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Livro Digital 
Aula 02 
MMC/MDC 
Potenciação, 
Radiciação e 
Produtos Notáveis. 
 
 
 
 
ENEM 
Professor Ismael Santos 
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Sumário 
1 - Introdução ................................................................................................................................................................... 3 
2 – Divisibilidade .............................................................................................................................................................. 4 
1 – Introdução .................................................................................................................................................................. 4 
2 - Múltiplos de Números Naturais .................................................................................................................................... 4 
3 – Divisores de Números Naturais.................................................................................................................................... 5 
4 - Regras (ou critérios) de divisibilidade ........................................................................................................................... 7 
3 - Máximo Divisor Comum (M.D.C) ............................................................................................................................... 13 
1 - Conceito ..................................................................................................................................................................... 13 
2 - Processos para determinação do MDC ....................................................................................................................... 13 
4- Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C ............................................................................................................................ 25 
1 - Conceito ..................................................................................................................................................................... 25 
2 - Métodos para obtenção do MMC............................................................................................................................... 26 
5 - Estudo dos Números Primos ..................................................................................................................................... 32 
1- Conceito...................................................................................................................................................................... 32 
2 - Crivo de Eratóstenes .................................................................................................................................................. 32 
3 - Regra para reconhecimento de um número primo ..................................................................................................... 34 
4 - Números primos entre si ............................................................................................................................................ 35 
5- Quantidade de Divisores Naturais de um Número ....................................................................................................... 36 
6 - Representação Decimal ............................................................................................................................................. 37 
1 - Números decimais – Frações decimais e a escrita dos números decimais. .................................................................. 37 
2 - Leitura Correta dos Decimais ..................................................................................................................................... 39 
3 - Propriedades dos números decimais .......................................................................................................................... 41 
4 - Operações com números decimais ............................................................................................................................. 42 
7 – Lista de Questões ..................................................................................................................................................... 44 
8 – Questões Comentadas .............................................................................................................................................. 48 
9 – Potenciação .............................................................................................................................................................. 56 
1 - Introdução ................................................................................................................................................................. 56 
2 - Conceito ..................................................................................................................................................................... 57 
3 – Definições Prévias – Casos Especiais .......................................................................................................................... 58 
4 – Propriedades da Potência .......................................................................................................................................... 66 
5 - Potenciação de base 10 com expoente positivo .......................................................................................................... 69 
6 - Potenciação de base 10 com expoente negativo ........................................................................................................ 70 
7 - Caso especial de adição e subtração de potência de expoentes diferentes ................................................................. 71 
8 - Notação Científica...................................................................................................................................................... 71 
10 - RADICIAÇÃO ............................................................................................................................................................ 73 
1 - Conceito ..................................................................................................................................................................... 74 
2 - Propriedades da Radiciação ....................................................................................................................................... 74 
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11 - Produtos Notáveis ................................................................................................................................................... 80 
1 - Conceito ..................................................................................................................................................................... 80 
2 – Produtos Notáveis em Espécie ................................................................................................................................... 80 
11 - FATORAÇÃO ............................................................................................................................................................ 93 
1. Introdução .................................................................................................................................................................. 93 
2. Formas de Fatoração ..................................................................................................................................................94 
12 - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .............................................................................................................. 101 
1. Introdução ................................................................................................................................................................ 101 
2. Conceito .................................................................................................................................................................... 101 
3. Casos Especiais de Racionalização ............................................................................................................................. 101 
13 - Lista de Questões .................................................................................................................................................. 107 
14 - Lista de Questões Comentadas ............................................................................................................................ 119 
 
1 - INTRODUÇÃO 
Vamos iniciar mais uma aula!!! 
Qualquer dúvida, crítica ou sugestão, entre em contato comigo pelo fórum de dúvidas, na sua 
área de aluno, ou, se preferir: 
 
 
 
 
 
Fale comigo! 
 
@profismael_santos Ismael Santos @IsmaelSantos 
 
 
 
 
 
 
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2 – DIVISIBILIDADE 
1 – INTRODUÇÃO 
Iniciando a nossa aula, gostaria de deixar claro que este tema não cai de forma explícita, mas sim, 
são meios determinantes para solução de muitos deles. O ENEM se prende MAIS AO conteúdo do 
ensino médio, porém, isso não significa que devemos deixar de lado a parte base, ou seja, 
fundamental da nossa matemática. 
O propósito desta aula é apresentar alguns temas de forma dosada, para que saibam que existe 
e que podem muito bem ajudar nas soluções de questões lá na frente. 
Pelos motivos supracitados, ressalto que não temos muitas questões da sua prova deste tema, 
que possam servir de base para seu estudo, no entanto, postei algumas outras de fixação de modo 
a servir com base para simples aplicação do conteúdo. 
2 - MÚLTIPLOS DE NÚMEROS NATURAIS 
Antes mesmo de falarmos sobre divisibilidade, vamos fazer um passeio sobre o tema Múltiplos 
de Naturais. Blz? 
➢ Múltiplos de um número N natural M (N) ou N
•
(simbologia equivalente) 
Chama-se múltiplo de um número N natural, ao produto de N por qualquer número do conjunto 
N = {0, 1, 2, ...}, que representa o conjunto dos números naturais. O conjunto dos múltiplos naturais 
de N é: 
M(N) = {0, N, 2N, 3N, 4N, ...} 
 
Exemplos: 
a) O conjunto dos múltiplos de 3 é: 
M(3) = 3
•
 = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...} 
b) O conjunto dos múltiplos de 7 é: 
M(7) = 7
•
 = {0, 7, 14, 21, 28, ...} 
 
Fique ligado às seguintes observações!! 
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1º) O zero é múltiplo de qualquer número. 
2º) Todo número é múltiplo de si mesmo. 
 
3 – DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS 
Agora, passaremos pelo tópico divisores de um número natural. 
➢ Divisores de um número N natural D(N) 
Dizemos que um número natural a divide um número natural b, quando a divisão de a por b for 
exata, ou seja, deixar resto zero. Nestas condições a é divisor de b e, consequentemente, b é divisível 
(ou múltiplo) por a. 
Representamos simbolicamente por: a b , lê-se a divide b 
Em outras palavras: 
Se d D , a divisão diz-se exata. Sabemos que em toda divisão (possível) se faz presente a relação: 
Dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, mais o resto, que no caso de ser exata terá 
valor nulo. 
Podemos ainda dizer que: ( . ,D d q= resto 0). 
• d é divisor de D (ou q é divisor de D) 
• D é múltiplo de d (ou D é múltiplo de q) 
Exemplos: 
a) 20 é divisível (múltiplo) por 4, pois 20 = 4.5 
b) 42 é divisível (múltiplo) por 7, pois 42 = 7.6 
c) Podemos representar o conjunto dos divisores naturais de 12 por: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
d) Conjunto dos divisores naturais de 30: D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
 Existe sim, uma forma mais simples para encontrar todos os divisores naturais de um número 
natural. Este método será visto mais a frente. 
 
Segue abaixo, algumas propriedades importantes que estão diretamente ligadas 
com o tema divisibilidade. 
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1ª) A unidade (1) divide qualquer número natural, ou seja, 1 n , para todo n natural. 
2ª) O resultado da divisão de um número, não nulo, por zero, não existe, ou seja, 
a divisão é impossível. 
3ª) O quociente da divisão 0 : 0 é indeterminado. 
4ª) Todo número natural diferente de zero divide o número zero, ou seja, 0n , para 
todo n não nulo. 
5ª) Todo número natural diferente de zero divide a si próprio, ou seja, n n para 
todo n não nulo, (propriedade reflexiva). 
6ª) Sendo a, b e c três número naturais, se a b e b c , então a c , (propriedade 
transitiva). 
 
➢ Teorema 
 “Se um número B dividir outro número A, então dividirá todos os múltiplos de A”. 
Demonstração: 
1° passo: Se B é divisor de A ( B A ), então: A é múltiplo de B (A =n.B), com (n ) 
2° passo: Imagine agora  . A sendo um múltiplo qualquer de A ( ) 
Podemos muito bem fazer a seguinte igualdade:  .A =  .(n.B), sabendo que (A = 
n.B) 
Ou seja,  .A = B
•
 
Portanto, sendo  .A também múltiplo de B, B é divisor de  .A (qualquer múltiplo 
de A). 
 
Vamos ver um exemplo prático para que fique mais inteligível. 
Imaginemos A=18 e B=6. Perceba que: 
1° passo: Se B é divisor de A ( B A ), pois 6 18 . Isso implica dizer que A é múltiplo de B. 
2° passo: Imagine agora  . 18 sendo um múltiplo qualquer de A, com  =2, logo, 2.18=36 
Podemos muito bem fazer a seguinte igualdade:  .A =  .(n.B), ou seja, 2.18=2.(3.6). 
 
 
 “A soma ou diferença dos múltiplos de um número são múltiplos desse número.” 
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4 - REGRAS (OU CRITÉRIOS) DE DIVISIBILIDADE 
 São regras que nos permitem verificar se um número natural a é divisível por outro b, sem 
efetuar, de fato, a divisão. Existem diversas regras, porém, irei me ater somente as apresentadas 
abaixo. 
I) Divisibilidade por 2 
 Um número é divisível por 2 quando o último algarismo da direita for par, ou seja, precisa 
terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
Exemplos: 
✓ 57.508 é divisível por 2, pois 8 é divisível por 2. 
✓ 893.016 é divisível por 2, pois 6 é divisível por 2. 
✓ 312.345 não é divisível por 2, pois “5 : 2 dá resto 1”, e neste caso, “340.245 : 2 também dá 
resto 1”. 
 
II) Divisibilidade por 3 
 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos (e não relativos) dos seus 
algarismos for divisível por 3, ou seja, múltiplo de três. 
Exemplos: 
✓ 1521 é divisível por 3, pois 1+5+2+1 = 9 e 9 é divisível por 3. 
✓ 702.153 é divisível por 3, pois 7+0+2+1+5+3 = 18 e 18 é divisível por 3. 
✓ 57874 não é divisível por 3, pois 5+7+8+7+4 = 31 e “31 : 3 dá resto 1”. Logo o resto da 
divisão “57874 por 3 também dá resto 1”. 
 
III) Divisibilidade por 4 
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 Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos 
da direita for divisível por 4. 
Exemplos: 
✓ 5132 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 
✓ 9513016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
✓ 9022 não é divisívelpor 4, pois “22 : 4 dá resto 2”. Logo, o resto da divisão de “9022 : 4 
também é 2”. 
 
IV) Divisibilidade por 5 
 Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo for zero (0) ou cinco (5). 
Exemplos: 
✓ 1035 é divisível por 5, pois 5 é divisível por 5. 
✓ 31220 é divisível por 5, pois 0 é divisível por 5. 
✓ 9317 não é divisível por 5, pois “7 : 5 dá resto 2”, logo, o resto da divisão “9317 : 5” 
também é 2. 
 
 
V) Divisibilidade por 6 
 Um número será divisível por 6 quando a soma dos algarismos da unidade com o quádruplo 
dos algarismos anteriores resultar em um núemro múltiplo de 6. Podemos também dizer que será 
divisível por 6 quando for ao mesmo tempo por 2 e 3. 
Exemplos: 
✓ 1512 é divisível por 6, pois 2+ 4.(1+5+1) = 30, e 30 é divisível por 6 
✓ 72306 é divisível por 6, pois 6+ 4. (7+2+3+0) = 54, e 54 é divisível por 6. 
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✓ 1720514 não é divisível por 6, pois 4+ 4.(1+7+2+0+5+1) = 68, e “68 : 6 dá resto 2”. Logo, 
“1720514 : 6 também dá resto 2”. 
 Portanto, o resto da divisão de um número por 6 é igual ao resto obtido da divisão da soma 
do algarismo das unidades com o quádruplo da soma dos algarismos restantes por 6. 
 
VI) Divisibilidade por 7 
1º caso: se o número apresentar até 3 algarismos em sua composição, efetuamos a divisão 
normalmente. 
2º caso: se o número apresentar mais de 3 algarismos em sua composição, o número será divisível 
por 7 quando a diferença entre a soma dos números situados nas classes ímpares e a soma dos 
números situados nas classes pares for divisível por 7. 
Exemplos: 
✓ 1.635.931.720.888 é divisível por 7, pois [(888+931+1) – (720+635)] = 465, e 465 é divisível 
por 7 
✓ 71.243.801.599 não é divisível por 7, pois [(599+243) – (801+71)] = -30. Como o valor 
encontrado é negativo, devemos somar a esse valor o menor múltiplo de 7 maior ou igual 
ao módulo do valor encontrado, isto é, (-30 + 35) = 5, logo o resto é 5. 
 Portanto, o resto da divisão do número N por 7 é igual ao resto da divisão da diferença entre 
a soma das classes ímpares e a soma das classes pares. 
 
VII) Divisibilidade por 8 
 Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da 
direita for divisível por 8. 
Exemplos: 
✓ 35240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. 
✓ 13512 é divisível por 8, pois 512 é divisível por 8. 
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✓ 1.779.127 não é divisível por 8, pois “127 : 8 dá resto 7”, logo o resto da divisão de 
“1.978.127 por 8 também é 7”. 
 
VIII) Divisibilidade por 9 
 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos (e não relativos) dos seus 
algarismos for divisível por 9. 
Exemplos: 
✓ 5877 é divisível por 9, pois 5+8+7+7 = 27, e 27 é divisível por 9 
✓ 1.302.498 é divisível por 9, pois 1+3+0+2+4+9+8 = 27, e 27 é divisível por 9 
✓ 8.765.432 não é divisível por 9, pois 8+7+6+5+4+3+2 = 35, e “35 : 9 dá resto 8”, logo 
“8.765.432 : 9 também dá resto 8”. 
 
IV) Divisibilidade por 10 
 Um número é divisível por 10 quando termina em zero. 
Exemplos: 
✓ 5.380 é divisível por 10, pois termina em zero. 
✓ 975.432 não é divisível por 10, pois “2 : 10 dá resto 2”, logo “975.432 : 10 também dá 
resto 2. 
 
X) Divisibilidade por 11 
 Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de origem ímpar ( )IS , 
menos a soma dos algarismos de ordem par ( )PS for divisível por 11. 
Exemplos: 
✓ 74.918.185.936 é divisível por 11, pois I PS S− = 47-14 = 33, e 33 é divisível por 11 
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✓ 84937052 não é divisível por 11, pois 
I PS S− = 9-29 = -20. Como o valor encontrado é 
negativo, devemos somar a esse valor o menor múltiplo de 11 maior ou igual ao módulo 
do valor encontrado, isto é, -20+22 = 2, logo o resto é 2. 
 Portanto, o resto da divisão do número N por 11 é igual ao resto obtido da diferença 
entre a soma dos algarismos da ordem ímpar e a soma dos algarismos da ordem par. 
 
 
(Exercício Fixação) 
01. Dado o número 85a2b, determine todos os valores que tornam esse número divisível 
por 5 e por 9, simultaneamente. 
Comentário: 
Num primeiro momento devemos saber que a e b são algarismos que podem variar de 0 a 9. 
Agora sim, vamos a sua resolução! 
Para que o número seja divisível por 5, devemos ter b = 0 ou b = 5, que são as terminações, 
consoante o critério de divisibilidade por 5. Assim, temos que pensar nesta questão em dois 
passos, para que possamos descobrir os possíveis valores de a para que também seja divisível por 
9, quais sejam: 
1º - Se b = 0, então a soma dos algarismos 8+5+a+2+0 = 15 + a deve ser múltiplo de 9. 
Logo, a = 3, pois 15 + 3 = 18, que é uma soma múltipla de 9 
2º - Se b = 5, então a soma dos algarismos 8+5+a+2+5 = 20 + a deve ser múltiplo de 9. 
Logo, a = 7, pois 20 + 7 = 27, que é uma soma múltipla de 9 
Resposta: a = 3 e b = 0 ou a = 7 e b = 5 
Gabarito: a = 3 e b = 0 ou a = 7 e b = 5 
(Exercício Fixação) 
02. Determine o valor do algarismo “a” no número 12a.381 para que o resto da divisão 
deste número por 11 seja 4. 
Comentário: 
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Comentário: 
Vejamos que a soma dos algarismos de ordem ímpar é: IS = 1+3+2 = 6 e que a soma dos 
algarismos de ordem par é:
PS = 8+a+1+9 = 9+a. Portanto, devemos ter: 
I PS S− = 6 – (9+a) = - 3 – 
a. 
Perceba que na questão, a banca não pede os valores de a para que o número seja múltiplo, 
mas sim, para que o número formado deixe resto 4, na divisão por 11. Assim, para que o resto da 
divisão por 11 seja 4, devemos ter quatro unidades a mais que um múltiplo positivo de 11. Veja 
abaixo: 
-3-a ⇒ possui valor negativo, porém, devemos deixá-lo positivo, para isso, somaremos o 
valor de 11 a essa expressão. Veja como fica: 
-3-a+11 ⇒ 8-a , agora sim, possivelmente este valor será positivo. 
Observe que o número 8-a deverá ser igual a 4, ou igual a um número múltiplo de 11 
mais 4 unidades. De pronto, já percebemos que deverá ocorrer a primeira situação, pois, se 
assim não for, o algarismo a será maior que 9, o que não pode ocorrer. Assim: 
8-a = 4 ⇒ a=4 
Logo a = 4 
Gabarito: a = 4 
(Exercício Fixação) 
03. A diferença entre o maior e o menor número que podemos formar com os algarismos 
2, 4, 7 e 9, que sejam divisíveis por 11 vale: 
Comentário 
De pronto, já podemos afirmar que o maior número formado deve iniciar com 9 e o menor 
com 2. Esta afirmação encontra base no próprio enunciado. 
Para que o número seja divisível por 11, a diferença entre a soma dos algarismos de ordem 
ímpar e a soma dos algarismos de ordem par deve ser divisível por 11. Observando que: 
9 + 2 = 7 + 4 
Concluímos que: 
• 9724 é o maior número formado 
• 2497 é o menor número formado 
Assim a diferença será: 9.724 – 2.497 = 7.227 
Gabarito: 7.227 
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(Exercício Fixação) 
04. O algarismo das unidades de um número “x”, de três algarismos, excede o das dezenas 
em 6 unidades. Determine “x”, sabendo-se que é múltiplo de 44. 
Comentário 
Todo múltiplo de 44 é múltiplo de 11 e de 4, simultaneamente, pois 44 = 4 . 11. Lembrando 
que para ser múltiplo de 4, basta analisar os dois últimos algarismos. 
O múltiplo de 4, cujo algarismo das unidades excede o das dezenas em 6 unidades, ou seja, 
tem 6 unidades a mais que o algarismo da dezena, é 28. Logo o número procurado é da forma 
a28 
Para encontrarmos o valor do algarismo “a”,utilizaremos a divisibilidade por 11, que é: a 
diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par 
deve ser divisível por 11 
(8 + a) – 2 = 11 
Logo a = 5 
Gabarito: a = 5 
3 - MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) 
1 - CONCEITO 
O máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior número que os divide 
exatamente, ou seja, deixa resto zero. 
Exemplo: 
✓ O maior divisor comum de 12 e 18 é 6, pois, dentre os divisores comuns de 12 e 18: 1, 
2, 3 e 6, este é o maior deles. 
Fica simples encontrar o MDC de números relativamente pequenos, porém, quando são 
números maiores que o comum, o mais indicado é aplicar os procedimentos comuns para sua 
determinação. 
2 - PROCESSOS PARA DETERMINAÇÃO DO MDC 
Veremos a seguir, as principais técnicas para a determinação MDC. Lembrando que MDC 
significa: MÁXIMO DIVISOR COMUM. 
1º Processo: Pela interseção dos divisores comuns 
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Desta forma, pode-se afirmar que: 
- D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 
- D(108) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27,36, 54, 108} 
2º passo: Determinar os divisores comuns a 90 e 108 pela interseção entre os conjuntos dos 
divisores. 
D(90) ∩ D(108) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
3º passo: Verificar o maior divisor comum 
MDC (90, 108) = 18 
 
