Representação da Informação

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Natureza da Informação
Bit, Sistemas numéricos e Conversões
Prof. Vladimir Rocha (Vladi)
vladimir.rocha@ufabc.edu.br
Baseado nos slides do Prof. David e da Profa. Mirtha
• A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
• REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DA INFORMAÇÃO
• MEDIDAS USADAS NO ARMAZENAMENTO DA INFORMAÇÃO
• SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO
• CONVERSÕES
• REPRESENTAÇÃO INTEIROS NEGATIVOS
• OUTROS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
AGENDA
2
• A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
• Dispositivos Analógicos
• Dispositivos Digitais
AGENDA
3
• Exemplo: Som
Universo de
Representação
Universo de
Implementação
879987987898
879987987898
By M. Gattass
Ondas mecânicas
Sinais ou funções
“analógicas”
Sinais ou funções
“discretas”
Conjunto 
de dígitos
Universo
Físico
Universo
Matemático
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
4
• Exemplo: Som
Universo de
Representação
Universo de
Implementação
879987987898
879987987898
By M. Gattass
Ondas mecânicas
Sinais ou funções
“analógicas”
Sinais ou funções
“discretas”
Conjunto 
de dígitos
Universo
Físico
Universo
Matemático
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
5
• Exemplo: Som
Universo de
Representação
Universo de
Implementação
879987987898
879987987898
By M. Gattass
Ondas mecânicas
Sinais ou funções
“analógicas”
Sinais ou funções
“discretas”
Conjunto 
de dígitos
Universo
Físico
Universo
Matemático
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
6
• Exemplo: Som
Universo de
Representação
Universo de
Implementação
879987987898
879987987898
By M. Gattass
Ondas mecânicas
Sinais ou funções
“analógicas”
Sinais ou funções
“discretas”
Conjunto 
de dígitos
Universo
Físico
Universo
Matemático
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
7
• Vamos nos ater sobre a representação da
informação para os computadores
• O computador armazena e movimenta as 
informações; 
• Reconhece dois estados físicos distintos, produzidos
pela eletricidade, pela polaridade magnética ou pela luz
refletida;
• Só consegue processar duas informações: a presença ou a
ausência de energia;
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
8
Tipo de grandeza:
• Dispositivos analógicos
- São caracterizados por lidarem com 
grandezas contínuas; 
- As variáveis do problema são 
representadas por tensões que são 
quantidades físicas contínuas;
• Exemplos
- Termômetro: A dilatação de mercúrio é 
análoga à mudança de temperatura
- Velocímetro de ponteiro
- Balança de molas: 1g, 1.01g, 1.0001g
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
9
Universo
Matemático
Tipo de grandeza:
• Dispositivos digitais
– Agrupam uma faixa de valores 
contínuos
– Trabalham com níveis discretos 
de sinais elétricos
– Representam dados por meio de 
símbolos (dígito). 
• Exemplos
TV digital, mp3 player, smartphone, 
pendrives, fones bluetooth...
• Serão o foco desta aula.
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
10
Universo de
Representação
879987987898
Tipo de grandeza:
• Dispositivos digitais
– Agrupam uma faixa de valores 
contínuos
– Trabalham com níveis discretos 
de sinais elétricos
– Representam dados por meio de 
símbolos (dígito). 
• Como representamos esses 
dados? 
• Através de um sistema numérico 
especial, denominado binário
A INFORMAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO
11
Universo de
Representação
879987987898
• REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DA INFORMAÇÃO
• Bits
• Bytes
• Texto
• Imagens
AGENDA
12
11’
Como os computadores representam as informações?
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DA INFORMAÇÃO
Representação binária: zeros e uns
13
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DA INFORMAÇÃO
14
Como os computadores representam as informações?
Representação binária: zeros e uns
• No Computador Digital
– Normalmente a informação a ser processada é de forma 
numérica ou texto  codificada internamente através de 
um código numérico
– Cada dígito do cod. num. é representado por 2 valores 
(estados) :
• 1 (Verdadeiro), habitualmente associado a HIGH
• 0 (Falso), habitualmente associado a LOW
– Cada dígito (0 ou 1) designa-se por bit [de “Binary digIT”] 
que é a unidade fundamental dos computadores.
