PEA - 5728_TÓPICO 1B_rev 6_2023

Prévia do material em texto

PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
INDICADORES DE DESEMPENHO NAS MÁQUINAS LINEARES
NAS MÁQUINAS CONVENCIONAIS ���� INDICADORES USUAIS DE DESEMPENHO SÃO OS CLÁSSICOS PARA OPERAÇÃO 
EM REGIME CONTÍNUO, TANTO PARA OS MODOS DE OPERAÇÃO COMO MOTOR OU COMO GERADOR:
� RENDIMENTO = kW ÚTIL FORNECIDO / kW TOTAL ABSORVIDO
� FATOR DE POTÊNCIA = kW TOTAL / kVA TOTAL, ABSORVIDO OU FORNECIDO
� DENSIDADE DE POTÊNCIA (POTÊNCIA POR UNIDADE DE MASSA OU VOLUME) - kW/kg OU kW /m³
NAS MÁQUINAS ESPECIAIS, PARTICULAMENTE NAS LINEARES ���� INDICADORES USUAIS COMO RENDIMENTO OU FATOR DE POTÊNCIA SÃO 
EM GERAL BAIXOS ���� BUSCAM-SE OUTROS PARÂMETROS OU CARACTERÍSTICAS POSSÍVEIS DE SEREM OBTIDAS:
� NECESSÁRIO OUTRO QUALIFICADOR
� NOS CONVERSORES ELETROMECÂNICOS DE ACOPLAMENTO MAGNÉTICO ���� OTIMIZAÇÃO DA QUANTIDADE DE ENERGIA CONVERTIDA
� QUANTIDADE DE ENERGIA CONVERTIDA ���� PROPORCIONAL AO FLUXO MAGNÉTICO, À CORRENTE E À VELOCIDADE
FATOR DE QUALIDADE – “G” (PROPOSTO POR E.R. LAITHWAITE)
� IDENTIFICA QUAIS GRANDEZAS OU PARÂMETROS ESTÃO MELHOR ASSOCIADOS À ENERGICA CONVERTIDA
� FLUXO MAGNÉTICO OBTIDO POR MEIO DE CORRENTE ELÉTRICA ���� MEDIDO PELO PARÂMETRO INDUTÂNCIA “L”
� CORRENTE ELÉTRICA OBTIDA POR MEIO DE UMA TENSÃO ���� MEDIDA PELO PARÂMETRO CONDUTÂNCIA “1/R”
� DADO UM DETERMINADO CONJUGADO, OU FORÇA DE PROPULSÃO, A POTÊNCIA É OBTIDA POR MEIO DA VELOCIDADE DE 
DESLOCAMENTO DA ONDA DE CAMPO MAGNÉTICO SEJA ESSA ROTATIVA OU DE TRANSLAÇÃO ���� DEPENDE DA FREQUÊNCIA DE 
ALIMENTAÇÃO DAS CORRENTES QUE FORMAM O CAMPO “ω” = 2πf
POTÊNCIA CONVERTIDA = k. [ ϕ ; I ; ω ] ���� ϕ - I ���� L ; I – V ���� 1/R ; P – F ���� ω ���� � = 	�. �. �� = 		�
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
CARACTERIZAÇÃO DO FATOR DE QUALIDADE NO MOTOR PLANO DE INDUÇÃO
MÁQUINA LINEAR COM SECUNDÁRIO EM PLACA 
CONDUTORA CONTÍNUA: 
HIPÓTESES: 
COMPRIMENTO L >> λ
LARGURA UNITÁRIA – Z = 1
DENSIDADE DE CORRENTE NO SECUNDÁRIO: j
� j = jz ( EXCLUSIVAMENTE NA DIREÇÃO z )
DENSIDADE DE FLUXO NO ENTREFERRO: Bg
���� Bg = By ( EXCLUSIVAMENTE NA DIREÇÃO y )
µfe λ : PASSO POLAR
0
xc
lg
½ λ
xd
A C D B
BM JM
b
Bg
j
x
y
z
 = ��. 