 
 Num primeiro momento, deve-se determinar os divisores de cada um dos números dos quais 
se deseja calcular o MDC, e verificar, num segundo momento, no conjunto formado pela interseção 
dos divisores, qual o maior deles. 
Lembro-vos que interseção nada mais é que os elementos em comum dos dois conjuntos 
formados pelos divisores dos números dados. 
Exemplo: Encontrar o MDC dos números 90 e 108. 
1º passo: Determinar os divisores de cada um dos números 
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2º Processo: Pela decomposição em fatores primos de cada um dos números 
 Primeiramente, decompomos cada um dos números dados em fatores primos. A partir 
daí, o MDC será obtido multiplicando-se os fatores primos comuns elevados pelos seus menores 
expoentes obtidos na decomposição. 
Isso mesmo: será o resultado do produto dos fatore comuns com os seus menores expoentes. 
Exemplos: 
1) Vamos determinar o MDC dos números 72 e 240 
1º passo: decompomos os números dados. 
240 2 
120 2 
60 2 
30 2 
15 3 
5 5 
1 
 
 3 272 2 .3= 4240 2 .3.5= 
2º passo: os fatores primos comuns são: 2 e 3. Perceba que o fator 5 não entra na conta, pois 
não aparece na decomposição do número 72. Elevando-os aos menores expoentes encontrados na 
decomposição, obtemos: 
32 e 13 
Logo, o MDC (72, 240) = 3 12 .3 24= 
 
 2) Sendo A = 
3 4 22 .3 .5 .7, B = 4 2 22 .3 .7 .11 e C = 2 5 32 .3 .5.7 . Determine o MDC entre A, B e C. 
Exemplo bastante interessante, que é pura aplicação do conceito. Vamos a sua resolução. 
Como os números já estão na forma fatorada, basta verificar os fatores primos comuns com 
seus respectivos menores expoentes. 
MDC (A, B, C) = 2 22 .3 .7 4.9.7 252= = 
72 2 
36 2 
18 2 
9 3 
3 3 
1 
 
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Segue abaixo, algumas das principais Propriedades dentro do tema MDC 
 
 
1ª) Caso não haja nenhum número que divide exatamente os números dados, além 
da unidade, isto é, MDC = 1, diz-se que os números dados são primos entre si. 
Exemplos: 
a) MDC (4, 15) = 1 
b) MDC (50, 51) = 1 
2ª) Caso o menor dos números dados seja divisor dos outros, o MDC será o menor 
dos números dados. 
Exemplos: 
a) MDC (8, 16, 24) = 8 
b) MDC (12, 60, 84) = 12 
3ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números naturais por um outro 
número qualquer diferente de zero, o MDC deles ficará também multiplicado ou dividido 
por este número. 
Exemplos: 
 
a) MDC (12, 18) = 6 
MDC (12.10, 18.10) = 6 . 10 ⇒ logo, o MDC (120, 180) = 60 
 
b) MDC (45, 60) = 15 
MDC (45:3, 60:3) = 15 : 3 ⇒ logo, o MDC (15, 20) = 5 
 
4ª) Dividindo-se dois ou mais números naturais pelo MDC deles, encontraremos 
sempre quocientes primos entre si. 
Demonstração: Sejam A, B, C, ... números dados e MDC (A, B, C,...) = d 
Dividindo os números A, B, C ... pelo maior divisor comum deles d: 
 
, , ,...e
MDC( , , ,...) 1
A B BA d q B d q C d q
A d B d C d d d
= = =
= =
 
 
Teremos MDC ( , , ,...) 1A B Cq q q = .Logo, os quocientes , ,A B Cq q q são primos entre si. 
Exemplo: 
MDC (60, 36) = 12 
Fazendo: 
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60 : 12 = 5 
36 : 12 = 3 
Teremos: MDC (5, 3) = 1, isto é, 5 e 3 são primos entre si. 
 
3º Processo: Por divisões sucessivas 
 Este método também é conhecido como “Algoritmo de Euclides”. 
 Para determinarmos o MDC de dois números a e b (a > b), devemos dividir o maior 
número (a) pelo menor (b), em seguida dividirmos b pelo resto da divisão 1R (primeiro resto 
encontrado). Depois dividirmos 1R pelo resto da última divisão, 
2R (resto da segunda divisão), e 
assim sucessivamente, até encontrarmos resto igual a zero. O último divisor é o MDC procurado. 
 Na prática, organizam as divisões sucessivas conforme o dispositivo ilustrado abaixo. 
 
 
1q 2q 3q ... 
nq 1nq + 
a b 
1nR −
 
nR MDC= 
1R 
2R 3R 
4R ... 0 
 
Exemplo: Vamos calcular o MDC dos números 198 e 54 com o emprego do dispositivo acima 
mencionado: 
1º passo: Armamos uma grade, parecida com o famoso “Jogo da Velha” e posicionamos os 
números 198 e 54 conforme a figura: 
 
 
198 54 
 
 
2º passo: Efetuamos a divisão, colocando o quociente acima do divisor (54) e o resto abaixo 
do dividendo (198). Caso a divisão não seja exata, o resto passa a ser o novo divisor (ao lado do 54). 
Repetimos o procedimento até ocorrer resto zero. O MDC será o último divisor (penúltimo resto). 
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MDC (198, 54) = 18 
 
 
 
 
 Os quocientes 1 2 3, , ...q q q e 1nq − encontrados nas divisões sucessivas são números 
maiores ou iguais a 1 (≥ 1) e, nq (último quociente encontrado) só poderá ser maior ou 
igual a 2 (≥ 2). 
 
Exemplo: 
O MDC de dois números é 13 e os quatro quocientes encontrados na pesquisa pelo Algoritmo 
de Euclides são os menores possíveis. Determine os números em questão. 
Comentário: Como os quatro quocientes são os menores possíveis, teremos: 
 
 
 
 3 1 2 
198 54 36 18 
36 18 0 
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 1 1 1 2 
A B x y 13 
X y 13 0 
 
 
A partir de agora, basta fazermos o caminho inverso de uma divisão. Sabemos que o 
dividendo será sempre igual ao divisor multiplicado pelo quociente, somado ao resto. Assim, observe 
o esquema abaixo: 
13.2 0 26
26.1 13 39
39.1 26 65
65.1 39 104
y y
x x
B B
A A
= +  =
= +  =
= +  =
= +  =
 
 
Resposta: 104 e 65 
4º Processo: Por decomposição simultânea (processo prático) 
 Consiste em determinar o MDC de dois ou mais números, efetuando a divisão 
simultânea deles pelos seus fatores primos comuns até encontrarmos quocientes primos entre si. 
Diferente da decomposição normal (simples), nesta do MDC, VOCÊ SÓ PODERÁ CONTINUAR A 
DIVISÃO SE O FATOR PRIMO FOR COMUM A TODOS OS NÚMEROS DADOS, ou seja, o fator deverá 
dividir todos os elementos em questão. Exemplo: Vamos determinar o MDC entre 90e 108 pela 
decomposição simultânea. 
108 90 2 
54 45 3 
18 115 3 
6 5 
 ↑ ↑ 
Primos entre si 
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Percebam que a divisão em fatores primos terminou quando chegamos aos elementos 6 – 5, 
pois são primo entre si, que significa não ter fatores primos em comum. 
MDC (108, 90) = 2 . 3 . 3 = 18 
 
 
 
Divisores e Quantidade de divisores comuns de dois ou mais números: 
 Os divisores comuns de dois ou mais números são obtidos determinando-se os 
divisores do MDC desses números. 
 
Exemplos: 
a) Quantos divisores apresentam os números 300 e 480? 
Temos que: MDC (300, 480) = 60, e como 260 2 .3.5= , a quantidade de divisores de 
60 é: 
DQ (60)= (2+1) . (1+1). (1+1) = 12 divisores 
Logo, 300 e 480 possuem 12 divisores comuns. 
 
b) Determine os divisores comuns dos números 252 e 378 
Encontramos o MDC, usando a fatoração simultânea e obtemos os divisores do MDC 
 
 1 
378 252 2 2 
189 126 3 3, 6 
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Assim, os divisores comuns dos números 252 e 378 são: {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 
126} 
 
 
 
 
(Exercício Fixação) 
05. Quais os três menores números pelos quais devem ser divididos os números 144, 192 e 
272 para que os quocientes sejam iguais? 
 
Comentário: 
O MDC entre 144, 192 e 272, obtido pela decomposição simultânea é: 
 
 
 
 
 
 
 
MDC (144, 192 e 272) = 42 16= 
63 42 3 9, 18 
21 14 7 7, 14, 21 
3 2 42, 63, 126 
 
144 192 272 2 
72 96 136 2 
36 48 68 2 
18 24 34 2 
9 12 17 
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Dividindo-se cada número dado pelo MDC, obtemos os números procurado: 9, 12 e 17 
respectivamente. 
Resposta: 9, 12 e 17 
 
(Exercício Fixação) 
06. O MDC entre dois números A e B (A > B) é 18. Os quocientes obtidos pelo algoritmo de 
Euclides (divisões sucessivas) foram 1, 2, 2 e 3. A soma A + B vale: 
Comentário: 
 1 2 2 3 
A B 18 
 0 
 
O MDC(18) fixa embaixo do último quociente (3). O resto da última divisão é sempre zero. 
Efetuamos, em seguida, o produto do MDC (18) pelo quociente (3), e encontramos 54. Retornamos 
com o divisor (18) à posição resto. 
 1 2 2 3 
A 
432 
B 
306 
 
126 
 
54 
 
18 
126 54 18 0 
 
Efetuando 2 . 54 + 18, obtemos 126. Retornamos 54 à posição resto e efetuando 2 . 26 + 54, 
obtemos o valor B = 306, e retornando 126 para a posição resto, encontramos A = 1 . 306 + 126 = 
432. A soma A + B = 432 + 306 = 738 
Resposta: 738 
 
(Exercício Fixação) 
07. O MDC entre A e B (A > B) é 24. Os quocientes encontrados pelo Algoritmo de Euclides 
são os menores possíveis. A diferença A – B vale: 
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Comentário: 
Os 4 menores quocientes são, 1, 1, 1 e 2, logo: 
 
 1 1 1 2 
192 120 72 48 24 
72 48 24 0 
 
A – B = 192 – 120 = 72 
 
(Exercício Fixação) 
08. Três turmas de uma escola apresentam 60, 72 e 84 alunos, respectivamente. Num dia de 
festa o diretor ordenou que formassem no pátio grupamentos de alunos da mesma turma e que 
cada grupamento tivesse o mesmo e o maior número possível de alunos. Quantos alunos deve ter 
cada grupamento e quantos são os grupamentos? 
 
Comentário: 
O MDC entre 60, 70 e 84 representa o número de alunos em cada grupamento. 
 
 
 
 
 
 
MDC = 2.2.3 = 12 
 Dividindo-se o número de alunos de cada turma pelo MDC, obtemos o número de 
grupamentos que formamos em cada turma. Total de grupamentos 5+6+7 = 18 
Resposta: 12 alunos em cada grupamento e 18 grupamentos. 
60 72 84 2 
30 35 42 2 
15 18 21 3 
5 6 7 
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(Exercício Fixação) 
09. Uma linha telefônica vai ser instalada entre duas cidades. A estrada por onde deve passar 
a linha é dividida em dois trechos, formando em L. Um trecho mede 832m e o outro 676m. Devem-
se colocar postes ao longo da estrada, guardando entre si a mesma distância, que deve ser a maior 
possível. Calcular o número de postes, sabendo-se que coloca um no ponto de encontro dos dois 
trechos da estrada e um em cada extremidade. 
 
Comentário: 
A distância entre dois postes consecutivos é dada pelo MDC (832, 676) = 52m 
Note que, num trecho em L (aberto), o número de postes excede de uma unidade o número 
de divisões de todo o trecho, logo, dividindo-se o comprimento de todo o trecho pelo MDC e 
acrescentando uma unidade, obtemos o número de postes. [(832+676) : 52]+1 = 30 
Resposta: 30 postes. 
 
(Exercício Fixação) 
10. Determinar A e B (A > B) sabendo-se que A + B = 360 e MDC (A,B) = 72 
 
Comentário: 
Imaginemos que MDC (A, B) = d, então A = d.q e B = d.q’, onde q e q’ são números primos 
entre si. 
Somando-se as equações obtidas, temos: A + B = d.(q + q’) 
Se A + B = d.(q + q’), substituindo os dados da questão, encontramos: 
360 72( ') ( ') 5,q q q q= + → + = logo 
3; ' 2q q= = ou 4; ' 1q q= = 
Se A dq= e ',B dq= temos 
3.72 216; 2.72 144A B= = = = ou 4.72 288; 1.72 72A B= = = = 
Resposta: A = 216 e B = 144 ou A = 288 e B = 72 
 
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(Exercício Fixação) 
11. O MDC entre dois números é 123. O maior é 738. Calcular o menor. 
 
Comentário 
Sejam A e B os dois números e A > B, temos: 
738
6
123
A
A dq q
d
q
= → =
= =
 
q e q’ são primos entre si (q > q’), logo q’ = 5 ou q’ = 1 
A = 5.124 = 615 ou B = 1.123 = 123 
 
E aí, meu querido aluno!! Tudo bem até aqui?? 
Lembro-vos que estes tópicos não são comuns nem aparecem de forma explícita em sua 
prova, no entanto, serve como melhora de raciocínio e como ponte de resolução de possíveis 
problemas, como por exemplo de polinômios. 
Sigamos firme!! Vamos estudar um pouco mais sobre o MMC. 
 
4- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – M.M.C 
1 - CONCEITO 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor, excluindo o zero, 
que é múltiplo desses números. 
Por exemplo, considere M(3) e M(4) os múltiplos naturais de 3 e 4, respectivamente. 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, ...} 
M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,...} 
Podemos verificar que dentre os múltiplos comuns de 3 e 4, o menor, excluindo o zero, é 12. 
Logo, MMC (3, 4) = 12 
 
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2 - MÉTODOS PARA OBTENÇÃO DO MMC 
 
1º Método: Pela interseção dos múltiplos dos números dados 
 Devemos determinar os conjuntos dos múltiplos dos números dados, e verificar dentre 
os múltiplos comuns aos conjuntos o menor múltiplo não nulo. 
Por exemplo, como determinar o MMC entre 12 e 18? 
1º passo: Determinar os conjuntos dos não nulos de 12 e 18. Lembro-vos que conjunto não 
nulo, utiliza-se como simbologia o asterisco. 
 
M* (12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...} 
M* (18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...} 
 
2º passo: Determinar a interseção entre os conjuntos 
M* (12) ∩ M* (18) = {36, 72, 108, ...} 
 
3º passo: Basta verificar o menor elemento. 
Dentre os múltiplos comuns, o menor é 36. 
 
Logo MMC (12, 18) = 36 
 
2º Método: Por decomposição em fatores primos separadamente 
 A partir da decomposição dos números em fatores primos, o MMC é calculado 
multiplicando-se os fatoresprimos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes que 
apresentarem. 
Exemplo: Determinar o MMC de 90 e 252 
 
 
1º passo: Decompor os números 90 e 252 em fatores primos 
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 290 2.3 .5= 2 2252 2 .3 .7= 
 
 2º passo: Multiplicar os fatores primos comuns e não comuns de 90 e 252, tomando cada 
um deles com o maior expoente obtido. 
MMC (90, 252) = 2 22 .3 .7 
MMC (90, 252) = 1260 
3º Método: Por decomposição Simples (não simultânea) 
 O método consiste em fazer a decomposição completa dos números dados 
simultaneamente, e o MMC será obtido através do produto dos fatores primos obtidos. 
Por exemplo, vamos calcular o MMC de 15, 20 e 30 
1º passo: Escrevemos os números dados, separando-os por vírgula, e fazemos um traço 
vertical ao lado do último número. 
 
 
 
 
 
 
2º passo: No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores primos comuns ou não dos 
números dados, e abaixo dos números que forem divisíveis pelo fator, colocamos o quociente da 
divisão. Já os que não forem divisíveis, repetimos. 
90 2 
45 3 
15 3 
5 5 
1 
252 2 
126 2 
63 3 
21 3 
7 7 
1 
15,20,30 
 
 
 
15,20,30 2 
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3º passo: Repetimos o procedimento até que todos os quocientes sejam iguais a 1 
 
 
 
 
 
 
4º passo: M MMC será o produto dos fatores primos escritos à direita do traço. 
MMC (15,20,30) = 22 .3.5 60= 
 
- Propriedades 
1ª) O MMC entre dois números primos entre si é igual ao produto deles. 
Exemplos: 
a) MMC (3,5) = 3 . 5 = 15 
b) MMC (11,16) = 11 . 16 = 176 
 
2ª) O MMC entre dois ou mais números naturais, onde o maior é múltiplo do(s) 
outro(s), é o maior. 
Exemplos: 
a) MMC (3,27) = 27 
b) MMC (12,36) = 36 
c) MMC (8,16,24) = 24 
 
3ª) Qualquer múltiplo do MMC de dois ou mais números, também será múltiplo 
destes números. 
Exemplos: 
Seja MMC (12,18) = 36 
15,10,15 
 
 
15,20,30 2 
15,10,15 2 
15,5,15 3 
5,5,5 5 
1,1,1 
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Portanto, 36,72,108,144,... são múltiplos do MMC e são múltiplos de 12 e de 18 
 
4ª) Relação entre o MMC e o MDC de dois ou mais números. 
O produto de dois ou mais números naturais diferentes de zero é igual ao produto 
do MDC pelo MMC deles. 
 
a.b (a,b).mmc(a,b) Consequência da Propriedade acima.mdc=  
5ª) Dividindo-se o MMC de dois ou mais números naturais A, B, C,...,por cada um 
deles, encontramos sempre quocientes primos entre si. 
Exemplo: Como MMC (12,18) = 36, temos que: 
36
3
12
36
2
18
=
=
 onde 3 e 2 são primos entre si 
 
6ª) Multiplicando-se ou dividindo-se o MMC de dois ou mais números naturais por 
um número diferente de zero, o MMC deles também ficará multiplicado ou dividido por 
este número. 
Exemplos: 
a) MMC (12,18) = 36 
 MMC (12.10, 18.10) = 36.10 ⇒ MMC (120,180) = 360 
 
b) MMC (20,30,60) 
 MMC 20 30 60( , , )
15 5 5
 = 60 12
5
= 
 
Vamos partir para algumas aplicações das propriedades aprendidas sobre MMC?? Simbora! 
 
 
(Exercício Fixação) 
12. O menor número inteiro que dividido por 8, 15 e 18 deixa sempre resto 5 é: 
 
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Comentário 
O MMC (8,15,18) é menor número que dividido por 8, 15 e 18 deixa sempre resto zero. Para 
restarem 5 unidades, somamos 5 unidades ao MMC, isto é: 
MMC (8,15,18) + 5 = 360 + 5 = 365 
Resposta: 365 
 
(Exercício Fixação) 
13. Uma pessoa possui mais de R$6.000,00 e menos de R$ 7.000,00. Contando essa quantia 
de R$ 100,00 em R$ 100,00, de R$ 150,00 em R$ 150,00 ou de R$ 250,00 em R$ 250,00, verificou-se 
que sempre sobravam R$ 60,00 Quanto possui esta pessoa? 
 
Comentário 
MMC (100, 150, 250) = 1500 
O múltiplo de 1500 que acrescido de 60 situa-se entre 6000 e 7000 é: 
1500.4 6000
6000 60 6060
=
+ =
 
 
Resposta: 6060 
 
(Exercício Fixação) 
14. De um aeroporto partem aviões para São Paulo, Belo Horizonte, Porto Alegre e Brasília, 
respectivamente de 10 em 10, 20 em 20, de 25 em 25 e de 45 em 45 minutos. Tendo em uma ocasião 
partido todos no mesmo instante, pergunta-se: No fim de quanto tempo voltarão a partir juntos? 
Comentário: 
MMC (10, 20, 25, 45) = 900 
900 minutos = 15 horas 
Resposta: 15 horas 
 
(Exercício Fixação) 
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15. Duas rodas de engrenagem tem 48 e 54 dentes, respectivamente. Cada roda tem um 
dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dentes estragados, esse encontro 
repetir-se-á novamente, quando a primeira roda que tem 48 dentes tiver dado x voltas. Qual o valor 
de x? 
 