15
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DA INFORMAÇÃO
• Representações físicas do bit
˗ pulso elétrico ou silêncio (código Morse-1844)
˗ cartão perfurado ou não (IBM 1950)
BITS
16
• Representações físicas do bit
˗ pulso elétrico ou silêncio (código Morse-1844)
˗ cartão perfurado ou não (IBM 1950)
˗ duas tensões ou níveis de corrente acima ou abaixo de um 
nível padrão (0=0..0,8V e 1=2..5V)
BITS
17
• Representações físicas do bit
˗ pulso elétrico ou silêncio (código Morse-1844)
˗ cartão perfurado ou não (IBM 1950)
˗ duas tensões ou níveis de corrente acima ou abaixo de um 
nível padrão (0=0..0,8V e 1=2..5V)
˗ duas direções de magnetização (discos magnéticos)
˗ dois níveis de intensidade da luz (em fibras ópticas) 
BITS
18
• Um bit representa apenas 2 valores (estados, símbolos): 
0 e 1;
• Necessidade – criar uma unidade maior, formada por 
um conjunto de bits, para representar mais símbolos, 
como os números, caracteres e sinais de pontuação
• Essa unidade maior (conjunto de bits) - precisa ter bits 
suficientes para representar todos os símbolos que 
possam ser usados:
– dígitos numéricos,
– letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto, 
– sinais de pontuação, 
– símbolos matemáticos. etc.
BITS
19
118Total de símbolos
24Caracteres de controle
32Sinais de pontuação e outros símbolos
10Algarismos
26Caracteres alfabéticos minúsculos
26Caracteres alfabéticos maiúsculos
Necessidade:BITS
20
• Porque 2^1 ?
• 2 porque o bit permite somente dois valores (0 e 1)
• 2^1 porque são os símbolos (estados) que posso representar = 2
Capacidade de representação:
2^1 = 21
BITS
SímbolosBits
21
• 1 bit: 0 e 1 dois símbolos  cara/coroa
• 2 bits: 00, 01, 10 e 11 quatro símbolos  naipes do baralho
• 3 bits: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111 oito símbolos
Capacidade de representação:
2^1 = 21
BITS
SímbolosBits
2^2 = 42
22
2^3 = 83
20’
Capacidade de representação:
2^10 = 102410
2^9 = 5129
2^8 = 2568
2^7 = 1287
2^6 = 646
2^5 = 325
2^4 = 164
2^3 = 83
2^2 = 42
2^1 = 21
BITS
Com N bits podemos representar 2 elevado a N símbolos
SímbolosBits
23
byte
• BYTE (BInary TErm)
– Grupo ordenado de 8 bits, para efeito de 
manipulação interna mais eficiente; Ex. 01010110
– Tratado de forma individual, como unidade de 
armazenamento; 
– Unidade de memória usada para representar um
caractere.
O termo byte foi criado por Werner Buchholz em 1956 durante o 
desenho do computador IBM Stretch. Inicialmente era um grupo de 7 
bits, mas logo se transformou em um de 8 bits. A palavra é uma 
mutação de bite, para não confundir com bit. 
BYTES
24
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DE TEXTO
25
• Todos os caracteres são codificados e decodificados
pelos computadores através dos bytes, permitindo a
comunicação entre o usuário e a máquina
• Os sistemas mais importantes desenvolvidos para 
representar caracteres com números binários:
– EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code)
– ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
– UNICODE (Unicódigo).
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DE TEXTO
26
• EBCDIC
– Código de 8 bits = 1 byte (28 = 256 símbolos);
– Usado em mainframe IBM e em sistemas de médio porte.
• ASCII
– Padrão definido pela American National Standards Institute.
– Código de 8 bits = 1 byte;
– No PC existe o ASCII Estendido (utiliza códigos superiores a 128 
para símbolos gráficos, e línguas diferentes do inglês). 
• UNICODE
– Novo padrão para representação de dados, oferece 2 bytes para a 
representação de símbolos ( 2^(8*2) ~ mais de 65.000 símbolos).