��(�� . �)
�� = ��. ��
(�� . �)
x
µfe µ0
� = 	�. �. �� = 	�. �� = 	�. ��FATOR DE QUALIDADE: ���� τe: CONSTANTE DE TEMPO ELÉTRICA DO CIRCUITO DO MOTOR
ESTIMATIVA DA CONSTANTE DE TEMPO ELÉTRICA ���� A PARTIR DA CONDIÇÃO DE REGIME PERMANENTE DE OPERAÇÃO, E ABERTURA 
DO CIRCUITO DO PRIMÁRIO, A EXTINÇÃO DO FLUXO MANTIDO NO ENTREFERRO PELAS CORRENTES QUE CIRCULAM NO SECUNDÁRIO, 
DECAI COM A CONSTANTE DE TEMPO ELÉTRICA DO SISTEMA ���� ESTABELECER A RELAÇÃO ENTRE AS CORRENTES DO SECUNDÁRIO E O 
CONSEQUENTE FLUXO NO ENTREFERRO
��.�� = � � . �
!
��.�� = ��. �� = ��
"#
. ��
� � . �
 = � ��. 
�� �
� . � . $. �� = $. ��. �� . −��
	(�� . �)
#
� &' = ��. �� . $	
� &'
#
�� = �. "#
�. �� . ��. $
LEI DE AMPÈRE:
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
FLUXO MAGNÉTICO NO ENTREFERRO CONCATENADO COM A PLACA CONDUTORA SECUNDÁRIA, NA REGIÃO COMPREENDIDA 
ENTRE OS PONTOS “C” E “D” :
( = � �.�! 		→ 		(*+ = � ��. ,. �� = � ��. ��				; 			(, = �)
��
��
��
��
(*+ = � ��. ./0 �
� . � . �� = 	 �� . ��. 
��(�� . �)
��
�� =	 �� .�� 
��(�� . ��) − 
��(�� . ��) 	
��
��
A VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO AO LONGO DO TEMPO, INDUZ NA PLACA CONDUTORA UMA FORÇA ELETROMOTRIZ QUE É 
CONSUMIDA COMO QUEDA DE TENSÃO NA RESISTÊNCIA ÔHMICA DA LÂMINA SECUNDÁRIA
QUEDA DE TENSÃO NA REGIÃO DA PLACA CONDUTORA COMPREENDIDA ENTRE OS PONTOS “C” E “D” :
12 = 	2+ − 2* = 3. 
+ − 
* = 	3. ��. 
��(�� . ��) − 
��(�� . ��) ( ρ = RESISTIVIDADE VOLUMÉTRICA DA PLACA )
�� = �
� =
( 4'
� = (
�. 4 = (
15 NA REGIÃO ENTRE OS PONTOS “C” E “D” DA PLACA ���� �� = (*+
(2+ − 2*)
�� =
�
� .�� 
��(�� . ��) − 
��(�� . ��)
3. ��. 
