LISTA DE EXERCÍCIOS - ANÁLISE SENOIDAL EM REGIME PERMANENTE

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RESOLUÇÃO DA 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
ELETRICIDADE GERAL 
ANÁLISE SENOIDAL EM REGIME PERMANENTE 
 
1. Utilize a análise nodal e determine 𝑣𝑜 no circuito da figura abaixo. 
 
Temos que: 
𝑤 = 4 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
Fazendo a transformação das grandezas do domínio do tempo para o domínio da 
frequência, temos: 
2 cos 4𝑡 → 2 < 0° 
16 sen 4𝑡 → 16 < −90° = −𝑗16 
2𝐻 → 𝑗𝑤𝐿 = 𝑗 ∗ 4 ∗ 2 = 𝑗8 
1 12⁄ 𝐹 →
1
𝑗𝑤𝐶
=
1
𝑗 ∗ 4 ∗
1
12
= −𝑗3 
Temos o seguinte circuito equivalente: 
 
 
 
 
Aplicando a análise nodal no super nó do circuito, temos: 
−𝑗16 − 𝑉𝑜
4 − 𝑗3
+ 2 =
𝑉𝑜
1
+
𝑉𝑜
6 + 𝑗8
 
 
−𝑗16
4 − 𝑗3
+ 2 = (1 +
1
4 − 𝑗3
+
1
6 + 𝑗8
) 𝑉𝑜 
 
𝑉𝑜 =
3,92 − 𝑗2,56
1,22 + 𝑗0,04
=
4,682 < −33,15°
1,2207 < 1,88°
= 3,835 < −35,02° 
Logo, concluímos que: 
𝑽𝒐(𝒕) = 𝟑, 𝟖𝟑𝟓 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒕 − 𝟑𝟓, 𝟎𝟐°) 𝑽 
2. Utilize a análise nodal para determinar a tensão V no circuito da figura abaixo. 
 
Realizando-se a análise no super nó, temos: 
(120 < −15°) − 𝑉
40 + 𝑗20
= 6 < 30° +
𝑉
−𝑗30
+
𝑉
50
 
 
115,91 − 𝑗31,058
40 + 𝑗20
− 5,196 − 𝑗3 = (
1
40 + 𝑗20
+
𝑗
30
+
1
50
) 𝑉 
 
𝑉 =
−3,1885 − 𝑗4,7805
0,04 + 𝑗0,0233
= 𝟏𝟐𝟒, 𝟎𝟖 < −𝟏𝟓𝟒° 𝑽 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Utilize a análise nodal para encontrar a tensão V no circuito da figura abaixo. 
 
𝑉 − 𝑉𝑠
𝑅
+
𝑉
𝑗𝑤𝐿 +
1
𝑗𝑤𝐶
+ 𝑗𝑤𝐶𝑉 = 0 
 
𝑉 +
𝑗𝑤𝑅𝐶𝑉
−𝑤2𝐿𝐶 + 1
+ 𝑗𝑤𝑅𝐶𝑉 = 𝑉𝑠 
 
(
1 − 𝑤2𝐿𝐶 + 𝑗𝑤𝑅𝐶 + 𝑗𝑤𝑅𝐶 − 𝑗𝑤3𝑅𝐿𝐶2
1 − 𝑤2𝐿𝐶
) 𝑉 = 𝑉𝑠 
 
4. Use a superposição para determinar 𝑣𝑜(𝑡). 
 
 
 
 
 
Realizando-se a superposição, de forma a considerar apenas a fonte de tensão de 10V, 
encontramos o seguinte circuito equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 Em regime permanente DC, o capacitor funciona como um circuito aberto, e o indutor 
funciona como curto-circuito, logo, temos que: 
 𝑉1 = 10𝑉 
 Considerando válida apenas a fonte de corrente, temos: 
Para as transformações do domínio do tempo para o domínio da frequência utilizamos 
os seguintes cálculos: 
 𝑤 = 2 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
 2𝐻 → 𝑗𝑤𝐿 = 𝑗 ∗ 2 ∗ 2 = 𝑗4 
 1 12⁄ 𝐹 →
1
𝑗𝑤𝐶
=
1
𝑗 ∗ 2 ∗
1
12
= −𝑗6 
 
 
 
 
 Realizando-se a análise nodal no super nó do circuito, temos: 
4 =
𝑉2
6
+
𝑉2
−𝑗6
+
𝑉2
𝑗4
= (
1
6
+
𝑗
6
−
𝑗
4
) 𝑉2 
 