– http://www.unicode.org
1 byte = 8 bits = 1 caractere (letra, número ou símbolo)
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DE TEXTO
27
Partes do conjunto de caracteres ASCII
DEL01111111
ESC00011011 
=00111101
<00111100
b01100010
a01100001
B01000010
A01000001
CaractereBinário 8 bits
28
Notam alguma diferença entre A e a? ou B e b?
Tabela ASCII Estendida
29
REPRESENTAÇÃOBINÁRIA DE IMAGENS
30
 Pixel∗, pel or picture element: considerado o menor 
componente de uma imagem digital. Os pixels são 
normalmente dispostos em uma grade - matrix bidimensional
Scanners: dpi: dots per inch
(pixels por unidade de comprimento)
Câmeras digitais: Mega pixels
(quantidade total de pixels na imagem)
Impressoras: dpi
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DE IMAGENS
31
PIXEL
x
y
 A codificação de cores depende da quantidade de bits para 
cada pixel:
 1 bit (21 preto e branco)
 1 byte (28 256 tons de cinza)
 2 bytes (216 65,536 cores, ”Highcolor”)
 3 bytes (224 um byte para cada cor RGB 16,777,216 cores - Truecolor)
 E da quantidade de pixels
REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DE IMAGENS
Compressão de dados de imagem: padrões JPEG, GIF, TIF, MPEG
32
Benefícios da representação binária
• Favorece a transmissão e armazenagem da informação 
em forma de níveis de voltagem
• Permite conversão analógico-digital (A-D) e digital-
analógico (D-A) aula de álgebra
• A codificação binária permite facilmente as operações 
aritméticas e lógicas aula de aritmética
• George Boole (1815-1864)
33
• MEDIDAS USADAS NO ARMAZENAMENTO DA INFORMAÇÃO
AGENDA
34
34’
1 Byte = 8 bits
1 kilobyte (KB) = 1000 bytes = 103 bytes
1 megabyte (MB) = 1000 kilobytes = 106 bytes
1 gigabyte (GB) = 1000 megabytes = 109 bytes
1 terabyte (TB) = 1000 gigabytes = 1012 bytes
1 petabyte (PB) = 1000 terabytes = 1015 bytes
1 exabyte (EB) = 1000 petabytes = 1018 bytes
1 zettabyte (ZB) = 1000 exabytes = 1021 bytes
1 yottabyte (YB) = 1000 zettabytes = 1024 bytes
Prefixos representando potências de 10 são usados pelos 
produtores de dispositivos de armazenamento.
Medidas usadas no armazenamento da informação
International Electrotechnical Commission (IEC)
35
RAM E FILMES
HD
MP3
Medidas usadas no armazenamento da informação
International Electrotechnical Commission (IEC)
1 Byte = 8 bits
1 kibibyte (KiB) = 1024 bytes=210 bytes
1 mebibyte (MiB) = 1024 kibibytes = 220 bytes
1 gibibyte (GiB) = 1024 mebibytes =230 bytes
1 tebibyte (TiB) = 1024 gibibytes =240 bytes
1 pebibyte (PiB) = 1024 tebibytes =250 bytes
1 exbibyte (EiB) = 1024 pebibytes =260 bytes
1 zebibyte (ZiB) = 1024 exbibytes =270 bytes
1 yobibyte (YiB) = 1024 zebibytes =280 bytes
Prefixos representando potências de 2 são usados pelas indústrias de 
software e hardware - também chamados de kilo, mega, giga, ...
36
kibi = 210 = 1024 bytes > 1000 bytes = kilo
mebi = 220 = 1 048 576 > 1 000 000 = 106 = mega
gibi = 230 = 1 073 741 824 > 1 000 000 000 = 109 = giga
tebi = 240 = 1 099 511 627 776 > 1 000 000 000 000 = 1012 = tera
pebi = 250 = 1 125 899 906 842 624 > 1015 = peta
exbi = 260 = 1 152 921 504 606 846 976 > 1018 = exa
zebi = 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 > 1021 = zetta
yobi = 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 > 1024
Brontobyte = 290 = 1 237 940 039 285 380 274 899 124 224 > 1027
Geopbyte = 2100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 > 1030
Fabricantes de discos rígidos ou de dispositivos SSD usam 1:1000 (KILO) 
i.e., 100GB ≈ 93 GiB; 450 GB ≈ 419,09 GiB ≈ 483 bilhões bytes
Medidas usadas no armazenamento da informação
International Electrotechnical Commission (IEC)
37
Proporção 1:1000 (KILO) ou 1:1024 (KIBI) ?