Comentário 
Os dentes estragados se encontram novamente daqui a: 
MMC (48, 54) = 432 engates 
A roda menor terá dado: 432 : 48 = 9 voltas 
 
Resposta: 9 voltas 
 
 
(Exercício Modelo) 
16. Determine o menor número dividido por 20 deixa resto 13, dividido por 24 deixa resto 17 
e dividido por 30 deixa resto 23. 
 
Comentário 
Seja N o número procurado, então: 
 
 
Observe que a diferença entre o divisor e o resto é constante e igual a 7, isto é, N + 7 é múltiplo 
comum de 20, 24 e 30. Como o problema pede o menor número, igualamos N + 7 ao MMC (20, 24 e 
30), logo: 
N+7 = MMC(20, 24, 30) 
N+7 = 120 
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N = 113 
Resposta: 113 
 
Opaaaaa.....está acabando esta linda (rsrsrssr) aula. 
Em breve os temas serão mais simples e mais amistosos. Blz?? Sigamos em frente! 
5 - ESTUDO DOS NÚMEROS PRIMOS 
1- CONCEITO 
 
Um número natural é primo quando admite apenas dois divisores naturais exatos e distintos: 
ele mesmo e a unidade (1). 
2 - CRIVO DE ERATÓSTENES 
 Eratóstenes (267 a.c. – 194 a.c) foi um matemático nascido na Grécia, criador do primeiro 
método para encontrar números primos, hoje conhecidos como Crivo de Eratóstenes. 
O método resume-se em grifar (riscar) os números divisíveis por 2, 3, 5 e 7,..., maiores que 2, 
3, 5, 7,..., conforme forem aparecendo. 
 
Vejamos: 
 
 
Os números que restaram sem ser marcados nesse quadro foram: 
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47 
 
Esses são os números primos menores que 50. 
 
Cuidado!!! 
- O número 1 não é primo, porque ele tem apenas um divisor, que é ele mesmo. 
 
- Os números que têm mais de dois divisores são denominados de números 
compostos. 
 
Exemplos de números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12,... 
Todo número composto pode ser expresso como um produto de fatores de potências de 
números primos. Por exemplo: 
2
3
2
2
4 2
6 2.3
8 2
9 3
10 2.5
12 2 .3...
=
=
=
=
=
=
 
 
 
 Observações e Curiosidades 
1ª) O único número par primo é 2. 
2ª) Teorema de Euclides: “Existe uma quantidade infinita de números primos”. 
 
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3 - REGRA PARA RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO 
 
Para reconhecer se um número diferente de 1 e 2 é primo, basta dividi-lo pela sucessão de 
números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13,...). Se alguma divisão der exata, o número é composto. Caso 
contrário, continuamos as divisõesaté que o quociente se torne igual ou menor que o divisor, caso 
seja, o número em questão será primo. 
Exemplos: 
1) Vamos verificar se o número 257 é primo. 
 Dividindo o número 257 por 2, 3, 5, 7, 11 e 13, nesta ordem, podemos observar que 
nenhuma divisão é exata. Ao dividirmos 257 por 17, obtemos quociente 15 e resto 2, isto é, 
quociente menor que o divisor. Podemos afirmar então que 257 é primo. 
 
Como q = 15 < d = 17 ⟹ 257 é primo 
 
 
Para dividir por 2, 3, 5, 7 e 11 utilizar as regras de divisibilidade já conhecidas. 
2) Vamos verificar se o número 197 é primo. 
 Dividindo o número 197 por 2, 3, 5, 7, 11 e 13, nesta ordem, podemos observar que 
nenhuma divisão é exata. Ao dividirmos 197 por 17, obtemos quociente 11 e resto 10, isto é, o 
quociente é menor que o divisor. Podemos afirmar então que 197 é primo. 
 
 
Como q = 11 < d = 17 ⟹ 197 é primo 
 
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3) Já o número 253 não é primo. Vejamos: 
 
Como a divisão de 253 por 11 é exata, 253 é divisível por 11. 
 
4 - NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
Dois ou mais números são primos entre si quando não admitirem divisores comuns além da 
unidade (1). 
 
 
Exemplos: 
1) 8 e 15 são primos entre si 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
D(15) = {1, 3, 5, 15} 
- O único divisor comum é 1. 
2) 20 e 21 são primos entre si 
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
D(21) = {1, 3, 7, 21} 
- O único divisor comum é 1 
3) 21 e 33 não são primos entre si 
D(21) = {1, 3, 7, 21} 
D(33) = {1, 3, 11, 33} 
- Há dois primos comuns: 1 e 3 
Vejamos algumas propriedades dos números primos entre si 
1ª) Dois números naturais sucessivos são sempre primos entre si. 
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2ª) As potências de dois ou mais números primos, também são números primos 
entre si. 
3ª) Se dois números a e b forem primos entre si, a soma e o produto deles serão 
sempre números primos entre si. 
4ª) Se a e b são dois números quaisquer ( 0 ), os números b e a.b + 1 são sempre 
primos entre si. 
5ª) Os números a; a+1 e 2a+1 são sempre primos entre si, dois a dois. 
6ª) Um número ímpar qualquer e a metade de seu sucessor são sempre primos 
entre si. 
7ª) Dois números a e b, cuja soma seja um número primo P, são primos entre si. 
 
5- QUANTIDADE DE DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO 
 A quantidade de divisores naturais exatos de um número N é dada pelo produto 
dos sucessivos de todos os expoentes de seus fatores primos. 
Demonstração: Seja . . ....,N a b c  = então: 
0 1 2( ) { , , ,..., },D a a a a a = ou seja, ( 1) + divisores; 
0 1 2(b ) {b ,b ,b ,...,b },D  = ou seja, ( 1) + divisores; 
0 1 2(c ) {c ,c ,c ,...,c },D  = ou seja, ( 1) + divisores 
 Portanto, a , , ,...,b c   possuem, respectivamente, ( 1) + , ( 1) + , ( 1) + ,... divisores. 
Agora, 
 Para calcular a quantidade de divisores naturais de . . ....,N a b c  = basta utilizar o 
princípio multiplicativo, isto é 
( ) ( 1).( 1).( 1)...DQ N   = + + +
 
 
Exemplos: 
a) Calcule a quantidade de divisores naturais de 12. 
Seja 2 112 2 .3= 
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2 0 1 2(2 ) {2 ,2 ,2 }D = 
1 0 1(3 ) {3 ,3 }D = 
2[ (2 )] 3n D = 
1[ (3 )] 2n D = 
Portanto, os divisores de 2 112 2 .3= são: 
0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 2 1{2 .3 ,2 .3 ,2 .3 ,2 .3 ,2 .3 ,2 .3 } 
Ou seja, (12) 3.2 (12) 6D DQ Q=  = divisores 
 
b) Determinar o total de divisores naturais do número 1200. Decompondo o número 1200, 
obtemos: 
4 1 21200 2 .3 .5= 
Acrescentando uma unidade a cada expoente e efetuando o produto, temos: 
(1200) (4 1).(1 1).(2 1)DQ = = + + + 
(1200) 5.2.3 30DQ = = = divisores 
 
6 - REPRESENTAÇÃO DECIMAL 
1 - NÚMEROS DECIMAIS – FRAÇÕES DECIMAIS E A ESCRITA DOS NÚMEROS DECIMAIS. 
 
 Dentre as frações, existe um tipo que é “especial” para o nosso sistema de numeração (base 
10); são as frações cujo denominador apresenta uma potência de 10, cujo expoente é um número 
natural maior que ou igual a 1. Este tipo de fração é chamada de fração decimal. 
Exemplos de frações que são decimais 
5
1 7 31 1 231
, , , , ,...
10 10 100 1000 10
 
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Vamos representar a fração decimal 
1
10
 (Lê-se: um décimo na figura seguinte). Onde o 
quadrado será considerado com um inteiro correspondendo a ele o número 1. 
Dividindo o quadrado em 10 retângulos iguais, cada um corresponde a 
1
10
 do quadrado. 
 
A parte hachurada corresponde a 
1
10
 
- 
1
10
 significa 1 unidade dividida por 10 (1 : 10), ou seja, 
1
10
 é 10 vezes menor que 1 
Para representarmos “partes da unidade” como a que acabamos de ilustrar, o sistema de 
numeração foi ampliado da seguinte forma 
➢ Será utilizada uma vírgula para separar as unidades inteiras das partes da unidade, criando 
novas ordens à direita da vírgula (ordens decimais ou casas decimais) 
➢ Cada ordem decimal vale 
1
10
 da ordem que está à sua esquerda 
Vejamos: 
a) A fração 
1
10
 significa um décimo da unidade, portanto será representado no sistema de 
numeração decimal escrevendo o algarismo 1 à direita da ordem das unidades e separando-o dela 
por uma vírgula. 
(parte inteira)  0,1 → (parte não inteira) 
b) A fração 
1
100
significa um centésimo da unidade representando no quadrado que 
corresponde ao número inteiro 1 
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- 
1
100
 significa 1 : 100 (1 unidade dividida por 100), ou seja, 
1
100
 é 100 vezes menor que 1. 
Como 
1
100
 (um centésimo) é “
1
10
 de um décimo”, sua representação no sistema de 
numeração decimal é dada por: (parte inteira)  0,01 → (parte não inteira) 
2 - LEITURA CORRETA DOS DECIMAIS 
a) 
7
0,7
10
= sete décimos 
b) 
17
0,17
100
= um décimo e sete centésimos ou dezessete centésimos 
c) 
254
0,254
1000
= dois décimos, cinco centésimos e quatro milésimos ou duzentos e 
cinquenta e quatro milésimos 
d) 
56
5,6
10
= cinco inteiros e seis décimos 
e) 
18391
18,391
1000
= dezoito inteiros, três décimos, nove centésimos e um milésimo ou dezoito 
inteiros e trezentos e noventa e um milésimos 
 
Vamos praticar alguns conceitos! 
 
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(Exercício Fixação) 
01. Cada fração seguinte pode ser representada nas formas decimais. Determine cada uma 
dessas representações. 
a) 
26
100
 
b) 
238
100
 
c) 
5439
1000
 
d) 
439
1000
 
e) 
3
1000
 
f) 
38437
100
 
Comentários: 
Basta andar com a vírgula, para que acrescente casas decimais. 
a) 
26
0,26
100
= 
b) 
238
2,38
100
= 
c) 
5439
5,439
1000
= 
d) 
439
0,439
1000
= 
e) 
3
0,003
1000
= 
f) 
38437
384,37
100
= 
 
(Exercício Fixação) 
02. Represente os números decimais abaixo na forma de frações irredutíveis: 
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a) 1,2 
b) 35,04 
c) 0,15 
 
Comentários: 
Basta transformar em frações e realizar as devidas simplificações. 
a) 1,2 = 
12 6.2 6
10 5.2 5
= = 
b) 35,04 = 
3504 876.4 876
100 25.4 25
= = 
c) 0,15 = 
15 3.5 3
100 5.20 20
= = 
 
3 - PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS 
 Segue algumas propriedades importantes sobre os números decimais. 
1ª Propriedade: Um número decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamosum 
ou mais zeros à direita de sua parte decimal. 
Por exemplo: 
a) 0,5 0,50 0,500 0,5000= = = 
b) 1,002 1,0020 1,00200 1,002000= = = 
c) 3,14155926535 3,141592653500000000= 
 
2ª Propriedade: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, ... basta deslocar a 
vírgula uma, duas, três, ... casas decimais para a direita. 
Por exemplo: 
a) 7,4.10 74= 
b) 5,38.100 538= 
c) 0,25.1000 250= 
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3ª Propriedade: Para dividir um número decimal por 10, por 1000, basta deslocar a vírgula 
uma, duas, três, ... casas decimais para a esquerda. 
Por exemplo: 
a) 247 :10 24,75= 
b) 0,38:100 0,0038= 
c) 15,76:1000 0,01576= 
 
4 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 
• Adição e Subtração 
 Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais devemos seguir alguns 
passos: 
1º) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem 
somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. 
2º) Escrever os números de forma que a(s) coluna(s) da parte inteira (unidades, 
dezenas, centenas etc), da vírgula e da parte não inteira (décimos, centésimos etc) fiquem 
alinhados. 
3º) Realizar a adição ou subtração como se tratasse de números naturais. 
4º) Colocar no resultado uma vírgula alinhada com as demais. 
 
a) 2,4 + 1,723 b) 2,4 – 1,723 
2,400
1,723
4,123
+
 
2,400
1,723
0,677
−
 
 
• Multiplicação de Números Decimais 
 Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um deles em 
frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por 
denominador. 
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Exemplo: 
225 35 225.35 7875
(2,25).(3,5) . 7,875
100 10 100.10 1000
= = = = 
 Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao 
produto tantas casas decimais quantas forem as casas do multiplicando somadas as do 
multiplicador. 
Exemplo: 
 
 
• -Divisão entre números inteiros onde ocorre quociente decimal exato 
 Há divisões entre números inteiros em que, após alguns passos, obtemos um 
quociente decimal e resto zero. 
 Vejamos o procedimento adequado em alguns exemplos onde essa divisão ocorre. 
1º) 20 : 8 
 
a) Acrescentamos um zero ao resto, e colocamos vírgula no quociente 
b) Dividimos 40 por 8, achando o algarismo 5 para o quociente e chegamos ao resto 0. 
 
 
2º) 12 : 25 
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a) Neste caso, como o dividendo é menor que o divisor, acrescentamos um zero ao 
dividendo, e colocamos um zero seguido de vírgula no quociente. 
b) Dividimos 120 por 25 até obter resto 0. 
 
12 25 120 25 120 25 
  0,  -100 0,48 
 200 
(a) -200 
0 (b) 
 
 
7 – LISTA DE QUESTÕES 
 
 
 
 
 
(Exercício Fixação) 
01. Dado o número 85a2b, determine todos os valores que tornam esse número divisível por 
5 e por 9, simultaneamente. 
 
 
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 (Exercício Fixação) 
02. Determine o valor do algarismo “a” no número 12a.381 para que o resto da divisão deste 
número por 11 seja 4. 
 
 
 (Exercício Fixação) 
03. A diferença entre o maior e o menor número que podemos formar com os algarismos 2, 
4, 7 e 9, que sejam divisíveis por 11 vale: 
 
 
 
 
 (Exercício Fixação) 
04. O algarismo das unidades de um número “x”, de três algarismos, excede o das dezenas 
em 6 unidades. Determine “x”, sabendo-se que é múltiplo de 44. 
 
 
05. Quais os três menores números pelos quais devem ser divididos os números 144, 192 e 
272 para que os quocientes sejam iguais? 
 
 
(Exercício Fixação) 
06. O MDC entre dois números A e B (A > B) é 18. Os quocientes obtidos pelo algoritmo de 
Euclides (divisões sucessivas) foram 1, 2, 2 e 3. A soma A + B vale: 
 
 
(Exercício Fixação) 
07. O MDC entre A e B (A > B) é 24. Os quocientes encontrados pelo Algoritmo de Euclides 
são os menores possíveis. A diferença A – B vale: 
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(Exercício Fixação) 
08. Três turmas de uma escola apresentam 60, 72 e 84 alunos, respectivamente. Num dia de 
festa o diretor ordenou que formassem no pátio grupamentos de alunos da mesma turma e que 
cada grupamento tivesse o mesmo e o maior número possível de alunos. Quantos alunos deve ter 
cada grupamento e quantos são os grupamentos? 
 
 
(Exercício Fixação) 
09. Uma linha telefônica vai ser instalada entre duas cidades. A estrada por onde deve passar 
a linha é dividida em dois trechos, formando em L. Um trecho mede 832m e o outro 876m. Devem-
se colocar postes ao longo da estrada, guardando entre si a mesma distância, que deve ser a maior 
possível. Calcular o número de postes, sabendo-se que coloca um no ponto de encontro dos dois 
trechos da estrada e um em cada extremidade. 
 
 
 
(Exercício Fixação) 
10. Determinar A e B (A > B) sabendo-se que A + B = 360 e MDC (A,B) = 72 
 
 
 
(Exercício Fixação) 
11. O MDC entre dois números é 123. O maior é 738. Calcular o menor. 
 
 
 
12. O menor número inteiro que dividido por 8, 15 e 18 deixa sempre resto 5 é: 
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(Exercício Fixação) 
13. Uma pessoa possui mais de R$6.000,00 e menos de R$ 7.000,00. Contando essa quantia 
de R$ 100,00 em R$ 100,00, de R$ 150,00 em R$ 150,00 ou de R$ 250,00 em R$ 250,00, verificou-se 
que sempre sobravam R$ 60,00 Quanto possui esta pessoa? 
 
 
(Exercício Fixação) 
14. De um aeroporto partem aviões para São Paulo, Belo Horizonte, Porto Alegre e Brasília, 
respectivamente de 10 em 10, 20 em 20, de 25 em 25 e de 45 em 45 minutos. Tendo em uma ocasião 
partido todos no mesmo instante, pergunta-se: No fim de quanto tempo voltarão a partir juntos? 
 
 
(Exercício Fixação) 
15. Duas rodas de engrenagem têm 48 e 54 dentes, respectivamente. Cada roda tem um 
dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dentes estragados, esse encontro 
repetir-se-á novamente, quando a primeira roda que tem 48 dentes tiver dado x voltas. Qual o valor 
de x? 
 
 
 
 
(Exercício Modelo) 
16. Determine o menor número dividido por 20 deixa resto 13, dividido por 24 deixa resto 17 
e dividido por 30 deixa resto 23. 
 
