Trigonometria no Triângulo

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A trigonometria no triângulo retângulo 
INTRODUÇÃO: 
A) Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e 
raso. 
Ângulo Características Gráfico 
agudo 
Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus 
e menor do que 90 graus. Ao lado temos um 
ângulo de 45 graus. 
 
reto 
Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é 
exatamente 90º. Assim os seus lados estão 
localizados em retas perpendiculares. 
 
obtuso 
É um ângulo cuja medida está entre 90 
graus e 180 graus. Na figura ao lado temos 
o exemplo de um ângulo obtuso de 135 
graus. 
raso 
Ângulo que mede exatamente 180º, os seus 
lados são semi-retas opostas. Neste caso os 
seus lados estão localizados sobre uma 
mesma reta. 
Classificação dos triângulos quanto ao número de lados 
Triângulo 
Equilátero 
Os três lados têm medidas iguais. 
m(AB)=m(BC)=m(CA) 
 
Triângulo 
Isósceles 
Dois lados têm a mesma medida. 
m(AB)=m(AC) 
 
Triângulo 
Escaleno 
Todos os três lados 
têm medidas diferentes. 
 
 
Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos 
Triângulo 
Acutângulo 
Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos 
ângulos são menores do que 90º. 
 
Triângulo 
Obtusângulo 
Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida 
maior do que 90º. 
 
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Triângulo 
Retângulo 
Possui um ângulo interno reto (90 graus). 
 
 
Medidas dos ângulos de um triângulo 
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas 
dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, 
B e C para representar os ângulos. 
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é: 
a + b + c = 180º 
 
Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e 
dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º. 
 
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como 
observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos 
internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. 
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes 
a esse ângulo externo. Assim: 
A = b+c, B = a+c, C = a+b 
Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º. 
O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras 
aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu 
tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc... 
B) A palavra trigonometria é de origem grega formada por tri=três, gonos=ângulos e 
metria = medidas. A trigonometria é um estudo encontrado dentro da matemática, mas com aplicações 
interdisciplinares como na física e aplicações práticas como na navegação, topografia e etc. Para iniciarmos 
o estudo de trigonometria é necessário que tenhamos conhecimento de: triângulo retângulo e seus 
elementos, relações métricas no triângulo retângulo, aplicações do teorema de Pitágoras e ângulos. Pois na 
trigonometria iremos estudar as relações existentes entre lado e os ângulos de um triângulo retângulo. Esse 
estudo da trigonometria é basicamente em duas partes: 
1) Razões trigonométricas no triângulo retângulo. 
2) Circunferências trigonométricas. 
 
1) Razões trigonométricas no triângulo retângulo. 
 
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a) Conceitos básicos: Lados de um triângulo retângulo1 : Os lados de um triângulo retângulo recebem 
nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado 
oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os 
catetos. 
 
Termo Origem da palavra 
Cateto 
Cathetós: 
(perpendicular) 
Hipotenusa 
Hypoteinusa: 
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) 
Veja o exemplo: 
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida 
a Hipotenusa 
 
A = Ângulo reto A=90° 
b Cateto B = Ângulo agudo B<90° 
c Cateto C = Ângulo agudo 
C<90° 
 
 
 
A aplicação da trigonometria, baseado no triângulo retângulo, se dá na vida prática de várias 
maneiras. Várias aplicações poderiam ser citadas. Entre estas, duas serão especificadas a 
seguir: 
b) Aplicações no cálculo de distâncias: 
Tanto na engenharia civil, quando se torna necessário conhecer as distâncias e altura dos 
elementos físicos (prédios, ruas, montanhas, etc) quanto na engenharia dos astros, quando se torna 
necessário conhecer as distâncias de elementos físicos no espaço sideral, temos longo emprego da 
trigonometria. 
Os projetos de engenharia, que são elaborados para resolver as questões citadas, baseiam-se 
sempre num modelo matemático, que empregar as relações métricas em um triângulo retângulo. 
Vejamos alguns exemplos para uma compreensão melhor do que estão sendo abordado. 
 
1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta 
é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta? 
 
