como a aritmética do computador pode introduzir e ampliar erros de arredondamento
nos cálculos. Em particular, analisar o problema do cancelamento na subtração.
13. Entender como a série de Taylor e seu resto são empregados para representar funções contínuas.
14. Saber a relação entre as diferenças divididas finitas e as derivadas.
15. Ser capaz de analisar como os erros se propagam por meio das relações funcionais.
16. Estar familiarizado com os conceitos de estabilidade e condicionamento.
17. Familiarizar-se com os prós e contras delineados no Epílogo da Parte Um.
1C A P Í T U L O 1
Modelagem Matemática e
Resolução de Problemas de
Engenharia
O conhecimento e o entendimento são pré-requisitos para a implementação efetiva de
qualquer ferramenta. Não importa quão incrível seja sua caixa de ferramentas, você terá
dificuldades para consertar um carro se não entender como ele funciona.
Isso é particularmente verdade quando se usam computadores para resolver proble-
mas de engenharia. Embora tenham uma utilidade potencial imensa, os computadores são
praticamente inúteis sem um entendimento fundamental de como os sistemas da engenha-
ria funcionam. 
Esse conhecimento é adquirido inicialmente de forma empírica — isto é, por obser-
vação e experiência. Entretanto, embora tal informação adquirida empiricamente seja
essencial, ela é apenas metade da história. Durante anos e anos de observação e experiên-
cia, os engenheiros e cientistas notaram que certos aspectos dos seus estudos empíricos
ocorrem repetidamente. Tal comportamento geral pode então ser expresso como leis fun-
damentais que essencialmente representam o conhecimento acumulado da experiência
passada. Portanto, a resolução da maioria dos problemas de engenharia usa uma abor-
dagem com as duas vertentes, a do empirismo e a da análise teórica (Figura 1.1).
Deve ser enfatizado que as duas vertentes são intimamente ligadas. Conforme novas
medidas são feitas, as generalizações podem ser modificadas, ou novas generalizações
desenvolvidas. Analogamente, as generalizações podem ter uma forte influência nas 
experiências e observações. Em particular, as generalizações podem servir como princí-
pios organizatórios empregados para resumir resultados de observações e experiências
em uma estrutura coerente e abrangente, a partir das quais são tiradas conclusões. Da 
perspectiva de resolução de problemas de engenharia, tal estrutura é mais útil quando 
expressa na forma de um modelo matemático.
O objetivo primário deste capítulo é introduzi-lo à modelagem matemática e ao seu
papel na resolução de problemas de engenharia. Vamos também ilustrar como os métodos
numéricos figuram no processo.
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES
Um modelo matemático pode ser definido, de forma geral, como uma formulação ou
equação que expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico em
termos matemáticos. Em um sentido muito geral, ele pode ser representado como uma
relação funcional da forma
Variável
dependente
= f
(
Variáveis
independentes
, parâmetros,
termos
forçantes
)
(1.1)
onde a variável dependente é uma característica que usualmente reflete o comportamento
ou estado do sistema; as variáveis independentes usualmente são dimensões, como tempo
e espaço, ao longo das quais o comportamento do sistema está sendo determinado; os
parâmetros refletem propriedades ou composição do sistema; os termos forçantes são as
influências externas agindo sobre o sistema.
9
A expressão matemática real da Equação (1.1) pode variar de uma simples relação 
algébrica a um conjunto grande e complicado de equações diferenciais. Por exemplo,
com base em suas observações,Newton formulou sua segunda lei do movimento, que
afirma que a taxa de variação no tempo do momento de um corpo é igual à força resul-
tante agindo nele. A expressão matemática, ou modelo, da segunda lei é a equação bem
conhecida
F = ma (1.2)
onde F é a força resultante agindo no corpo (N, ou kg m/s2), m � massa do objeto (kg) e 
a é a sua aceleração (m/s2).
A segunda lei pode ser reescrita na forma da Equação (1.1) simplesmente dividindo
ambos os lados por m para obter
a = F
m
(1.3)
onde a é a a variável dependente refletindo o comportamento do sistema, F é o termo
forçante e m é um parâmetro representando uma propriedade do sistema. Observe que,
para esse caso simples, não há nenhuma variável independente, porque não estamos pre-
vendo como a aceleração varia no tempo ou no espaço.