 
 
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8 – QUESTÕES COMENTADAS 
 
 
(Exercício Fixação) 
01. Dado o número 85a2b, determine todos os valores que tornam esse número divisível 
por 5 e por 9, simultaneamente. 
Comentário: 
Num primeiro momento devemos saber que a e b são algarismos que podem variar de 0 a 9. 
Agora sim, vamos a sua resolução! 
Para que o número seja divisível por 5, devemos ter b = 0 ou b = 5, que são as terminações, 
consoante o critério de divisibilidade por 5. Assim, temos que pensar nesta questão em dois 
passos, para que possamos descobrir os possíveis valores de a para que também seja divisível por 
9, quais sejam: 
1º - Se b = 0, então a soma dos algarismos 8+5+a+2+0 = 15 + adeve ser múltiplo de 9. 
Logo, a = 3, pois 15 + 3 = 18, que é uma soma múltipla de 9 
2º - Se b = 5, então a soma dos algarismos 8+5+a+2+5 = 20 + a deve ser múltiplo de 9. 
Logo, a = 7, pois 20 + 7 = 27, que é uma soma múltipla de 9 
Resposta: a = 3 e b = 0 ou a = 7 e b = 5 
Gabarito: a = 3 e b = 0 ou a = 7 e b = 5 
(Exercício Fixação) 
02. Determine o valor do algarismo “a” no número 12a.381 para que o resto da divisão 
deste número por 11 seja 4. 
Comentário: 
Comentário: 
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Vejamos que a soma dos algarismos de ordem ímpar é: IS = 1+3+2 = 6 e que a soma dos 
algarismos de ordem par é:
PS = 8+a+1+9 = 9+a. Portanto, devemos ter: 
I PS S− = 6 – (9+a) = - 3 – 
a. 
Perceba que na questão, a banca não pede os valores de a para que o número seja múltiplo, 
mas sim, para que o número formado deixe resto 4, na divisão por 11. Assim, para que o resto da 
divisão por 11 seja 4, devemos ter quatro unidades a mais que um múltiplo positivo de 11. Veja 
abaixo: 
-3-a ⇒ possui valor negativo, porém, devemos deixá-lo positivo, para isso, somaremos o 
valor de 11 a essa expressão. Veja como fica: 
-3-a+11 ⇒ 8-a , agora sim, possivelmente este valor será positivo. 
Observe que o número 8-a deverá ser igual a 4, ou igual a um número múltiplo de 11 
mais 4 unidades. De pronto, já percebemos que deverá ocorrer a primeira situação, pois, se 
assim não for, o algarismo a será maior que 9, o que não pode ocorrer. Assim: 
8-a = 4 ⇒ a=4 
Logo a = 4 
Gabarito: a = 4 
(Exercício Fixação) 
03. A diferença entre o maior e o menor número que podemos formar com os algarismos 
2, 4, 7 e 9, que sejam divisíveis por 11 vale: 
Comentário 
De pronto, já podemos afirmar que o maior número formado deve iniciar com 9 e o menor 
com 2. Esta afirmação encontra base no próprio enunciado. 
Para que o número seja divisível por 11, a diferença entre a soma dos algarismos de ordem 
ímpar e a soma dos algarismos de ordem par deve ser divisível por 11. Observando que: 
9 + 2 = 7 + 4 
Concluímos que: 
• 9724 é o maior número formado 
• 2497 é o menor número formado 
Assim a diferença será: 9.724 – 2.497 = 7.227 
Gabarito: 7.227 
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(Exercício Fixação) 
04. O algarismo das unidades de um número “x”, de três algarismos, excede o das dezenas 
em 6 unidades. Determine “x”, sabendo-se que é múltiplo de 44. 
Comentário 
Todo múltiplo de 44 é múltiplo de 11 e de 4, simultaneamente, pois 44 = 4 . 11. Lembrando 
que para ser múltiplo de 4, basta analisar os dois últimos algarismos. 
O múltiplo de 4, cujo algarismo das unidades excede o das dezenas em 6 unidades, ou seja, 
tem 6 unidades a mais que o algarismo da dezena, é 28. Logo o número procurado é da forma 
a28 
Para encontrarmos o valor do algarismo “a”, utilizaremos a divisibilidade por 11, que é: a 
diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par 
deve ser divisível por 11 
(8 + a) – 2 = 11 
Logo a = 5 
Gabarito: a = 5 
(Exercício Fixação) 
05. Quais os três menores números pelos quais devem ser divididos os números 144, 192 e 
272 para que os quocientes sejam iguais? 
Comentário: 
O MDC entre 144, 192 e 272, obtido pela decomposição simultânea é: 
 
 
 
 
 
 
MDC (144, 192 e 272) = 42 16= 
Dividindo-se cada número dado pelo MDC, obtemos os números procurado: 9, 12 e 17 
respectivamente. 
Resposta: 9, 12 e 17 
144 192 272 2 
72 96 136 2 
36 48 68 2 
18 24 34 2 
9 12 17 
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(Exercício Fixação) 
06. O MDC entre dois números A e B (A > B) é 18. Os quocientes obtidos pelo algoritmo de 
Euclides (divisões sucessivas) foram 1, 2, 2 e 3. A soma A + B vale: 
Comentário: 
 1 2 2 3 
A B 18 
 0 
 
O MDC(18) fixa embaixo do último quociente (3). O resto da última divisão é sempre zero. 
Efetuamos, em seguida, o produto do MDC (18) pelo quociente (3), e encontramos 54. Retornamos 
com o divisor (18) à posição resto. 
 1 2 2 3 
A 
432 
B 
306 
 
126 
 
54 
 
18 
126 54 18 0 
 
Efetuando 2 . 54 + 18, obtemos 126. Retornamos 54 à posição resto e efetuando 2 . 26 + 54, 
obtemos o valor B = 306, e retornando 126 para a posição resto, encontramos A = 1 . 306 + 126 = 
432. A soma A + B = 432 + 306 = 738 
Resposta: 738 
 
(Exercício Fixação) 
07. O MDC entre A e B (A > B) é 24. Os quocientes encontrados pelo Algoritmo de Euclides 
são os menores possíveis. A diferença A – B vale: 
 
Comentário: 
Os 4 menores quocientes são, 1, 1, 1 e 2, logo: 
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 1 1 1 2 
192 120 72 48 24 
72 48 24 0 
 
A – B = 192 – 120 = 72 
 
(Exercício Fixação) 
08. Três turmas de uma escola apresentam 60, 72 e 84 alunos, respectivamente. Num dia de 
festa o diretor ordenou que formassem no pátio grupamentos de alunos da mesma turma e que 
cada grupamento tivesse o mesmo e o maior número possível de alunos. Quantos alunos deve ter 
cada grupamento e quantos são os grupamentos? 
 
Comentário: 
O MDC entre 60, 70 e 84 representa o número de alunos em cada grupamento. 
 
 
 
 
 
 
MDC = 2.2.3 = 12 
 Dividindo-se o número de alunos de cada turma pelo MDC, obtemos o número de 
grupamentos que formamos em cada turma. Total de grupamentos 5+6+7 = 18 
Resposta: 12 alunos em cada grupamento e 18 grupamentos. 
 
(Exercício Fixação) 
60 72 84 2 
30 35 42 2 
15 18 21 3 
5 6 7 
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09. Uma linha telefônica vai ser instalada entre duas cidades. A estrada por onde deve passar 
a linha é dividida em dois trechos, formando em L. Um trecho mede 832m e o outro 876m. Devem-
se colocar postes ao longo da estrada, guardando entre si a mesma distância, que deve ser a maior 
possível. Calcular o número de postes, sabendo-se que coloca um no ponto de encontro dos dois 
trechos da estrada e um em cada extremidade. 
 
Comentário: 
A distância entre dois postes consecutivos é dada pelo MDC (832, 676) = 52m 
Note que, num trecho em L (aberto), o número de postes excede de uma unidade o número 
de divisões de todo o trecho, logo, dividindo-se o comprimento de todo o trecho pelo MDC e 
acrescentando uma unidade, obtemos o número de postes. [(832+676) : 52]+1 = 30 
Resposta: 30 postes. 
 
(Exercício Fixação) 
10. Determinar A e B (A > B) sabendo-se que A + B = 360 e MDC (A,B) = 72 
 
Comentário: 
Imaginemos que MDC (A, B) = d, então A = d.q e B = d.q’, onde q e q’ são números primos 
entre si. 
Somando-se as equações obtidas, temos: A + B = d.(q + q’) 
Se A + B = d.(q + q’), substituindo os dados da questão, encontramos: 
360 72( ') ( ') 5,q q q q= + → + = logo 
3; ' 2q q= = ou 4; ' 1q q= = 
Se A dq= e ',B dq= temos 
3.72 216; 2.72 144A B= = = = ou 4.72 288; 1.72 72A B= = = = 
Resposta: A = 216 e B = 144 ou A = 288 e B = 72 
 
(Exercício Fixação) 
11. O MDC entre dois números é 123. O maior é 738. Calcular o menor. 
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Comentário 
Sejam A e B os dois números e A > B, temos: 
738
6
123
A
A dq q
d
q
= → =
= =
 
q e q’ são primos entre si (q > q’), logo q’ = 5 ou q’ = 1 
A = 5.124 = 615 ou B = 1.123 = 123 
 
(Exercício Fixação) 
12. O menor número inteiro que dividido por 8, 15 e 18 deixa sempre resto5 é: 
 
Comentário 
O MMC (8,15,18) é menor número que dividido por 8, 15 e 18 deixa sempre resto zero. Para 
restarem 5 unidades, somamos 5 unidades ao MMC, isto é: 
MMC (8,15,18) + 5 = 360 + 5 = 365 
Resposta: 365 
 
(Exercício Fixação) 
13. Uma pessoa possui mais de R$6.000,00 e menos de R$ 7.000,00. Contando essa quantia 
de R$ 100,00 em R$ 100,00, de R$ 150,00 em R$ 150,00 ou de R$ 250,00 em R$ 250,00, verificou-se 
que sempre sobravam R$ 60,00 Quanto possui esta pessoa? 
 
Comentário 
MMC (100, 150, 250) = 1500 
O múltiplo de 1500 que acrescido de 60 situa-se entre 6000 e 7000 é: 
1500.4 6000
6000 60 6060
=
+ =
 
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Resposta: 6060 
 
(Exercício Fixação) 
14. De um aeroporto partem aviões para São Paulo, Belo Horizonte, Porto Alegre e Brasília, 
respectivamente de 10 em 10, 20 em 20, de 25 em 25 e de 45 em 45 minutos. Tendo em uma ocasião 
partido todos no mesmo instante, pergunta-se: No fim de quanto tempo voltarão a partir juntos? 
Comentário: 
MMC (10, 20, 25, 45) = 900 
900 minutos = 15 horas 
Resposta: 15 horas 
 
(Exercício Fixação) 
15. Duas rodas de engrenagem têm 48 e 54 dentes, respectivamente. Cada roda tem um 
dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dentes estragados, esse encontro 
repetir-se-á novamente, quando a primeira roda que tem 48 dentes tiver dado x voltas. Qual o valor 
de x? 
 
Comentário 
Os dentes estragados se encontram novamente daqui a: 
MMC (48, 54) = 432 engates 
A roda menor terá dado: 432 : 48 = 9 voltas 
 
Resposta: 9 voltas 
 
 
(Exercício Modelo) 
16. Determine o menor número dividido por 20 deixa resto 13, dividido por 24 deixa resto 17 
e dividido por 30 deixa resto 23. 
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Comentário 
Seja N o número procurado, então: 
 
 
Observe que a diferença entre o divisor e o resto é constante e igual a 7, isto é, N + 7 é múltiplo 
comum de 20, 24 e 30. Como o problema pede o menor número, igualamos N + 7 ao MMC (20, 24 e 
30), logo: 
N+7 = MMC(20, 24, 30) 
N+7 = 120 
N = 113 
Resposta: 113 
 
Vamos agora iniciar um tópico novo!!! 
Fiz questão de inserir questões de fixação. Somente depois dessa aula irei postar o pdf com 
questões do ENEM que abordem tópicos semelhantes ao desta aula. 
Sem mais, vamos nessa!! 
9 – POTENCIAÇÃO 
1 - INTRODUÇÃO 
Iniciaremos nossa aula falando da importância de entender este tema inicial: Potenciação. 
Quando pensamos num produto de dois fatores iguais, fica fácil a sua representação, por 
exemplo: 
2 x 2 = 4 
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Quando pensamos num produto de três fatores iguais, também fica fácil a sua representação, 
veja: 
2 x 2 x 2 = 8 
Agora, quando se faz necessário a escrita (ou representação) de um produto de 100 fatores 
iguais, ou até mesmo diversas operações entre produtos diferentes uns dos outros, concorda que 
fica um pouco inviável? Pois bem, por este motivo a Potenciação cresce de importância. 
2 - CONCEITO 
Potência nada mais é que uma forma matemática alternativa de exprimir um produto de 
fatores iguais (bases de potência). Assim, toda vez que tivermos uma multiplicação de um mesmo 
fator, a representação mais recomendada será por meio de uma potência. Observe o exemplo 
abaixo, no qual fiz um produto de 100 fatores iguais a dois: 
 2 x ... x 2 x 2 x 2 = 2100 
Perceba que, no resultado, a base permaneceu igual ao fator 2, no entanto, o expoente dessa 
base é exatamente igual a quantidade de vezes que se multiplicou o mesmo fator, ou ainda, igual à 
soma dos 100 expoentes iguais a 1. Deste exemplo, podemos concluir que um produto de “n” fatores 
iguais a a será: 
. . .....
" "
na a a a a
n vezes
=
 
• a – base da potência 
• n – expoente (número de vezes que apareceu o fator a) 
• an - potência 
Preciso deixar claro que a definição acima é muito genérica, pois, a base da potência pode ser 
também negativa ou fracionária e o expoente pode, além de ser positivo, ser negativo, nulo ou 
fracionário. Desta forma, em sua prova, tome muito cuidado com essas possibilidades! 
Segue abaixo um quadro de como fazer uma leitura correta de potências. 
QUADRO SINÓPTICO 
POTÊNCIA FORMA CORRETA DE LEITURA RESULTADO 
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30 Três elevado a zero 1 
31 Três elevado a um 3 
32 Três elevado a dois, ou três elevado a 
segunda potência 
9 
33 Três elevado a três, ou três elevado a 
terceira potência 
27 
34 Três elevado a quarta potência 81 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
3n Três elevado a “n-ésima” potência Depende do 
valor de “n” 
Para que fique didaticamente melhor, faremos a análise em separada de cada possibilidade, 
ok? 
3 – DEFINIÇÕES PRÉVIAS – CASOS ESPECIAIS 
 Vamos, a partir de agora, analisar cada possibilidade da potência. 
➢ Potência com Expoente Natural: é toda potência que possui em seu expoente um número 
inteiro e positivo (n ∈ N*). Este expoente indica exatamente a quantidade de vezes que uma 
expressão (base) se repete como fator. 
Assim: 
. . . ...na a a a a a= 
Como exemplos da regra geral, podemos citar: 
 
✓ 32 2.2.2 8= = ; 
✓ 32 (2).(2).(2) 8− = − = − ; 
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✓ 2( 2) ( 2).( 2) 4− = − − = ; 
✓ 
2
1 1 1 1
.
3 3 3 9
       
= =       
       
; 
✓ 
3
2 2 2 2 8
. .
3 3 3 3 27
− − − −         
= = −         
         
; 
✓ ( )
3 3 32 (2 ).(2 ).(2 ) 8ab ab ab ab a b= = ; 
 
Preste bastante atenção quando a base da potência não estiver entre parênteses, 
pois isso poderá implicar numa diferença de resultado, qual seja: 
- Base da potência entre parênteses: neste caso temos duas observações, a 
primeira é que se o expoente for par, o resultado será sempre não negativo, ou seja, 
maior que ou igual a zero. Porém, se o expoente for ímpar, o resultado terá o mesmo 
sinal da base. Veja exemplos do que acabamos de aprender. 
2
3
( 2) ( 2).( 2) 4
( 3) ( 3).( 3).( 3) 27
− = − − =
− = − − − = −
 
 
- Base da potência sem parênteses: já neste caso, o sinal do resultado será sempre 
o mesmo que estiver em frente à base, ou seja, independe de o expoente ser par ou 
ímpar. 
2
3
2 (2).(2) 4
3 (3).(3).(3) 27
− = − = −
+ = + = +
 
Para recordarmos, segue abaixo um quadro de sinais das operações Multiplicação e Divisão. 
 
REGRA DOS SINAIS 
MULTIPLICAÇÃO / 
DIVISÃO 
RESULTADO 
+ + Positivo 
+ - Negativo 
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- + Negativo 
- - Positivo 
Perceba nos casos da regra de sinais que, sempre que os sinais forem iguais, a multiplicação 
e a divisão terão como resultado um valor positivo. Porém, quando os sinais forem diferentes, o 
resultado será negativo. 
 
➢ Potência com Expoente Nulo (zero): todo número diferente de zero, elevado ao expoente 
zero, será igual a um. Assim: 
 
0 1 ; 0a a= 
 
Como exemplos da regra, podemos citar: 
✓ 01 1= 
✓ 0(2018) 1= 
✓ 0(3,14) 1= 
✓ 
0
2018
2018
1
2019
  
=  
   
 
✓ 
0
2 3
3 7 2 2
. 1
2 7 5
x y x y + −   
+ =    
     
 
 
Guarde sempre em mente que existe um número que nunca pode ser a base de 
um expoente nulo, qual seja, o ZERO!!! 
Assim: 
00 - Indeterminado 
 
➢ Potência com Expoente Negativo: indica-nos uma inversãoda base que, necessariamente, 
deve ser diferente de zero. Pois, se assim não for, teremos uma possível formação de fração 
cujo denominador seja igual a zero, o que já sabemos que não é possível. Assim: 
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1
; 0
1
; 0
n
n
n
n
a a
a
a a
a
−
−
= 
 
=  
  
 
Como exemplos da regra, podemos citar: 
 
✓ 2
2
1 1
3
3 9
− = = 
✓ 
3
3
3
1 1
2 8
2 1
2
−
 
= = = 
   
 
 
 
✓ 2
2
1 1
0
0 0
− = = Perceba que esta operação é impossível. 
Muitos alunos devem ficar se perguntando o motivo pelo qual o expoente negativo retorna 
uma inversão da base. Na curiosidade abaixo, eu passo uma das explicações por meio de exemplos, 
ok? 
 
Apenas a título de conhecimento, vamos tentar entender o motivo pelo qual todo 
expoente negativo gera o inverso multiplicativo da base! Veja pelos exemplos a seguir: 
 
32 2.2.2 8= = ; vamos partir deste exemplo, ok? 
 
22 2.2 4= = ; ao diminuir uma unidade do expoente, o resultado é dividido por 2. 
 
12 2= ; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 4. 
 
 
 
02 1= ; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 2. 
 
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1
1
1 1
2
2 2
−    
= =   
   
; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 
1. 
 
2
2
1 1
2
2 4
−    
= =   
   
; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade 
de 1/2. 
. 
. 
. 
Assim, podemos entender o motivo pelo qual os expoentes negativos trazem como 
resultado a inversão da base. Ressalto que essa inversão tem um nome específico, qual 
seja: INVERSO MULTIPLICATIVO. 
 
➢ Potência com Expoente Fracionário: é exatamente o expoente fracionário que origina os 
radicais, ou seja, as raízes. Saiba ainda que o numerador do expoente fracionário será o 
expoente do radicando e o denominador, por sua vez, será o índice do radical gerado. 
 
Assim: 
m
n mna a=
 
 
Como exemplos da regra, podemos citar: 
 
✓ 
1
222 2 2= = 
✓ 
2
3 2 333 3 9= = 
✓ 
2
7 27
k
kx x= 
Perceba, nos exemplos acima que, os numeradores viram de fato os expoentes dos 
radicandos, enquanto o denominador do expoente fracionário torna o índice do radical criado. 
Costumo dizer aos meus alunos que essa propriedade pode ser ensinada imaginando um “SOL”, logo 
em cima do expoente fracionário. Com isso, tenha em mente sempre que: o numerador (que está 
no sol) precisará ir para a sombra, enquanto o denominador do expoente fracionário (que está na 
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sombra) deverá ir para o sol. Pois é....rsrsrs. Uma técnica infalível para tentar decorar esta 
propriedade. 
Vejamos agora algumas questões de fixação, para simples aplicação do conhecimento 
adquirido: 
 
 
 
Encontrar o valor de: 
a) 
53 = 
 
b) 
4
1
2
− 
= 
 
 
 
c) 
1(2018) = 
 
d) 
1( 13)− = 
 
e) 
0
2018
2019
 
= 
 
 
 
f) 
0
1
7
− 
= 
 
 
 
g) 
1
a
b
−
 
= 
 
 
 
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h) 
0
2 27
9
a b
k
 +
= 
 
 
 
i) 26− = 
 
j) 
2
32 = 
 
k) 42− = 
 
l) 33− = 
 
m) 2( 5)− = 
 
n) 3( 7)− = 
 
Comentários: 
 Vamos seguir com as resoluções dos exercícios de fixação para que você possa 
comparar as respostas, bem como perceber algum erro ou dica extra. OK? 
 
a) 53 3.3.3.3.3 243= =  Basta multiplicar a base 3 cinco vezes. 
 
b) 
4
4
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 16
− − − − −          
= = =           
          
 Como a base está entre parênteses e o seu 
expoente é par, o resultado será sempre positivo. 
 
c) 1(2018) 2018= Toda base elevada ao expoente 1 será igual a ela mesma. 
 