��(�� . ��) − 
��(�� . ��)
= 	 �
�. 3 . ��
�� → 		��= �. "#
�. �� . ��. $	 → 		 �� = �&. "#
�&. �� . $3 	= �&. "#
�&. �� . �
3 $'
DEFININDO: ρl = ρ / b ���� RESISTIVIDADE 
SUPERFICIAL OU LAMINAR DA PLACA 
� = 	�. �� = &�6. ��FATOR DE QUALIDADE:
� = &. �&. "#. 6
�. ��. 3�
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
ATRIBUTOS DO MOTOR LINEAR PLANO DE INDUÇÃO ANALISANDO O FATOR DE QUALIDADE
� = &. �&. "#. 6
�. ��. 3�
7
 = &. �. 6 � = �. "#. 7
�. ��. 3�
MÁQUINA LINEAR SERÁ TANTO MELHOR QUANTO MENOR O ENTREFERRO ���� LIMITAÇÃO IMPOSTA PELA 
ESTRUTURA MECÂNICA DE SUSTENTAÇÃO DA PARTE MÓVEL
MÁQUINA LINEAR SERÁ TANTO MELHOR QUANTO MENOR A RESISTIVIDADE DA PLACA CONDUTORA 
SECUNDÁRIA ���� EM GERAL UTILIZA-SE O ALUMÍNIO, POR QUESTÃO ECONÔMICA
MÁQUINA LINEAR SERÁ TANTO MELHOR QUANTO MAIOR O PASSO POLAR ���� MÁQUINAS LINEARES DE 
MAIORES DIMENSÕES APRESENTAM MELHOR CAPACIDADE DE CONVERTER ENEGIA OU PRODUZIR POTÊNCIA 
���� MÁQUINAS DE PEQUENO PORTE SÃO EM GERAL DE DESEMPENHO LIMITADO 
MÁQUINA LINEAR SERÁ TANTO MELHOR QUANTO MAIOR A FREQUÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO ���� ASSOCIADO 
AO PASSO POLAR, SIGNIFICA QUE SERÁ TANTO MELHOR QUANTO MAIOR FOR A SUA VELOCIDADE SÍNCRONA E 
PORTANTO A VELOCIDADE DE OPERAÇAO ���� MÁQUINAS LINEARES LENTAS APRESENTAM DEFICIÊNCIAS 
INERENTES 
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
EFEITOS DE EXTREMIDADE NAS MÁQUINAS LINEARES
EFEITOS DE EXTREMIDADE : CONJUNTO DE FENÔMENOS QUE IMPLICAM NA ALTERAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL DA 
DENSIDADE DE FLUXO NO ENTREFERRO, NA FORÇA DE PROPULSÃO E NAS PERDAS EM RELAÇÃO À MÁQUINA LINEAR DE 
COMPRIMENTO INFINITO OU DA MÁQUINA CILÍNDRICA
EFEITOS MAIS IMPORTANTES NA MÁQUINA LINEAR DE INDUÇÃO:
� 1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO
� 2 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL ESTÁTICO
� 3 - EFEITO DE EXTREMIDADE TRANSVERSAL
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM QUALITATIVA
CAMPO DE DESLOCAMENTO CRIADO PELO PRIMÁRIO COM VELOCIDADE vs EM RELAÇÃO AO MÓVEL (DA DIREITA PARA A ESQUERDA)
INTERAÇÃO DO CAMPO COM O SECUNDÁRIO IMPULSIONA O MÓVEL COM v ≈ vs (DA ESQUERDA PARA A DIREITA ���� s = 0 )
CAMPO DE DESLOCAMENTO É ESTACIONÁRIO EM RELAÇÃO À PLACA CONDUTORA 
8�4�Á�4:	(�Ó<2�)
��
8�=*=	*:>+?@:�=
v ( ≈ vs )
!2*?>+Á�4:
2	@�2�4+=+2	+2	2>@�=+=2	@�2�4+=+2	+2	!=Í+=
vs
2>�:�=�2>@:	B(
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM QUALITATIVA
C2C4 C1 C0
C3
v
PLACA CONDUTORA PRIMÁRIO MÓVEL
VISTA EM PLANTA DO MOTOR LINEAR DE INDUÇÃO:
Ci : CONTORNOS ARBITRÁRIOS TOMADOS SOBRE A
PLACA CONDUTORA ( CONSTITUEM CIRCUITOS
ELÉTRICOS FECHADOS )
CONTORNOS: C0 E C4 ���� DISTANTES DO PRIMÁRIO ���� NÃO TÊM FLUXO MAGNÉTICO CONCATENADO ���� NÃO TÊM TENSÃO
INDUZIDA NEM CORRENTE CIRCULANDO
CONTORNO: C2 ���� PARA v = vs ���� TEM FLUXO MAGNÉTICO CONCATENADO CRIADO PELO PRIMÁRIO, PORÉM O MESMO É