A Equação (1.3) tem diversas características que são típicas de modelos matemáticos
do mundo físico:
1. Ela descreve um processo ou sistema natural em termos matemáticos.
2. Ela representa uma idealização e simplificação da realidade. Isto é, o modelo ignora
detalhes desprezíveis do processo natural e se concentra nas suas manifestações
essenciais. Portanto, a segunda lei não inclui os efeitos da relatividade, que são de
importância mínima quando aplicados a objetos e forças que interagem sobre a ou
perto da superfície da Terra, com velocidades e em escalas visíveis aos humanos.
10 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
Implementação
Resultados
numéricos ou
gráficos
Modelo
matemático
Definição
do problema
TEORIA DADOS
Ferramentas para a resolução
de problemas: computadores,
estatística, métodos
numéricos, gráficos etc.
Interface social:
planejamento, otimização,
comunicação,
interação com o público etc.
FIGURA 1.1
O processo de resolver 
problemas de engenharia.
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES 11
3. Finalmente, ela produz resultados que podem ser reproduzidos e, conseqüentemen-
te, ser usados para propósitos de previsão. Por exemplo, se a força sobre um objeto
e a massa de um objeto são conhecidas, a Equação (1.3) pode ser usada para calcular
a aceleração.
Por causa de sua forma algébrica simples, a solução da Equação (1.2) é facilmente
obtida. Entretanto, outros modelos matemáticos de fenômenos físicos podem ser
muito mais complexos e, ou não podem ser resolvidos exatamente, ou exigem técnicas
matemáticas mais sofisticadas que a álgebra simples para sua solução. Para ilustrar um
modelo mais complexo deste tipo, a segunda lei de Newton pode ser usada para deter-
minar a velocidade terminal de um corpo em queda livre, perto da superfície da Terra.
Nosso corpo em queda livre será um pára-quedista (Figura 1.2). Um modelo para esse
caso pode ser deduzido expressando a aceleração como taxa de variação no tempo da
velocidade (dv/dt) e substituindo-a na Equação (1.3) para obter
dv
dt
= F
m
(1.4)
onde v é a velocidade (m/s) e t é o tempo (s). Portanto, a massa multiplicada pela taxa de
variação da velocidade é igual à força resultante agindo no corpo. Se a força resultante for
positiva, o objeto irá acelerar. Se for negativa, o objeto vai desacelerar. Se a força resul-
tante for nula, a velocidade do objeto permanecerá em um nível constante.
A seguir, vamos expressar a força resultante em termos das variáveis e parâmetros
mensuráveis. Para um corpo em queda livre na vizinhança da Terra (Figura 1.2), a força
resultante é composta de duas forças opostas: a força gravitacional, para baixo, FD e a
força da resistência do ar, para cima, FU :
F = FD + FU (1.5)
Se associarmos um sinal positivo à força para baixo, a segunda lei pode ser usada
para escrever a força devida à gravidade como
FD = mg (1.6)
onde g é a constante gravitacional, ou a aceleração devida à gravidade, que é aproxi-
madamente igual a 9,8 m/s2.
A resistência do ar pode ser formulada de diversas maneiras. Uma abordagem sim-
ples é assumir que ela é linearmente proporcional à velocidade1 e age no sentido para
cima, como em 
FU = −cv (1.7)
onde c é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de arrasto (kg/s).
Portanto, quanto maior a velocidade de queda, maior a força para cima devida à resistên-
cia do ar. O parâmetro c representa as propriedades de objetos em queda livre, como a
forma ou a aspereza da superfície, que afetam a resistência do ar. No caso presente, c
poderia ser uma função do tipo de macacão ou da orientação usada pelo pára-quedista du-
rante a queda livre.
A força resultante é a diferença entre a força para baixo e a força para cima. Portanto,
as Equações (1.4) até (1.7) podem ser combinadas para fornecer
dv
dt
= mg − cv
m
(1.8)
ou, simplificando o lado direito,
dv
dt
= g − c
m
v (1.9)
FU
FD
FIGURA 1.2
Diagrama esquemático das
forças agindo em um pára-
quedista em queda livre. FD é a
força devida à gravidade, para
baixo. FU é a força devida à 
resistência do ar, para cima.
