Lista e Gabarito de Transformações Lineares

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Matemática 
Disciplina: MATA07 – Álgebra Linear 
Semestre 2009.1 
Professora: Ana Cláudia Sokolonski 
5ª Lista de Exercícios 
Transformações Lineares 
 
Questão 1 Considere a base 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2 de ℝ
2, onde 𝑣1 = 1,1 e 𝑣2 = 1,0 e seja 
𝑇: ℝ2 → ℝ2 o operador linear tal que 𝑇 𝑣1 = 1, −2 e 𝑇 𝑣2 = −4, 1 . Encontre a 
fórmula para 𝑇 𝑥1, 𝑥2 e use esta fórmula para obter 𝑇 5, −3 . 
Resposta: 𝑇 𝑥1, 𝑥2 = (−4𝑥1 + 5𝑥2 , 𝑥1 − 3𝑥2) 
Questão 2 Considere a base 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2 de ℝ
2, onde 𝑣1 = −2, 1 e 𝑣2 = 1,3 e seja 
𝑇: ℝ2 → ℝ3 a transformação linear tal que 𝑇 𝑣1 = −1, 2, 0 e 𝑇 𝑣2 = 0, −3, 5 . 
Encontre a fórmula para 𝑇 𝑥1, 𝑥2 e use esta fórmula para obter 𝑇 2, −3 . 
Resposta: 𝑇 𝑥1, 𝑥2 = (
3𝑥1
7
−
𝑥2
7
, −
9𝑥1
7
−
4𝑥2
7
,
5𝑥1
7
+
10𝑥2
7
) 
Questão 3 Considere a base 𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 de ℝ
3, onde 𝑣1 = 1, 2, 1 , 𝑣2 = 2, 9, 0 e 
𝑣3 = 3, 3, 4 e seja 𝑇: ℝ
3 → ℝ2 a transformação linear tal que 𝑇 𝑣1 = 1, 0 , 𝑇 𝑣2 =
 −1, 1 𝑒 𝑇 𝑣3 = 0, 1 . Encontre a fórmula para 𝑇 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 e use esta fórmula para obter 
𝑇 7, 13, 7 . 
Resposta: 𝑇 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = (−41𝑥1 + 9𝑥2 + 24𝑥3 , 14𝑥1 − 3𝑥2 − 8𝑥3) 
Questão 4 Sejam 𝑣1, 𝑣2 𝑒 𝑣3 vetores em um espaço vetorial V e 𝑇: 𝑉 → ℝ
3 uma 
transformação linear para a qual 𝑇 𝑣1 = 1, −1, 2 , 𝑇 𝑣2 = 0, 3, 2 𝑒 𝑇 𝑣3 = −3, 1, 2 . 
Encontre 𝑇 2𝑣1 − 3𝑣2 + 4𝑣3 . 
Resposta: (−10, −7,6) 
Questão 5 Sejam 𝐹: ℝ3 → ℝ2 e G: ℝ3 → ℝ2 definida por 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (2𝑥, 𝑦 + 𝑧) e 
𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 − 𝑧, 𝑦), respectivamente. Estabeleça fórmulas que definam as 
transformações: 
(a) 𝐹 + 𝐺 
(b) 3𝐹 
(c) 2𝐹 − 5𝐺 
Questão 6 Seja 𝑇: ℝ2 → ℝ2 o operador linear dado pela fórmula 𝑇 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 −
𝑦, −8𝑥 + 4𝑦 . 
(a) Quais dos seguintes vetores estão na 𝐼𝑚(𝑇)? 
i. 1, −4 
ii. (5, 0) 
iii. (−3, 12) 
(b) Quais dos seguintes vetores estão no ker 𝑇 ? 
i. 5, 10 
ii. 3, 2 
iii. 1, 1 
(c) Encontre uma base para a imagem de T. 
(d) Encontre uma base para o kernel de T. 
Resposta: 
(a) i e iii 
(b) i 
(c) 1, −4 
(d) 1, 2 
Questão 7 Seja 𝑇: ℝ4 → ℝ3 a transformação linear dada pela fórmula 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 =
 4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 3𝑤, 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4𝑤, 6𝑥 − 9𝑧 + 9𝑤 . 
(a) Quais dos seguintes vetores estão na 𝐼𝑚(𝑇)? 
i. 0, 0, 6 
ii. (1, 3, 0) 
iii. (2, 4, 1) 
(b) Quais dos seguintes vetores estão no ker 𝑇 ? 
i. 3, −8, 2, 0 
ii. 0, 0, 0, 1 
iii. (0, −4, 1, 0) 
(c) Encontre uma base para a imagem de T. 
(d) Encontre uma base para o kernel de T. 
Resposta: 
(a) i e ii 
(b) i 
(c) 4, 2, 6 , 1, 1, 0 , (−3, −4, 9) 
(d) 
3
2
, −4, 1, 0 
Questão 8 Seja 𝑇 a multiplicação pela matriz 𝐴. Encontre uma base da imagem e do 
kernel de 𝑇, e o posto e a nulidade de 𝑇 e de 𝐴, onde: 
(a) 𝐴 = 
1 −1 3
5 6 −4
7 4 2
 
