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1ª SÉRIE
Aula 34 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Tecnologia digital: plotagem de gráficos da função exponencial
Plotagem de um gráfico de função exponencial, com o apoio de um software de geometria dinâmica.
Construir o gráfico de uma função exponencial no plano cartesiano, com o apoio de tecnologias digitais.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: (EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Estimativa de tempo para o desenvolvimento das seções:
Para começar: 10 min.
Foco no conteúdo: 10 min.
Na prática – Atividade 1: 10 min.
Na prática – Atividade 2: 5 min.
Aplicando: 10 min.
Você aprendeu?
(FUVEST-SP-2007) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias que se iniciou com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos na primeira hora são: 
	Tempo decorrido (min)	Número de bactérias
	0	100
	20	200
	40	400
	60	800
Técnica: “Virem e conversem”.
Tempo: 10 min.
Para começar
Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do experimento a população de bactérias será:
51 200
102 400
409 600
819 200
1 638 400
Para começar
Correção
	Tempo decorrido (min)	Número de bactérias
	0	100
	20	200
	40	400
	60	800
Analisando os dados da tabela, podemos constatar que a população de bactérias dobra a cada 20 minutos. Assim, podemos escrever a população dessas bactérias em função do tempo decorrido da seguinte maneira: 
Para começar
Correção
Se considerarmos x iterações de tempo temos: 
 é o número de períodos de 20 minutos decorridos desde o início do experimento. 
Após 4 horas, ou 240 minutos , terão decorridos 12 períodos de 20 minutos cada um 
Então:
Portanto, a população de bactérias após 4 horas é 409 600.
Logo, a alternativa c é a correta.
Para começar
Você estudou que uma função exponencial dada por , com é:
Construção do gráfico de uma função exponencial 
crescente se 
decrescente se 
Agora vamos utilizar o GeoGebra para analisar a influência da base a da potenciação no gráfico da função exponencial.
Tempo: 10 min.
Foco no conteúdo
1º passo:
No campo de entrada, digite: “f(x) = a^x” e pressione a tecla “Enter”.
Foco no conteúdo
Como foi informada outra variável dependente (a), automaticamente foi criado um controle deslizante para a variável a. Para que o controle apareça na janela de visualização, habilite-o na janela de entrada. 
Clicar
Foco no conteúdo
2º passo:
Como o conjunto imagem de uma função exponencial é composto apenas por números reais positivos e diferentes de zero, vamos considerar no eixo y apenas os números positivos.
Clicar
Foco no conteúdo
2º passo:
Como o conjunto imagem de uma função exponencial é composto apenas por números reais positivos e diferentes de zero, vamos considerar no eixo y apenas os números positivos.
Clicar
Foco no conteúdo
2º passo:
Como o conjunto imagem de uma função exponencial é composto apenas por números reais positivos e diferentes de zero, vamos considerar no eixo y apenas os números positivos.
Clicar
Foco no conteúdo
2º passo:
Como o conjunto imagem de uma função exponencial é composto apenas por números reais positivos e diferentes de zero, vamos considerar no eixo y apenas 
os números positivos.
1. Habilitar box.
2. clicar
Foco no conteúdo
3º passo:
Como os valores da base da potência (a) são valores maiores que zero, temos que configurar os valores de mínimo e de máximo do controle deslizante. 
Clicar
Foco no conteúdo
3º passo:
Como os valores da base da potência (a) são valores maiores que zero, temos que configurar os valores de mínimo e de máximo do controle deslizante. 
Clicar
Foco no conteúdo
3º passo:
Como os valores da base da potência (a) são valores maiores que zero, temos que configurar o valor de mínimo do controle deslizante. 
1. Substituir por “0” (zero)
2. Clicar
Foco no conteúdo
Movimente o controle deslizante para alterar o valor de a e veja o que acontece com o gráfico de f. Observe que o valor indicado no controle representa o valor da base da função exponencial. 
Foco no conteúdo
Para 0 < a < 1;
Para a = 1;
Para a > 1.
Atividade 1
Movimente o controle deslizante e altere o valor de a. Analise as alterações no gráfico e registre o que acontece em cada caso a seguir.
Técnica: “Todo mundo escreve”.
Tempo: 10 min.
Na prática
Para 0 < a < 1
Correção
O gráfico representa uma função decrescente.
Para a = 1;
O gráfico é uma reta paralela ao eixo x, pois a função definida é a função constante dada por .
Para a > 1.
O gráfico representa uma função crescente.
Atividade 1
Na prática
Atividade 2
Técnica: “Todo mundo escreve”.
Tempo: 5 min.
Desafio!
Como você explicaria o fato de que uma função exponencial do tipo não intercepta em nenhum momento o eixo x? 
Na prática
Atividade 2
Desafio!
Como você explicaria o fato de que uma função exponencial do tipo não intercepta em nenhum momento o eixo x? 
O contradomínio de uma função exponencial é composto por números reais positivos e diferentes de zero, portanto, não podemos considerar zeros ou raízes para a função. É possível verificar, quando plotamos o gráfico no GeoGebra, apenas aumentando as escalas do gráfico. Vide exemplo na tela a seguir. 
Correção
Na prática
Clicar repetidamente
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Resolvendo com o GeoGebra
(ENEM – 2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. 
Técnica: “Mostre-me”.
Tempo: 10 min.
Aplicando
Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
 
em que t é o tempo, em horas, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. 
Aplicando
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos, a população será:
reduzida a um terço.
reduzida à metade.
reduzida a dois terços.
duplicada.
triplicada.
Aplicando
Correção
Digitando a fórmula: no campo de entrada de equações do GeoGebra, visualizamos o seguinte esboço:
Aplicando
Correção
No campo de entrada de equações do GeoGebra, digitamos: .
Aplicando
Correção
Pelo ponto B, traçamos uma reta perpendicular ao eixo x.
Aplicando
Correção
Inserimos o ponto de interseção da curva exponencial com a reta perpendicular.
Aplicando
Correção
A ordenada do ponto C será a resposta da questão, que corresponde a 80 mil. Portanto, esse resultado é o dobro da população inicial de bactérias, que correspondia a 40 mil.
Alternativa correta: “d”.
Aplicando
Construímos o gráfico de uma função exponencial no plano cartesiano com o apoio de tecnologias digitais.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 99424
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
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BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI Jr., José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara. Prisma: Matemática e suas Tecnologias – Funções e Progressões. São Paulo: FTD, 2020. 
LEMOV, Doug. Aula nota 10 2.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo em Ação, V. 1, 1ª série do Ensino Médio, São Paulo, 2020.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 8 – Elaborada pelo autor.
Slide 9 – Elaborada pelo autor.
Slide 10 – Elaborada pelo autor. 
Slide11 – Elaborada pelo autor.
Slide 13 – Elaborada pelo autor.
Slide 14 – Elaborada pelo autor.
Slide 15 – Elaborada pelo autor.
Slide 16 – Elaborada pelo autor.
Slide 17 – Elaborada pelo autor.
Slide 21 – Elaborada pelo autor.
Slide 22 – Elaborada pelo autor.
Slide 26 – Elaborada pelo autor.
Slide 27 – Elaborada pelo autor. 
Slide 28 – Elaborada pelo autor.
Slide 29 – Elaborada pelo autor.
Slide 30 – Elaborada pelo autor.
Referências
Material 
Digital
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