1 Na realidade, a relação é realmente não-linear e poderia ser mais bem representada por uma relação do tipo
potência, como FU � �cv2. Vamos explorar como tais não-linearidades afetam o modelo em um problema no
final deste capítulo.
A Equação (1.9) é um modelo que relaciona a aceleração do objeto em queda às
forças agindo nele. Ela é uma equação diferencial porque é escrita em termos da taxa de
variação diferencial (dv/dt ) da variável que estamos interessados em prever. Entretanto,
em contraste com a solução da segunda lei de Newton na Equação (1.3), a solução exata
da Equação (1.9) para a velocidade de um pára-quedista em queda livre não pode ser
obtida usando manipulação algébrica simples. Em vez disso, técnicas mais avançadas
como aquelas do cálculo devem ser aplicadas para se obter uma solução exata ou
analítica. Por exemplo, se o pára-quedista estiver inicialmente em repouso (v = 0 em
t = 0), o cálculo pode ser usado para resolver a Equação (1.9), fornecendo
v(t) = gm
c
(
1 − e−(c/m)t
)
(1.10)
Observe que a Equação (1.10) está escrita na forma geral da Equação (1.1), onde
v(t) é a variável independente, t é a variável independente, c e m são parâmetros, e g é o
termo forçante.
12 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
EXEMPLO 1.1 Solução Analítica para o Problema do Pára-quedista em Queda Livre
Enunciado do Problema. Um pára-quedista de massa 68,1 kg pula de um balão de ar
quente parado. Use a Equação (1.10) para calcular a velocidade anterior à abertura do
pára-quedas. O coeficiente de arrasto é igual a 12,5 kg/s.
Solução. Inserindo os parâmetros na Equação (1.10), obtemos
v(t) = 9,8(68,1)
12,5
(
1 − e−(12,5/68,1)t
) = 53,39
(
1 − e−0,18355t
)
o que pode ser usado para calcular
t, s v, m/s
0 0,00
2 16,40
4 27,77
6 35,64
8 41,10
10 44,87
12 47,49
� 53,39
De acordo com o modelo, o pára-quedista acelera rapidamente (Figura 1.3). Uma veloci-
dade de 44,87 m/s (100,4 mi/h) é atingida após 10 s. Observe também que, após um
tempo suficientemente longo, é atingida uma velocidade constante, chamada de veloci-
dade terminal, de 53,39 m/s (119,4 mi/h). Essa velocidade é constante porque, eventual-
mente, a força da gravidade estará em equilíbrio com a resistência do ar. Portanto, a força
resultante é nula e a aceleração deixa de existir.
A Equação (1.10) é chamada uma solução analítica ou exata porque ela satisfaz 
exatamente a equação diferencial original. Infelizmente, existem muitos modelos
matemáticos que não podem ser resolvidos exatamente. Em muitos desses casos, a única
alternativa é desenvolver uma solução numérica que aproxime a solução exata.
Como mencionado previamente, os métodos numéricos são aqueles nos quais os
problemas matemáticos são reformulados de forma que possam ser resolvidos por ope-
rações aritméticas. Isso pode ser ilustrado para a segunda lei de Newton, observando que
a taxa de variação no tempo da velocidade pode ser aproximada por (Figura 1.4):
dv
dt
∼= �v
�t
= v(ti+1) − v(ti )
ti+1 − ti
(1.11)
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES 13
onde �v e �t são diferenças na velocidade e no tempo, respectivamente, calculados sobre
intervalosfinitos, v(ti ) é velocidade em um instante inicial ti , e v(ti+1) é velocidade em
um instante posterior ti+1. Observe que dv/dt ∼= �v/�t é aproximado porque �t é finito.
Lembre-se, do cálculo, que
dv
dt
= lim
�t→0
�v
�t
A Equação (1.11) representa o processo reverso.