ESTACIONÁRIO EM RELAÇÃO À PLACA ���� NÃO TEM TENSÃO INDUZIDA NEM CORRENTE CIRCULANDO
CONTORNO: C1 ���� EXTREMIDADE DE ENTRADA ���� TEM FLUXO MAGNÉTICO CONCATENADO VARIANDO AO LONGO DO TEMPO
DEVIDO AO AVANÇO DO PRIMÁRIO SOBRE O CIRCUITO FECHADO ���� TEM TENSÃO INDUZIDA E PORTANTO
CORRENTE CIRCULANDO NA PLACA CONDUTORA
CONTORNO: C3 ���� EXTREMIDADE DE SAÍDA ���� TEM FLUXO MAGNÉTICO CONCATENADO VARIANDO AO LONGO DO TEMPO
DEVIDO À SAÍDA DO PRIMÁRIO SOBRE O CIRCUITO FECHADO ���� TEM TENSÃO INDUZIDA E PORTANTO
CORRENTE CIRCULANDO NA PLACA CONDUTORA
C1
vBg
ϕ = 0ϕ ≠ 0
e ; i
� = −�(
�C
t = t0
VARIAÇÃO DE FLUXO 
NA EXTREMIDADE DE 
ENTRADA
� = +�(
�C
VARIAÇÃO DE FLUXO 
NA EXTREMIDADE DE 
SAÍDA
C3
v
Bg
ϕ = 0 ϕ ≠ 0
e ; i
t = t0
A
A
B
B
EXTREMIDADE DE ENTRADAEXTREMIDADE DE SAÍDA
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
REAÇÃO DO SECUNDÁRIO ÀS VARIAÇÕES DE FLUXO NAS EXTREMIDADES, REGIDAS PELAS LEIS DE FARADAY E LENZ:
CONTORNO C1 : PLACA REAGE CONTRA O AUMENTO DE FLUXO ���� INDUZ CORRENTES TAIS QUE O FLUXO DE REAÇÃO SE OPÕE AO FLUXO PRINCIPAL
CONTORNO C3 : PLACA REAGE CONTRA A DIMINUIÇÃO DE FLUXO ���� INDUZ CORRENTES TAIS QUE O FLUXO DE REAÇÃO CONCORDA COM FLUXO PRINCIPAL
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM QUALITATIVA
��
v ( ≈ vs )
CORRENTES INDUZIDASNA PLACA SECUNDÁRIA
2	@�2�4+=+2	+2	2>@�=+=2	@�2�4+=+2	+2	!=Í+=
���
CAMPOS DE REAÇÃO CRIADOS 
PELAS CORRENTES INDUZIDAS
CAMPO DE DESLOCAMENTO 
CRIADO PELO PRIMÁRIO
�E�
v ( ≈ vs )
2	@�2�4+=+2	+2	2>@�=+=2	@�2�4+=+2	+2	!=Í+=
CAMPOS DE REAÇÃO DO SECUNDÁRIO SE 
COMPÕEM COM O CAMPO DE DESLOCAMENTO, 
PRODUZINDO UMA DISTRIBUIÇÃO DE CAMPO 
RESULTANTE DISTORCIDA
PRINCIPAIS EFEITOS: 
AUMENTO DA PERDA JOULE NO SECUNDÁRIO
FORÇAS DE FRENAGEM NAS EXTREMIDADES
DEGRADAÇÃO DO DESEMPENHO GERAL
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
x
y
z
0
b
v ( ≈ vs )
LÂMINA DE CORRENTE EQUIVALENTE 
AO ENROLAMENTO PRIMÁRIO
ENTREFERRO: lg
ZONA ATIVA: C = 2pλ
λ
x
µfe
µ0
µfe
E1 (ENTRADA)E2 (SAÍDA)
2pλ
ab
c d
A1
J2
Bg
MÁQUINA LINEAR COM SECUNDÁRIO EM PLACA CONDUTORA CONTÍNUA: 
HIPÓTESES: 
LARGURA UNITÁRIA – Z = 1
LÂMINA EQUIVALENTE COM DENSIDADE LINEAR DE CORRENTE: A1 [A/m]
� A1 = Az ( EXCLUSIVAMENTE NA DIREÇÃO z )
DENSIDADE DE CORRENTE NO SECUNDÁRIO: J2 [A/m²]
� J2 = Jz ( EXCLUSIVAMENTE NA DIREÇÃO z )
DENSIDADE DE FLUXO NO ENTREFERRO: Bg
���� Bg = By ( EXCLUSIVAMENTE NA DIREÇÃO y )
�� = "#. � → � = ��. �
.(�CF�
��)
=� = =�. �
.(�CF�
��)
CONSIDERANDO A SUPERFÍCIE FECHADA 
ENVOLVENDO O ENTREFERRO, DELIMITADA 
PELO PERÍMETRO : a-b-c-d E APLICANDO A 
LEI DE ÀMPERE:
E�C� = � 
CORRENTE TOTAL CONFINADA PELO 
PERÍMETRO a-b-c-d :
�� . �! = � =�. �� + �&. $. ��
��
��
�� . �! = (=�+�&. $). �� − �� 			[�]
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
LEI DE ÀMPERE TAMBÉM 
PODE SER ESCRITA COMO:
�� . �! = ��.�� = �E�C�. �!