1 Triângulo retângulo é o nome dado a todo triangulo que têm um ângulo interno de 90º (também chamado de ângulo reto). A 
soma dos ângulos internos de qualquer triângulo no plano é sempre 180º. Obs. Em superfícies não planas não vale essa 
igualdade. 
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Pela figura podemos estabelecer um modelo matemático (no caso, o triângulo retângulo 
assinalado) onde: 
afastamento da árvore até a encosta (cateto) = 50m 
ângulo de visão do solo até a encosta = 60º. 
distância do cabo do solo até a encosta (hipotenusa lado oposto ao ângulo de 90º) = x 
INTRODUÇÃO DOS CONCEITOS TEÓRICOS MATEMÁTICOS 
1) Razões trigonométricas no triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º) 
Consideremos um ângulo agudo qualquer d medida α, levando-se em conta os infinitos triângulos 
retângulos que possuem o ângulo de medida α. 
Exemplo: 
Os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Logo: 
 
Respectivamente, as razões2 (trigonométricas) r1, r2, r3 são denominadas de: seno do ângulo α (sen α), 
co-seno do ângulo α (cos α) e tangente do ângulo (tg α) 
 
2 Razão: termo matemático dado a divisão entre duas grandezas. Desta forma seno, cosseno e tangente são nomes dados as 
divisões dos lados de um triângulo retângulo com relação a um determinado ângulo. 
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Co-seno do ângulo agudo α (cos α) é a razão entre a medida do cateto adjacente a α e a medida da 
hipotenusa. Tangente do ângulo α (tg α) é razão entre a medida do cateto oposto a α e a medida do 
cateto adjacente a α. Seno do ângulo α (sen α). A razão k é uma característica de cada ângulo α e seu 
valor é chamado de seno do ângulo α (sem α). 
Teorema de Pitágoras (valido somente para triângulos retângulos no plano): Para todo 
ângulo α , vale a importante relação: 
(cat. oposto a α) ² + ( cat. adjacente a α) ² = hipotenusa² 
Resumindo: 
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo 
retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, 
cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. 
Função Notação Definição 
seno sen(x) 
medida do cateto oposto a x 
 
medida da hipotenusa 
cosseno cos(x) 
medida do cateto adjacente a x 
 
medida da hipotenusa 
tangente tan(x) 
medida do cateto oposto a x 
 
medida do cateto adjacente a x 
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(CAT. MENOR) ² + ( CAT. MAIOR) ² = HIP.² 
No estudo da trigonometria, os ângulos e suas reações trigonométricas com o triângulo retângulo são 
muito trabalhados. Existem alguns ângulos que são trabalhados com mais freqüência, são chamados 
ângulos (ou arcos) notáveis. Esses ângulos são de 30°, 45º e 60°. O valor do seu seno, co-seno e 
tangente são representados de uma forma diferente dos outros ângulos. Para demonstrarmos as relações 
trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 
30°e 60° é preciso obter um triângulo que tenha esses 
dois ângulos. Observe o triângulo eqüilátero (todosos 
ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a 
x, é preciso calcular o valor da sua altura. Quando 
traçamos sua altura, é o mesmo que traçar a bissetriz do 
ângulo A e a mediatriz do lado .O triângulo 
eqüilátero não possui ângulo de 45°, em um quadrado 
quando traçamos a sua diagonal formamos dois triângulos retângulos, a diagonal é 
uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como: 
 
Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal 
d. Aplicando o Teorema de Pitágoras no 
triângulo ABD iremos descobrir um valor para 
a diagonal (d) em função de x. Temos: 
d2=x2+x2 => d2=2x2 => d=√2x2=> d=x√2 
 
Aplicando os conceitos de seno, cosseno e tangente temos que: 
ângulo/ rel. 
trigonométrica 
ângulo α considerado em graus e radianos 
= ra
d 
=(/6)r
ad 
=/4r
ad 
=(/3)r
ad 
=(/2)r
ad 
=rad 
sen(α) = 0 
 
1 0 
cos(α) = 1 
 
0 -1 
 
tg(α) = 
 
0 
 
1 
 
não 
existe 
0 
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1


cos
sen
3
3
3
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Voltemos ao exemplo da encosta: 
 afastamento da árvore (cateto) = 50m 
ângulo de visão = 60º. 
distância do cabo = x 
 
Pelo desenho sabemos que cos(60) = 50 / x e com base na 
tabela acima que cos60 = 1/2, => 1/2 = 50 / x e fazendo as 
contas descobrimos que o cabo deverá medir 100 metros. 
 