A Equação (1.11) é chamada de aproximação por diferença dividida finita da 
derivada no instante ti . Ela pode ser substituída na Equação (1.9) para fornecer
v(ti+1) − v(ti )
ti+1 − ti
= g − c
m
v(ti )
Esta equação pode ser rearranjada para fornecer
v(ti+1) = v(ti ) +
[
g − c
m
v(ti )
]
(ti+1 − ti ) (1.12)
0
0
20
40
4 8 12
t, s
v,
 m
/s
Velocidade terminal
FIGURA 1.3
A solução analítica do
problema do pára-quedista em
queda livre, como calculada no
Exemplo 1.1. A velocidade
aumenta com o tempo e se
aproxima assintoticamente da
velocidade terminal.
v(ti +1)
v(ti )
�v
Inclinação
verdadeira
dv/dt
Inclinação aproximada
�v
�t
v(ti +1) – v(ti )
ti +1 – ti 
=
ti +1ti t
�t
FIGURA 1.4
O uso de uma diferença finita
para aproximar a primeira
derivada de v com relação a t.
Observe que o termo entre colchetes é o lado direito da equação diferencial propri-
amente dita [Equação (1.9)]. Isto é, ela fornece um meio de calcular a taxa de variação
ou a inclinação de v. Portanto, a equação diferencial foi transformada em uma equação
que pode ser usada para determinar algebricamente a velocidade em ti+1 usando a incli-
nação e os valores anteriores de v e t. Se for dado um valor inicial para a velocidade em
algum instante ti , pode-se facilmente calcular a velocidade em um instante posterior ti+1.
Esse novo valor da velocidade em ti+1 pode, por sua vez, ser usado para estender o cál-
culo da velocidade a ti+2, e assim por diante. Portanto, em qualquer instante ao longo 
do caminho,
Valor novo � valor velho � inclinação � tamanho do passo
Observe que essa abordagem é chamada oficialmente de método de Euler.
14 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
EXEMPLO 1.2 Solução Numérica para o Problema do Pára-quedista em Queda Livre
Enunciado do Problema. Faça os mesmos cálculos que no Exemplo 1.1, mas use a
Equação (1.12) para calcular a velocidade. Use um passo de tamanho 2 s para os cálculos.
Solução. No início dos cálculos (ti = 0), a velocidade do pára-quedista é zero. Usan-
do essa informação e os valores dos parâmetros do Exemplo 1.1, a Equação (1.12) pode
ser utilizada para calcular a velocidade em ti+1 = 2 s:
v = 0 +
[
9,8 − 12, 5
68,1
(0)
]
2 = 19,60 m/s
Para o intervalo seguinte (de t � 2 a 4 s), os cálculos são repetidos, com o resultado 
v = 19,60 +
[
9,8 − 12,5
68,1
(19,60)
]
2 = 32,00 m/s
Continua-se os cálculos, de forma análoga, para se obter valores adicionais:
t, s v, m/s
0 0,00
2 19,60
4 32,00
6 39,85
8 44,82
10 47,97
12 49,96
� 53,39
O resultado está representado graficamente na Figura 1.5, juntamente com a solução
exata. Pode-se ver que o método numérico retrata as características essenciais da so-
lução exata. Entretanto, como foram usados segmentos de retas para aproximar uma
função que se curva continuamente, existe alguma discrepância entre os dois resultados.
Uma forma de minimizar tais discrepâncias seria usar um passo de tamanho menor. Por
exemplo, a aplicação da Equação (1.12) em intervalos de 1 s resulta em um erro menor,
já que os segmentos de retas seguem a solução verdadeira mais de perto. Fazendo-se os
cálculos à mão, o esforço associado ao uso de passos cada vez menores tornaria tais
soluções numéricas não-práticas. Entretanto, com o auxílio do computador, grandes
números de cálculos podem ser feitos facilmente. Portanto, pode-se modelar com exati-
dão a velocidade do pára-quedista em queda livre sem ter de resolver a equação diferen-
cial exatamente.
Como no exemplo anterior, para resultados numéricos mais acurados, deve-se pagar
o preço computacional. Cada vez que dividirmos o tamanho do passo pela metade, para
obter mais acurácia teremos de fazer o dobro do número de cálculos. Assim, vemos que
1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA 15
há um balanceamento entre a acurácia e o esforço computacional. Tais prós e contras
figuram de forma proeminente nos métodos numéricos e constituem um tema importante
neste livro. Conseqüentemente, devotamos o Epílogo da Parte Um a uma introdução a
mais desses prós e contras.