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d) 1( 13) 13− = −  Toda base elevada ao expoente 1 será igual a ela mesma. 
 
e) 
0
2018
1
2019
 
=  
 
Toda base, diferente de zero, elevada ao expoente nulo, será igual a 1. 
 
 
f) 
0
1
1
7
− 
=  
 
 Toda base, diferente de zero, elevada ao expoente nulo, será igual a 1. 
 
 
g) 
1
1
1a b
b aa
a
−
 
 
    = =         
  
  
Toda base, diferente de zero, elevada a expoente negativo, deve 
ser invertida. 
 
 
h) 
0
2 27
1
9
a b
k
 +
=  
 
 Toda base, diferente de zero, elevada ao expoente nulo, será igual a 1. 
 
i) 2
2
1 1
6
6 36
−  
= =  
 
 Toda base, diferente de zero, elevada a expoente negativo, deve ser 
invertida 
 
 
j) 
2
3 2 332 2 4= =  Quem está no sol vai para a sombra e que está na sombra vai para o sol. 
 
k) ( )( )( )( )42 2 2 2 2 16− = − = −  Como a base não está entre parênteses e o seu expoente é 
par, o resultado terá sempre o mesmo sinal da base. 
 
 
l) ( )( )( )33 3 3 3 27− = − = −  Como a base não está entre parênteses e o seu expoente é ímpar, 
o resultado terá sempre o mesmo sinal que está à frente da base. 
 
m) 2( 5) ( 5)( 5) 25− = − − =  Como a base está entre parênteses e o seu expoente é par, o 
resultado será sempre positivo. 
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n) 3( 7) ( 7)( 7)( 7) 343− = − − − = −  Como a base está entre parênteses e o seu expoente é ímpar, 
o resultado terá sempre o mesmo sinal da base. 
 
 
E aí, meu querido, até aqui, tranquilo? Vamos seguir então para alguns teoremas! 
 Tenha em mente que potenciação nada mais é que uma operação matemática que 
consiste em achar uma expressão (chamada potência), partindo de outras chamadas de base e 
expoente, respectivamente. 
 Segue agora alguns teoremas de suma importância para sua prova. Você precisar 
entender e decorá-los. Isso irá salvar sua aprovação, ok? Simbora, então! 
 
4 – PROPRIEDADES DA POTÊNCIA 
As propriedades a seguir são de suma importância. São elas que farão você ter um norte de 
como começar a fazer uma determinada questão de expressões algébricas, numéricas ou até mesmo 
questões puras de potenciação/radiciação, bem como questões de produtos notáveis. 
 
 
Percebeu o quão é necessário um bom estudo deste tema, não? Vamos, então, a algumas 
propriedades, as quais devem ser decoradas a partir de muitos exercícios. Vamos nessa! 
 
 
o TEOREMA 1: multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os 
expoentes. 
.x y x ya a a +=
 
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3 5 3 5 8
2 6 ( 2) 6 4
1009 1009 2018
2 1 2 1 2.2 1.3 7
3 2 3 2 3.2 6
:
2 .2 2 2
.
( ) .(b ) ( )
1 1 1 1 1
.
2 2 2 2 2
Exemplos
x x x x
a b a a b
+
− − +
+
+
= =
= =
+ + = +
         
= = =         
         
 
 
 
o TEOREMA 2: divisão de potências de mesma base, repete-se a base e subtraem-se os 
expoentes. 
x
x y
y
a
a
a
−=
 
7
7 2 5
2
3
3 1 2
1
3
3 ( 1) 4
1
:
3
3 3
3
( )
( ) ( ) ; somente se ( ) 0
( )
( 7)
( 7) ( 7) ; 7
( 7)
Exemplos
a b
a b a b a b
a b
x
x x somente se x
x
−
−
− −
−
= =
+
= + = + + 
+
+
= + = +  −
+
 
 
 
o TEOREMA 3: potência de uma potência, neste caso, basta repetir a base e multiplicar os 
expoentes. 
 
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.( )x y x ya a=
 
( )
2 3 2.3 6
2 1 2.( 1) 2
3
3 3.3 9
5
4
3 3 4.5 3 20 ( 3).20 60
5 22 10.5
33 3
(3 ) 3 3
( ) ; 0
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ; 0
4 4 4
Exemplos
x x x somente se x
x x x x x somente se x
− − −
− − − − −
 
 
 
= =
= = 
 
= = 
 
  = = = = 
  
 
= = 
 
 
 
Tome muito cuidado com a propriedade acima. Ela é uma das mais perigosas em 
sua prova! Vamos a algumas observações. 
 
Em regra, são diferentes: 
( )
nm n ma a 
 
Pois: 
4 3 4.3 12(2 ) 2 2= = → Potência de potência 
 
34 4.4.4 642 2 2= = →Neste caso, o expoente 4 que está elevado ao cubo. 
 
 
o TEOREMA 4: potência de um produto ou de um quociente, neste caso basta fazer a 
multiplicação a potência por cada expoente dos fatores. 
 
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. .
.
.
( . ) .x y k x k y k
k
x x k
y y k
a b a b
a a
b b
=
 
= 
  
3 2 4 3.4 2.4 12 8
3 3 2 ( 3).( 2) 3.( 2) 6 6
1 1
2 2
( . ) . .
(a . ) . . ; 0 ; 0
; 0 ; 0
Exemplos
x y x y x y
b a b a b somente se a b
a a
somente se a b
b b
− − − − − −
− −
−
= =
= =  
 
=   
 
 
 
o TEOREMA 5: produto de bases diferentes, porém com expoentes iguais, neste caso basta 
fazer a multiplicação das bases e repetir os expoentes. 
 
. ( . )x x xa b a b= 
3 3 3
1 1 1
2 2
2 2 2 2
:
. ( . )
.
.
.
2 .3 (2.3) 6 36
Exemplos
x y x y
a c a c
b d b d
− − −
=
     
=     
     
= = =
 
 
5 - POTENCIAÇÃO DE BASE 10 COM EXPOENTE POSITIVO 
Neste momento veremos um ponto bastante frequente em provas militares, que são as 
potências de 10. Essas potências de 10 resultam nada mais que o número 1 seguido de tantos zeros 
quantos forem as unidades do expoente. Perceba, nos exemplos abaixo, como é simples este tema! 
 
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Exemplos: 
a) 010 1= ; expoente zero, reflete, no resultado, nenhum zero após o algarismo um. 
 
b) 110 10= ; expoente um, reflete, no resultado, um zero após o algarismo um. 
 
c) 210 100= ; expoente dois, reflete, no resultado, dois zeros após o algarismo um. 
 
d) 310 1000= ; expoente três, reflete, no resultado, três zeros após o algarismo um. 
. 
. 
 
Assim, podemos concluir que: 10 1000...0n = ; tantos zeros quantos forem o algarismo 
representante do expoente. 
 
6 - POTENCIAÇÃO DE BASE 10 COM EXPOENTE NEGATIVO 
É o número 1 posposto de tantos zeros quantos forem as unidades do expoente acrescido de 
uma vírgula após o primeiro zero. 
 
Exemplo: 
a) 110 0,1− = ; um zero seguido de vírgula. 
 
b) 210 0,01− = ; dois zeros, com uma vírgula após o primeiro. 
 
c) 310 0,001− = ; três zeros, com uma vírgula após o primeiro. 
 
d) 410 0,0001− = ; quatro zeros, com uma vírgula após o primeiro. 
. 
. 
. 
 
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Assim, podemos concluir que: 10 0,00...01n− = ; tantos zeros quantos forem o algarismo 
representante do expoente, com uma vírgula após o primeiro deles. 
 
7 - CASO ESPECIAL DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTES DIFERENTES 
Muitos alunos sentem dificuldade quando se deparam com questões deste tipo. Para isso, 
passo duas possibilidades de resolução deste caso especial de operações entre potências. 
 
Para encontrar o resultado correto, devemos igualar os expoentes das bases, utilizando a 
técnica da decomposição, e, em seguida, adicionar ou subtrair as mesmas. Veja alguns exemplos 
para que fique mais claro! 
 
Exemplos: 
a) 7 9 7 2 7 7 7 76 6 1.6 6 .6 1.6 36.6 37.6+ = + = + = 
 
b) 12 9 3 9 9 9 9 99 9 9 .9 1.9 729.9 1.9 728.9− = − = − = 
 
 
 
Nos exemplos acima, poderíamos também colocar em evidência a potência de 
menor expoente dividindo todos os termos pela mesma e em seguida fazer as operações 
necessárias. 
Exemplo: 
a) 7 9 7 2 7 76 6 6 .(1 6 ) 6 .(1 36) 37.6+ = + = + = 
b) 12 9 9 3 9 3 9 99 9 9 (9 1) 9 (9 1) 9 (729 1) 728.9− = − = − = − = 
 
8 - NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Tema bastante importante. Não só para a nossa querida matemática, mas também para a 
Física. Neste tópico, saber trabalhar de forma correta com as potências de 10 será o diferencial. 
Segue abaixo algumas considerações deste tema: 
 
 Tem a finalidade de representar números muito grandes ou extremamente pequenos. 
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 São números que são colocados na forma do produto de dois fatores. 
 
1º fator: É um número real x, sendo 1 10x  
2º fator: É uma potência de 10, com expoente positivo, negativo ou até nulo. 
 
Exemplos: 
a) 32,4.10 : 1 2,4 10perceba que− →   
b) 48,7.10 : 1 8,7 10perceba que− →   
c) 153,6.10 : 1 3,6 10perceba que→   
 
Você deve estar pensando: “NOSSA!! QUANTO DETALHE!! COMO IREI FAZER PARA 
APRENDER TUDO ISSO??”. Eu respondo: revisando e praticando muito...muito...muito. 
Sabendo disso, vamos partir para aplicações do que acabamos de ver? Simbora! 
 
 
(Exercício Modelo) 
01. O número 250 000 000 é o mesmo que: 
a) 62,5.10 
b) 72,5.10 
c) 82,5.10 
d) 92,5.10 
Comentário: 
Simples questão de potência de base 10. Lembro-vos que a quantidade de zeros corresponde 
ao expoente da base 10. Assim: 
7250.000.000 (25).(10.000.000) (25).(10)   
Agora, perceba que 25 =2,5 .10, logo: 
7 8(2,5).(10).(10) 2,5.10  
 
Gabarito: C 
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(Exercício Modelo) 
02. Dados os números 159,84.10m = e 161, 23.10n = , pode-se afirmar que: 
a) m n 
b) m n= 
c) 161,07.10m n+ = 
d) 31. 1, 21.10m n = 
 
Comentário: 
O enunciado nos traz que: 15(9,84).10m = e 16(1, 23).10n = . 
Sabemos que: 
16 15 15(1,23).10 (1,23).10.10 12,3.10  
Assim: 
15 15(12,3).10 (9,84).10 n m   
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) 
03. Se 3 22 , , 2 ,aa b a c= = = o valor de 2abc é: 
a) 152 
b) 188 
c) 182 
d) 154 
e) 122 
Comentário: 
Questão de simples troca de dados do enunciado com o que se pede. A partir daí, basta 
utilizar as regras de potenciação. 
3 22. . . 2.(2 ).( ).(2 )aabc a  
33 3 2 2 3 6 82.(2 ).(2 ) .(2) 2.2 .2 .2   
1 3 6 8 182 2+ + +  
Gabarito: C 
 
10 - RADICIAÇÃO 
Chegamos a um tema crítico. Não pela sua dificuldade, mas sim, pela necessidade de atenção 
devida no momento de fazer questões atinentes a este ponto. Ressalto que esta operação 
(radiciação) pode ser trabalhada como se potenciação fosse, bastando para isso, transformar o 
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radical existente em um expoente fracionário. Fique ligado nesta dica. Ela pode salvar sua 
aprovação! Feita esta pequena introdução, vamos ao conteúdo propriamente dito. 
 
1 - CONCEITO 
Nada mais é que uma operação matemática, na qual seus elementos são raízes. Cabe ressaltar 
que toda raiz possui um índice que, em regra, é natural maior que 1 e um radicando, cujo número é 
pertencente aos reais. 
Sua representação é da forma: 
n a → raiz “n ésima” de a 
n→ Índice da raiz 
a→ Radicando 
 
Lembro-vos que: 
 
;
m
n m na a= 
 
Ou seja, toda raiz pode ser transformada em uma potência de expoente 
fracionário, de forma a facilitar as operações. 
 
 A radiciação é uma alternativa à potenciação. Assim, para fins de conta, basta 
utilizar aquela que mais for conveniente. 
Vejamos algumas propriedades da radiciação. 
2 - PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOo Propriedade 1: 
 Nas raízes de mesmo índice, para efetuar a multiplicação, basta repetir os índices e 
multiplicar os radicandos. 
. .m m ma b a b=
 
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Exemplos: 
✓ 2. 3 2 6= 
 
✓ 3 334. 3 12= 
 
Veja uma solução alternativa, utilizando potenciação: 
 
1 1 1 1 1
2 2 2 2 22 2 ; 3 3 2 .3 (2.3) 6= = → = = 
1 1 1 1 1
3 333 3 3 3 34 4 ; 3 3 4 .3 (4.3) 12= = → = = 
 
o Propriedade 2: 
A soma de radicais, ou até mesmo subtração, só será possível se os índices forem iguais e os 
radicandos também. Neste caso, basta colocar a raiz em evidência, somando ou subtraindo, 
conforme o caso, os coeficientes. 
( ).m m mx a y a x y a− = −
 
Exemplos: 
✓ 2 3 3 (2 1). 3 3− = − = 
✓ 
3 3 3 37 2 4 2 (7 4). 2 3 2− = − = 
✓ 3 11 3 (1 11). 3 12 3+ = + = 
 
o Propriedade 3: 
Na divisão de radicais, devemos repetir os índices e dividir os radicandos, colocando assim, tudo 
sob a mesma raiz. 
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m
m
m
a a
bb
=
 
Exemplos: 
✓ 
2
2 2
8 8
4 2 2 2
22
= = = = =
 
✓ 
3
3
3
7 7
99
=
 
 
o Propriedade 4: 
Quando tiramos a raiz de uma outra raiz, basta multiplicar os índices e repetir o radicando. 
 
.m n m na a= 
Exemplos: 
✓ 
2.2 42 2 2= = 
 
✓ 
3 5 3.5.2 305 5 5= = 
 
o Propriedade 5: 
Quando se tem uma potência de uma raiz, basta fazer a raiz da potência. Assim: 
( ) mn nm a a=
 
Exemplo: 
✓ 
32 23 3( 2) 2 4= = 
 
✓ 
52 25 5( 7) 7 49= = 
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o Propriedade 6: 
Alterar o índice sem mudar o resultado, é necessário que façamos uma divisão ou multiplicação 
dos índices e do expoente do radicando pelo mesmo inteiro. Veja abaixo a regra geral. 
. .m pm n n pa a= 
: :m pm n m pa a= 
Exemplos: 
✓ 
3.2 23 64 4 16= = 
 
✓ 
3.2 32 16 34 2 2 2= = = 
 
 
✓ 
16
4 16 442 2 2 16= = = 
 
o Propriedade 7: 
Na simplificação de raízes de racionais a ideia desta operação é “retirar” da raiz o maior número 
de fatores possível. Para isso, faz-se necessário saber fatorar o radicando, bem como simplificar os 
seus expoentes com os índices das raízes. 
 
Veja o exemplo abaixo. 
 
✓ 24 2.2 2 2= = = 
 
✓ 2 1 218 9.2 3 .2 3 . 2 3. 2= = → = 
 
✓ 3 33 327 3.3.3 3 3= = = 
 
✓ 5 5 5 5 517 15 2 15 2 3 2. . .a a a a a a a= = = 
 
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Você deve ter percebido que há uma maneira mais simples de se realizar esta 
simplificação. 
Neste método alternativo, devemos utilizar uma das propriedades da divisão, que 
diz: o dividendo é igual ao quociente vezes o divisor somado ao resto. Esta técnica é muito 
útil para resolução de problemas. 
Vamos a ela: 
5 17 17 : 5 5.3 2a → = +  3 (que representa o quociente da divisão) será o 
expoente do termo que sai e 2 (que é o resto da divisão) será o expoente do termo que 
fica no radical. 
 
Vamos praticar um pouco... 
 
(Exercício Modelo) 
04. O quociente de 
7 5 6 5
821
3 . 3
3
 é igual a: 
a) 3 3 
b) 3 6 
c) 33 3 
d) 63 3 
e) 35 3 
 
Comentário: 
5 5 8
7 65 5 8217 6 213 3 ; 3 3 ; 3 3= = = 
Assim: 
• Numerador: 
5 5 5 5 5.6 5.7 65
7 6 7 6 42 423 .3 3 3 3
++
   
 
• Denominador: 
8.28 16
21.221 423 3 3  
Logo: 
65
65 1642 49 7
6 747 642 42
16
42
3
3 3 3 3
3
−
   =  
6 66 1 6 6 63 .3 3 . 3 3 3   
 
Gabarito: D 
(Exercício Modelo) 
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05. O valor da expressão 
1999
1 5
5 5
 
−  
 
 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 
1999
5
5
 
  
 
 
d) 
5
5
− 
e) 10 
 
Comentário: 
Questão para simples racionalização e simplificação dos termos semelhantes. 
1999 1999
1 5 1 5
5 5 55
   
−  −       
   
 
 
1999 1999
19991 5 5 5 5
. 0 0
5 5 55 5
   
 −  −  =      
   
 
 
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) 
06. Calculando-se o valor da expressão a a a a obtemos: 
a) 16a 
b) 16a− 
c) 15a− 
d) 
16
15a
−
 
e) 
15
16a 
 
Comentário: 
Questão de sucessão de radicais finitos. Bem interessantes sua construção. Neste tipo de 
questão, caso venha em sua prova, a ideia é fazer com calma e de dentro para fora...passo a passo. 
OK? 
 
Veja abaixo como ficou a construção de sua resolução. 
 
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I- 2 3 34.a a a a a a→ → → 
II- 83 4 3 74 4 .a a a a a→ → 
III-
15
8 16 167 8 7 15 16.a a a a a a→ →  
 
Gabarito: E 
 
11 - PRODUTOS NOTÁVEIS 
1 - CONCEITO 
Existem alguns produtos que aparecem frequentemente na álgebra, aritmética e geometria, 
que, por esta razão, foram criadas regras especiais para os mesmos de forma a facilitar o cálculo. 
A grosso modo, calcular produtos notáveis é transformar um produto de dois ou mais fatores 
em uma adição de parcelas. 
2 – PRODUTOS NOTÁVEIS EM ESPÉCIE 
Veremos agora, cada possível caso de cobrança na sua prova, no que tange ao tema: produtos 
notáveis. 
Ressalto a importância de não só decorar, mas também de entender cada desdobramento 
desse. Isso fará toda diferença na sua prova. 
Informo ainda que, para quaisquer dos casos apresentado a seguir, há a possibilidade se 
utilizar a propriedade da distributiva para encontrar a expressão correspondente. É claro que nem 
sempre ela será a melhor alternativa. Por este motivo, faz-se necessário decorar o desenvolvimento. 
Vamos aos principais casos!! 
 
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1º Caso: 
 O quadrado da soma de dois termos 2( )a b+ 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: o quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do 
segundo termo. 
 
Exemplos: 
a) 2 2 2( ) 2. .a b a ab b+ = + + 
 
b) 2 2 2 2( 6) 2. .6 6 12 36x x x x x+ = + + = + + 
 
2º Caso: 
O quadrado da diferença de dois termos 
2( )a b− 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: o quadrado do 
primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do 
segundo termo. 
 
Exemplos: 
a) 2 2 2( ) 2. .a b a ab b− = − + 
 
b) 2 2 2 2(3 5) (3 ) 23 .5 5 9 30 25x x x x x− = − + = − + 
 
3º Caso: 
O quadrado da soma ou diferença de três termos 2( )a b c+ + 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: separar os três 
termos em dois; em seguida aplicar regra do 1º ou 2º caso duas vezes. 
 
Exemplos: 
a) 
 
22 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) [( )] 2.( ). ] [ 2 2 2 ]a b c a b c a b c a b a b c c a ab b ac bc c+ + = + + → + + = + + + + = + + + + + 
Logo: 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + 
 
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b) 2( 2 3)x y+ − = 2 2 2 2 2(2 ) ( 3) 2.[ .2 .( 3) 2 .( 3)] 4 9 4 6 12x y x y x y x y xy x y+ + − + + − + − = + + + − − 
Logo: 2( 2 3)x y+ − = 2 24 9 4 6 12x y xy x y+ + + − − 
 
4º Caso: 
O produto da soma pela diferença de dois termos ou vice-versa ( ).( )a b a b+ − 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: o quadrado do 
primeiro menos o quadrado do segundo termo. 
 