TEOREMA DE STOKES 
E�C� = I�
I�TEM-SE AINDA:
CAMPO ELÉTRICO NO SECUNDÁRIO RESULTA DE INDUÇÃO VARIACIONAL E MOCIONAL, PRODUZIDAS RESPECTIVAMENTE PELO 
EFEITO DE EXTREMIDADE E PELO CAMPO DE DESLOCAMENTO NORMAL ���� APLICANDO A LEI DE FARADAY:
E�C2& = −I�
IC + E�C(7 ∧ �) �& = K.2&				; 			� = "#. �USANDO AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS:
�
K E�C�& = −"#. I�
IC + "#. E�C(7 ∧ �) → 		E�C�& = −K. "#. 
. �.� + K. "#. 7 ∧ E�C� E�C�& = −I�&
I�TEM-SE AINDA:
�� . �! = � I�
I� . ��. ��
��
��
= ��. I�
I� . (�� − ��) [2] COMPARANDO COM A EQ. [1] RESULTA:
��. I�
I� = =� + �&. $ = =�. �
(�CF	��	�) + �&. $ → 					�&= ��
$ . I�
I� − �
$=�. �
(�CF	��	�) [3]
I�&
I� = 
�K"#. � − K"#7. I�
I� [4] DIFERENCIANDO A EQ. [3]:
I�&
I� = ��
$ . I
&�
I�& + 
 �
�$ . =� . �
(�CF	��	�) [5]
COMPARANDO A EQ. [4] COM A EQ. [5]:
I&�
I�& + K"#
$
�� 7. I�
I� − 
� $
�� K"#. � = −
 �
��$ . =� . �
(�CF	��	�)
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO CAMPO EXISTENTE NO ENTREFERRO 
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2ª ORDEM NÃO HOMOGÊNEA QUE DESCREVE O CAMPO NO ENTREFERRO:
� �, C = M. �N�� + O. �N&� + ��. �
(�CF�
��)
ONDA DE CAMPO DE EFEITO DE EXTREMIDADE DE ENTRADA
ONDA DE CAMPO DE EFEITO DE EXTREMIDADE DE SAÍDA
ONDA DE CAMPO DE DESLOCAMENTO NORMAL
α E β : CONSTANTES QUE DEPENDEM DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
k1 E k2 : RAÍZES DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL – DEPENDEM DO FATOR DE
QUALIDADE E DO ESCORREGAMENTO
AS ONDAS DE CAMPO DE EFEITO DE EXTREMIDADE SÃO ATENUADAS COM A DISTÂNCIA x
INFLUÊNCIA DO EFEITO DE EXTREMIDADE SOBRE O DESEMPENHO:
P � = = � . � ∧ "#. �(�, C)
Fp : FORÇA DE PROPULSÃO PRINCIPAL DEVIDA A HM
Fe : FORÇAS DEVIDAS AOS EFEITOS DE EXTREMIDADE DE ENTRADA E SAÍDA
Fe : PODE CONCORDAR OU DISCORDAR DE Fp DEPENDENDO DO
ESCORREGAMENTO, DO FATOR DE QUALIDADE E DO Nº DE POLOS
A(x) : DENSIDADE LINEAR DE CORRENTE
L: LARGURA DO PRIMÁRIO DO MOTOR 
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
1 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL DINÂMICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