0
0
20
40
4 8 12
t, s
v,
 m
/s
Velocidade terminal
Solução analítica, exata
Solução numérica, aproximada
FIGURA 1.5
Comparação das soluções
numéricas e analíticas do
problema do pára-quedista 
em queda livre.
Além da segunda lei de Newton, existem outros princípios de organização importantes na
engenharia. Entre os mais importantes deles estão as leis de conservação. Embora elas
formem a base para uma variedade de modelos matemáticos complicados e poderosos, as
grandes leis de conservação da ciência e da engenharia são conceitualmente fáceis de en-
tender. Todas elas se reduzem a
Variação � aumento � diminuição (1.13)
Essa é precisamente a forma empregada quando se usa a lei de Newton para deduzir o
balanço de forças para um pára-quedista em queda livre [Equação (1.8)].
Embora simples, a Equação (1.13) engloba uma das formas mais fundamentais nas
quais as leis de conservação são usadas em engenharia — isto é, para predizer variações
com relação ao tempo. Dá-se à Equação (1.13) o nome especial de cálculo dependente do
tempo (ou transiente).
Além de predizer variações, uma outra forma na qual as leis de conservação são
aplicadas é no caso em que não existe a variação. Se a variação for nula, a Equação
(1.13) se torna
Variação � 0 � aumento � diminuição
ou
Aumento � diminuição (1.14)
Portanto, se não ocorrer nenhuma variação, o aumento e a diminuição devem estar
balanceados. Esse caso, que também possui um nome especial — o cálculo de estado
estacionário — tem muitas aplicações em engenharia. Por exemplo, para escoamentos de
fluidos incompressíveis e estacionários em tubos, o escoamento entrando em uma junção
deve ser balanceado pelo escoamento saindo, como em
Escoamento entrando � escoamento saindo
1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA
Para a junção na Figura 1.6, o balanço pode ser usado para calcular que o escoamento
saindo do quarto tubo deve ser 60.
Para o pára-quedista em queda livre, as condições estacionárias corresponderiam ao
caso em que a força resultante fosse nula ou [Equação (1.8) com dv/dt = 0]
mg = cv (1.15)
Desse modo, no estado estacionário, as forças para baixo e para cima estão balan-
ceadas e a Equação (1.15) pode ser resolvida para se determinar a velocidade terminal
v = mg
c
Embora as Equações (1.13) e (1.14) possam parecer trivialmente simples, elas en-
globam as duas formas fundamentais nas quais as leis de conservação são empregadas em
engenharia. Assim, elas constituirão uma parte importante de nossos esforços nos capítu-
los subseqüentes para ilustrar a conexão entre os métodos numéricos e a engenharia. Nos-
sos veículos primários para fazer essa conexão são as aplicações em engenharia que
aparecem no final de cada parte deste livro.
A Tabela 1.1 resume alguns dos modelos simples de engenharia e as leis de conser-
vação associadas que formarão a base para muitas dessas aplicações em engenharia. A
maioria das aplicações em engenharia química será focalizada no balanço de massa para
reatores. O balanço de massa é deduzido da conservação de massa. Ele especifica que a
variação de massa de um produto químico no reator depende da diferença da quantia de
massa escoando para dentro e da quantia de massa escoando para fora.
As aplicações tanto em engenharia civil quanto em engenharia mecânica serão foca-
lizadas em modelos desenvolvidos a partir da conservação do momento. Para a enge-
nharia civil, os balanços de força são utilizados para analisar estruturas como a treliça
simples na Tabela 1.1. Os mesmos princípios são usados nas aplicações em engenharia
mecânica para analisar o movimento transiente para cima e para baixo ou as vibrações de
um automóvel.
Finalmente, as aplicações em engenhariaelétrica usam tanto balanço de corrente
quanto de energia para modelar os circuitos elétricos. O balanço de corrente, que resulta
da conservação da carga, é parecido — em essência — com o balanço de escoamento
mostrado na Figura 1.6. Da mesma forma como o escoamento deve ser balanceado em
uma junção de tubos, a corrente elétrica deve ser balanceada em uma junção de fios elétri-
cos. O balanço de energia especifica que a variação de voltagem ao redor de qualquer laço
de um circuito deve totalizar zero. As aplicações em engenharia são planejadas para ilus-
trar como os métodos numéricos são realmente empregados no processo de resolução de
problemas de engenharia. Assim, elas vão permitir explorar questões práticas (Tabela 1.2)
que aparecem em aplicações do mundo real. Fazer essas conexões entre as técnicas
matemáticas, como os métodos numéricos, e a prática da engenharia é um passo crítico
para usar seu verdadeiro potencial. Um exame cuidadoso das aplicações de engenharia
vai ajudá-lo a dar esse passo.
