Aula 02 - Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente

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ANÁLISE DE SISTEMAS 
ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
PROF. MSC. EDUARDO H. C. BARBOSA
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EQUAÇÕES DA REDE ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE
05/12/2022
EQUAÇÕES DA REDE ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE
•Objetivo
Determinação das matrizes que representam a rede elétrica de corrente
alternada em regime permanente senoidal para uso computacional.
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EQUAÇÕES DA REDE ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE
• Tipos de representação
a) Modelo com parâmetros de admitância;
b) Modelo com parâmetros de impedância.
As equações da rede serão extraídas utilizando-se a análise nodal da rede,
pois esta apresenta desempenho computacional mais eficiente.
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EQUAÇÕES NODAIS
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EQUIVALENTE DE FONTES
• As fontes abaixo são equivalentes se ሶ𝑉 = 𝑧𝑔 × ሶ𝐼 e 𝑦𝑔 = 1/𝑧𝑔
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EQUAÇÕES NODAIS DA REDE QUANDO MODELADA POR 
ADMITÂNCIAS
• Seja o sistema da Figura 2.2, onde 𝐸3 representa um motor.
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• Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostra a
figura abaixo:
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• A Figura 2.4 mostra o diagrama da rede anterior em que cada fonte de
tensão em série com impedância foi transformada em fonte de corrente em
paralelo com a admitância e as impedâncias das linhas foram
transformadas em admitâncias.
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• As equações nodais da rede são:
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• Agrupando-se termos das equações das barras 1, 2, 3, temos:
• Na forma matricial:
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• A Equação 2.2 é da forma ሶ𝐼 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 × ሶ𝑉, onde: ሶ𝐼 é o vetor de injeção de
corrente na rede por fontes independentes, ሶ𝑉 é o vetor de tensão nas
barras em relação à referência e 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é a matriz de admitância de barra
ou matriz de admitância nodal.
CARACTERÍSTICAS DE 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
➢Simétrica;
➢Complexa;
➢Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra
de referência;
➢Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem;
➢Os elementos da diagonal principal são positivos;
➢Os elementos fora da diagonal principal são negativos;
➢Os elementos da diagonal principal 𝒀𝒌𝒌 são o somatório das admitâncias
diretamente ligadas à barra 𝒌;
➢Os elementos fora da diagonal principal 𝒀𝒌𝒋 são o simétrico da soma das
admitâncias que ligam as barras 𝒌 e 𝒋.
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CARACTERÍSTICAS DE 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
• As características 7 e 8 acima permitem a montagem direta da matriz
YBARRA por inspeção da rede.
• Pode-se também escrever a equação ሶ𝐼 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 × ሶ𝑉 como ሶ𝑉 = 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 × ሶ𝐼,
onde 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
−1 .
• A matriz 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎é conhecida como matriz de impedância de barra ou matriz
de impedância nodal.
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CARACTERÍSTICAS DE 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
• Simétrica;
• Complexa;
•Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem
contar a barra de referência;
•Matriz cheia.
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EXEMPLO:
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A Figura 2.7 mostra o diagrama unifilar de admitâncias onde todas as fontes de tensão
foram transformadas em fontes de corrente.
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A seguir os cálculos para a determinação dos
parâmetros do sistema da Figura 2.7 a partir do
diagrama na Figura 2.6.
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De acordo com a regra de montagem da matriz 
𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 pode-se escrever:
O sistema de equações com a matriz admitância 
de barra fica então:
O cálculo das admitâncias é simples
quando as resistências são desprezadas. A
diagonal principal é negativa e os
elementos fora da diagonal principal são
positivos.
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EXERCÍCIO 1: Resolva as equações nodais do exemplo anterior para encontrar a matriz
impedância de barra pela inversão da matriz admitância de barra. Calcule então as
tensões de barra.
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EXERCÍCIO 2: Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre
a barra 4 e a referência do circuito da Figura 2.7. Calcular a corrente que passa pelo
capacitor e a nova tensão da barra 4. Obs.: A impedância equivalente da rede “vista” a
partir da barra 4 e a tensão da barra 4, antes do capacitor ser acoplado, são obtidas a
partir da resolução do exercício anterior.