Fp
s1 0
SEM EFEITO DE EXTREMIDADE
COM EFEITO DE EXTREMIDADE
Fp
s1 0
SEM EFEITO DE EXTREMIDADE
COM EFEITO DE EXTREMIDADE
Fp
v0 vs
SEM EFEITO DE EXTREMIDADE
COM EFEITO DE EXTREMIDADE
½vs¼vs
2 POLOS
4 POLOS
8 POLOS
MOTOR LINEAR DE BAIXA VELOCIDADE ( < 20 m/s ) MOTOR LINEAR DE ALTA VELOCIDADE ( > 50 m/s )
EFEITO DO NÚMERO DE POLOS, EM 
MOTOR LINEAR DE BAIXA E MÉDIA 
VELOCIDADE
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
2 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL ESTÁTICO – ABORDAGEM QUALITATIVA
RELUTÂNCIAS MAGNÉTICAS SÃO DIFERENTES NAS EXTREMIDADES E NA REGIÃO CENTRAL DO MOTOR
���� IMPEDÂNCIAS DE MAGNETIZAÇÃO DOS ENROLAMENTOS SÃO DIFERENTES NAS EXTREMIDADES
PRINCIPAIS CONSEQUÊNCIAS:
� DESEQUILÍBRIO DE CORRENTES NOS ENROLAMENTOS
� ONDA DE CAMPO QUE TRASLADA NA COROA ENCONTRA UMA “BARREIRA” NA EXTREMIDADE, SE REFLETE E RETORNA, 
COMPONDO-SE COM A ONDA INCIDENTE
� INTRODUZ DISTRIBUIÇÃO NÃO UNIFORME NAS DENSIDADES DE FLUXO NAS COROAS DO PRIMÁRIO E SECUNDÁRIO
� EFEITO ACONTECE MESMO SE A PLACA SECUNDÁRIA NÃO EXISTIR E NÃO HOUVER REAÇÃO DA MESMA (“EFEITO ESTÁTICO”)
� EFEITO DEPENDE DO TIPO DE CONEXÃO DAS BOBINAS (SÉRIE, PARALELO OU ASSOCIAÇÕES SÉRIE-PARALELO) 
� EFEITO FICA ATENUADO PARA MOTORES DE GRANDE COMPRIMENTO E ELEVADO NÚMERO DE POLOS
v ( ≈ vs )
RRRR1 RRRR2 RRRR3 
CIRCUITO MAGNÉTICO É 
INTERROMPIDO NAS 
EXTEMIDADES COROA DO 
PRIMÁRIO
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
2 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL ESTÁTICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
INFLUÊNCIA SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE DENSIDADE DE FLUXO NA COROA DO NÚCLEO MAGNÉTICO
x
y
z
E1 
COROA DO PRIMÁRIO: bc
v ( ≈ vs )
COROA DO SECUNDÁRIO
ENTREFERRO: lg
ZONA ATIVA: C
λ
x
REGIÃO DAS RANHURAS
µfe
µ0µfe
E2 
HIPÓTESES: 
RRRR1 → ∞ PARA x < 0 
RRRR2 → ∞ PARA x > C 
LARGURA UNITÁRIA – Z = 1
�Q7� = # : EM TODA EXTENSÃO DO ENTREFERRO 
�� = �R = ��. �
.(�CF�
��) : ONDA DE CAMPO DE DESLOCAMENTO NO ENTREFERRO, 
COM COMPONENTE EXCLUSIVAMENTE NA DIREÇÃO y
� �R
. �! = #		 → 	� ��. �� = #
*
#
�� = ��. 