16 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
Tubo 2
Escoamento para dentro = 80
Tubo 3
Escoamento para fora = 120
Tubo 4
Escoamento para fora = ?
Tubo 1
Escoamento para dentro = 100
FIGURA 1.6
Um balanço de escoamento
para o escoamento de um fluido
incompressível e estacionário na
junção de dois tubos.
1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA 17
TABELA 1.1 Dispositivos e tipos de balanços que são comumente usados nas quatro áreas principais da engenharia. 
Para cada caso, a lei de conservação na qual o balanço é baseado está especificada.
Estrutura
Engenharia civil Conservação do
momento
Engenharia química
Área Dispositivo Princípio organizacional Expressão matemática
Conservação da massa
Balanço de força:
Engenharia mecânica Conservação do
momento
Máquina Balanço de força:
Engenharia elétrica Conservação da carga Balanço de corrente:
Conservação da energia Balanço de voltagem:
Balanço de massa
Reatores Entrada Saída
Sobre um período unitário de tempo
 �massa = entrada – saída
Em cada nó
 � forças horizontais (FH) = 0
 � forças verticais (FV) = 0
Para cada nó
 � corrente (i ) = 0
Em torno de cada laço
 � fem’s – � queda de voltagem 
 por resistores = 0
 � 	 – � iR = 0
– FV
+ FV
+ FH– FH
+ i2
– i3+ i1+
–
Circuito
i1R1
i3R3
i2R2 �
Força para cima
Força para baixo
x = 0
m d
2x
dt2
= força para baixo – força para cima 
TABELA 1.2 Algumas questões práticas que serão exploradas nas aplicações de engenharia no final de cada parte deste livro.
1. Não-linear versus linear. Muito da engenharia clássica depende da linearização para permitir soluções analíticas. Embora muitas vezes isso
seja apropriado, pode-se aumentar a percepção ao se examinar os problemas não-lineares.
2. Sistemas grandes versus pequenos. Sem um computador, em geral não é possível examinar sistemas com mais de três componentes interagindo.
Com computadores e métodos numéricos, sistemas com muitos componentes, mais realistas, podem ser examinados.
3. Não-ideal versus ideal. As leis idealizadas abundam em engenharia. Em geral, existem alternativas não-idealizadas que são mais realistas, mas
que exigem mais do ponto de vista computacional. Abordagens numéricas apropriadas podem facilitar a aplicação dessas relações não-ideais.
4. Análise de sensibilidade. Como esse tipo de análise é bastante complicado, muitos cálculos manuais requerem uma grande quantidade de
tempo e esforço para uma implementação bem-sucedida. Algumas vezes, isso desencoraja o analista de implementar os cálculos múltiplos que
são necessários para examinar como o sistema responde sob diferentes condições. Tais análises de sensibilidade são facilitadas quando os méto-
dos numéricos permitem que o computador assuma toda a carga computacional.
5. Projeto. Em geral, é uma tarefa simples determinar o desempenho de um sistema como uma função de seus parâmetros. Normalmente, é mais
difícil resolver o problema inverso — isto é, determinar os parâmetros quando exigido é especificado. Os métodos numéricos e os computadores
freqüentemente permitem que essa tarefa seja implementada de forma eficiente.
1.1 A água é responsável por aproximadamente 60% do peso
total do corpo. Assumindo que ela pode ser categorizada em seis
regiões, as percentagens são como a seguir. O plasma é respon-
sável por 4,5% do peso do corpo e por um total de 7,5% da água
total do corpo. O tecido conectivo denso e as cartilagens ocupam
4,5% do peso total do corpo e 7,5% da água total do corpo. O
tecido intersticial é 12% do peso do corpo, o que dá 20% da água
total do corpo. A água inacessível do osso é aproximadamente
7,5% da água total do corpo e 4,5% do peso total do corpo. Se a
água intracelular for 33% do peso total do corpo e a água trans-
celular for 2,5% da água total do corpo, que percentagem do peso
total do corpo deve ser água transcelular e que percentagem da
água total do corpo deve ser a água intracelular?