38
Fabricantes de discos rígidos ou de dispositivos SSD usam 1:1000 (KILO) 
i.e., 100GB ≈ 93 GiB; 450 GB ≈ 419,09 GiB ≈ 483 bilhões bytes
kibi = 210 = 1024 > 1000 = kilo
mebi = 220 = 1 048 576 > 1 000 000 = 106 = mega
gibi = 230 = 1 073 741 824 > 1 000 000 000 = 109 = giga
tebi = 240 = 1 099 511 627 776 > 1 000 000 000 000 = 1012 = tera
pebi = 250 = 1 125 899 906 842 624 > 1015 = peta
exbi = 260 = 1 152 921 504 606 846 976 > 1018 = exa
zebi = 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 > 1021 = zetta
yobi = 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 > 1024
Brontobyte = 290 = 1 237 940 039 285 380 274 899 124 224 > 1027
Geopbyte = 2100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 > 1030
São necessárias essas unidades exageradas?
Medidas usadas no armazenamento da informação
International Electrotechnical Commission (IEC)
39
40
The Zettabyte Era and the Big Data Problems
A produção de dados cresce de forma exponencial !!
Problema: Como armazenar, processar e analisar esses dados no 
computador? Usando números binários !
https://www.quora.com/What-are-the-problems-with-big-data http://www.bbc.com/future/story/20160605-the-trouble-with-big-data-its-called-
the-recency-bias
41
https://www.quora.com/What-are-the-problems-with-big-data
http://www.bbc.com/future/story/20160605-the-trouble-with-big-data-its-called-the-recency-bias
• SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO
AGENDA
42
Sistema de Numeração
• Conjunto de símbolos utilizados para representação de
quantidades, onde o mais conhecido é o decimal.
• Cada sistema de numeração é apenas um método
diferente de representar quantidades
• As quantidades em si não mudam (9 será sempre 9), mudam
apenas os símbolos usados para representá-las.
• Por exemplo, 5 =
43
• O total de símbolos (algarismos) disponíveis em um
dado sistema de numeração é chamado de base
No decimal, 10 algarismos (0 ao 9)  base 10.
• Outros sistemas de numeração bem utilizados:
– Binário (base 2)
– Octal (base 8)
– Hexadecimal (base 16)
– Base64 (base 64)
Sistema de Numeração
44
• No sistema binário temos 2 algarismos (0 e 1)  base 2
• Assim, todas as quantidades se representam com esses
dois algarismos.
• Já que o sistema binário é apenas um método diferente
de representar quantidades, vamos entender esse
sistema convertendo as quantidades decimais a binárias
Sistema de Numeração
45
• CONVERSÕES
• Nº Inteiro Decimal para Binário
• Nº Inteiro Binário para Decimal e Base B para Decimal
• Nº Fracionário Decimal para Binário
• Nº Fracionário Binário para Decimal
AGENDA
46
• CONVERSÕES
• Nº Inteiro Decimal para Binário
AGENDA
47
Conversões: base 10 para 2
• Para converter qualquer número X da base 10 para a 
base 2, dividimos sucessivamente o número X por 2 
(e seus quocientes) até dar quociente 0
• Os restos (na ordem inversa de obtenção) formam a 
representação do número na base 2
48
• Exemplo:
• 57 na base 10 escrito na base 2 fica:
– 57 ÷ 2 = 28 e resto 1
– 28 ÷ 2 = 14 e resto 0
– 14 ÷ 2 = 7 e resto 0
– 7 ÷ 2 = 3 e resto 1
– 3 ÷ 2 = 1 e resto 1
– 1 ÷ 2 = 0 e resto 1
• Portanto (57)10 = (111001)2
• (111001)2 com 6 bits
Conversões: base 10 para 2
49
Note que o resto 
é sempre 0 ou 1
G
• Exemplo:
• 128 na base 10 escrito na base 2 fica:
– 128 ÷ 2 = 64 e resto 0
– 64 ÷ 2 = 32 e resto 0
– 32 ÷ 2 = 16 e resto 0
– 16 ÷ 2 = 8 e resto 0
– 8 ÷ 2 = 4 e resto 0
– 4 ÷ 2 = 2 e resto 0
– 2 ÷ 2 = 1 e resto 0
– 1 ÷ 2 = 0 e resto 1
• Portanto (128)10 = (10000000)2
Conversões: base 10 para 2
50
Que número poderia
dar somente resto 1?
