Vetores-operações, dependencia linear

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Vetores
Instituto Federal de Educação Ciência e
Tecnologia da Bahia - IFBA
Campus Eunápolis
Prof. José Neto
1. Operações com Vetores
1.1. Adição de vetores
Dados os vetores 𝑢 e 𝑣, sejam 𝐴𝐵 um representante de 𝑢 e 𝐵𝐶 um representante de 𝑣. O vetor
soma de 𝑢 com 𝑣, 𝑢 + 𝑣, é o vetor que tem 𝐴𝐶 como representante, isto é:
𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
 𝑣
𝐶
 𝑣
𝑢
𝐴
𝐵
𝑢 + 𝑣
𝑢
𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶
⟹
Geometricamente, a soma é obtida
fazendo a origem do 2° vetor
coincidindo com a extremidade do 1°
vetor. O vetor soma é obtido ligando-
se a origem do 1° vetor com a
extremidade do 2° vetor.
1.Operações com Vetores
1.1. Adição de vetores
i) Regra do Paralelogramo
ii) Regra do Polígono
 𝑣
𝑢
⟹ 𝑣
𝑢
𝑢
 𝑣
𝑢 + 𝑣
 𝑎
𝑏
 𝑐
 𝑑
 𝑎
𝑏
 𝑐
 𝑑
𝒆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
⟹
1. Operações com Vetores
1.2. Propriedades da adição de vetores
Sendo 𝑢, 𝑣 e 𝑤 vetores quaisquer, valem as seguintes propriedades:
A1) Comutatividade: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢;
A2) Associatividade: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + ( 𝑣 + 𝑤);
A3) Elemento neutro: 𝑢 + 𝑜 = 𝑜 + 𝑢 = 𝑢;
A4) Elemento oposto: ∀𝑢 ∈ 𝑉3, ∃ −𝑢 ∈ 𝑉3 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 + −𝑢 = 𝑜.
1. Operações com Vetores
1.3. Subtração de vetores
Dados os vetores 𝑢 = 𝐴𝐵 e 𝑣 = 𝐴𝐷, a diferença de 𝑢 e 𝑣 é o vetor 𝑢 − 𝑣 obtido somando
𝑢 com o oposto de 𝑣, isto é:
𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + (− 𝑣)
Note que: 𝑢 − 𝑣 ≠ 𝑣 − 𝑢.
𝑢
𝐴
𝐵
 𝑣𝐴 𝐷
𝑢 − 𝑣 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐷
𝑢 − 𝑣 = 𝐷𝐶 − 𝐵𝐶
𝑢 − 𝑣 = 𝐷𝐶 + 𝐶𝐵
𝑢 − 𝑣 = 𝐷𝐵
⟹ 𝑢
 𝑣
− 𝑣
𝐴 𝐷
𝑢
𝐵 𝐶
𝑢 − 𝑣
1. Operações com Vetores
Exemplos:
1. Mostre que 𝐵𝐶 − 𝐵𝐴 = 𝐴𝐶.
2. Mostre que 𝐴𝐵 − 𝐶𝐵 + 𝐶𝑃 − 𝑄𝑃 + 𝑄𝐴 = 𝑂.
1. Operações com Vetores
1.4. Produto de um número real por vetor
Dados o número real 𝑚 ≠ 0 e o vetor 𝑣, o produto de 𝑚 por 𝑣, é o vetor 𝑚 𝑣, o qual
satisfaz as seguintes propriedades:
𝑖) 𝑚 𝑣 = 𝑚 ∙ 𝑣 ;
𝑖𝑖) 𝑚 𝑣 // 𝑣;
𝑖𝑖𝑖) 𝑚 𝑣 𝑒 𝑣 𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑚 > 0, 𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑚 < 0;
𝑖𝑣) 𝑆𝑒 𝑚 = 0 𝑜𝑢 𝑣 = 𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑚 𝑣 = 𝑜.