REDUÇÃO DA REDE
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PARTIÇÃO DE MATRIZES
• Esta técnica consiste em identificar várias partes de uma matriz como
submatrizes que serão tratadas como simples elementos quando da
aplicação das regras usuais de operações com matrizes.
• Por exemplo,
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A matriz é particionada em quatro submatrizes pelas
linhas tracejadas horizontal e vertical. Portanto, a matriz
A pode ser reescrita como:
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ELIMINAÇÃO DE BARRA
• As matrizes impedância de barra e admitância de barra de um sistema
elétrico real são muito grandes, dimensão da ordem de milhares. Nos
estudos não é necessário se conhecer a tensão em todas as barras do
sistema, logo seguem técnicas para reduzir a dimensão da rede, eliminando-
se trechos não prioritários da rede para o estudo em questão.
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• Seja a rede elétrica representada pela matriz admitância de barra. A
eliminação se processa para duas diferentes situações:
a) não existe fonte de corrente na barra a ser eliminada,
b) existe fonte de corrente na barra a ser eliminada.
ELIMINAÇÃO DE BARRA
Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente
Particionamento da matriz. Ordenam-se as equações de tal forma que todas
as barras sem fonte fiquem juntas e na parte inferior da matriz.
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• Considere o sistema de três barras mostrado abaixo e considere que 𝐼3 =
0. Deseja-se eliminar a barra em que não a presença de corrente.
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Esta matriz representa um sistema
equivalente ao sistema de três barras, agora
com dimensão 2×2.
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Colocando-se de forma escalar tem-se que a eliminação da barra n é:
A partir de YA pode-se desenhar o circuito equivalente. No exemplo tem-se agora duas
barras, mostradas na Figura 2.10 onde os elementos da nova matriz 𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 2 X 2 são:
Resolvendo-se o sistema acima determina-se y'1, 
y'2, y'3.
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• A Figura abaixo ilustra o sistema equivalente obtido após a redução da
rede:
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EXERCÍCIO 3:
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MONTAGEM E MODIFICAÇÃO DA MATRIZ DE 
IMPEDÂNCIA DE BARRA
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MONTAGEM E MODIFICAÇÃO DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA DE 
BARRA
• Como 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é uma importante ferramenta na análise de sistemasde
potência, examinaremos agora como ela poder ser modificada para
adicionar novos barramentos ou conectar novas linhas às barras já
estabelecidas, refletindo mudanças na rede elétrica.
• Naturalmente que podemos criar uma no 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 e invertê-la, mas métodos
diretos de modificação de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 são disponíveis e muito mais simples do
que uma inversão de matriz, mesmo para poucos números de nós.
• Uma vez conhecido como modificar 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 , então podemos ver como
construí-la diretamente.
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MODIFICAÇÃO DIRETA DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA DE BARRA
• Seja o sistema original mostrado na figura abaixo composto por 𝑛 barras,
cuja matriz de impedância é conhecida como 𝑍𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 .
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A inclusão de um novo elemento denominado 𝑧𝑏 atende a uma das quatro
possibilidades a seguir:
•O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência
•O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k
•O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência
•O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j
O ELEMENTO É LIGADO ENTRE A BARRA NOVA P E A REFERÊNCIA
•Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento
que possui impedância própria 𝑧𝑏 ligado entre uma barra nova 𝑝 e a
referência. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.22
mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada 𝑝.
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• A adição de uma nova barra 𝑝 ligada à barra de referência através de
uma impedância 𝑧𝑏 sem conexão com nenhuma das outras barras da rede
original não pode alterar as tensões de barra originais do sistema quando
a corrente 𝐼𝑝 for injetada na nova barra. A tensão 𝑉𝑝 na nova barra será
igual a 𝑧𝑏𝐼𝑝. Então
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• Note que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 não
alterará as tensões nas barras da rede original e resultará na tensão
correta na nova barra 𝑝.