��(�C − �
� �)
AO LONGO DO ENTREFERRO (Z = 1) 
ONDA DE INDUÇÕES NO ENTREFERRO
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
2 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL ESTÁTICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
INFLUÊNCIA SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE DENSIDADE DE FLUXO NA COROA DO NÚCLEO MAGNÉTICO
FLUXO POR POLO NO ENTREFERRO COMPLETA SUA 
CIRCUITAÇÃO ATRAVÉS DO MATERIAL FERROMAGNÉTICO 
DOS DENTES E ADENTRA A COROA DO PRIMÁRIO
FLUXO ELEMENTAR QUE ADENTRA A COROA DO PRIMÁRIO:
�(� = �� � . �! = 	�� � . ��
DENSIDADE DE FLUXO RESULTANTE NA COROA:
�� = S��. ��
$�
= S��. 
�� �C − �
� � . ��
$�
bc
dx
dϕc
FLUXO QUE VEM DO ENTREFERRO 
CONFINADO NOS DENTES DO PRIMÁRIO
REGIÃO DAS RANHURAS
LARGURA UNITÁRIA DO NÚCLEO: Z = 1
DENSIDADE DE FLUXO RESULTANTE NA COROA:
�� = �
� .��
$�
. ./0 �C − �
� � + T ���� CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO “K” DEPEDENDE DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
1º CASO: EXTREMIDADE E1 COINCIDENTE COM EXTREMIDADE E2 ���� MÁQUINA SEM EXTREMIDADES ���� C →∞ OU MÁQUINA CILÍNDRICA
PARA x = 0 ���� Bc ≠ 0 COM VALOR CORRESPONDENTE AO INSTANTE DE TEMPO CONSIDERADO ���� NÃO EXISTE RESTRIÇÃO PARA A 
PROPAGAÇÃO DA ONDE DE CAMPO NA COROA ���� K = 0 
2 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL ESTÁTICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
INFLUÊNCIA SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE DENSIDADE DE FLUXO NA COROA DO NÚCLEO MAGNÉTICO
�� = �.��
�. $�
. ./0 �C − �
� �
ONDA DE CAMPO SE PROPAGA NA 
COROA COM AMPLITUDE CONSTANTE, 
DE VALOR MÁXIMO: Bc-max��FUV� = �.��
�. $�
Bc-max
Bc
x
vs
2º CASO: EXTREMIDADE E1 E E2 COM RRRR → ∞ ���� MÁQUINA COM EXTREMIDADES
��
M − ��
O = −&. 
�� M + O
& . 
�� M − O
&APLICANDO A TRANSFORMAÇÃO TRIGONOMÉTRICA:
�� = &�
� .��
$�
. 0WX �C − �
&�� . 
��( �
&��)
�′�FUV� = &�.��
�. $�
ONDA DE CAMPO SE PROPAGA NA COROA COM AMPLITUDE MODULADA, DE 
VALOR MÁXIMO: B’c-max = 2.Bc-max
���� DENSIDADE DE FLUXO NA COROA DOBRA EM RELAÇÃO A UMA MÁQUINA 
SEM EXTREMIDADES ���� OBRIGA A UM SOBREDIMENSIONAMENTO DA 
ESPESSURA DA COROA PARA EVITAR SATURAÇÃO MAGNÉTICA
PARA x = 0 ���� Bc = 0 ���� �� = �
� . ��
$�
. ./0 �C − �
� � + T	 → 		T = −�. ��
�. $�
. ��
ωC �� = �
� . ��
$�
. ./0 �C −�
� � − ��
	�C
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