Ex.:
𝑢
2𝑢 −2𝑢 1
2
𝑢 −
1
2
𝑢
0 ∙ 𝑢
1. Operações com Vetores
1.5. Propriedades do produto de um número real por um vetor
Dados𝑚, 𝑛 ∈ ℝ e os vetores 𝑢 e 𝑣, valem seguintes propriedades:
M1)𝑚 𝑢 + 𝑣 = 𝑚𝑢 +𝑚 𝑣;
M2) 𝑚 + 𝑛 𝑢 = 𝑚𝑢 + 𝑛𝑢;
M3) 1 ∙ 𝑢 = 𝑢;
M4)𝑚 𝑛𝑢 = 𝑚𝑛 𝑢 = 𝑛 𝑚𝑢 .
Proposição: Dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são paralelos se, e somente se, existe um escalar 𝜆 tal que
𝑢 = 𝜆 𝑣 (consequentemente 𝑣 =
1
𝜆
𝑢, 𝜆 ≠ 0).
1. Operações com Vetores
1.6. Versor de um vetor não nulo
Def.: Seja 𝑣 um vetor não nulo. Chama-se versor de 𝑣, o vetor unitário de mesma direção e
mesmo sentido de 𝑣. Assim,
 𝑣𝑜 =
 𝑣
𝑣
=
1
𝑣
∙ 𝑣
Exemplo: Admitindo-se que o módulo do vetor 𝑣 abaixo é 6 𝑢. 𝑐, segue que:
 𝑣
 𝑣𝑜 =
 𝑣
𝑣
=
1
6
∙ 𝑣
2. Espaço Vetorial
2.1. Combinação Linear
Def.: Sejam 𝑛 vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛, 𝑛 ≥ 1, e 𝑛 escalares 𝑚1, 𝑚2, ⋯ ,𝑚𝑛. Chama-se combinação
linear nos vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛, a expressão:
𝑢 = 𝑚1 𝑣1 +𝑚2 𝑣2 +⋯+𝑚𝑛 𝑣𝑛 = 
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖 𝑣𝑖
onde,
• 𝑚1, 𝑚2, ⋯ ,𝑚𝑛 são os coeficientes da combinação;
• 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 os geradores de 𝑢.
3 𝑣1
2 𝑣2 𝑣2
 𝑣1
2. Espaço Vetorial
2.1. Combinação Linear
Exemplo:
1. Sejam 𝑀, 𝑁 e 𝑃, respectivamente, os pontos médios dos lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐶𝐴 do triangulo 𝐴𝐵𝐶.
Exprima 𝐵𝑃, 𝐴𝑁 e 𝐶𝑀 como combinação linear de 𝐶𝐴 e 𝐶𝐵.
2. Espaço Vetorial
2.2. Independência Linear
Def.: Dizemos que os vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛, 𝑛 ≥ 1, são linearmente independentes (LI) se
nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros, isto é, se a equação
𝑚1 𝑣1 +𝑚2 𝑣2 +⋯+𝑚𝑛 𝑣𝑛 = 0
admite apenas a solução trivial𝑚1 = 𝑚2, = ⋯ = 𝑚𝑛 = 0.
Se, por outro lado, a equação
𝑚1 𝑣1 +𝑚2 𝑣2 +⋯+𝑚𝑛 𝑣𝑛 = 0
admitir alguma solução com pelo menos um dos escalares𝑚𝑖 ≠ 0, os vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛
são ditos linearmente dependentes (LD).
2. Espaço Vetorial
2.2. Dependência Linear
Exemplos
Prova: Como 𝑣// 𝑢 , existe λ ∈ ℝ tal que 𝑣 = 𝜆𝑢. Assim,
Como 𝑢 ≠ 0, segue que 𝑚 + 𝑛𝜆 = 0, o que nos leva a 𝜆 = −
𝑚
𝑛
. Como 𝜆 também é diferente de 0,
pois 𝑣 ≠ 0, seque que pelo menos um dos números 𝑚 e 𝑛 é diferente de 0. Isso mostra que 𝑢 𝑒 𝑣
são linearmente dependentes.