G
• Exemplo:
• 255 na base 10 escrito na base 2 fica:
– 255 ÷ 2 = 127 e resto 1
– 127 ÷ 2 = 63 e resto 1
– 63 ÷ 2 = 31 e resto 1
– 31 ÷ 2 = 15 e resto 1
– 15 ÷ 2 = 7 e resto 1
– 7 ÷ 2 = 3 e resto 1
– 3 ÷ 2 = 1 e resto 1
– 1 ÷ 2 = 0 e resto 1
• Portanto (255)10 = (11111111)2
Conversões: base 10 para 2
51
G
• CONVERSÕES
• Nº Inteiro Binário para Decimal e Base B para Decimal
AGENDA
52
• Para se obter um número na base 10 (a partir de 
um número Y na base 2) multiplicamos o bit do 
número Y pela potência de 2 elevado à ordem do 
bit, somando tudo no final
• Exemplo:
( 1 1 1 0 0 1 )2 = 
( 1 . 25 + 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20)10 =
32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (57)10
Conversões: base 2 para 10
5 4 3 2 1 0ordem
53
G
• Exemplo:
( 1 0 1 0 0 1 1 )2 = 
( 1 . 26 + 0 . 25 + 1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 .20)10 
64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = (83)10
Conversões: base 2 para 10
6 5 4 3 2 1 0ordem
54
G
• Para se passar para a base 16 (qualquer número 
da base 10), segue-se o mesmo raciocínio 
aplicado à base 2 binária
• Exemplo: quanto é (297)10 embase 16?
– 297 ÷ 16 = 18 e resto 9
– 18 ÷ 16 = 1 e resto 2
– 1 ÷ 16 = 0 e resto 1
• Portanto, (297)10 = (129)16
Conversões: Outras bases
Existe algum padrão que se repete?
55
Divisões sucessivas
• Exemplo: (333)10 em base 16?
– 333 ÷ 16 = 20 e resto 13
– 20 ÷ 16 = 1 e resto 4
– 1 ÷ 16 = 0 e resto 1
• O que fazer com o 13?
• Vejamos a tabela da base 16
Conversões: Outras bases
56
• Exemplo: (333)10 em base 16?
– 333 ÷ 16 = 20 e resto 13
– 20 ÷ 16 = 1 e resto 4
– 1 ÷ 16 = 0 e resto 1
• Portanto, (333)10 = (14D)16
Conversões: Outras bases
57
• E no caso contrário? Ou seja da base 16 para 10 
• Aplicamos o mesmo raciocínio da base 2 para 10:
– (129)16 = (1 . 162 + 2 . 161 + 9 . 160)10 = (297)10
1* 256 2*16 9*1
– (14D)16 = (1 . 162 + 4 . 161 + 13 . 160)10 = (333)10
Conversões: Outras bases
58
2 1 0ordem
Conversões: base b para 10
 Em geral, para converter números de base b para a 
base 10
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0
(a2a1a0)16 = a2.162 + a1.161 + a0.160
(129)16 = (1 . 162 + 2 . 161 + 9 . 160)10 = (297)10
59
• CONVERSÕES
• Nº Fracionário Decimal para Binário
AGENDA
60
Conversões: Número fracionário
Dado um nº decimal fracionário, devemos considerar
 Parte inteira
 Parte fracionária 
No final, o número binário terá a seguinte estrutura: 
iiii.ffff
Onde iiii representa a parte inteira e ffff representa a 
parte fracionária, separada por ponto
61
65’
Fracionário decimal  binário
 Parte Inteira: número decimal será dividido sucessivas 
vezes pela base; o resto de cada divisão ocupará as posições 
de ordem 0, 1, 2, ... até que o resto da última divisão 
(quociente zero) ocupe a posição de mais alta ordem
 19 na base 10, escrito na base 2 fica
19 : 2 = 9 resto 1
9 : 2 = 4 resto 1
4 : 2 = 2 resto 0
2 : 2 = 1 resto 0
1 : 2 = 0 resto 1
1910 = 100112
62
Fracionário decimal  binário
 Parte Fracionária: se o número for fracionário, a conversão 
se fará em duas etapas distintas: primeiro a parte inteira e 
depois a parte fracionária. 