(b) 𝐴 = 
4 1 5 2
1 2 3 0
 
(c) 𝐴 = 
1 4 5 0 9
3 −2 1 0 −1
−1 0 −1 0 −1
2 3 5 1 8
 
Questão 9 Sejam as transformações 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 2. 
Estabeleça fórmulas para as transformações: 
(a) 𝑔 ∘ 𝑓 
(b) 𝑓 ∘ 𝑔 
(c) 𝑔 ∘ 𝑔 
Resposta: 
(a) 4𝑥2 + 4𝑥 − 1 
(b) 2𝑥2 − 3 
(c) 𝑥4 − 4𝑥2 + 2 
Questão 10 Ache uma transformação linear 𝑇: ℝ3 → ℝ4 cuja imagem é gerada por 
(1, 2, 0, −4) e (2, 0, −1, −3). 
Questão 11 Determine uma transformação linear 𝑇: ℝ4 → ℝ3 cujo núcleo seja gerado por 
(1, 2, 3, 4) e 0, 1, 1, 1 . 
Questão 12 Seja 𝑇: ℝ2 → ℝ2 a multiplicação por 𝐴. Determine se 𝑇 tem uma inversa; se 
tiver encontre 𝑇−1 
𝑥
𝑦 , onde: 
(a) 𝐴 = 
5 2
2 1
 
(b) 𝐴 = 
6 −3
4 −2
 
(c) 𝐴 = 
4 7
−1 3
 
Resposta: 
(a) 𝑇−1 𝑥, 𝑦 = (𝑥 − 2𝑦, −2𝑥 + 5𝑦) 
(b) Não-invertível 
(c) 𝑇−1 𝑥, 𝑦 = (
3
19
𝑥 −
7
19
𝑦,
1
19
𝑥 +
4
19
𝑦) 
Questão 13 Seja 𝑇: ℝ3 → ℝ3 a multiplicação por 𝐴. Determine se 𝑇 tem uma inversa; se 
tiver encontre 𝑇−1 
𝑥
𝑦
𝑧
 , onde: 
(a) 𝐴 = 
1 5 2
1 2 1
−1 1 0
 
(b) 𝐴 = 
1 4 −1
1 2 1
−1 1 0
 
(c) 𝐴 = 
1 0 1
0 1 1
1 1 0
 
(d) 𝐴 = 
1 −1 1
0 2 −1
2 3 0
 
Resposta: 
(a) Não-invertível 
(b) 𝑇−1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (
𝑥
8
+
𝑦
8
−
3𝑧
8
,
𝑥
8
+
𝑦
8
+
𝑧
4
, −
3𝑥
8
+
5𝑦
8
+
𝑧
4
) 
(c) 𝑇−1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (
3𝑥
2
−
𝑦
2
+
𝑧
2
,
𝑥
2
+
𝑦
2
+
𝑧
2
, −
𝑥
2
+
𝑦
2
−
𝑧
2
) 
(d) 𝑇−1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (3𝑥 + 3𝑦 − 𝑧, −2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, −4𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧) 
 
Questão 14 Em cada proposição abaixo encontre a matriz da transformação linear 𝑇: 𝑉 →
𝑊 em relação às bases 𝛽 e 𝛾 de 𝑉 e 𝑊, respectivamente. 
(a) 𝑇: ℘1 → ℘1 definida por 𝑇 𝑎 + 𝑏𝑥 = 𝑏 − 𝑎𝑥, 𝛽 = 𝛾 = 1, 𝑥 . 
(b) 𝑇: ℘1 → ℘1 definida por 𝑇 𝑎 + 𝑏𝑥 = 𝑏 − 𝑎𝑥, 𝛽 = 1 + 𝑥, 1 − 𝑥 , 𝛾 = 1, 𝑥 . 
(c) 𝑇: ℘2 → ℘2 definida por 𝑇 𝑝(𝑥) = 𝑝 𝑥 + 2 , 𝛽 = 1, 𝑥, 𝑥
2 , 𝛾 = 1, 𝑥 + 2, (𝑥 +
2)2 . 
(d) 𝑇: ℘2 → ℝ
2 definida por 𝑇 𝑝(𝑥) = 
𝑝(0)
𝑝(1)
 , 𝛽 = 𝑥2, 𝑥, 1 , 𝛾 = 
1
0
 , 
1
1
 . 
(e) 𝑇: ℝ2 → ℝ3 definida por 𝑇 
𝑎
𝑏
 = 
𝑎 + 2𝑏
−𝑎
𝑏
 , 𝛽 = 
1
2
 , 
3
−1
 , 𝛾 = 
1
0
0
 , 
1
1
0
 , 
1
1
1
 .