𝑢 𝑣
𝑚𝑢 + 𝑛 𝑣 = 0 ⟹ 𝑚𝑢 + 𝑛𝜆𝑢 = 0 ⟹ (𝑚 + 𝑛𝜆)𝑢 = 0
1. Admitindo que os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 dados ao lado são paralelos,
mostre que 𝑢 𝑒 𝑣 são linearmente dependentes.
2. Espaço Vetorial
2.2. Dependência Linear
Exemplos
Prova: Como 𝑢 ∦ 𝑣 , não existe λ ∈ ℝ tal que 𝑣 = 𝜆𝑢. Assim a equação, 𝑚𝑢 = 𝑛 𝑣 é
absurda.
Além disso, como 𝑢 e 𝑣 são não nulos, segue que a única solução para a equação:
𝑚𝑢 + (−𝑛) 𝑣 = 0
é𝑚 = 𝑛 = 0.
Isso mostra que 𝑢 𝑒 𝑣 são linearmente independentes.
𝑢
 𝑣2. Considerando os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 dados ao lado, mostre
que 𝑢 𝑒 𝑣 são linearmente independentes.
2. Espaço Vetorial
2.2. Dependência Linear
Teoremas
T1) Um vetor 𝑣 é linearmente dependente, se e somente se, 𝑣 = 0.
Observação: a negação deste teorema equivale a dizer que um vetor não nulo é sempre LI.
T2) Dados 𝑛 vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛, se qualquer um deles for uma combinação linear dos
outros, então os 𝑛 vetores são linearmente dependentes
T3) Dados 𝑛 vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑝−1, 𝑣𝑝, ⋯ , 𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛, se 𝑝 destes vetores, 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛, são L.D, então
os 𝑛 vetores são linearmente dependentes.
2. Espaço Vetorial
2.2. Dependência Linear
Teoremas
T4) Dois vetores são LD se, e somente se, são colineares (paralelos).
T5) Dados dois vetores não paralelos 𝑣1, 𝑣2, e um terceiro vetor 𝑣 coplanar aos dois primeiros, é sempre
possível exprimir 𝑣 como combinação linear dos outros dois e de modo único.
 𝑣2
 𝑣1 𝑣1
 𝑣
 𝑣2
𝑂 𝐷
𝐸 𝐶
𝐴
𝐵
 𝑣 = 𝑂𝐷 + 𝐷𝐶
𝑂𝐷 = 𝑚 𝑣1 e 𝐷𝐶 = 𝑛 𝑣2
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
 𝑣 = 𝑚 𝑣1 + 𝑛 𝑣2
2. Espaço Vetorial
2.2. Dependência Linear
Teoremas
T6) Dado um vetor 𝑣 e outros três vetores não paralelos 𝑣1, 𝑣2 𝑒 𝑣3, não coplanares, é sempre possível
exprimir 𝑣 como combinação linear de 𝑣1, 𝑣2 𝑒 𝑣3 e de modo único.
 𝑣 = 𝑂𝐷 + 𝐷𝐸
𝑂𝐷 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐷
𝑂𝐷 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
𝑂𝐷 = 𝑚1 𝑣1 +𝑚2 𝑣2
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
 𝑣 = 𝑚1 𝑣1 +𝑚2 𝑣2 +𝑚3 𝑣3
 𝑣1
 𝑣2
 𝑣3
𝑚1 𝑣1
𝑚2 𝑣2
𝑚3 𝑣3
 𝑣
𝑂
𝐷
𝐸
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷𝐸 = 𝑂𝐶 = 𝑚3 𝑣3
2. Espaço Vetorial
3. Expressão Cartesiana de um Vetor
Quando exprimimos um vetor 𝑣 como combinação de outros três vetores não coplanares 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,
isto é, 𝑣 = 𝑥 𝑣1 + 𝑦 𝑣2 + 𝑧 𝑣3, os escalares 𝑥, 𝑦, e 𝑧 são chamados de coordenadas de 𝑣 em relação
ao triedro 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 . Neste caso, os vetores 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 formam uma base do espaço 𝑉
3 e os
vetores 𝑥 𝑣1, 𝑦 𝑣2, 𝑧 𝑣3 são as componentes de 𝑣 nas direções 𝑣1, 𝑣2 𝑒 𝑣3.