𝑉2 =
24
1 − 𝑗0,5
= 21,45 < 26,56° 
 
𝑉2 = 21,45 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡 + 26,56°) 𝑉 
 Considerando-se agora a fonte restante, temos: 
Para as transformações do domínio do tempo para o domínio da frequência utilizamos 
os seguintes cálculos: 
𝑤 = 3 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
 
2𝐻 → 𝑗𝑤𝐿 = 𝑗 ∗ 3 ∗ 2 = 𝑗6 
1 12⁄ 𝐹 →
1
𝑗𝑤𝐶
=
1
𝑗 ∗ 3 ∗
1
12
= −𝑗4 
 
 
 
 
 
 Fazendo-se a análise nodal no nó de referência, temos: 
12 − 𝑉3
6
=
𝑉3
−𝑗4
+
𝑉3
𝑗6
 
 
𝑉3 =
12
1 + 𝑗0,5
= 10,73 < −26,56° 
 
𝑉3 = 10,73 cos (3𝑡 − 26,56°) 𝑉 
 Finalmente, temos: 
𝑽𝒐 = 𝟏𝟎 + 𝟐𝟏, 𝟒𝟓 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒕 + 𝟐𝟔, 𝟓𝟔°) + 𝟏𝟎, 𝟕𝟑 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒕 − 𝟐𝟔, 𝟓𝟔°) 𝑽 
 
5. Utilize o teorema da superposição para encontrar a corrente 𝑖𝑜. 
 
 
 
 
 
 
 Considerando-se apenas a fonte de 50 V, temos: 
𝑤 = 2000 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
50 cos 2000𝑡 → 50 < 0° 
 40𝑚𝐻 → 𝑗𝑤𝐿 = 𝑗 ∗ 2000 ∗ 40𝑚 = 𝑗80 
20𝜇𝐹 →
1
𝑗𝑤𝐶
=
1
𝑗 ∗ 2000 ∗ 20𝜇
= −𝑗25 
 
 
 
 
 
 Calculando-se a corrente total do circuito, temos: 
𝑅𝑒𝑞 = 80//(100 + 60) = 160 3⁄ 
𝐼 =
50
𝑅𝑒𝑞 + 𝑗80 − 𝑗25
=
50
160
3⁄ + 𝑗80 − 𝑗25
=
30
32 + 𝑗33
 
 Utilizando-se um divisor de corrente afim de encontrar a primeira corrente parcial 𝑖𝑜1, 
temos: 
𝑖𝑜1 =
−80𝐼
80 + 160
= −
1
3
𝐼 =
10 < 180°
46 < 45,9°
 
 
𝑖𝑜1 = 0,217 < 134,1° 
 Logo, temos que: 
𝑖𝑜1 = 0,217 cos (2000𝑡 + 134,1°) 𝐴 
 Agora, considerando a fonte de 24 V, temos: 
 
 
 
 
 
𝑖𝑜2 =
24
80 + 60 + 100
= 0,1 𝐴 
 
 
 
 
 
Considerando agora a fonte de corrente, temos: 
𝑤 = 4000 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
2 cos 4000𝑡 → 2 < 0° 
 40𝑚𝐻 → 𝑗𝑤𝐿 = 𝑗 ∗ 4000 ∗ 40𝑚 = 𝑗160 
20𝜇𝐹 →
1
𝑗𝑤𝐶
=
1
𝑗 ∗ 4000 ∗ 20𝜇
= −𝑗12,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para esse caso, temos que: 
𝐼1 = 2𝐴 (1) 
 
(80 + 𝑗160 − 𝑗12,5)𝐼2 − 𝑗160𝐼1 − 80𝐼3 = 0 (2) 
 Substituindo-se (1) em (2), temos: 
(8 + 𝑗14,75)𝐼2 − 8𝐼3 = 𝑗32 
 Temos também que: 
240𝐼3 − 60𝐼1 − 80𝐼2 = 0 (3) 
 Substituindo-se (1) em (3), temos: 
𝐼2 = 3𝐼3 − 1,5 
 Substituindo-se (3) em (2), temos: 
(16 + 𝑗44,25)𝐼3 = 12 + 𝑗54,125 
 Logo, temos que: 
𝐼3 =
12 + 𝑗54,125
16 + 𝑗44,25
= 1,1782 < 7,38° 
𝐼𝑜3 = −𝐼3 = −1,1782 < 7,38° 
𝐼𝑜3 = −1,1782 sen (4000𝑡 + 7,38°) 𝐴 
 Somando-se as correntes parciais, encontramos: 
𝑰𝒐 = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟕 𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝟎𝟎𝟎𝒕 + 𝟏𝟑𝟒, 𝟏°) − 𝟏, 𝟏𝟕𝟖𝟐 𝐬𝐞𝐧 (𝟒𝟎𝟎𝟎𝒕 + 𝟕, 𝟑𝟖°) 𝑨 
6. Utilize a transformação de fontes para calcular a corrente 𝐼𝑥 do circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
Transformando a fonte de tensão em fonte de corrente, temos o seguinte resultado: 
𝐼 =
60 < 0°
2 + 𝑗4
= 6 − 𝑗12 
 