• Regra 1: inclui-se a nova linha e a nova coluna na matriz impedância de
barra original, sendo nulos os elementos fora da diagonal principal. O
elemento da diagonal principal é o valor da impedância 𝑧𝑏 do elemento.
Os valores dos elementos da matriz impedância de barra original não
sofrem alteração.
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O ELEMENTO É LIGADO ENTRE A BARRA NOVA 𝑝 E A BARRA 
EXISTENTE 𝑘
•Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento
que possui impedância própria 𝑧𝑏 ligado entre uma barra nova 𝑝 e uma
barra existente 𝑘. Seja o sistema original composto de duas barras. A
Figura 2.23 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada
𝑝.
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• A adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância 𝑧𝑏 a
uma barra existente 𝑘 com 𝐼𝑝 injetada na barra 𝑝, modificará a injeção de
corrente na rede original na barra 𝑘 que virá a ser a soma de 𝐼𝑘 e 𝐼𝑝.
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• A corrente 𝐼𝑝 fluindo para a barra 𝑘 aumentará a tensão original 𝑉𝑘 de um
valor igual a 𝑍𝑘𝑘𝐼𝑝,
• e 𝑉𝑝 será maior do que o novo 𝑉𝑘 de um valor de tensão igual a 𝑧𝑏𝐼𝑝.
Assim,
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• Como 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é uma matriz quadrada e simétrica, resulta que devemos adicionar
uma nova coluna que é transposta da nova linha, ou seja,
• Note que os primeiros 𝑛 elementos da nova linha são os elementos da linha 𝑘 da
𝑍𝑜𝑟𝑖𝑔 e os primeiros 𝑛 elementos da nova coluna são os elementos da coluna 𝑘 da
𝑍𝑜𝑟𝑖𝑔.
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• Regra 2: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra
original, onde os elementos fora da diagonal principal são iguais aos
elementos da linha e da coluna 𝑘 (barra onde o novo elemento é conectado)
e o elemento da diagonal principal é (𝑍𝑘𝑘 + 𝑧𝑏) . Os valores dos elementos
da matriz impedância de barra original ficam idênticos.
O ELEMENTO É LIGADO ENTRE A BARRA EXISTENTE K E A 
REFERÊNCIA
• Para alterar a matriz 𝑍𝑜𝑟𝑖𝑔 pela ligação de uma impedância 𝑍𝑏 desde uma
barra 𝑘 já existente até a barra de referência, deve-se adicionar uma nova
barra 𝑝 ligada através de 𝑧𝑏 à barra 𝑘 . Então, se curto-circuita a barra 𝑝
à barra de referência, fazendo 𝑉𝑝 igual a zero, a fim de se obter a mesma
equação matricial anterior, com exceção de que 𝑉𝑝 agora é nula.
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• Este caso é abordado em duas etapas:
• O elemento novo é incluído entre uma barra k existente e uma barra nova (n+1)
fictícia,
• curto circuita-se a barra fictícia para a terra pela redução de Kron.
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• Etapa 1: inclusão do elemento entre uma barra existente k = 2 e uma barra
nova fictícia (n+1) = 3.
• Etapa 2: curto circuita-se a barra fictícia (n+1) = 3 para a referência e
procede-se à eliminação de Kron para eliminar a barra (n+1) = 3.
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• Regra 3: Inclui-se temporariamente uma nova linha e uma nova coluna na
matriz impedância de barra original onde os elementos fora da diagonal
principal são iguais aos elementos da linha e da coluna k, e o elemento da
diagonal principal é (Zkk + zb ) referente à barra fictícia (n+1). Elimina-se
a barra fictícia aplicando-se a redução de Kron.
O ELEMENTO É LIGADO ENTRE A BARRA EXISTENTE 𝑘 E A BARRA 
EXISTENTE 𝑗
•Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento
que possui impedância própria z𝑏 ligado entre uma barra existente 𝑘 e uma
barra existente 𝑗. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura
2.26 mostra este sistema acrescido da nova impedância.
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