Exercício 03 - Tensões_resolvido

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0,3ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS - USP 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SEM 241 - ELEMENTOS DE MÁQUINAS 
Prof. Dr. Jonas de Carvalho 
 
 Resolução exercício 03 – 24/Abril/2023 
 
A figura abaixo representa um eixo pertencente a um redutor de velocidades. 
Todo o torque recebido pela engrenagem I é integralmente transmitido através 
da engrenagem II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 
Diâmetros primitivos (dp ) : Engrenagem I: 180 mm Engrenagem II: 300 mm 
Forças atuantes na Engrenagem I (N): Fx = |5000|; Fy = |3000|; 
Forças atuantes na Engrenagem II (N):Fx = |8000|; Fy =|3000|; Fz =|4000| 
(sentidos conforme indicados na Figura) 
 
Pede-se: 
 
a) Traçar os diagramas de esforços solicitantes (M, N, Q e Mt). 
b) Calcular e traçar os diagramas de distribuição de tensões na seção A do eixo 
circular da figura, considerando d = 60 mm, na fixação da engrenagem II. 
c) Determinar o ponto mais solicitado na mesma seção, considerando todas 
tensões atuantes; 
d) Discutir se, dos valores calculados no item anterior, alguns valores são mais 
representativos. Caso afirmativo, justificar fisicamente o porquê. 
d) Calcular a tensão equivalente (Von Mises) para o ponto determinado no ítem 
anterior. 
 
 
 
ADOTAR TODOS OS DADOS QUE JULGAR NECESSÁRIOS, 
JUSTIFICANDO-OS 
x 
y z 
200 
300 
100 
Engrenagem I 
Engrenagem II 
A 
Resolução (SI) 
 
a-1) Plano x-z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑MfA = 0 → 5000.0,1- 8000.0,4 – 600 + RB.0,6 = 0 → RBx = 5500 N 
 
∑FV = 0 → RAx = -2500 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1 0,3 0,2 
z 
x 
A B 
Eng. I 
Eng. II 
8000 
5000 
4000 
Mf = 4000x0,3/2= 600 N.m 
0,1 0,3 0,2 
z 
x 
Eng. I 
Eng. II 
8000 
5000 
4000 
600 N.m 
2500 
5500 
2500 
2500 
5500 
250 N.m 
500 
600 
V (cortante) (N) 
Mf (flexão) (N.m) 
4000 
a-2) Plano y-z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑MfA = 0 → RBy = -1500 N 
∑FV = 0 → RAy = 1500 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1 0,3 0,2 
z 
y 
A B 
Eng. I 
Eng. II 
3000 
3000 
0,1 0,3 0,2 
Eng. I 
Eng. II 
3000 
3000 
1500 
1500 
1500 
1500 
1500 
150 N.m 
300 N.m 
z 
y 
V (cortante) (N) 
Mf (flexão) (N.m) 
4000 
 
a-3) axial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a-4) seção mais solicitada ao longo da peça: verificar os maiores 
carregamentos. No caso é na fixação da Engrenagem II. Para esta seção 
calcular os valores resultantes da composição dos dois planos ortogonais (se 
houver dúvidas, calcular para outras seções e comparar!). 
No caso, para seção da Eng. II (observem que estes máximos ocorrem em 
diferentes planos da seção): 
 
 
𝑀𝑓𝑅 = √𝑀𝑓𝑥−𝑧
2 + 𝑀𝑓𝑦−𝑧
2 = √11002 + 3002 = 1140,18 𝑁. 𝑚 
 
 
𝑉𝑅 = √𝑉𝑥−𝑧
2 + 𝑉𝑦−𝑧
2 = √55002 + 15002 = 5700,88 𝑁 
 
𝑀𝑡 = 450 𝑁. 𝑚 
 
𝑁 = − 4000 𝑁 (compressão) 
 
 
 
 
 
 
 
N = - 4000 
N (normal) (N) 
0,1 0,3 0,2 
A B 
Eng. I 
Eng. II 
Mt = 5000x0,18/2= 3000x0,30/2 
Mt = 450 N.m 
Mt (torção) (N.m) 
4000 
b) Cálculo das tensões considerando diâmetro na seção da fixação da 
Engrenagem II igual a 60 mm: 
 
b-1) Parâmetros geométricos: 
 
Área da seção: 𝑆 =
𝜋𝑑2
4
= 
𝜋.0,062
4
= 2,82. 10−3 𝑚2 
 
 
 
Módulo de resistência à flexão: 𝑊𝑓 =
𝜋𝑑3
32
= 
𝜋.0,063
32
= 2,12. 10−5 𝑚3 
 
 
 
Módulo à resistência à torção: 𝑊𝑡 =
𝜋𝑑3
16
= 
𝜋.0,063
16
= 4,24. 10−5 𝑚3 
 
b-2) Tensões máximas: 
 
Tensão normal devido à Normal: 
 
 𝜎𝑁 = 
𝑁
𝑆
= 
4000
2,82.10−3 = 1,42. 106 = 1,42 𝑀𝑃𝑎 (compressão) 
 
Tensão normal devido à Flexão: 
 
 𝜎𝑓 = 
𝑀𝑓𝑅
𝑊𝑓
= 
1140,18
2,12.10−5
= 53,78. 106 = 53,78 𝑀𝑃𝑎 
 
Tensão cisalhamento pura: 
 
 𝜎𝑁 = 
𝑉𝑅
𝑆
= 
5700,88
2,82.10−3 = 2,02. 106 = 2,02 𝑀𝑃𝑎 
 
Tensão cisalhamento devido à Torção: 
 
 𝜎𝑓 = 
𝑀𝑡
𝑊𝑡
= 
450
4,24.10−5
= 10,61. 106 = 10,61 𝑀𝑃𝑎 
 
Tensão cisalhamento devido à Flexão: 
 
 𝜎𝑓 = 
4.𝑉
3.𝑆
= 
4.5700,88
3.2,82.10−3
= 2,69. 106 = 2,69 𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
 
Observe que L/D ≥ 5 → Flexo-torção 
 
 
 
 
c) Distribuição de tensões na seção: 
 
Tensões normais devido à Normal e devido à Flexão: 
 
 
 
 
 
 
Tensões de cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puro Torção Flexão 
 
 
Ou seja, os valores máximos destas tensões ocorrem em pontos distintos 
da seção !! 
Simplificações: 
 
1- Tensões máximas ocorrem no mesmo ponto (a favor da segurança); 
2- Para casos em que L/D ≥ 5, considerar flexo-torção; 
 
 
 
d) Considera-se flexo-torção, L/D = 600/60 = 10 
 
 
e) Considerando flexo-torção: 
 
 
Tensão equivalente de Von-Mises: 
 
 
𝜎 = √𝜎𝑛
2 + 3. 𝜏2 = √53,782 + 3. 10,612 = 𝟓𝟔, 𝟖𝟒 𝑴𝑷𝒂