B’c-max
Bc
x
vs
0 2λ 4λ
2 - EFEITO DE EXTREMIDADE LONGITUDINAL ESTÁTICO – ABORDAGEM ANALÍTICA
INFLUÊNCIA SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE DENSIDADE DE FLUXO NA COROA DO NÚCLEO MAGNÉTICO
MODULAÇÃO EM AMPLITUDE DA 
DISTRIBUIÇÃO DE DENSIDADE DE 
FLUXO NA COROA DO MOTOR PLANO 
DE INDUÇÃO, DEVIDO AO EFEITO DE 
EXTREMIDADE ESTÁTICO
COMPORTAMENTO EQUIVALENTE AO DE UMA ONDA ESTACIONÁRIA FORMADA NA COROA, DEVIDO À COMPOSIÇÃO DE 
UMA ONDA INCIDENTE COM UMA ONDA REFLETIDA AO ENCONTRAR A RELUTÂNCIA ELEVADA NAS EXTREMIDADES
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
EXEMPLO DE DISTRIBUIÇÕES DE DENSIDADE DE FLUXO EM MOTOR LINEAR PLANO DE INDUÇÃO REAL 
( PROPULSOR DO VEÍCULO “MAGLEV-COBRA” – UFRJ )
DISTRIBUIÇÃO DE INDUÇÕES NA COROA 
DO SECUNDÁRIO (VALORES DE ENSAIO) 
DISTRIBUIÇÃO DE INDUÇÕES NO 
ENTREFERRO (VALORES DE ENSAIO)
SECUNDÁRIO RANHURADO COM 
BARRAS CONDUTORAS DE ALUMÍNIO
PRIMÁRIO COM ENROLAMENTO 
TRIFÁSICO DE 6 POLOS
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
3 - EFEITO DE EXTREMIDADE TRANSVERSAL – ABORDAGEM QUALITATIVA
EFEITO MAIS SIGNIFICATIVO EM MÁQUINAS LINEARES COM SECUNDÁRIO EM PLACA CONDUTORA CONTÍNUA
x
z
y
SECUNDÁRIO (PLACA CONDUTORA) PRIMÁRIO (MÓVEL)
CIRCUITAÇÃO DAS CORRENTES 
INDUZIDAS NA PLACA CONDUTORA
P�
-P[
+P[
P[
P�
4[
4� �R
CAMPO MAGNÉTICO NO ENTREFERRO NA DIREÇÃO y ���� Bg = By
CORRENTES INDUZIDAS NA PLACA CONDUTORA TÊM 
COMPONENTES NAS DIREÇÕES x E z ���� Ix E Iz
�P[ = 4. �� ∧ �R =	 4� ∧ �R
RESULTAM COMPONENTES DE FORÇAS LATERAIS Fz ALÉM DA 
FORÇA DE PROPULSÃO Fx
�P� = 4. �[ ∧ �R =	 4[ ∧ �R
PEA – 5728 - Parte 1: MÁQUINAS LINEARES
z
y
x
3 - EFEITO DE EXTREMIDADE TRANSVERSAL – ABORDAGEM QUALITATIVA
4�
+P[
�R
-P[ P�
4�
+P[&
�R
-P[�
∆z
∆P[
P�
4�
-P[�
�R
+P[&
∆z
∆P[
P�
FORÇAS LATERAIS NÃO SE COMPENSAM SE 
O PRIMÁRIO NÃO ESTIVER CENTRALIZADO
EM RELAÇÃO AO SECUNDÁRIO
FORÇAS LATERAIS INTRODUZEM 
INSTABILIDADE DIRECIONAL DO PRIMÁRIO 
���� RESTRIÇÃO LATERAL PODE SER FEITA 
MECANICAMENTE PELA ESTRUTURA DE 
SUPORTE E GUIA DO PRIMÁRIO
COMPONENTES DE CORRENTE NA DIREÇÃO 
x NÃO COLABORAM COM A FORÇA DE 
PROPULSÃO ���� RESULTAM EM AUMENTO DA 
PERDA JOULE SECUNDÁRIA
A CONSIDERAÇÃO DO EFEITO DE 
EXTREMIDADE TRANSVERSAL, PARA 
CONTEMPLAR O AUMENTO DAS PERDAS 
JOULE, É FEITO PELA CORREÇÃO DA 
RESISTÊNCIA SECUNDÁRIA POR UM FATOR 
ADEQUADO
1P[ = P[& − P[