1.2 Um grupo de 30 alunos assiste aula em uma sala que mede 
10 m por 8 m por 3 m. Cada aluno ocupa cerca de 0,075 m3 e li-
bera cerca de 80 W de calor (1 W � 1 J/s). Calcule o aumento da
temperatura do ar durante os primeiros 15 minutos de aula, se a
sala estiver completamente selada e isolada. Suponha que a ca-
pacidade térmica, Cv, do ar seja 0,718 kJ/(kg K). Suponha que o
ar seja um gás ideal a 20 °C e 101,325 kPa. Observe que o calor
absorvido pelo ar, Q, está associado à massa de ar m, à capaci-
dade calorífica e à variação de temperatura pela seguinte relação:
Q = m
∫ T2
T1
CvdT = mCv(T2 − T1)
A massa de ar pode ser obtida da lei dos gases ideais:
PV = m
Mwt
RT
onde P é a pressão do gás, V é o volume do gás, Mwt é o peso mo-
lecular do gás (para o ar, 28,97 kg/kmol) e R é a constante dos gases
ideais [8,314 kPa m3/(kmol K)].
1.3 A seguinte informação está disponível para uma conta de
banco:
Data Depósitos Saques Balanço
1/5 1512,33
220,13 327,26
1/6
216,80 378,61
1/7
450,25 106,80
1/8
127,31 350,61
1/9
Use a conservação do dinheiro para calcular o balanço em 1/6, 1/7,
1/8 e 1/9. Mostre cada passo dos cálculos. Esse é um cálculo esta-
cionário ou transiente?
1.4 A vazão em volume através de um tubo é dada por Q = vA,
onde v é a velocidade média e A é a área da seção transversal.
Use a continuidade do volume para encontrar a área pedida no
tubo 3.
Figura P1.4
1.5 A Figura P1.5 mostra as diversas formas pelas quais um
homem médio ganha e perde água durante um dia. Um litro é in-
gerido com a comida e o corpo metabolicamente produz 0,3 L.
Respirando o ar, a troca é 0,05 L enquanto inalando, e 0,4 L en-
quanto exalando, em um período de um dia. O corpo também vai
perder 0,2, 1,4, 0,2 e 0,35 L através de suor, urina, fezes e pela pele, 
respectivamente. Para manter uma condição estacionária, quanta
água deve ser bebida por dia?
Figura P1.5
1.6 Para o pára-quedista em queda livre com arrasto linear, con-
sidere inicialmente um indivíduo de 70 kg e que tenha um coefi-
ciente de arrasto de 12 kg/s. Se um segundo pára-quedista tem um
coeficiente de arrasto de 15 kg/s e uma massa de 75 kg, quanto
tempo levará para ele atingir a mesma velocidade que o primeiro
atingiu em 10 s?
1.7 Use cálculo para resolver a Equação (1.9) no caso em que a ve-
locidade inicial v(0) é não-nula.
1.8 Repita o Exemplo 1.2. Calcule a velocidade até 10 s, com o
tamanho do passo (a) 1 e (b) 0,5 s. Você pode fazer alguma afir-
mação com relação aos erros nos cálculos baseado nos resultados?
1.9 Em vez da relação linear da Equação (1.7), você poderia esco-
lher modelar a força para cima no pára-quedista por uma relação de
segundo grau, 
FU = −c′v2
onde c′ é um coeficiente de arrasto de segunda ordem (kg/m).
(a) Usando o cálculo, obtenha a solução na forma fechada, no caso
em que o pára-quedista está inicialmente em repouso (v = 0
em t = 0).
(b) Repita o cálculo numérico do Exemplo 1.2 com a mesma
condição inicial e os mesmos valores dos parâmetros. Use um
valor de 0,225 kg/m para c′.
Pele
Urina
CORPO
Comida
Bebida
Fezes
Suor
Ar
Metabolismo