 Vamos ver um exemplo para entender intuitivamente como 
funciona.
63
Fracionário decimal  binário
 Conversão do número decimal 15.6510 para base 2
 Primeiro, a parte inteira: divisões sucessivas
15 : 2 = 7 resto 1
7 : 2 = 3 resto 1
3 : 2 = 1 resto 1
1 : 2 = 0 resto 1
1510 = 11112
64
Fracionário decimal  binário
 Conversão do número decimal 15.6510 para base 2
 Depois a parte fracionária (multiplicações sucessivas)
0.65 * 2 = 1.3 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 1
0.3 * 2 = 0.6 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.6 * 2 = 1.2 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 1
0.2 * 2 = 0.4 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.4 * 2 = 0.8 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
15.65 10 = 1111.101002 com 5 dígitos fracionários
0.8 * 2 = 1.6 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 1
0.6 * 2 = 1.2 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 1
0.2 * 2 = 0.4 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
65
G
Fracionário decimal  binário
 Parte Fracionária: se o número for fracionário, a conversão 
se fará em duas etapas distintas: primeiro a parte inteira e 
depois a parte fracionária. 
 O algoritmo para a parte fracionária consiste de uma série de 
multiplicações sucessivas do número fracionário pela base 2
 a parte inteira do resultado da multiplicação será o valor da 
primeira casa fracionária do número binário 
0.65 * 2 = 1.3  1 é a primeira casa fracionária e 0.3 passa para abaixo
 a parte fracionária (0.3) será de novo multiplicada pela base 2 (e 
assim por diante) até o resultado dar zero ou encontrarmos o 
número de casas decimais desejado.
66
72’
Fracionário decimal  binário
 Conversão do número decimal 49.02510 para base 2 
com 5 e 6 dígitos fracionários
49 : 2 = 24 resto 1
24 : 2 = 12 resto 0
12 : 2 = 6 resto 0
6 : 2 = 3 resto 0
3 : 2 = 1 resto 1
1 : 2 = 0 resto 1
49 10 = 1100012
67
G
Fracionário decimal  binário
 Conversão do número decimal 49.02510 para base 2 
com 5 e 6 dígitos fracionários 
0.025 * 2 = 0.05 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.05 * 2 = 0.1 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.1 * 2 = 0.2 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.2 * 2 = 0.4 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.4 * 2 = 0.8 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 0
0.025 10 = 0.000002 com 5 dígitos fracionários
0.8 * 2 = 1.6 fração passa para abaixo, inteiro é o dígito: 1
0.025 10 = 0.0000012 com 6 dígitos fracionários
6849.02510 = 110001.0000012
G
• CONVERSÕES
• Nº Fracionário Binário para Decimal
AGENDA
69
Fracionário binário  decimal
 Lembrando que nº fracionário tem a forma (iiii.ffff)2
 Estenderemos a forma geral de conversão de base b para 
base 10 (que serve para números inteiros)
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0
 Para essa nova, que serve também para fracionários
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0 + a-1.b
-1 + a-2.b
-2 + .. + a-n.b
-n
 Onde -1, -2, ..., -n é a ordem e bit de cada f depois do ponto.
