Questões vestibular sobre trigonometria

Prévia do material em texto

Questões sobre trigonometria
1) Cefet/MG/2017
Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é:
2)Enem/2011
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:
a) 1000 m
b) 1000 √3 m
c) 2000 √3/3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m
3) Cesgranrio 
Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
a) 0,5 m
b) 1 m
c) 1,5 m
d) 1,7 m
e) 2 m
4) Unifor–CE
Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado:
5) Cesgranrio 
Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira, eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.
6) UNICAMP/2021 
A figura abaixo exibe um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 em que 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐶𝐷.
Com base na figura, tg(θ) + tg(α) é igual a:
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
7) UNICAMP-SP/2014
Seja x real tal que cos x = tan x. O valor de sen x é:
a) (√3-1) /2
b) (1-√3) /2
c) (√5-1) /2
d) (1-√5) /2
8) FUVEST-SP/2017
O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB=4. BC=2e BF=2.
O seno do ângulo HAF é igual a:
a) 1/2√5 
b) 1/√5 
c) 2/√10 
d) 2/√5 
e) 3/√10
9) FEI-SP
Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC. 
10) Acafe/2015
O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo. As medidas, em metros, de AB e BC são (x+8) e 3x, respectivamente. Se senθ - 3cosθ = 0 então, a área do triângulo retângulo ABC, em metros quadrados, é um número compreendido entre:
a) 11 e 13
b) 13 e 14
c) 14 e 15
d) 11 e 12
Resolução
Questão 1: D
A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:
Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação:
Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos:
a2= b2+c2
25 = (2c)2+c2
5c2= 25
c = √5
Sendo b = 2c, então b = 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:
Questão 2: A
Após passar pelo ponto B, a menor distância ao ponto fixo P será uma reta que forma um ângulo de 90º com a trajetória do barco, conforme figura abaixo:
Como α= 30º, então 2α= 60º, então podemos calcular a medida do outro ângulo do triângulo BPC, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º:
90º + 60º + x = 180º
x = 180º - 90º - 60º = 30º
Podemos, ainda, calcular o ângulo obtuso do triângulo APB. Como 2α= 60º, o ângulo adjacente será igual a 120º (180º- 60º). Com isso, o outro ângulo agudo do triângulo APB, será calculado fazendo-se:
30º + 120º + x = 180º
x = 180º - 120º - 30º = 30º
Os ângulos encontrados, estão indicados na figura abaixo:
Assim, chegamos a conclusão que o triângulo APB é isósceles, pois possui dois ângulos iguais. Desta maneira, a medida do lado PB é igual a medida do lado AB.
Conhecendo a medida de PB, vamos calcular a medida de PC, que corresponde a menor distância ao ponto P.
O lado PB corresponde à hipotenusa do triângulo PBC e o lado PC o cateto oposto ao ângulo de 60º. Teremos, então:
Questão 3: B
Analisando a situação, podemos representá-la por um triângulo retângulo, em que a sua hipotenusa vale 2 m, conforme a imagem a seguir:
Aplicando o seno, é possível encontrar o valor de x:
Questão 4: O lado AB do triângulo mede 4√6 metros
 Lei dos senos
O lado AB do triângulo mede 4√6 metros
Questão 5: E
Para resolver a situação, construiremos o triângulo retângulo:
A altura da rampa, na imagem representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 30º. A razão que utiliza cateto oposto e hipotenusa é o seno. Então, temos que:
Questão 6: C
nesta questão de geometria do vestibular UNICAMP 2021, vamos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo para resolvê-la, assim como propriedades da tangente.
Repare que o triângulo MBC é retângulo e podemos calcular: 
tg(α) = CB/MC.
tg(α) = lado / ( lado/2)
tg(α) = 2
Vamos fazer novas anotações em nosso desenho.
Perceba que o triângulo MCH, possui os ângulos α, θ e 45º.
α + θ + 45º  = 180º
α + θ = 135º
tg (α + θ) = tg (135º)
Sabemos que tg:
 (135º)= - tg (45º) = -1
tg (α + θ) = -1
Aplicando a fórmula:
 tg (a+b) = [tg(a) + tg(b)] / [1 - tg(a)·tg(b)]
[ tg(α) + tg(θ)] / [1 - tg(α) ·tg(θ)] = -1
[2 + tg(θ)] / [1 - 2·tg(θ)] = -1
2 + tg(θ) = -1·[1 - 2·tg(θ)]
2 + tg(θ) = -1 + 2·tg(θ)
tg(θ) = 3
Finalmente, podemos calcular o objetivo da questão: tg(θ) + tg(α) = 3 + 2= 5
Questão 7: D
cos(x)=sen(x)/cos(x)
cos²(x)=sen(x)
Não esquecendo que:
cos²(x)+sen²(x)=1
sen²(x)+sen²(x)=1
sen²(x)+sen(x)-1=0
Fazendo sen(x)=y, temos então:
y²+y-1=0
y'= [-1+√(1+4)]/2= (-1+√5)/2= sen(x)
y''=[-1-√(1+4)]/2< -1 , ñ existe sen < -1
Resposta: sen(x)=(-1+√5)/2
Questão 8: E
Descubra os valores de AF, AH, HF:
𝐴𝐹2 = AR2+FR2
𝐴𝐹2 = 42 + 2² 
𝐴𝐹 = √20 = 2√5 
𝐴𝐻² =AD2+DH2
𝐴𝐻² = 22 + 2² 
𝐴𝐻 = 2√2
𝐻𝐹2 = 𝐴𝐹2+EF2
𝐻𝐹 = 2√5
( 2 √5 )2 = ( √2 )2 + 𝐹𝑀2 
𝐹𝑀 = 3 √2 
Questão 9: O lado x do triângulo mede √13 centímetros.
x2= 32+42-2·3·4·cos 60°
x2= 9+16-24·1/2
x² = 25-12
x= √13
Questão 10: B
senθ = 3 cosθ --> tgθ = 3
3= x+8/3x
x= 1
AB= (x+8) = 9m
BC= (3x) = 3m
Área do triangulo= base·altura/ 2
A= 3·9/2
A= 13,5