Exemplos: 
a) 2 2( ).( )a b a b a b− + = − 
 
b)3 3 3 2 2 6 2(6 3 ).(6 3 ) (6 ) (3 ) 36 9x y x y x y x y+ − = − = − 
 
5º Caso: 
Produto tipo ( ) .( )m ma b a b+ − 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: o quadrado do 
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo elevado ao expoente comum “m”. 
 
Exemplo: 
a) 2 2( ) .( ) ( )m m ma b a b a b+ − = − 
 
b) 800 800 2 2 800 800 800( 3 2) .( 3 2) [( 3) ( 2) ] (3 2) 1 1+ − = − = − = = 
 
6º Caso: 
Produto tipo ( ).( )n nx p x q+ + 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir o exemplo abaixo: 
 
2( ).( ) ( ) .n n n nx p x q x p q x p q+ + = + + + 
 
Exemplos: 
a) 2 2( 4).( 1) ( 4 1) ( 4).( 1) 3 4x x x x x x− + = + − + + − + = − − 
 
b) 3 3 2.3 3 6 3( 8).( 5) (8 5) ( 8).( 5) 3 40x x x x x x+ − = + − + + − = + − 
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7º Caso: 
Produto tipo 2 2( ).( . )a b a a b b+ − + 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: cubo do primeiro 
mais o cubo do segundo. Perceba que, a operação que rege o primeiro fator do produto notável será 
a mesma do resultado. Ou seja, se começa com soma (a+b), o resultado será uma soma de cubos. 
Ressalto ainda que, se o produto notável começa com soma, o segundo fator terá sinais de soma e 
subtração intercalados (a2 – a.b + b2) 
 
2 2 3 3( ).( . )a b a ab b a b+ − + = + 
Exemplos: 
a) 2 2 3( 1).( .(1) 1 ) 1a a a a+ − + = + 
b) 2 2 3( 3).(x .(3) 3 ) 27x x x+ − + = + 
 
8º Caso: 
Produto tipo 2 2( ).( . )a b a a b b− + + 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: cubo do primeiro 
menos o cubo do segundo. Perceba que, a operação que rege o primeiro fator do produto notável 
será a mesma do resultado. Ou seja, se começa com subtração, o resultado será uma subtração de 
cubos. Ressalto ainda que, se o produto notável começa com uma subtração (a-b), o segundo fator 
terá somente sinal de soma (a2 + a.b + b2). 
 
2 2 3 3( ).( . ) aa b a ab b b− + + = − 
Exemplos: 
a) 2 2 3( 2).( .(2) 2 ) a 8a a a− + + = − 
 
b) 2 2 3( 3).(x .(3) 3 ) a 27x x− + + = − 
 
9º Caso: 
O cubo da soma de dois termos 3( )a b+ 
 Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: o cubo do 
primeiro termo mais o triplo do quadrado do primeiro pelo segundo termo mais o triplo do primeiro 
pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. 
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3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + 
Exemplos: 
a) 3 3 2 2 3 3 2( 2) 3 .(2) 3 (2) 2 6 12 8a a a a a a a+ = + + + = + + + 
 
b) 3 3 2 2 3 3 2(3 4) (3 ) 3.(3 ) .4 3.3 .4 4 27 108 144 64x x x x x x x+ = + + + = + + + 
 
10º Caso: 
O cubo da diferença de dois termos 3( )a b− 
 
Para desenvolver o produto notável acima, basta seguir a seguinte regra: o cubo do primeiro 
termo menos o triplo do quadrado do primeiro pelo segundo termo mais o triplo do primeiro pelo 
quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo. 
3 3 2 2 3( ) 3 3 .a b a a b ab b− = − + − 
Exemplos: 
a) 3 3 2 2 3 3 2( 1) 3 (1) 3 .(1) 1 3 3 1a a a a a a a− = − + − = − + − 
 
b) 3 3 2 2 3 3 2(2 1) (2 ) 3.(2 ) .1 3.2 .1 1 8 12 6 1x x x x x x x− = − + − = − + − 
 
E aí, meu guerreiro!! Tá acompanhando? Esses foram alguns casos possíveis de cair na sua 
prova. Que tal parar um pouco com a teoria e partir para uns exercícios de fixação? Bora? Showw!! 
 
 
(Exercício de Fixação) 
07. Desenvolva os produtos notáveis: 
a) 2( 3)x + = 
 
b) 2(3 5)x+ = 
 
Comentário: 
Nesta questão, temos dois casos simples de quadrado da soma de dois termos. Já é sabido 
que para questões deste tipo basta aplicarmos o seguinte desenvolvimento: o quadrado do primeiro 
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termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo 
termo. 
 
Assim: 
a) 2 2 2 2( 3) 2.( ).(3) 3 6 9x x x x x+ = + +  + + 
 
b) 2 2 2 2(3 5) (3 ) 2.(3 ).(5) 5 9 30 25x x x x x+ = + +  + + 
 
Ressalto que, como estamos diante de produtos notáveis da soma de dois termos, o resultado 
terá em todos os seus termos o sinal positivo (sinal de +). 
 
(Exercício de Fixação) 
08. Calcular os produtos notáveis: 
a) 2( 1)x− = 
 
b) 3 2(3 1)x − = 
 
c) 2(3 2)x− = 
 
d) 2(2 )ab a− = 
 
Comentário: 
Nesta questão, temos quatro casos simples de quadrado da diferença de dois termos. Já é 
sabido que para questões deste tipo basta aplicarmos o seguinte desenvolvimento: o quadrado do 
primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do 
segundo termo. 
 
Assim: 
a) 2 2 2 2( 1) 2.( ).(1) (1) 2 1x x x x x− = − +  − + 
 
b) 3 2 3 2 3 2 6 3(3 1) (3 ) 2.(3 ).(1) (1) 9 6 1x x x x x− = − +  − + 
 
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c) 2 2 2 2(3 2) (3 ) 2.(3 ).(2) (2) 9 12 4x x x x x− = − +  − + 
 
d) 2 2 2 2 2 2 2(2 ) (2 ) 2.(2 ).( ) ( ) 4 4ab a ab ab a a a b a b a− = − +  − + 
 
 
Ressalto que, como estamos diante de produtos notáveis da diferença de dois termos, o 
resultado terá sinais intercalados entre os da adição e subtração. 
 
Perceba que, no exemplo da letra d), aparece o fator a em ambos os termos, isso implica os 
termos centrais do resultado ter aparecido com o a elevado ao quadrado. 
 
(Exercício de Fixação) 
09. Desenvolva o produto notável: 
a) 2(3 2 )x y z+ + = 
 
Comentário: 
Nesta questão, temos um caso não tão simples de quadrado da soma de três termos. Já é 
sabido que para questões deste tipo basta aplicarmos o seguinte desenvolvimento: separar os três 
termos em dois; em seguida aplicar regra do quadrado da soma duas vezes. 
 
Assim: 
a) 2(3 2 )x y z+ + = 
( ) ( )
2 22 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
(3 2 ) 3 2 3 2 2.(3 2 ).( ) ( )
(3 ) 2.(3 ).(2 ) (2 ) 2. .(3 ) 2. (2 )
9 12 4 6 4
9 4 12 6 4
: (3 2 ) 9 4 2(6 3 2 )
x y z x y z x y x y z z
x x y y z x z y z
x xy y xz yz z
x y z xy xz yz
Logo x y z x y z xy xz yz
+ + = + + = + + + + →  
 → + + + + + → 
→ + + + + + →
→ + + + + + →
+ +  + + + + +
 
 
 
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(Exercício de Fixação) 
10. Calcular os produtos notáveis: 
a) (2 ).(2 )ab x ab x− + = 
 
b) (3 1).(3 1)a a+ − = 
 
c) (4 2).(4 2)ab ab− + = 
 
d) 2 3 2 3(5 4).(5 4)a x a x− + = 
 
Comentário: 
Essa questão traz exercícios de pura aplicação do produto da soma pela diferença, que resulta 
sempre no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. 
 
a) 2 2 2 2 2(2 ).(2 ) (2 ) ( ) 4ab x ab x ab x a b x− + = −  − 
 
b) 2 2 2(3 1).(3 1) (3 ) (1) 9 1a a a a+ − = −  − 
 
c) 2 2 2 2(4 2).(4 2) (4 ) (2) 16 4ab ab ab a b− + = −  − 
 
d) 2 3 2 3 2 3 2 2 4 6( 4).( 4) ( ) (4) 16a x a x a x a x− + = −  − 
 
Este tópico é muito comum na sua prova. Desta forma, toda vez que perceber um produto da 
soma com a diferença, sempre lembre da DIFERENÇA DE QUADRADOS. 
 
(Exercício de Fixação) 
11. Resolva os produtos notáveis: 
a) 13 13( 5 2) .( 5 2)+ − = 
 
b) 2 2 3 2 2 3( ) .( )x y x y− + = 
 
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Comentário: 
Essa questão traz exercícios de pura aplicação do produto da soma pela diferença, que resulta 
sempre no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo, REPETINDO O EXPOENTE 
INICIAL. 
a) 
13
13 13 2 2 13 13( 5 2) .( 5 2) ( 5) 2 (5 4) 1 1+ − = − = − = 
 
 
 
b) 
3
2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 4 4 3( ) .( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y − + = − = −  
 
 
(Exercício de Fixação) 
12. Desenvolva os produtos notáveis: 
a) ( 6).( 9)x x− + = 
 
b) ( 5).( 4)y y+ − = 
 
c) ( 3).( 1)x x+ + = 
 
d) ( 6).( 5)y y− + = 
 
Comentário: 
Essa questão traz exercícios de pura aplicação do seguinte desenvolvimento:
2( ).( ) ( ) .n n n nx p x q x p q x p q+ + = + + + . 
 
a) 2 2( 6).( 9) ( 6 9) ( 6)( 9) 3 54x x x x x x− + = + − + + − +  + − 
 
b) 2 2( 5).( 4) (5 4) (5).( 4) 20y y y y y y+ − = + − + −  + − 
 
c) 2 2( 3).( 1) (3 1) (3).(1) 4 3x x x x x x+ + = + + +  + + 
 
Perceba que neste desenvolvimento, o termo central será sempre a soma dos termos 
constantes, porém, o termo independente do resultado será sempre o produto deles. 
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(Exercício de Fixação) 
13. Desenvolva os produtos notáveis: 
 
a) 2 2( )( )x a x ax a+ − + = 
 
b) 2( 5)( 5 25)x x x+ − + = 
 
c) 2( 6)( 6 36)x x x− + + = 
 
Comentário: 
Essa questão traz exercícios de pura aplicação do seguinte desenvolvimento: cubo do 
primeiro menos o cubo do segundo, para produtos da forma 2 2 3 3( ).( . ) aa b a ab b b− + + = − e cubo do 
primeiro mais o cubo do segundo, para produtos da forma 
2 2 3 3( ).( . )a b a ab b a b+ − + = + . 
 
Assim, 
a) 2 2 3 3( )( )x a x ax a x a+ − + = + 
 
b) ( )
32 3 3( 5)( 5 25) 5 125x x x x x+ − + = +  + 
 
c) 2 3 3 3( 6)( 6 36) (6) 216x x x x x− + + = −  − 
 
(Exercício de Fixação) 
14. Calcule os produtos notáveis: 
a) 3(3 1)x− = 
 
b) 3 3(4 2)x − = 
 
Comentário: 
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Neste exercício, basta aplicarmos o cubo da diferença de dois termos. Lembrando que basta 
seguir a seguinte regra: o cubo do primeiro termo menos o triplo do quadrado do primeiro pelo 
segundo termo mais o triplo do primeiro pelo quadrado do segundo termo menos o cubo do 
segundo termo, ficando da seguinte forma 3 3 2 2 3( ) 3 3 .a b a a b ab b− = − + − . 
 
a) 3 3 2 2 3 3 2(3 1) (3 ) 3.(3 ) (1) 3.(3 )(1) 1 27 9 9 1x x x x x x x− = − + −  − + − 
 
b) 3 3 3 3 3 2 3 2 3 9 6 3( 2) ( ) 3.( ) (2) 3.( )(2) (2) 6 12 8x x x x x x x− = − + −  − + − 
 
(Exercício Modelo) 
15. A expressão 3 32 23 3 3( )( )a b a ab b− + + equivale a: 
a) 3 3a b− 
b) a b− 
c) 3 3a b+ 
d) 3( )a b+ 
 
Comentário: 
Questão bem interessante, que pode ser objeto de prova. Vamos a sua resolução. 
Num primeiro momento, de forma a ficar mais didático, irei fazer uma troca de variável, ou 
seja, 
3
3
a x
b y
→
→
 
Utilizando desta técnica, ficaremos com: 2 2( )( )x y x xy y− + + →o que já é uma expressão mais 
conhecida, certo? Como já é sabido, a expressão 2 2( )( )x y x xy y− + + →resultará numa diferença de 
cubos da forma: 3 3x y− 
 
Voltando para os termos da expressão original, ou seja, desfazendo a troca de variáveis, 
teremos: 
3 33 3( ) ( )a b a b− → − 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) 
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16. (EsSA) E expressão 2 2( ) .( )a b a b+ − é equivalente a: 
a) 4 4a b− 
b) 4 4a b+ 
c) 4 2 2 42a a b b+ + 
d) 4 2 2 42a a b b− + 
e) 4 2 2 42a a b b− − 
 
Comentário: 
Questão bem interessante, que pode ser objeto de prova. Vamos a sua resolução. Perceba 
que estamos diante de um produto da soma pela diferença, com um pequeno detalhe: os fatores 
estão elevados a segunda potência. Sabemos ainda que num produto da soma pela diferença basta 
fazer o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, repetindo-se o expoente dos fatores. 
Assim, temos: 
2 2 2 2 2 2( ) .( ) [( ).( )] ( )a b a b a b a b a b+ − = + −  − 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 2.( )( ) ( ) 2a b a a b b a a b b − = − + → − + 
Gabarito: D 
(Exercício Modelo) 
17. (CEFET) O resultado de 
2( 2)x− − 
a) 2 2 2x x− + 
b) 2 2 2 2x x+ + 
c) ( 2)( 2)x x− + 
d) 3 2x − 
e) 3 2x + 
 
Comentário: 
Questão de simples aplicação do quadrado de dois termos. Nesta questão a banca tenta 
confundir o aluno nos jogos dos sinais. Não dê mole. Fique sempre atento. 
 
Veja na solução como é importante o conceito de potenciação. 
 
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Perceba que eu posso escrever a expressão do enunciado da seguinte forma: 
2
2 2 2 2
2
( 1).( 2) ( 1) .( 2) 1.[ 2 2 ( 2) ]
2 2 2
x x x x
x x
 − − − = − + = + + →
 
→ + +
 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) 
18. (EsSA) Sendo 
89(2 3)x = + e 89(2 3)y = − , então o procedimento .x y é igual a: 
a) 89(4 2 3)− 
b) 902 
c) 1 
d) 1982 
e) 89(4 2 3)+ 
 
Comentário: 
 Vamos a sua resolução. Perceba que estamos, mais uma vez, diante de um produto da soma 
pela diferença, com um pequeno detalhe: os fatores estão elevados a 89. Sabemos ainda que num 
produto da soma pela diferença basta fazer o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, 
repetindo-se o expoente dos fatores. 
 
Assim, temos: 
89(2 3)x = + e 
89
89 89 89 2 2(2 3) . (2 3) (2 3) (2) ( 3)y x y  = − → = + − → − →
  
89 89(4 3) (1) 1→ − →  
 
Gabarito: C 
(Exercício Modelo) 
19. (EsSA) A forma simplificada da expressão 2( ) ( )( )x y x y x y− − + − é: 
a) 2xy− 
b) 2xy 
c) 22 2x xy− 
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d) 2 2y xy− 
e) 2 ( )y y x− 
 
Comentário: 
Pegando a expressão dada e fazendo seu desenvolvimento natural, qual seja: um quadrado 
da diferença combinado com um produto da soma pela diferença, chagaremos a resposta correta. 
Vamos a sua resolução! 
 
( )
( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( )( ) 2 ( )
2 2
2 2 2 ( )
x y x y x y x xy y x y
x xy y x y x x xy y y
y xy y y x
− − + − = − + − − →
→ − + − + = − − + + →
 − = −
 
Gabarito: E 
 
11 - FATORAÇÃO 
1. INTRODUÇÃO 
 
Polinômio, a grosso modo, é uma expressão algébrica que é representada por uma soma de 
monômios. Fatorar um Polinômio nada mais é que transformar duas ou mais parcelas em um 
produto de dois ou mais fatores, no caso, de menor grau que o original. 
 
Exemplo: 
✓ 2 6 2( 3)x x+ = + 
 
Por sua vez, Fatoração de um Monômio nada mais é que uma transformação de um número 
com ou sem variáveis em dois ou mais fatores. 
 
Exemplos: 
✓ 6 2.3= 
✓ 
215 3.5. .x x x= 
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✓ 
2 38 2.2.2. . . . .x y x x y y y= 
 
2. FORMAS DE FATORAÇÃO 
 Veremos agora, algumas técnicas muito importantes para sua prova. Sem mais 
delongas, vamos a elas!! 
 
1º Caso: Fator Comum 
 É formado pelo M.D.C (máximo divisor comum), que é o produto dos coeficientes e/ou 
pelas variáveis comuns com menores expoentes. Colocamos o fator comum encontrado em 
evidência (em destaque) e em seguida dividimos todos os termos de polinômio pelo mesmo. 
Colocar em evidência, é a mesma coisa que por fora do par de parênteses, além de dividir 
cada termos existente por este fator. Lembre-se que colocar em evidência é o processo inverso da 
distributiva. Vamos ver alguns exemplos práticos para fins de aprendizado. 
 
Exemplo: 
 
✓ 3 3 2 8 6 7 2 3 5 4 46 9 12 3 .(2 3 4 )x y x y x y x y x y x y− + = − + 
Fator comum: 2 33x y → perceba que este fator comum aparece em todas as parcelas do 
polinômio. Porém com um detalhe: ele representa o produto de todos os coeficientes/variáveis 
comuns, com os menores expoentes. 
 
✓ 
3 2 2( 1)x x x x x x+ + = + +Fator comum: x→ perceba que este fator comum aparece em todas as parcelas do 
polinômio. Porém com um detalhe: ele representa o produto de todos os coeficientes/variáveis 
comuns, com os menores expoentes. 
 
✓ 
2 22 4 2( 2 )x y x y+ = + 
Fator comum: 2→ perceba que este fator comum aparece em todas as parcelas do 
polinômio. Porém com um detalhe: ele representa o produto de todos os coeficientes/variáveis 
comuns, com os menores expoentes. 
 
2º Caso: Agrupamento 
 
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 Agrupamos os termos de dois em dois, três em três etc, e aplicamos a regra do fator 
comum duplamente. Ou seja, este caso representa uma série de aplicações do processo de 
evidenciação. Ressalto que para fazer de forma correta é necessário dividir os termos dois a dois ou 
três a três, conforme o caso, para que você consiga visualizar de fato o MDC. 
Exemplos: 
 
✓ 26 3 4 2xy xy y− − +  
2 26 3 4 2 (6 3 ) (4 2)
3 (2 1) 2(2 1) (2 1)(3 2)
xy xy y xy xy y
xy y y y xy
− − + = − − − →
→ − − − = − −
 
 
 
✓ 2 2 2a b c ax bx cx+ + + + +  
 
2( ) ( ) ( )(2 )a b c x a b c a b c x+ + + + + = + + + 
 
3º Caso: Diferença de dois quadrados 2 2( )a b− 
Nesta propriedade, a dica é: toda vez que você vir na prova uma diferença de quadrados, 
poderá abrir num produto de dois fatores, sendo eles um da soma e outro da diferença dos termos, 
sendo que, cada termo será a raiz quadrada dos termos originais. 
 
Exemplos: 
 
✓ 
2 2 ( )( )a b a b a b− = − + 
 
2a a= e 2b b= → cada termo aqui é a raiz quadrada do original respectivo. 
 
