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Step 1: Aplicação do Teorema do Divergente 
O teorema do divergente (ou teorema de Gauss-Ostrogradsky) relaciona a integral 
de volume do divergente de um campo vetorial ao fluxo desse campo através da 
superfície fechada que delimita o volume. Matematicamente, para um campo 
vetorial 
 
𝐄 
𝐄 
, o teorema é dado por: 
 
∮𝐄 ⋅ 𝑑𝐒 =
𝑆
∫(𝛻 ⋅ 𝐄)𝑑𝑉
𝑉
 
𝑆𝐄⋅𝑑𝐒=𝑉(∇⋅𝐄)𝑑𝑉 
Step 2: Substituição da Lei de Gauss Diferencial 
A lei de Gauss para a eletrostática em sua forma diferencial é fornecida na 
imagem como: 
 
𝛻 ⋅ 𝐄 =
𝜌
𝜖0
 
∇⋅𝐄=𝜌𝜖0 
Substituímos essa expressão na integral de volume do teorema do divergente: 
 
∮𝐄 ⋅ 𝑑𝐒 =
𝑆
∫
𝜌
𝜖0𝑉
𝑑𝑉 
𝑆𝐄⋅𝑑𝐒=𝑉𝜌𝜖0𝑑𝑉 
Step 3: Identificação da Carga Total 
A integral de volume da densidade de carga 
 
𝜌 
𝜌 
sobre o volume 
 
𝑉 
𝑉 
representa a carga total 
 
𝑄𝑖𝑛𝑡 
𝑄𝑖𝑛𝑡 
contida dentro desse volume: 
 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = ∫𝜌𝑑𝑉
𝑉
 
𝑄𝑖𝑛𝑡=𝑉𝜌𝑑𝑉 
Step 4: Obtenção da Forma Integral 
Substituindo a carga total na equação do Passo 2, obtemos a lei de Gauss para a 
eletrostática em sua forma integral: 
 
∮𝐄 ⋅ 𝑑𝐒 =
𝑆
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜖0
 
𝑆𝐄⋅𝑑𝐒=𝑄𝑖𝑛𝑡𝜖0 
Answer: 
A lei de Gauss para a eletrostática em sua forma integral é 
 
∮𝐄 ⋅ 𝐝𝐒 =
𝐒
𝐐𝐢𝐧𝐭
𝛜𝟎
 
𝐒𝐄⋅𝐝𝐒=𝐐𝐢𝐧𝐭𝛜𝟎 
. 
 
Forma Diferencial e Integral 
Answer: As equações fornecidas na imagem estão corretas. 
A forma diferencial da lei de Gauss é 
 
𝛻 ⋅ 𝐄 =
𝜌
𝜖0
 
∇⋅𝐄=𝜌𝜖0 
, e a forma integral é 
 
∮𝐄 ⋅ 𝑑𝐒 =
𝑆
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜖0
 
𝑆𝐄⋅𝑑𝐒=𝑄𝑖𝑛𝑡𝜖0 
. Ambas as expressões na imagem representam corretamente essas formas.