70
n .. 3 2 1 0 -1 -2 -3 .. -nordem
Fracionário binário  decimal
Exemplo: (1001.01)2
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0 + a-1.b
-1 + a-2.b
-2 + .. + a-n.b
-n
Onde -1, -2, ..., -n é a ordem e bit de cada f depois do ponto.
N10 = 1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 + 0 . 2-1 + 1 . 2-2
= 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + ¼
= 9.25 
71
3 2 1 0 -1 -2ordem
(1001. 01)2
Fracionário binário  decimal
Exemplo: 101001.01012
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0 + a-1.b
-1 + a-2.b
-2 + .. + a-n.b
-n
72
G
Fracionário binário  decimal
Exemplo: 101001.01012
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0 + a-1.b
-1 + a-2.b
-2 + .. + a-n.b
-n
N10 = 1 . 25 + 1 . 23 + 1 . 20 + 0 . 2-1 + 1 . 2-2 + 0 . 2-3 + 1 . 2-4
N10 = 32 + 8 + 1 + 1/4 + 1/16
N10 = 41 + 0.25 + 0.0625
73
N10 = 41.3125
G
Conversões: base b para b’
 Para converter números de uma base b para 
uma outra base b' qualquer, o processo 
utilizado é:
1º. converter da base b para a base 10 
2º. converter da base 10 para a base b'
74
80’
• REPRESENTAÇÃO INTEIROS NEGATIVOS
• Sinal Magnitude
• Complemento de 2
AGENDA
75
Representação Inteiros Negativos
 Representados usando uma quantidade n de 
bits 
Exemplos: 
A representação do número 5 usando n=4 bits  0101
A representação do número 5 usando n=8 bits  00000101
76
Representação Inteiros Negativos
 Representados usando uma quantidade n de 
bits, onde o bit mais significativo (mais à 
esquerda) representa o sinal (0 é +; 1 é -)
Exemplos: 
A representação do número 5 usando n=4 bits  0101
A representação do número 5 usando n=8 bits  00000101
77
Representação Inteiros Negativos
 Representados usando uma quantidade n de 
bits, onde o bit mais significativo (mais à 
esquerda) representa o sinal (0 é +; 1 é -)
 Representação sinal/magnitude
 Representação em complemento de 1
 Representação em complemento de 2
78
Representação Sinal/Magnitude
 Vamos supor que temos 5 10 (com n=4 bits)
 0101 2
 Se intuitivamente usarmos o bit mais 
significativo como sinal, o número -5 10 (com 
n=4 bits) ficaria
 1101 2
 Vamos generalizar essa intuição
79
Representação Sinal/Magnitude
 Cálculo: converte a binário o valor positivo e 
usa o bit mais significativo (à esquerda) 
como sinal
 Ex. -510 = 510 em binário com 1 à esquerda
 Com n=4 bits (5) 10 = (0101) 2  (-5) 10 = (1101) 2
 Com n=8 bits (5) 10 = (00000101) 2  (-5) 10 = (10000101) 2
 E o zero?
 Com n=8 bits (0) 10 = (00000000) 2
80
Representação Sinal/Magnitude
 Qual seria o problema dessa representação 
(que parece tão simples)?
Se faço -510 + 510 deveria dar zero. Será que 
isso acontece?
 Com n=8 bits (5) 10 = 00000101 2
 Com n=8 bits (-5) 10 = 10000101 2
Já veremos como somar 
binários, mas serve como 
fundamento para a 
próxima representação
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10
81
Representação Sinal/Magnitude
 Qual seria o problema dessa representação 
(que parece tão simples)?
 Se faço -510 + 510 deveria dar zero. Será que 
isso acontece?
 Com n=8 bits (5) 10 = 00000101 2
 Com n=8 bits (-5) 10 = 10000101 2
Com o 1 no bit mais 
significativo, e alguns outros 
1s, com certeza isso não é 
00000000 (zero)
10001010
82
G
Representação Complemento 2
 A ideia é evitar a inconsistência mencionada 
anteriormente.
 Para isso, os computadores atuais utilizam o 
complemento de 2 para representar números 
negativos.