✓ 
29 16 (3 4 )(3 4 )x y x y x y− = − + 
 
29 3x x= e 216 4y y= → cada termo aqui é a raiz quadrada do original respectivo. 
 
 
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4º Caso: Trinômio do quadrado perfeito 
Imagine agora, um trinômio da forma: 2 , ( , , ) 0ax bx c com a b c+ +  ; e ainda, com a e c 
quadrados perfeitos e 2b ac=  . Toda vez que isso acontecer, estaremos diante de um 
desenvolvimento completo de um quadrado da soma ou da diferença de dois termos. Pode ser que 
ao ler esta definição não tenha ficado tão claro, para isso, faremos dois exemplos, ok? 
 
Exemplos: 
✓ 2 2 22 ( )x xy y x y+ + = + →perceba que estamos fazendo o caminho inverso do Produto 
Notável. 
2x x= e 2y y= →os extremos precisam ser quadrados perfeitos. Além disso, o termo 
central precisa ser o dobro do produto da raiz dos extremos, com sinal de positivo ou negativo (
2b ac=  ) 
 
✓ 2 29 24 16 (3 4)x x x− + = − → perceba que estamos fazendo o caminho inverso do Produto 
Notável. 
29 3x x= e 16 4= → os extremos precisam ser quadrados perfeitos. Além disso, o termo 
central precisa ser o dobro do produto da raiz dos extremos, com sinal de positivo ou negativo (
2b ac=  ) 
 
5º Caso: Trinômio do 2º grau 
 Todo trinômio da forma 2 ,ax bx c+ + sendo a = 1, b e c 0 , podermos encontrar sua 
forma fatorada pela soma e produto das possíveis raízes. Para ficar um pouco mais claro, além dos 
exercícios, deixo aqui uma remissão ao caso 6º, do tipo ( )( )n nx p x q+ + . 
Lembre-se sempre que o termo central (coeficiente b) é a soma dos termos constantes e o 
termo independente (coeficiente c) é o produto do termos constantes. 
Exemplos: 
✓ 2 8 12x x− + 
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( )( )2 28 12 ( ) .
, ( ) 8 . 12
: 6 , 2
x x x p x q x p q p q
Assim p q e p q
Podemos perceber que p q
− + = − − = − + + →
→ + = = →
→ = =
 
Veja que, na resolução acima, fiz de uma forma mais direta. Basta perceber que a soma dos 
termos p e q precisa resultar 8 e que o produto deles resulte 12. Assim, para que o produto de 12, 
os números precisam ter o mesmo sinal, ou positivos ou negativos. Vou além, para que a soma dê 
8, eles devem ser, necessariamente, positivos. Logo: 6 e 2. 
Poderíamos pensar da seguinte forma, também: Ver todas as possibilidades do produto de 
dois números que seja 12. 
o 1ª possibilidade: 12 e 1 ⇔ 12 . 1 = 12 
o 2ª possibilidade: 3 e 4 ⇔ 3 . 4 = 12 
o 3ª possibilidade: 2 e 6 ⇔ 2 . 6 = 12 
Pegar possibilidade em que a soma ou diferença entre dois números seja igual a soma 8, no 
caso a 3ª pois 6 + 2 = 8 
Logo: 2 8 12 ( 2)( 6)x x x x− + = − − 
 
✓ 
4 22 15x x− − 
No exemplo acima, podemos pensar de uma forma mais direta, qual seja: achar dois números 
cuja soma dê 2 (sempre o sinal contrário do que for dado) e produto dê -15 (sempre o mesmo sinal 
do que for dado). Você já deve ter achado, certo?? Rsrsrs.. Isso mesmo, 5 e -3. 
Logo, 4 2 2 22 15 ( 3)( 5)x x x x− − = + − . 
Observe bem que sempre que for fazer esta técnica, os termos encontrado entram 
TAMBÉM COM SINAL CONTRÁRIO, OS DOIS TERMOS, OK???? 
6º Caso: A soma de dois cubos 3 3( )a b+ 
Perceba que, se a expressão dada é composta por uma soma da dois cubos perfeitos, a sua 
forma fatorada será um produto de outros dois fatores, sendo o primeiro formado pela soma da raiz 
cúbica desses termos iniciais, multiplicado pelo segundo membro que possuirá sinais intercalados. 
Veja os exemplos abaixo. 
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Exemplos: 
a) 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − + 
3 33 3,a a b b= = 
b) 3 28 125 (2 5)(4 10 25)x x x x+ = + − + 
3 38 2x x= e 3 125 5= 
 
7º Caso: A diferença de dois cubos 3 3( )a b− 
Fique atento quando se tratar de uma diferença de cubos perfeitos. Neste caso, a sua forma 
fatorada terá, em seu primeiro membro, uma diferença das raízes cúbicas dos termos iniciais, 
multiplicada pelo segundo membro que possuirá somente termos positivos. 
Exemplos: 
a) 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + + 
b) 6 3 2 4 2 264 8 (4 2 )(16 8 4 )k x k x k k x x− = − + + 
3 6 264 4k k= e 3 38 2x x= 
 
Vamos praticar mais...que tal?? Agora, sobre o tema FATORAÇÃO. 
 
 
(Exercício Modelo) 
20. Sendo x e y números naturais, com x > y, a expressão 2 22 2x x y+ − equivale a: 
a) x y+ 
b) x y y+ + 
c) x x y+ − 
d) x y x y+ + − 
e) 2 2x y x y+ + − 
Comentário: 
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O radical interno possui uma diferença de quadrados que pode ser aberta como um produto 
da soma pela diferença. 
2 22 2. 2 2. ( )( )x x y x x y x y+ −  + + − 
Vamos utilizar a técnica da troca de variável, ou seja, reescrever a expressão de uma forma 
mais simples. 
( )a x y= + e ( )b x y= − 
É notório que: 
( ) ( ) 2
.b (x y).(x y)
a b x y x y x
a
+ = + + − =
= + −
 
Temos então: 
2. . 2a b a b a ab b+ +  + +  
2( )a b a b x y x y +  +  + + − 
 
Gabarito: D 
(Exercício Modelo) 
21. O número 7 4 3 7 4 3+ + − é: 
a) irracional 
b) inteiro 
c) uma potência de 7 
d) imaginário 
e) racional não inteiro 
 
Comentário: 
Dica para radical duplo: 
2( ) 2. ( )a b ab a b a b+ + = + = + 
ou 
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2( ) 2. ( )a b ab a b a b+ − = − = − 
Assim, em regra, toda expressão que aparecer na sua prova na forma acima, poderá ser 
reescrita como uma soma de radicais acima. 
Logo: 
27 4 3 7 2. 4.3 (4 3) 2. 4.3 ( 4 3)+ = + = + + = +  
4 3 2 3 + = + 
27 4 3 7 2. 4.3 (4 3) 2. 4.3 ( 4 3)− = − = + − = −  
4 3 2 3 − = − 
Desta forma: 
7 4 3 7 4 3+ + −  (2 3) (2 3) 4+ = − = 
 
Gabarito: B 
 
 
(Exercício Modelo) 
22. Sendo a e b números naturais com a> b então 2a b ab+ − é: 
a) 2a b+ 
b) a b+ 
c) a b− 
d) 2a b− 
e) 2b a− 
Comentário:Olhe abaixo uma simples aplicação do tópico Radical Duplo: 
22. ( )a b ab a b a b+ − = − = − 
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Essa é a prova real: perceba que, se eu elevar ao quadrado e extrair a raiz quadrada, não 
altera o resultado. Assim: 
2( ) 2. 2.a b a ab b a b ab− = − + = + − 
 
Gabarito: C 
12 - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
1. INTRODUÇÃO 
Está aí um tema muito importante e também muito temido pelos concurseiros. Já adianto 
que na sua prova não se faz tão presente, mas serve como meio de resolução de possíveis outras 
questões. 
Na matemática, adotamos a ideia de não deixar uma fração com a representação no 
denominador sendo feita por um número IRRACINAL, ou melhor, UM NÚMERO QUE POSSUA UMA 
RAIZ INEXATA. Para isso, faz-se necessário um a realização de uma operação matemática 
RACIONALIZAÇÃO. 
2. CONCEITO 
Racionalizar os denominadores de uma fração significa operar para que não fiquem números 
irracionais no denominador. Serve justamente para eliminar do denominador o radical. 
Para que possamos realizar esta eliminação, basicamente, é necessário a multiplicação de um 
FATOR RACIONALIZANTE tanto com o numerador quanto pelo denominador. Este fator 
racionalizante, por vezes, é o próprio número que compõe o denominador, ou, em alguns casos, 
pelo simétrico dele. 
 Examinaremos alguns casos: 
3. CASOS ESPECIAIS DE RACIONALIZAÇÃO 
1º caso: O denominador é um radical simples quadrático: 
Seja: 
,
a
b
onde 0b  
Para realizar a racionalização, basta Multiplicar os termos por b , fator racionalizante do 
denominador, e após, realizar as devidas simplificações. Veja como se segue: 
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.
a a b a b
bb b b
= = 
Exemplos: 
✓ 
2 2 6 2 6 6
6 36 6. 6
= = =
 
✓ 
3 3. 3 3 3 3
7.3 77 3 7 3. 3
= = =
 
 
2º Caso: O denominador é uma raiz simples de índice qualquer diferente de 2: 
Seja: 
3
a
b
 
Neste caso o fator racionalizante será 
3 2b . De fato: 
3 3 32 2 2
3 3 32 33
.
.
a a b a b a b
bb b b b
= = = 
Exemplo: 
34
3
3
 
O fator racionalizante é 
4 3 . 
Logo: 
4 4 4
4
3 3 44 4 44
3 3 3 3 3 3 3
3
33 3 . 3 3
= = = = 
 
3º Caso: O denominador é a soma ou a diferença de dois fatores quadráticos: 
Sejam: 
a
b c−
 e 
a
b c+
 
 
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No primeiro exemplo, faremos um produto do simétrico (positivo) do denominador com cada 
componente da fração original. 
( )
( )( )
a a b c a b c
b cb c b c b c
+ +
= =
−− − +
 
E, no segundo, faremos um produto do simétrico (negativo) do denominador com cada 
componente da fração original. 
( )
( )( )
a a b c a b c
b cb c b c b c
− −
= =
−+ + −
 
Exemplo: 
3 3.( 5 2) 3 5 2 3( 5 2)
5 2
5 2 35 2 ( 5 2)( 5 2)
+ + +
= = = = +
−− − +
 
 
E aí, meu guerreiro!! Muita coisa, não? Fique tranquilo caso, num primeiro momento, não 
consiga assimilar tudo. Isso se fará com o tempo, ok? A partir de agora, sua missão será exercitar 
muito..muito. 
Na sua prova, em especial, este tema é cobrado de uma forma bem simples, assim, caso 
consiga fazer todos exercícios de fixação, modelo e de provas anteriores, estará , certamente, bem 
preparado. A teoria ensinada neste material foi um pouco mais além do nível de cobrança. Seja 
confiante! Você vencerá!! 
Vamos praticar mais um pouco, que tal?? 
 
 
(Exercícios de fixação) 
23. Racionalize os denominadores 
a) 
3
2
 
Comentário: 
3 3 2 3 2
.
22 2 2
= = 
 
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b) 
5
5
 
Comentário: 
5 5 5 5 5
. 5
55 5 5
= = = 
 
c) 
3
15
 
Comentário: 
3 3 15 3 15 15
.
15 515 15 15
= = = 
 
d) 
1
5
 
Comentário: 
1 1 5 5
.
55 5 5
= = 
 
e) 
2
x
x
 
Comentário: 
.
2 22 2
x x x x x x
xx x x
= = = 
 
f) 
2a b
ab
 
Comentário: 
2 2 2
.
a a b ab a b ab
a ab
abab ab ab
=  = 
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(Exercícios de fixação) 
24. Racionalize os denominadores: 
a) 
3
2
2
 
Comentário: 
3 23
3
3 3 3
2 2 2 2. 2
. 4
22 2 2
= = = 
 
b) 
3 2
3
b
 
Comentário: 
3 2 3
3 3 32 2 2
3 3 3
.
b b
bb b b
= = 
 
c) 
3
5
5
 
Comentário: 
3 3
3
3 3 3
5 5 5 5. 25
. 25
55 5 5
= = = 
 
d) 
4
a
a
 
Comentário: 
344
34
4 4 4
.
.
a a a a a
a
aa a a
= = = 
 
(Exercícios de fixação) 
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25. Efetue as adições: 
a) 
3 2
3 1 3 1
+
− +
 
Comentário: 
Vamos chamar: 
3
3 1
A =
−
 e 
2
3 1
B =
+
 
Assim: 
2 2
3 ( 3 1) 3.( 3 1) 3( 3 1)
.
23 1 ( 3 1) ( 3) 1
A A
+ + +
=  = 
− + −
 
2 2
2 ( 3 1) 2.( 3 1) 2.( 3 1)
.
23 1 ( 3 1) ( 3) 1
B B
− − −
=  = =
+ − −
 
Logo: 
3( 3 1) 2( 3 1) 3 3 3 2 3 2
2 2 2
A B
+ − + + −
+ = + = 
5 3 1
2
A B
+
+ = 
 
b) 
2 3
5 3 5 3
+
− +
 
Comentário: 
2
5 3
A =
−
 e 
3
5 3
B =
+
 
Assim: 
2 2
2 5 3 2.( 5 3) 2( 5 3)
.
25 3 5 3 ( 5) ( 3)
A
+ − +
= = =
− + −
 
2 2
3 5 3 3.( 5 3) 3.( 5 3)
.
25 3 5 3 ( 5) ( 3)
B
− − −
= = =
+ − −
 
Logo: 
2 5 2 3 3 5 3 3
2 2
A B
+ −
+ = + 
5 5 3
2
A B
−
+ = 
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c) 
a b a b
a b a b
+ −
+
− +
 
Comentário: 
a b a b a b
A
a b a ba b
+ − +
+  =
+ −−
 e 
a b
B
a b
−
=
+
 
Assim: 
2
2 2
( ) ( )
.
( ) ( )
a b a b a b a b
A
a ba b a b a b
+ + + +
= = =
−− + −
 
2
2 2
( ) ( )
.
( ) ( )
a b a b a b a b
B
a ba b a b a b
− − − −
= = =
−+ − −
 
Logo: 
2 2( ) ( ) 2 2a b a b a ab b a ab b
A B
a b a b
+ + − + + + − +
+ = = 
− −
 
2(a b
a b
+

−
 
 
 
Vamos nos ater agora ao treinamento com questões das provas anteriores, ok? 
Espero que se saia bem...que consiga de fato por todo o conhecimento em prática!! 
 
 
13 - LISTA DE QUESTÕES 
 
 
 
01. O número 250 000 000 é o mesmo que: 
a) 62,5.10 
b) 72,5.10 
c) 82,5.10 
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d) 92,5.10 
 
02. Dados os números 159,84.10m = e 161, 23.10n = , pode-se afirmar que: 
a) m n 
b) m n= 
c) 161,07.10m n+ = 
d) 31. 1, 21.10m n = 
 
03. Se 3 22 , , 2 ,aa b a c= = = o valor de 2abc é: 
a) 152 
b) 188 
c) 182 
d) 154 
e) 122 
 
 
04. O quociente de 
7 5 6 5
821
3 . 3
3
 é igual a: 
a) 3 3 
b) 3 6 
c) 33 3 
d) 63 3 
e) 35 3 
 
05. O valor da expressão 
1999
1 5
5 5
 
−  
 
 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 
1999
5
5
 
  
 
 
d) 
5
5
− 
e) 10 
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06. Calculando-se o valor da expressão a a a a obtemos: 
a) 16a 
b) 16a− 
c) 15a− 
d) 
16
15a
−
 
e) 
15
16a 
 
Questões 7 a 14 – problemas de desenvolver no decorrer da aula. 
 
15. A expressão 3 32 23 3 3( )( )a b a ab b− + + equivale a: 
a) 3 3a b− 
b) a b− 
c) 3 3a b+ 
d) 3( )a b+ 
 
16. (EsSA) E expressão 2 2( ) .( )a b a b+ − é equivalente a: 
a) 4 4a b− 
b) 4 4a b+ 
c) 4 2 2 42a a b b+ + 
d) 4 2 2 42a a b b− + 
e) 4 2 2 42a a b b− − 
 
17. (CEFET) O resultado de 
2( 2)x− − 
a) 2 2 2x x− + 
b) 2 2 2 2x x+ + 
c) ( 2)( 2)x x− + 
d) 3 2x − 
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e) 3 2x + 
 
18. (EsSA) Sendo 
89(2 3)x = + e 89(2 3)y = − , então o procedimento .x y é igual a: 
a) 89(4 2 3)− 
b) 902 
c) 1 
d) 1982 
e) 89(4 2 3)+ 
 
19. (EsSA) A forma simplificada da expressão 2( ) ( )( )x y x y x y− − + − é: 
a) 2xy− 
b) 2xy 
c) 22 2x xy− 
d) 2 2y xy− 
e) 2 ( )y y x− 
 
20. Sendo x e y números naturais, com x > y, a expressão 2 22 2x x y+ − equivale a: 
a) x y+ 
b) x y y+ + 
c) x x y+ − 
d) x y x y+ + − 
e) 2 2x y x y+ + − 
 
21. O número 7 4 3 7 4 3+ + − é: 
a) irracional 
b) inteiro 
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c) uma potência de 7 
d) imaginário 
e) racional não inteiro 
 
22. Sendo a e b números naturais com a> b então 2a b ab+ − é: 
a) 2a b+ 
b) a b+ 
c) a b− 
d) 2a b− 
e) 2b a− 
 
Questões 7 a 14 – problemas de desenvolver no decorrer da aula. 
 
