Dinâmica dos Fluidos Computacional

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PME 2556 – Dinâmica dos 
Fluidos Computacional
Aula 13 – Escoamento 
Compressível
Para um problema unidimensional, considerando 
escoamento positivo na direção x:
0. =+∀
∂
∂

∀
dAnud
t
SCC
rr
ρ
ρ
0
)()(
=∆−∆+∆∆
∆
−∆+
yuyuyx
t
ttt
wwee
PP ρρ
ρρ
A equação da 
continuidade:
Resulta:
PPP tt ρρρ ′+=∆+ *
)(
( )( )
{
0
******
≅
′′+′+′+=′+′+= eeeeeeeeeeeeee uuuuuuu ρρρρρρρ
( )( )
321
0
******
≅
′′+′+′+=′+′+= wwwwwwwwwwwwww uuuuuuu ρρρρρρρ
Podemos escrever, para uma iteração do algoritmo 
SIMPLE:
0
)()(
****
*
****
*
=∆′−∆′−∆′+∆′
+∆∆
∆
′
+∆−∆+∆∆
∆
−∆+
yuyuyuyu
yx
t
yuyuyx
t
ttt
wwwweeee
P
m
wwee
PP
ρρρρ
ρ
ρρ
ρρ
444444444 3444444444 21
&
Substituindo na equação da continuidade:
Substituindo na equação da continuidade:
As correções de velocidade se relacionam com as 
correções de pressão através de:
)(
'
EPee ppdu ′−′=
)(
'
PWww ppdu ′−′=
( )
( ) 0
***
**
=∆′−∆′+′−′∆
+′−′∆+∆∆
∆
′
+
yuyuppyd
ppydyx
t
m
wweeWPww
EPee
P
ρρρ
ρ
ρ
&
As correções de densidade se relacionam com as 
correções de pressão através de uma equação de 
estado. Considerando gás ideal, e usando um 
esquema upwind:
P
P
P
TR
p′
=′ρ
P
P
Pe
TR
p′
=′=′ ρρ
W
W
Ww
TR
p′
=′=′ ρρ
A equação da continuidade se transforma 
numa equação de correção de pressão:
( ) ( ) *
**
**
m
TR
yu
p
TR
yu
pppydppyd
TRt
yx
p
W
w
w
P
e
PWPwwEPee
P
P &−=
∆
′−
∆
′+′−′∆+′−′∆+
∆
∆∆
′ ρρ
Agrupando os termos:
Temos um sistema linear:
*
*
**
*
**
mp
TR
yu
ydpydp
TR
yu
ydyd
TRt
yx
w
W
w
wwEeeP
P
e
wwee
P
&−′







 ∆
+∆+′∆=′







 ∆
+∆+∆+
∆
∆∆
ρρρρ
bpapa
vizinhos
iiPP +′=′ 
Condições de Contorno
Em escoamentos compressíveis, em saídas 
(outlets) se especifica uma pressão estática, 
mas em entradas especifica-se geralmente 
temperatura, direção do escoamento e uma 
pressão total dada por:
12
2
1
1
−







 −
+=
γ
γ
γ
γ
TR
u
ppt
υγ cc p=
Bibliografia
Ferziger, J.H., Peric, M., “Computational Methods for Fluid
Dynamics”, Springer-Verlag, 1996.
Versteeg, H,K; Malalasekera, W., “An introduction to Computational
Fluid Dynamics: The Finite Volume Method”, 2nd Edition, Pearson
Education Limited, 2007.
Maliska, C.R., “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos 
Computacional, LTC editora, 1995.
Apsley, D., CFD Lecture Notes, University of Manchester, Spring
2007.
ANSYS CFX 14 Theory Guide, 2012.