 Intuitivamente o complemento de 2 de um número 
é seu “simétrico” (oposto)
 Dado um número, o simétrico é aquele que, ao somá-lo, o 
resultado dá zero. Ex. em decimal, o simétrico de 5 é -5
83
Representação Complemento 2
 Como calcular o simétrico (complemento 2) de 
um número?
 Precisa de 3 passos:
1º converte a binário o valor positivo
2º troca cada bit e soma 1
3º usa o bit mais significativo (à esquerda) como sinal
84
Representação Complemento 2
1º converte a binário o valor positivo
2º troca cada bit e soma 1
3º usa o bit mais significativo (à esquerda) como sinal
 Ex. Simétrico (complemento 2) de 6 10 com 4 bits
1. 0110
2. 1001
1
3. 1010
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10
85
Representação Complemento 2
 Será que agora 6 + (-6) dá zero?
 6 10 = 0110
 -6 10 = 1010
0000
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10
86
90’
G
Números binários com 4 bits
Representação Complemento 2
87
Positivos somente até 7 Negativos começam com 1
Representação Complemento 2
 Intervalo de valores.
 Com 4 bits, sabemos que 3 bits representam 
os valores e 1 bit representa o sinal.
 Para os positivos (contando o zero) são 23 = 8 
números, ou seja, do zero ao 7.
 Para os negativos, são 23=8, ou seja, do -1 ao -8
88
Representação Complemento 2
 Intervalo de valores.
 Com 8 bits, sabemos que 7 bits representam 
os valores e 1 bit representa o sinal.
 Para os positivos (contando o zero) são 27 = 128 
números, ou seja, do zero ao 127.
 Para os negativos, são 27=128, ou seja, 
do -1 ao -128
89
Representação Complemento 2
 Intervalo de valores (generalizando).
 Com n bits, sabemos que n-1 bits representam 
os valores e 1 bit representa o sinal.
 Para os positivos (contando o zero) são 2n-1 
números, ou seja, do zero ao 2n-1-1.
 Para os negativos, são 2n-1, ou seja, do -1 ao -2n-1
90
• OUTROS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
AGENDA
91
Exemplos de Sistemas de Numeração
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F16Hexadecimal
0,1,2,3,4,5,6,7,8,910Decimal
0,1,2,3,4,5,6,78Octal
0,1,23Ternário
0,12Binário
AlgarismosBaseSistema
Como os números representados em base 2 são muito extensos e, 
portanto, de difícil manipulação visual, costuma-se representar 
externamente os valores binários em outras bases de valor mais 
elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maior compactação de 
algarismos e melhor visualização dos valores.
92
Exemplos de Sistemas de Numeração
Quanto maior a base, menor o tamanho da representação numérica
93
Exemplos de Sistemas de Numeração
Numeração Maya de base 
20 com 3 símbolos (zero, 
ponto e linha) para 
representa-los
94
 Em geral, para converter números de base b para a base 10
N10 = an.b
n + .. + a2.b
2 + a1.b
1 + a0.b
0 + a-1.b
-1 + a-2.b
-2 + .. + a-n.b
-n
Conversão Maya (base 20) a Decimal
9*204 + 8*203 + 9*202 + 13*201 + 0*200
Exemplos de Sistemas de Numeração
95
Benefícios da representação binária
• Permite conversão analógico-digital (A-D) e digital-
analógico (D-A) aula de álgebra
• A codificação binária permite facilmente as operações 
aritméticas e lógicas aula de aritmética
96
Exercícios
1. Converter (207)10 em binário com 9 bits:
2. Converter (110101010)2 em decimal. Não está em 
complemento 2.
3. Converter (21.72)10 em binário com 5 casas 
fracionárias:
4. Converter (110110.011)2 para decimal:
5. Complemento 2 de (21)10 com 6 bits:
97
Exercícios
1. Converter (207)10 em binário com 9 bits: 011001111
2. Converter (110101010)2 em decimal. Não está em 
complemento 2.
426
3. Converter (21.72)10 em binário com 5 casas 
fracionárias: 10101.10111
4. Converter (110110.011)2 para decimal: 54.375
5. Complemento 2 de (21)10 com 6 bits: 101011
98