(EAM-2004) 
26. O valor simplificado da expressão 
2
4
1
1,363636.2 (0,5)
5
( 2)−
−
 é: 
a) 
9
5
 
b) 
31
5
 
c) 7 
d) 9 
e) 11 
 
(EAM-2005) 
27. Fatorando-se a expressão 2 2ac bc ad bd+ − − ,obtém-se 
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a) ( 2 )( )a b c d+ − 
b) ( 2 )( )a b c d− − 
c) ( 2 )( )a b c d− + 
d) 2( ) ( )a c a d+ − 
e) ( )( 2 )a c a b− + 
 
(EAM-2006) 
28. Sendo 6 1a = + e 
1
3
2
b = + , qual o valor de 2 2a b+ 
a) 
21
3 6
2
+ 
b) 
21 3 6
2
+
 
c) 
11
3 6
2
+ 
d) 11 3 6+ 
e) 
11
2
 
 
(EAM-2007) 
29. Se 3 3A= − e 1 3B = − + , o valor de 
A
B
 é igual a: 
a) 3− 
b) 3 
c) 
3
2
 
d) 
3 2 3
2
+
 
e) 
3 3
2
+
 
 
(EAM-2007) 
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30. Se o valor de 2 3 2[( 2 4).( 2) ( 8)]A x x x x x= − + + − + + é igual a: 
a) 2x− 
b) 2x 
c) 3 22x x− 
d) 2 8x x− + 
e) 16 
 
(EAM-2008) 
31. Se 2 3A= + e 
2
3 1
B =
−
, o valor de A B− é igual a: 
a) 3− 
b) 1− 
c) 1 
d) 3 
e) 3 
 
(EAM-2008) 
32. O valor da expressão 
2
1
0,555... 0,25
2
.10
3
−
−
 
 
 
 é: 
a) 0,75 
b) 0,85 
c) 0,95 
d) 1,15 
e) 1,25 
 
 
(EAM-2008) 
33. Se 
1
2
a
b
= , o valor de 
2
a b
a b
+ 
 
− 
 é: 
a) 4 
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b) 9 
c) 16 
d) 25 
e) 36 
 
(EAM-2008) 
34. Reduzindo-se os termos semelhantes da expressão 
2( ) ( )( ) ( ) ( )b a b b a b a a b a b a− + + − − − + − , obtém-se 
a) 2( )a b− 
b) 2( )a b+ 
c) 2 2b a− 
d) 2 2a b− 
e) 2 2a b+ 
 
(EAM-2009) 
35. Qual das expressões algébricas abaixo NÃO está corretamente fatorada? 
a) 2 22 ( )( )a ab b a b a b− + = − − 
b) 2 22 ( )( )a ab b a b a b+ + = + + 
c) 2 2 ( )( )a b a b a b+ = + + 
d) 2 2 ( )( )a b a b a b− = + − 
e) 4 4 2 2( )( )( )a b a b a b a b− = + + − 
 
 
(EAM-2009) 
36. O valor de 3
( ). .a b a b
a b
+
−
 para a = 12 e b = 6 é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
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e) 9 
 
(EAM-2010) 
37. Que número deve ser adicionado a 22009 para obter 22010 
a) 8019 
b) 6010 
c) 4019 
d) 3019 
e) 2010 
 
(EAM-2010) 
38. O valor da expressão 
3 2 4 4
( 1)( 2)
x x x
x x
+ − −
+ −
 quando 987x = é: 
a) 987 
b) 988 
c) 989 
d) 990 
e) 991 
 
 
 
(EAM-2010) 
39. O resultado da expressão 96 7 81+ + é: 
a) 18 
b) 16 
c) 14 
d) 12 
e) 10 
 
(EAM-2011) 
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40. O valor da expressão 2 2(0,11) 2.(0,11).(0,89) (0,89)+ + é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
(EAM-2011) 
41. Observe a resolução de um aluno para a expressão 
2
2 21
( 2) 2
2
−
 
+ − − 
 
 
 
 Linha 1 
2
2 21
( 2) 2
2
−
 
+ − − 
 
 
 
 Linha 3 22− 
 Linha 4 (2.2)− 
 Linha 5 4− 
Constatou-se, acertadamente, que o aluno errou pela primeira vez ao escrever a LINHA: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
(EAM-2011) 
42. Na equação 
2
2
( )
3,
a b a b
a ab a
+ − −
=
+ −
 sendo a e b números reais não nulos. O valor de 
a
b
 é: 
a) 0,8 
b) 0,7 
c) 0,5 
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d) 0,4 
e) 0,3 
 
(EAM-2012) 
43. Simplificando a expressão ( 2 3 ).( 2 3 ),E = + − que valor obtém-se para E? 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
(EAM-2012) 
44. Qual é o valor de 32 8y = − ? 
a) 1 
b) 2 
c) 6 2 
d) 2 6 
e) 2 2 
 
(EAM-2012) 
45. O valor da expressão 3 313 25 8 64+ + − é: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
e) 18 
 
(EAM-2013) 
46. Quanto vale a metade de 20142 ? 
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a) 22 
b) 72 
c) 20172 
d) 20132 
e) 20152 
 
(EAM-2014) 
47. O produto ( 3 2).( 3 2)− + é igual a: 
a) 6 
b) 1 
c) 0 
d) -1 
e) -6 
 
(EAM-2015) 
48. 75 é equivalente a: 
a) 37,5 
b) 75 
c) 5 5 
d) 3 5 
e) 5 3 
 
(EAM-2017) 
49. Sendo 
2
x a
x
− = , então 2
2
4
x
x
+ é igual a: 
 
a) 2 4a + 
b) 2 4a − 
c) 2a 
d) 4a+ 
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e) 4a− 
 
(EAM-2017) 
50. Sabendo que a fração 
4
y
 é proporcional a fração 
3
6 2 3−
 é correto afirmar que y é igual 
a: 
a) 1 2 3− 
b) 6 3 3+ 
c) 2 3− 
d) 4 3 3+ 
e) 3 3+ 
 
 
 
Bom, é isso, meu aluno!!! 
Espero que tenha gostado!! 
Toda esta aula foi idealizada com muito carinho, para que, de fato, possa ter o melhor para 
sua preparação! 
Vamos agora às resoluções das questões!! 
 
14 - LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS 
 
(EAM-2004) 
26. O valor simplificado da expressão 
2
4
1
1,363636.2 (0,5)
5
( 2)−
−
 é: 
a) 
9
5
 
b) 
31
5
 
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c) 7 
d) 9 
e) 11 
 
Comentário: 
Vamos analisar passo a passo, imaginando o seguinte: 
2
4
1,3636...
1
2
5
(0,5)
( 2)
A
B
C
D −
=
=
=
=
 .A B C
D
−
 
 
 
136 1 135 15
1,3636...
99 99 11
A
−
=  = = 
1 2.5 1 11
2
5 5 5
B
+
=   
2 2
2 5 1 1
(0,5)
10 2 4
C
   
=   =   
   
 
1
4 4 22
2
1 1
( 2) (2 ) 2
2 4
D − − −=  = = = 
Fazendo a troca de variável, ou seja, substituindo os valores encontrados nas suas incógnitas, 
temos: 
15 11 1 1 3.4.1
. 3
11 411 5 4 4 4 . 11
1 1 1 4 1
4 4 4
− −
  = = 
 
Gabarito: E 
(EAM-2005) 
27. Fatorando-se a expressão 2 2ac bc ad bd+ − − ,obtém-se 
a) ( 2 )( )a b c d+ − 
b) ( 2 )( )a b c d− − 
c) ( 2 )( )a b c d− + 
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d) 2( ) ( )a c a d+ − 
e) ( )( 2 )a c a b− + 
 
Comentário: 
Questão de pura aplicação do processo de agrupamento. Vamos a sua solução! 
2 2 ( 2 ) ) 2 )ac bc ad bd ac bc ad bd+ − −  + − −  
.( 2 ) ( 2 ) ) 2 )( )c a b d a b a b c d + − +  + − 
 
Gabarito: A 
(EAM-2006) 
28. Sendo 6 1a = + e 
1
3
2
b = + , qual o valor de 2 2a b+ 
a) 
21
3 6
2
+ 
b) 
21 3 6
2
+
 
c) 
11
3 6
2
+ 
d)11 3 6+ 
e) 
11
2
 
 
Comentário: 
 
6 1a = + e 
1
3
2
b = + 
Sabemos que o b pode ser escrito numa forma mais conveniente, qual seja, racionalizando o 
denominador irracional: 
1 1 2 2
3 . 3 3
22 2 2
+  +  + 
Fazendo a troca de varável e utilizado o produto notável quadrado da soma de dois termos, 
teremos: 
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2
2 2 2 2
( 6 1) 3
2
a b
 
+  + + +  
 
 
2 2
(6 2 6 1) 2. . 3 3
4 2
 
 + + + + +   
 
 
1 1
7 2 6 6 3 10 3 6
2 2
 + + + +  + +  
21
3 6
2
 + 
Gabarito: A 
(EAM-2007) 
29. Se 3 3A= − e 1 3B = − + , o valor de 
A
B
 é igual a: 
a) 3− 
b) 3 
c) 
3
2
 
d) 
3 2 3
2
+
 
e) 
3 3
2
+
 
 
Comentário: 
3 3A= − e 3 1B = − 
2 2
3 3 3 3 ( 3 1) (3 3)( 3 1)
.
3 1 3 1 ( 3 1) ( 3) 1
A
B
− − + − +
  
− − + −
 
(3 3)( 3 1) 3 3 3 ( 3)( 3) 3 2 3 3
2 2 2
− + + − − +
  
 
Gabarito: D 
 
(EAM-2007) 
30. Se o valor de 2 3 2[( 2 4).( 2) ( 8)]A x x x x x= − + + − + + é igual a: 
Professor Marçal 
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a) 2x− 
b) 2x 
c) 3 22x x− 
d) 2 8x x− + 
e) 16 
 
Comentário: 
Olhando para o termo abaixo, podemos perceber que seu primeiro elemento é um produto 
notável que corresponde à soma de dois cubos. Assim: 
2 3 2[( 2 4)( 2) ( 8)]A x x x x x= − + + − + + 
Sabemos que: 
2 3( 2)( 2 4) 8x x x x+ − + = + 
Logo: 
3 3 2 2[ 8 8]A x x x x= + − − − = − 
 
Gabarito: A 
(EAM-2008) 
31. Se 2 3A= + e 
2
3 1
B =
−
, o valor de A B− é igual a: 
a) 3− 
b) 1− 
c) 1 
d) 3 
e) 3 
 
Comentário: 
2 3A= + e 
2
3 1
B =
−
 
Sabemos que: 
2 2
2 3 1 2( 3 1) 2( 3 1)
.
23 1 3 1 ( 3) 1
B
+ + +
=  = 
− + −
 
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3 1B = + 
Assim: 
(2 3) ( 3 1) 1A B− = + − + = 
Gabarito: C 
(EAM-2008) 
32. O valor da expressão 
2
1
0,555... 0,25
2
.10
3
−
−
 
 
 
 é: 
a) 0,75 
b) 0,85 
c) 0,95 
d) 1,15 
e) 1,25 
 
Comentário: 
Imaginemos que: 
.
A B
C D
− 
Assim: 
2
1
0,55...
0,25
2
3
10
A
B
C
D −
=
=
 
=  
 
=
 
 
Sabemos que: 
2
1
5
0,55...
9
25 25 5 1
0, 25
100 10 225
2 4
3 9
1
10
10
A
B
C
D −
= =
= = = = =
 
= = 
 
= =
 
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Logo: 
5 1 5.2 1.9 1
1 45 59 2 18 18 . 1,25
4 1 4 2 8 2 4
.
9 10 90 45
−
−
=  = = = 
 
Gabarito: E 
(EAM-2008) 
33. Se 
1
2
a
b
= , o valor de 
2
a b
a b
+ 
 
− 
 é: 
a) 4 
b) 9 
c) 16 
d) 25 
e) 36 
 
Comentário: 
Se 
1
2
a
b
= , então 2a b= . Podemos assim, fazer uma substituição de variáveis. 
 
Assim: 
2 2 2
22 3
( 3) 9
2
a b a a a
a b a a a
+ +     
= = = − =     
− − −     
 
 
Gabarito: B 
(EAM-2008) 
34. Reduzindo-se os termos semelhantes da expressão 
2( ) ( )( ) ( ) ( )b a b b a b a a b a b a− + + − − − + − , obtém-se 
a) 2( )a b− 
b) 2( )a b+ 
c) 2 2b a− 
d) 2 2a b− 
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e) 2 2a b+ 
Comentário: 
Essa questão é pura aplicação do processo de agrupamento. Veja, abaixo, que postei duas 
possíveis soluções. 
2.( ) [( )( ) ( )] ( )b a b b a b a a b a b a− + + − − − + −  
2.( ) [( )( )] ( )b a b b a b a a b a − + − + − + −  
2[ .( ) ( )] ( )b a b b b a b a − + − + −  
2( ) ( )b a b b a b a − + − + −  
2 2 20 ( ) ( ) ( )b a b a a b + −  − = − 
 
2ª Solução: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
.( ) ( )( ) .( ) ( )
( ) ( ) ( 2 )
2
( )
b a b b a b a a b a b a
ab b b a ab a b ab a
ab ab b b a a a ab b
a b
− + + − − − + − 
 − + − − + + − + 
 − + + − + + − + 
 −
 
 
Gabarito: A 
(EAM-2009) 
35. Qual das expressões algébricas abaixo NÃO está corretamente fatorada? 
a) 2 22 ( )( )a ab b a b a b− + = − − 
b) 2 22 ( )( )a ab b a b a b+ + = + + 
c) 2 2 ( )( )a b a b a b+ = + + 
d) 2 2 ( )( )a b a b a b− = + − 
e) 4 4 2 2( )( )( )a b a b a b a b− = + + − 
 
Comentário: 
Questão interessante, onde a banca pede para analisar qual desenvolvimento está 
incorreto. Basta lembrar dos tópicos ensinados na teoria. Vamos a eles. 
a) 2 2 22 ( ) ( )( )a ab b a b a b a b− +  −  − − 
b) 2 2 22 ( )a ab b a b+ +  + 
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c) 2 2 2( ) 2a b a b ab+  + − → Não está correta 
d) 2 2 ( )( )a b a b a b−  − + 
e) 4 4 2 2 2 2 2 2. ( )( ) ( )( )( )a b a b a b a b a b a b − +  + + − 
 
 
Gabarito: C 
(EAM-2009) 
36. O valor de 3
( ). .a b a b
a b
+
−
 para a = 12 e b = 6 é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Comentário: 
Vamos apenas substituir os valores nos lugares de suas respectivas variáveis. 
3 3 3
( ). (12 6).12.6 18.12.6
12 6 6
a b ab
a b
+ +
  
− −
 
 
3 3 33 318.12 6.3.4.3 2 .3 2.3 6 = = = = 
 
Gabarito: B 
(EAM-2010) 
37. Que número deve ser adicionado a 22009 para obter 22010 
a) 8019 
b) 6010 
c) 4019 
d) 3019 
e) 2010 
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Comentário: 
Como não sabemos qual é este número, chamaremos de x. Assim, caímos numa diferença 
de quadrados. 
2 22009 2010x+ = 
2 22010 2009 (2010 2009)(2010 2009)x = −  − +  
1.4019 4019x x =  = 
 
Gabarito: C 
(EAM-2010) 
38. O valor da expressão 
3 2 4 4
( 1)( 2)
x x x
x x
+ − −
+ −
 quando 987x = é: 
a) 987 
b) 988 
c) 989 
d) 990 
e) 991 
 
Comentário: 
Este é o tipo de questão que não se pode começar substituindo direto. Precisa, antes de 
tudo, realizar algumas simplificações, para que a cona fique mais fácil. 
3 2 2( ) (4 4) ( 1) 4( 1)
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x x
x x x x
+ − + + − +
= 
+ − + −
 
 
2( 1)( 4) ( 1)( 2)( 2)
2
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x
x
x x x x
+ − + − +
  = + 
+ − + −
987 2 989+ = 
 
 
Gabarito: C 
(EAM-2011) 
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39. O resultado da expressão 96 7 81+ + é: 
a) 18 
b) 16 
c) 14 
d) 12 
e) 10 
 
Comentário: 
96 7 81+ +  Sabemos que 81 9,= logo: 
96 7 9 96 16+ +  +  e 16 4= Assim: 
 
96 4 100 10 + = = 
 
Gabarito: E 
(EAM-2011) 
40. O valor da expressão 2 2(0,11) 2.(0,11).(0,89) (0,89)+ + é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
Comentário: 
Vamos utilizar a técnica da troca de variável, ok? 
0,11
0,89
a
b
=
=
 
Assim: 
2 2 2 2 22 . ( ) (0,11 0,89) 1 1a ab b a b+ +  + = + = = 
 
Gabarito: B 
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(EAM-2011) 
41. Observe a resolução de um aluno para a expressão 
2
2 21
( 2) 2
2
−
 
+ − − 
 
 
 
 Linha 1 
2
2 21
( 2) 2
2
−
 
+ − − 
 
 
 
 Linha 3 22− 
 Linha 4 (2.2)− 
 Linha 5 4− 
 
Constatou-se, acertadamente, que o aluno errou pela primeira vez ao escrever a LINHA: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Comentário: 
Na linha 1 o aluno apenas repetiu a expressão. Logo, nenhum erro 
Na linha 2, houve o primeiro erro, pois sabemos que: 
2
2
2
1 1
2
2 1
2
−
 
= = 
   
 
 
 
 
2 2( 2) 2− = 
Logo: 22 não é simétrico de 2( 2)− , não podendo assim, simplificar. 
 
Gabarito: B 
(EAM-2011) 
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42. Na equação 
2
2
( )
3,
a b a b
a ab a
+ − −
=
+ −
 sendo a e b números reais não nulos. O valor de 
a
b
 é: 
a) 0,8 
b) 0,7 
c) 0,5 
d) 0,4 
e) 0,3 
 
Comentário: 
2
2
( )
3,
a b a b
a ab a
+ − −
=
+ −
 
Olhando para o numerador da expressão acima, podemos escrever de uma forma mais 
conveniente, qual seja: 
2( ) ( )
3
( 1)
a b a b
a a b
+ − +
 = 
+ −
 
Assim, podemos realizar uma fatoração da forma: 
( )( 1)
3
.( 1)
a b a b
a a b
+ + −
 = 
+ −
 
3 3
a b
a b a
a
+
 =  + =  
1
3 2 0,5
2
a
b a a a b
b
= −  =  = = 
 
Gabarito: C 
(EAM-2011) 
43. Simplificando a expressão ( 2 3 ).( 2 3 ),E = + − que valor obtém-se para E? 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
Comentário 
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2 3. 2. 3 (2 3)(2 3)+  + −  
2 22 ( 3) 4 3 1 1 −  − = = 
 
Gabarito: D 
(EAM-2012) 
44. Qual é o valor de 32 8y = − ? 
a) 1 
b) 2 
c) 6 2 
d) 2 6 
e) 2 2 
Comentário: 
Questão de simples retirada de fatores primos de dentro do radical. 
5 332 8 2 2y = −  − 
22 . 2 2 2 4 2 2 2 2 2−  − = 
 
Gabarito: E 
(EAM-2012) 
45. O valor da expressão 3 313 25 8 64+ + − é: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
e) 18 
 
Comentário: 
3 313 25 8 64+ + − Sabemos que 3 65 4,= logo: 
3313 25 8 4 13 25 4+ + −  + +  
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3 313 25 2 13 27 13 3 + + = + = +  
16 4 = 
 
Gabarito: A 
(EAM-2013) 
46. Quanto vale a metade de 20142 ? 
a) 22 
b) 72 
c) 20172 
d) 20132 
e) 20152 
 
Comentário: 
Calcular a metade é o mesmo que dividir por dois o elemento dado! Assim, temos: 
2014
2014 1 2014 1 20132
2 .2 2 2
2
− −= = = 
Gabarito: D 
(EAM-2014) 
47. O produto ( 3 2).( 3 2)− + é igual a: 
a) 6 
b) 1 
c) 0 
d) -1 
e) -6 
 
Comentário: 
2 2( 3 2)( 3 2) ( 3) ( 2) 3 2 1− + = − = − = 
 
Gabarito: B 
(EAM-2015) 
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48. 75 é equivalente a: 
a) 37,5 
b) 75 
c) 5 5 
d) 3 5 
e) 5 3 
 
Comentário: 
75 25.3 25. 3 5 3= = = 
Gabarito: E 
(EAM-2017) 
49. Sendo 
2
x a
x
− = , então 2
2
4
x
x
+ é igual a: 
 
a) 2 4a + 
b) 2 4a − 
c) 2a 
d) 4a+ 
e) 4a− 
Comentário: 
Vamos pegar o primeiro termo dado e elevar ao quadrado. 
2
2 2 2
2
2 2 2 4
2 .x a x a x x a
x x x x
 
− =  − =  − + =  
 
 
A partir daí, basta substituir os termos semelhantes. 
2 2 2 2
2 2
4 4
4 4x a x a
x x
 + − =  + = + 
Gabarito: A 
(EAM-2017) 
50. Sabendo que a fração 
4
y
 é proporcional a fração 
3
6 2 3−
 é correto afirmar que y é igual 
a: 
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a) 1 2 3− 
b) 6 3 3+ 
c) 2 3− 
d) 4 3 3+ 
e) 3 3+ 
Comentário: 
2 2
3 3.4 6
4 6 2 3 2.(3 3) (3 3)
6 (3 3) 6.(3 3)
.
(3 3) (3 3) [(3) ( 3) ]
6.(3 3) 6.(3 3)
(3 3)
9 3 6
y
y= → = = →
− − −
+ +
= = →
− + −
+ +
= = = +
−
 
Gabarito: E 
 
 
UFAAAAAAAAAAAAAAAA.....Chegamos ao fim!!! 
 
Esta aula foi montada para fixar com questões mais simples!! 
 
Para que esta aula não fique mais extanse, em um pdf extra, trarei questões do ENEM e de 
vestibulares semelhantes!!! Vamos que vamos!! 
 
Qualquer dúvida, crítica ou sugestão, entre em contato comigo pelo fórum de dúvidas, na 
sua área de aluno, ou, se preferir: 
 
Fale comigo! 
 
@profismael_santos Ismael Santos @IsmaelSantos