Na prática, a base escolhida é formada por vetores unitários e perpendiculares dois a dois. Tal base
é chamada ortonormal canônica.
1° Caso: Espaço ℝ1 - sistema
0
 𝑖
 𝑖 = (1,0)
 𝑖
2. Espaço Vetorial
3. Expressão Cartesiana de um Vetor
2° Caso: Espaço ℝ2 - sistema
 𝑖 = (1,0)
𝑣 = 4 𝑖 + 3 𝑗
 𝑗 = (0,1)
𝑣 = 4(1,0) + 3(0,1)
𝑣 = 4,0 + 0,3
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
𝑣 = 4 𝑖 + 3 𝑗 = (4,3)
 𝑖
 𝑗
0
𝑣
(4,3)
𝑦
𝑥
𝑣 = (4,3)
 𝑖
 𝑗
2. Espaço Vetorial
3. Expressão Cartesiana de um Vetor
3° Caso: Espaço ℝ3 - sistema
𝑣 = 3 𝑖 + 5 𝑗 + 3𝑘
𝑣 = 3 1,0,0 + 5 0,1,0 + 3(0,0,1)
𝑣 = 3,0,0 + 0, 5,0 + (0,0,3)
𝑣 = (3, 5, 3)
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
𝑣 = 3 𝑖 + 5 𝑗 + 3𝐾 = (3,5,3)
 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) 𝑘 = (0,0,1)
(3,5,3)
 𝑣
𝑂
𝑥
𝑧
𝑦
 𝑖
 𝑗
𝑘
2. Espaço Vetorial
3.1. Vetor posição
Chama-se vetor posição, todo vetor cuja origem coincide com a origem do sistema adotado como padrão (no
nosso caso
o sistema cartesiano). Sabemos que a todo ponto 𝑃 do espaço associamos um único terno
ordenado (𝑥, 𝑦, 𝑧). Do mesmo modo, dado um terno ordenado (𝑥, 𝑦, 𝑧) podemos associar na base {𝑖, 𝑗, 𝑘} um
único vetor de origem 𝑂 e extremidade 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧).
O vetor 𝑣 = 𝑂𝑃 também pode ser escrito como:
 𝑣 = 𝑂𝑃 = 𝑃 − 𝑂
Daí,
𝑃 = 𝑂 + 𝑣 = 𝑂 + 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘
𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
 𝑣
𝑂
𝑥
𝑧
𝑦
2. Espaço Vetorial
3.1. Vetor posição
Consideremos agora os pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵). Estes pontos determinam os
vetores 𝑣 = 𝐴𝐵, 𝑢 = 𝑂𝐴 e 𝑤 = 𝑂𝐵
𝑢 + 𝑣 = 𝑤
𝑂
𝑥
𝑧
𝑦
 𝑣
𝑤
𝑢
𝐴
𝐵
 𝑣 = 𝑤 − 𝑢
 𝑣 = (𝑥𝐵 𝑖, 𝑦𝐵 𝑗, 𝑧𝐵𝑘) − (𝑥𝐴 𝑖, 𝑦𝐴 𝑗, 𝑧𝐴𝑘)
 𝑣 = (𝑥𝐵−𝑥𝐴) 𝑖 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) 𝑗 + (𝑧𝐵−𝑧𝐴)𝑘