 
 
 
 
 
 Calculando 𝑍𝑠 e 𝑉𝑠, temos: 
𝑍𝑠 = 6//(2 + 𝑗4) =
6(2 + 𝑗4)
8 + 𝑗4
= 2,4 + 𝑗1,8 
 
𝑉𝑠 = 𝐼𝑠. 𝑍𝑠 = (6 − 𝑗12). (2,4 + 𝑗1,8) = 36 − 𝑗18 = 18 (2 − 𝑗) 
 Logo, temos o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalhando ainda mais, temos: 
𝑍𝑜 = 𝑍𝑠 − 𝑗2 = 2,4 − 𝑗0,2 = 0,2 (12 − 𝑗) 
𝐼𝑜 =
𝑉𝑠
𝑍𝑜
=
18 (2 − 𝑗)
0,2 (12 − 𝑗)
= 15,517 − 𝑗6,207 
 
 
 
 
 
 Realizando-se um divisor de corrente, temos: 
𝐼𝑥 =
𝑍𝑜
𝑍𝑜 + 4 − 𝑗3
(𝐼𝑜 + 𝑗5) =
2,4 − 𝑗0,2
6,4 − 𝑗3,2
(15,517 − 𝑗1,207) 
 
𝐼𝑥 = 5 + 𝑗1,5625 = 𝟓, 𝟐𝟑𝟖 < 𝟏𝟕, 𝟑𝟓° 𝑨 
7. Utilize repetidas transformações de fonte para calcular a tensão 𝑉𝑜 no circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 Realizando-se a transformação da fonte de tensão para a fonte de corrente, temos o 
seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
𝑍𝑠 = 4//𝑗2 =
𝑗8
4 + 𝑗2
= 0,8 + 𝑗1,6 
 
𝑉𝑠 = (5 < 0°)𝑍𝑠 = 5 (0,8 + 𝑗1,6) = 4 + 𝑗8 
 
 O circuito transformado é mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
𝑍𝑥 = 𝑍𝑠 − 𝑗3 = 0,8 − 𝑗1,4 
 
𝐼𝑥 =
𝑉𝑠
𝑍𝑠
=
4 + 𝑗8
0,8 − 𝑗1,4
= −3,0769 + 𝑗4,6154 
 Logo, temos o seguinte circuito transformado: 
 
 
 
 
 
 Manipulando ainda mais o circuito, temos: 
𝑍𝑦 = 2//𝑍𝑥 =
1,6 − 𝑗2,8
2,8 − 𝑗1,4
= 0,8571 − 𝑗0,5714 
𝑉𝑦 = 𝐼𝑥. 𝑍𝑦 = (−3,0769 + 𝑗4,6154). (0,8571 − 𝑗0,5714) = 𝑗5,7143 
 Encontramos o seguinte circuito final, realizando-se um divisor de corrente, temos: 
 
 
 
 
 
𝑉𝑜 =
− 𝑗2
𝑍𝑦 + 𝑗4 − 𝑗2
𝑉𝑦 =
− 𝑗2( 𝑗5,7143)
0,8571 − 𝑗0,5714 + 𝑗4 − 𝑗2
= (𝟑, 𝟓𝟐𝟗 – 𝒋𝟓, 𝟖𝟖𝟑) 𝑽 
 
 
 
8. Calcule a impedância de saída do circuito mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 Como não temos fontes independentes no sistema, colocaremos uma fonte de corrente 
auxiliar no circuito, com valor de 1A, dessa forma, temos: 
 
 
 
 
 
 Temos que: 
𝑉𝑜 = – (– 𝑗2) = 𝑗2 
 
𝑉1 = (0,2𝑉𝑜 + 1). 𝑗40 = (1 + 𝑗0,4). 𝑗40 = – 16 + 𝑗40 𝑉 
 Logo, temos: 
𝑉𝑎𝑏 = 10 − 𝑗2 − 16 + 𝑗40 = – 𝟔 + 𝒋𝟑𝟖 𝑽 = 𝟑𝟖, 𝟒𝟕 < 𝟗𝟖, 𝟗𝟕° 𝑽 
9. Determine os equivalentes de Thévenin e Norton no circuito da Figura abaixo.Para o cálculo da impedância equivalente, consideramos o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
𝑍𝑒𝑞 = 4 // (− 𝑗4 + 10 // 𝑗5) = 4 // (− 𝑗4 + 2 + 𝑗4) 
 