 
Ex2) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 
m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é 
de 60m. A que distância o barco está da plataforma? 
Pela figura, podemos estabelecer um modelo matemático onde: 
Altura da plataforma (cateto maior) = 45m 
ângulo de depressão = 60º, então o ângulo adjacente ao outro cateto é 
de 30º 
distância do barco à plataforma= x 
 
Sabemo que tg(30)=x / 45 e que tg(30)=3(1/2) / 3 
 
Então: 
3(1/2)/3 = x / 45 logo, x = 45.3(1/2) / 3 = 15. 3(1/2) 
Logo, o barco se encontra a aproximadamente 26 
metros da plataforma. 
 
EX3) De um ponto A uma pessoa enxerga o topo de 
um obelisco, segundo um ângulo de 45º. Ao se 
aproximar 50m do obelisco ele passa a ver o topo 
sob um ângulo de 60 º. Qual é a altura desse 
obelisco? 
Pela figura, podemos estabelecer um modelo matemático, onde: 
 
ponto A - 1º ponto de observação, sob um ângulo de 45º 
ponto B - 2º ponto de observação, sob um ângulo de 60º 
y - distância do ponto atual (após andar 50m) ao pé do obelisco 
x - altura do obelisco 
 
Temos que: 
tg (45º) = x / (50+y), logo 1 = x / (50+y), ou 
50 + y = x, ou melhor y = x - 50 (I) 
Por outro lado: 
tg (30º) = y / x (II) 
Substituindo-se em (II) o valor de y de (I), 
temos que 
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3(1/2) / 3 = (x - 50) / x 
Resolvendo, teremos que x = 150 / (3 - 3(1/2)) 
Ou ainda 
x = 150(3 + 3(1/2)) / 6 = 25(3+3(1/2)) 
Logo a altura do obelisco é de aproximadamente 118 metros. 
 
 
EX4) Uma estação espacial que gira numa órbita estacionária afastada 600km da superfície da 
Terra avista um OVNI (objeto voador não identificado) numa direção perpendicular à linha 
imaginária de distância à Terra. Sabendo-se que a estação terrestre avista o mesmo objeto sob um 
ângulo de 30º desta linha imaginária, pergunta-se: a que distância o OVNI encontra-se da Terra? 
Pela figura, podemos estabelecer um modelo matemático, onde: 
 
distância da estação orbital à Terra = 600 km 
(âgulo de visão da estação terrestre) = 30º 
(direção perpendicular à linha imaginária que liga as duas estações) = 90 º 
(distancia do OVNI à Terra) = x 
 
Então, temos que: 
cos (30) = 600 / x, ou seja 3(1/2) / 2 = 600 / x 
Logo, 
x = 1200 .3(1/2) / 3 = 400. 3(1/2) 
Logo, o OVNI encontra-se afastado da Terra aproximadamente 690km. 
 
EX5) Aplicações no cálculo da estática: 
Entre as muitas aplicações da trigonometria nos fundamentos da Física, podemos destacar o 
estudo da Estática. 
Os sistemas de forças que atuam em um corpo estático e que tem larga aplicação no nosso dia a 
dia, são realizados com o auxílio dos elementos da trigonometria 
Como exemplo, seja o seguinte problema: 
Determinar a resultante do sistema de forças que atua num ponto determinado P. 
 
Sendo 
F1 = 10 N e a = 20 º 
F2 = 20 N e b = 30 º 
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F3 = 30 N e c = 60 º 
 
Primeiramente vamos obter as projeções de cada força na horizontal e vertical 
Na horizontal, temos: 
F1x = 10 cos 20 º = 9,4 N 
F2x = -20 cos 30 º = -17,3 N 
F3x = -30 cos 60 º = -15 N 
Na vertical, temos: 
F1y = 10 sen 20 º = 3,4 N 
F2y = 20 sen 30 º = 10 N 
F3y = -30 sen 60 º = 26 N 
Assim, a resultante com a orientação no eixo x será aproximadamente: 
Frx = 9,4N - 17,3N - 15N = - 23N 
E a resultante no eixo dos y será aproximadamente: 
Fry = 3,4N + 10N - 26N = -13N 
 
Representando estas forças resultantes, podemos descobrir a resultante final, ou seja: 
 
Para calcular o ângulo A de orientação Fr, temos que: 
tg A = -13 / -23 = 0,5652 
Pela tabela de valores trigonométricos, verifica-se que A mede aproximadamente 30 graus 
Para determinar a intensidade da resultante, fazemos: 
 
Fr = Frx / cos A = -23 / 0,87 = -26,6N 
Então o sistema de forças citado está submetido a uma força de aproximadamente de -27N. 
Este é um pequeno exemplo da importância da trigonometria na vida prática