Função Polinomial de Segundo Grau

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Definindo a função polinomial de segundo grau do tipo: 
 com a 0
1ª SÉRIE
Aula 6 – 3º Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Definição de função polinomial de segundo grau;
Coeficientes da função polinomial de segundo grau;
Concavidade.
Explorar a ideia de função polinomial de segundo grau e suas propriedades.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: 
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Tempo estimado para as seções:
Para começar: 5 minutos
Foco no conteúdo: 15 minutos
Na prática: 15 minutos
Aplicando: 10 minutos
Grandeza proporcional ao quadrado de outra grandeza
Considere as funções:
Se uma grandeza y é diretamente proporcional ao quadrado de uma grandeza x , então existe uma constante k, tal que .
Em quais das funções uma variável é diretamente proporcional ao quadrado da outra?
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 5 minutos
Para começar
Correção
Nas funções h(x) e m(x), pois:
Para começar
Função polinomial de segundo grau 
Definição:
Tempo: 15 minutos
Uma aplicação de ℝ em ℝ, recebe o nome de função polinomial de segundo grau ou função quadrática quando associa a cada x ∊ ℝ o elemento , em que a, b, e c são números reais e a ≠ 0. 
Foco no conteúdo
Coeficientes da função polinomial de segundo grau
Os coeficientes a, b e c da função polinomial de segundo grau fornecem informações que nos auxiliam a verificar sua representação gráfica.
Foco no conteúdo
Coeficiente a
Observando o sinal do coeficiente a, podemos verificar se a representação gráfica da parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo. 
a > 0 
a < 0 
Foco no conteúdo
Coeficiente a
Observando o valor absoluto do coeficiente a, podemos verificar que, quanto menor for o valor absoluto do coeficiente a, maior será a abertura de sua representação gráfica.
Foco no conteúdo
Coeficiente b
O coeficiente b de uma função polinomial de segundo grau indica se a representação gráfica da função intersecta o eixo das ordenadas (y), no ramo crescente ou decrescente dessa representação gráfica. 
A parábola intersecta o eixo y no ramo crescente e b > 0.
A parábola intersecta o eixo y no ramo decrescente e b < 0.
A parábola intersecta o eixo y no vértice e b = 0.
Foco no conteúdo
O gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo y: 
No ramo crescente se b > 0.
No ramo decrescente se b < 0.
No vértice se b = 0.
Se uma função polinomial de segundo grau é crescente à direita de seu vértice, ela será decrescente à esquerda desse ponto, e vice-versa, dependendo da concavidade da parábola. 
Foco no conteúdo
Coeficiente c
O coeficiente c de uma função polinomial de segundo grau corresponde à ordenada do ponto em que sua representação gráfica intersecta o eixo das ordenadas, ou seja, no ponto (0, c). 
Foco no conteúdo
Atividade 1
a. Em que condições a função polinomial de segundo grau 
 está definida?
b. Determine uma função polinomial de segundo grau em que
f(0) = 1, f(1) = 4 e f(1) = 2.
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 15 minutos
Na prática
a. Em que condições a função polinomial de segundo grau 
 está definida?
Correção
Uma função polinomial de segundo grau é definida quando associa o elemento , em que a, b e c , e a 0. 
Na prática
Correção
b. Determine uma função polinomial de segundo grau em que
f(0) = 1, f(1) = 4 e f(1) = 2.
Na prática
Correção
Na prática
Atividade 2
Determine a lei de formação das funções polinomiais de segundo grau g e h.
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Simulador de lançamentos oblíquos 
Agora que você já conhece todas as características dos coeficientes de uma função polinomial de segundo grau, utilize seus conhecimentos para lançar um projétil e atingir o alvo. Para acessar o simulador, clique sobre a figura a seguir.
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 minutos
Aplicando
Explorar a ideia de função polinomial de segundo grau e suas propriedades.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 97321
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
22
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática Elementar, V. 4, 8ª ed. São Paulo: Atual, 2013. 
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
TEIXEIRA, Lilian Aparecida. Diálogo, Matemática e suas Tecnologias, Funções e Progressões, 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2020. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slides 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17 e 18 – Elaborados pelo autor.
Slide 20 – https://curt.link/6k1rPQ4 
Referências
Material 
Digital
(
)
(
)
(
)
(
)
=+
=+
=
=-
2
2
2
2
fx3x2;
gx5xx;
hx2x;
mx3x.
(
)
(
)
2
2
2
hx2x
hx2x
x
=
=
2
x
(
)
(
)
2
2
2
2
mx3x
mx3x
x
=
=-
-
=
2
x
3
=-
(
)
(
)
=++¹
2
fxaxbxc a0
2fxaxbxc a0
22
Então, temos que:
m90m9m9m3 e m3.
-¹Þ¹Þ¹±Þ¹¹-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
Eq. 1 + Eq. 2
fxaxbxc, com a0.
f01a0b0c1c1
f14a1b1c4abc4
f12a1b1c2abc2
Considerando o sistema de equações:
abc4Eq. 1
 2a2c22ac1
abc2Eq. 2
=++¹
=Þ×+×+=Þ=
-=-Þ×-+×-+=-Þ-+=-
=Þ×+×+=Þ++=
ì
-+=-
+=-¸Þ+=-
í
++=
î
Þ
(
)
(
)
(
)
c 1
a 2 e c = 1
2
ac1 a11a11a2
Substituindo os valores de a e c, na Eq.
 2, temos:
abc2 2b121b2b21b3
a2, b3 e c1
Então temos que:
fx2x3x1
=
=-
+=-+=-Þ=--Þ=-
++=-++=Þ-+=Þ=+Þ=
=-==
=-++
Þ
Þ
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
a0
b0gxax2
c2
O ponto 1,4 pertence à função, então, te
mos que:
g14a124a24a42
a2 
gx2x2
>
ü
ï
=Þ=+
ý
ï
=
þ
=Þ×+=Þ+=Þ=-Þ
Þ=
\=+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
b0
hxaxbx12
c12
Os pontos 2,2 e 4,0 pertencem à função, 
então:
h22a2b2122
4a2b122 22ab61
h40a4b4120
16a4b120 44ab30
>
ü
Þ=-+-
ý
=-
þ
-
=-Þ-×+×-=-Þ
Þ-+-=-¸Þ-+-=-
=Þ-×+×-=Þ
Þ-+-=¸Þ-+-=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1Eq.2
Considerando o sistema de equações:
2ab61Eq. 12ab61Eq. 1
 
4ab30Eq. 24ab3 0Eq. 2
Somando as duas equações, temos
2
2a312a132a2a1
2
Substituindo o valor de a em uma 
-×
ìì
-+-=--+-=-
Þ
íí
-+-=-+=
îî
-=-Þ=-+Þ=Þ==
(
)
(
)
22
das equações:
4ab3041b304b307b0b7
a1, b7 
hXaxbx12hx1x7x12
-+-=Þ-×+-=Þ-+-=Þ-+=Þ=
==
=-+-Þ=-×+-