Avaliação processual AL Mecatrônica Update 6

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Instituto Federal de Santa Catarina - Câmpus Criciúma
Curso: Superior em Engenharia Mecatrônica
Unidade Curricular: Álgebra Linear
Semestre: 2021/2
Professor: Guilherme Sada Ramos
Avaliação processual
Orientações:
• A avaliação é INDIVIDUAL, e deverá ser postado na tarefa correspondente postada no SIGAA criada
pelo professor na página virtual da turma no ambiente nas datas especificadas, com a resolução dos
exercícios mencionados a respeito da avaliação iminente.
• Os resultados precisam estar acompanhados dos cálculos desenvolvidos, caso contrário a questão
poderá ser desconsiderada, mesmo que o resultado seja o correto.
• O valor desta atividade corresponde a 1
4(25%) da média final da disciplina, conforme descrito no
plano de ensino.
1) Dados �⃗� = (−2, 1, 4), �⃗� = (1, 0, 2) e �⃗� = (3, 5, 6) determine �⃗� tal que
−�⃗� + 2�⃗� = 2�⃗� − 3�⃗�
2) Verifique as propriedades de um espaço vetorial e diga se o conjunto das matrizes da forma
[︃
𝑎 𝑏
0 𝑎
]︃
é ou não um espaço vetorial. Considere operações usuais.
3) Verifique as propriedades de um espaço vetorial e diga se o conjunto R2 é ou não, espaço vetorial,
com as operações:
• (𝑥, 𝑦) + (𝑥′, 𝑦′) = (𝑥𝑦′, 𝑥′𝑦);
• 𝑘(𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦).
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Rodovia SC 443, nº 845. Bairro Vila Rica | Criciúma / SC
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4) Escalone e dê o conjunto solução do sistema
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 0
2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 0
3𝑥 + 8𝑦 − 6𝑧 = 0
Verifique que o conjunto solução encontrado forma uma reta no espaço que passa pela origem, e que,
desta forma, é um subespaço vetorial de R3.
5) Considere os vetores 𝑣1 = (1, 2, −3), 𝑣2 = (0, 0, 1), 𝑣3 = (1, 2, −2) e 𝑣4 = (1, −3, −5).
a) Determine dois elementos de 𝑔𝑒𝑟{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}, distintos de 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑣4.
b) Verifique se o vetor �⃗� = (2, 2, 2) pertence ou não a 𝑔𝑒𝑟{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}.
6) Verifique se 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 : 𝑥𝑦 ≥ 0} é subespaço vetorial de R2. Justifique.
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7) Nos conjuntos a seguir, identifique aqueles que são base de um espaço vetorial, e aqueles que não
são. Justifique.
a) 𝐴 = {(2, 3), (0, 1)}
b) 𝐵 = {(1, 1, −1), (2, 2, −2), (3, 2, 1)}
c) 𝐶 = {(2, 1, 0), (2, 1, 1), (4, 3, 2)}
d) 𝐷 = {(1, −4, 2, −3), (−3, 8, −4, 6)}
e) 𝐸 = {(2, 1, −3), (4, 2, −6), (1, 2, 1), (3, 3, 5)}
8) No exercício anterior, exclua e/ou acrescente (se necessário) vetores de modo que os conjuntos tornem-
se base dos respectivos espaços vetoriais.
9) Determine as coordenadas do vetor �⃗� = (−1, 0, −3) considerando a seguinte base de R3
𝛽 = {(1, 0, 2), (0, 2, 1), (1, 1, 3)}
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10) Determine a matriz de mudança de base de um vetor de R2:
a) de 𝛼 = {(1, 3), (−3, 2)} para a base canônica
b) da base canônica para 𝛼 = {(1, 3), (−3, 2)}
c) da base 𝛽 = {(1, 1), (0, 1)} para a base 𝛽′ = {(−2, 3), (−1, 2)}.
11) Considere o vetor �⃗� =
⎡⎢⎣−3
1
2
⎤⎥⎦
𝛽
de R3, sendo 𝛽 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}. Represente o mesmo
vetor com relação à base canônica.
12) Considere rotacionar o sistema de eixos cartesianos em 45°, sentido anti-horário. Neste caso, rotaci-
onamos os vetores canônicos da mesma forma.
Determine as coordenadas do vetor �⃗� =
[︃
4
2
]︃
𝐶2
no novo sistema de coordenadas obtido após a ro-
tação., sendo 𝐶2 a base canônica de R2. Represente graficamente os novos eixos e o vetor �⃗� como
combinação linear dos vetores da nova base obtida.
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13) Determine uma base para o espaço linha, coluna e nulo da matriz 𝐴 =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 −2 −3 2 −4
−3 7 −1 1 −3
2 −5 4 −3 7
−3 6 9 −6 −1
⎤⎥⎥⎥⎦.
14) Selecione convenientemente três desses vetores de R3 para que componham uma base para o conjunto
R3. Utilize o método visto em aula sobre base para espaço coluna.
a) 𝑣1 = (1, 3, −2)
b) 𝑣2 = (2, 6 − 4)
c) 𝑣3 = (1, 0, 1)
d) 𝑣4 = (2, 3, −1)
e) 𝑣5 = (2, 3, 2)
f) 𝑣6 = (3, 9, 2)
15) Qual o valor de 𝑏 para que o sistema:
a)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 5
2𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑏
seja possível?
b)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 5
2𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑏
seja possível?
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16) Verifique se as funções a seguir são ou não transformações lineares. Justifique.
a) 𝑇 : R2 → R2, com 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, 3𝑥 − 𝑦);
b) 𝑇 : R2 → R3, com 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2, 𝑥 + 𝑦, 0).
17) Identifique uma transformação linear que:
a) associe um vetor de R2 à sua rotação em 90∘, sentido anti-horário.
b) associe um vetor de R3 ao seu vetor simétrico em relação ao plano 𝛼 : 𝑥 − 𝑦 = 0, mas com norma
dobrada.
18) Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
a) 𝑇 : R4 → R2, com 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤, 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑤);
b) 𝑇 : R3 → 𝑀2×2(R), com 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
[︃
𝑥 2𝑦 + 𝑧
𝑥 + 2𝑧 𝑥
]︃
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