𝑍𝑒𝑞 = 4//2 = 1,333 Ω 
 Para o cálculo da tensão de Thévenin, temos: 
 
 
 
 
 
 Para o nó 1, temos: 
20 − 𝑉1
10
=
𝑉1
𝑗5
+
𝑉1 − 𝑉2
−𝑗4
 
 
(1 + 𝑗0,5)𝑉1 − 𝑗2,5𝑉2 = 20 (1) 
 Para o nó 2, temos: 
4 +
𝑉1 − 𝑉2
−𝑗4
=
𝑉2
4
 
 
𝑉1 = (1 − 𝑗)𝑉2 + 𝑗16 (2) 
 Substituindo-se (2) em (1), temos: 
28 − 𝑗16 = (1,5 − 𝑗3)𝑉2 
𝑉2 =
28 − 𝑗16
1,5 − 𝑗3
= 8 + 𝑗5,333 
 Porém, sabemos que: 
𝑉𝑇ℎ = 𝑉2 = 9,615 < 33,69° 𝑉 
 Na letra b, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑍𝑒𝑞 = −𝑗4//(4 + 10//𝑗5) = −𝑗4// (4 +
𝑗10
2 + 𝑗
) 
 
𝑍𝑒𝑞 = −𝑗4//(6 + 𝑗4) =
−𝑗4
6
(6 + 𝑗4) = (2,667 − 𝑗4) Ω 
 Para o cálculo da tensão de Thévenin, temos: 
𝑉2 = 8 + 𝑗5,333 = (8 3⁄ )(3 + 𝑗2) 
 
𝑉1 = (1 − 𝑗)𝑉2 + 𝑗16 = 𝑗16 + (8 3⁄ )(5 − 𝑗) 
 
𝑉𝑇ℎ = 𝑉1 − 𝑉2 =
16
3
+ 𝑗8 = 𝟗, 𝟔𝟏𝟒 < 𝟓𝟔, 𝟑𝟏° 𝑽 
10. Determine os equivalentes de Thévenin e Norton entre os terminais a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo as devidas transformações, temos: 
1𝐻 → 𝑗𝑤𝐿 = 𝑗10.1 = 𝑗10 
 
1
20
𝐹 →
1
𝑗𝑤𝐶
=
1
𝑗. 10.
1
20
= −𝑗2 
Dessa forma, obtemos o circuito abaixo, de onde calcularemos a tensão de Thévenin. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑗10//−𝑗2 =
𝑗10(−𝑗2)
𝑗10 − 𝑗2
= −𝑗2,5 
 
𝑉𝑜 = 4𝐼𝑜(−𝑗2,5) = −𝑗10𝐼𝑜 (1) 
 
−6 + 4𝐼𝑜 +
1
3
𝑉𝑜 = 0 (2) 
 Combinando as equações (1) e (2), encontramos: 
𝐼𝑜 =
6
4 −
𝑗10
3
 
 
𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑜 = −𝑗10𝐼𝑜 =
−𝑗60
4 −
𝑗10
3
= 11,52 < −50,19° 
 
𝑽𝒕𝒉 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝟏𝟎𝒕 − 𝟓𝟎, 𝟏𝟗°) 𝑽 
 
 
 
Para o cálculo da impedância equivalente, adicionaremos uma fonte auxiliar de 1A, 
logo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
4𝐼𝑜 +
1
3
𝑉𝑜 = 0 
 
𝐼𝑜 = −
𝑉𝑜
12
 
 
1 + 4𝐼𝑜 =
𝑉𝑜
−𝑗2
+
𝑉𝑜
𝑗10
 
 Considerando-se as equações acima, e combinando-as, obtemos: 
𝑉𝑜 =
1
0,333 + 𝑗0,4
= 1,2293 − 𝑗1,4766 
 
𝒁𝒕𝒉 =
𝑽𝒐
𝟏
= 𝟏, 𝟐𝟐𝟗𝟑 − 𝟏, 𝟒𝟕𝟕 Ω 
 Finalmente, temos que: 
𝐼𝑛 =
𝑉𝑡ℎ
𝑍𝑡ℎ