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SISTEMAS ESTRUTURAIS I Mario Guidoux Gonzaga Vigas isostáticas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Caracterizar uma viga isostática. Analisar as reações externas de apoios em vigas isostáticas e o surgi- mento dos esforços solicitantes internos derivados das cargas estruturais. Determinar os esforços solicitantes internos em vigas isostáticas. Introdução As estruturas Isostáticas são os elementos estruturais com número de reações de apoio igual ao número de equações de equilíbrio. Nesses casos, todo movimento da estrutura de corpo rígido é impedido. Na prática, essas estruturas são normalmente apoiadas por um engaste ou por uma rótula e um apoio simples. Neste capítulo, você conhecerá mais a fundo este objeto estrutural, bem como aprenderá a identificá-lo e a calcular suas reações nos apoios. Ao final do capítulo, você aprenderá a determinar os esforços solicitantes internos nesses elementos. Vigas isostáticas As estruturas podem ser classifi cadas quanto à sua vinculação em três grandes grupos: isostática, hipostática e hiperestática. As estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio, ou seja, apresentam apoios dispostos de modo a impedir completamente o movimento de corpo rígido da estrutura. As vigas isostáticas são aquelas com apoios que não permitem nenhum tipo de movimento, podendo ser apoiadas por um engaste ou por uma rótula e um apoio simples. Já as hipostáticas não possuem apoios suficientes para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura, e ao passo que as hiperestáticas possuem número de vínculos maior que o necessário para manter o equilíbrio. Portanto, as estruturas do tipo isostática são as únicas que possuem número de incógnitas igual ao número de equações; as hipostáticas possuem incógnitas a menos e as hiperestáticas possuem mais incógnitas que equações (MACHADO JUNIOR, 1999). Podem ser consideradas isostáticas vigas em balanço com um apoio en- gastado, como mostra a Figura 1. Figura 1. Viga engastada. Também podem ser consideradas vigas isostáticas aquelas que possuem um vínculo de primeira ordem – apoio simples – e um de segunda ordem – segundo gênero ou rótula –, conforme mostra a Figura 2. Figura 2. Viga com apoio de primeira e segunda ordens. Vigas isostáticas2 Os apoios podem ser classificados em função do número de deslocamentos impedidos em três categorias (ver Figura 3): 1. Apoio simples – primeira ordem: ■ impede a translação em uma direção; ■ permite a translação na direção perpendicular àquela que impede; ■ permite a rotação em torno do eixo z. 2. Rótula – segunda ordem: ■ impede translações em x e y; ■ permite a rotação em torno de z. 3. Engaste: ■ impede translações em x e y; ■ impede a rotação em torno de Z. Figura 3. Tipos de apoio. Fonte: Adaptada de Cascão (2009). Independentemente do tipo de estrutura que você estiver calculando, podem atuar nelas dois tipos de força: internas e externas. As externas são as forças ocasionadas por elementos que estão fora do conjunto anali- 3Vigas isostáticas sado, ao passo que as internas se originam da interação entre os pontos ou corpos que formam o conjunto que você esteja trabalhando (MACHADO JUNIOR, 1999). As forças externas são subdivididas entre ativas e reativas. Pelo nome você já pode deduzir a diferença entre as duas: as ativas são resultado de agentes externos que atuam sobre a viga, como elementos apoiados sobre estas, por exemplo; já as reativas são forças que surgem junto aos vínculos ou às ligações que impedem a movimentação da estrutura – os apoios –, e sua condição de existência é que alguma força externa ativa esteja atuando sobre a estrutura analisada. Observe a Figura 4 para entender melhor essas forças no exemplo do bloco A, apoiado sobre os blocos B e C, todos submetidos exclusivamente à ação de seus pesos próprios. Figura 4. Bloco A apoiado sobre os blocos B e C. Fonte: Adaptada de Machado Junior (1999). Considerando a lei da gravidade, pode-se deduzir que o peso próprio do bloco A (Pa) é a força ativa a ser considerada sobre os blocos B e C, os quais geram uma força reativa sobre o bloco A, conforme mostra a Figura 5. Figura 5. Forças ativas e reativas. Fonte: Adaptada de Machado Junior (1999). Vigas isostáticas4 Considerando o conjunto ABC como um único elemento estrutural, deve-se desconsiderar as forças de ação e reação entre os blocos, uma vez que estas são consideradas internas. Desse modo, resta apenas os pesos próprios dos blocos e a reação do apoio sobre o conjunto, conforme mostra a Figura 6. Figura 6. Forças ativas e reativas. Fonte: Adaptada Machado Junior (1999). Reações externas de apoios em vigas isostáticas e esforços solicitantes internos derivados As reações de apoio se opõem à tendência de movimento em virtude das cargas aplicadas, o que resulta em um estado de equilíbrio estável. Em estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o número de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de incógnitas, possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples (MACHADO JUNIOR, 1999). As condições de equilíbrio, para uma estrutura contida no plano xy, são: Onde X e Y são componentes de força aplicadas em relação aos eixos x e y e M é o módulo dos momentos das forças aplicadas em relação a um 5Vigas isostáticas ponto do plano. Ainda, podem ser utilizadas, na resolução dos exercícios, três equações de momento: Ou, ainda, uma equação de projeção e duas de momento: O processo de cálculo das reações equivale a “isolar” a estrutura da terra, retirando os apoios, e aplicar na direção dos movimentos restringidos esforços incógnitos correspondentes. Essa primeira etapa é conhecida como diagrama de corpo livre da estrutura. Caso existam vínculos internos, os esforços cor- respondentes a eles não devem ser considerados, visto que correspondem a forças internas de interação entre os elementos estruturais. Para determinar as reações nos vínculos, os elementos estruturais devem ser isolados, com todas as forças aplicadas, incluindo as incógnitas já cal- culadas. Aqui, os esforços correspondentes aos vínculos internos devem ser considerados. Na análise das partes, os esforços correspondentes aos vínculos internos aparecem aos pares e com sentidos opostos. Para cada elemento isolado, deve ser aplicado um dos três grupos de equa- ções de equilíbrio. Em vigas horizontais, cujo carregamento ocorre transversalmente ao seu eixo, não são necessários vínculos que impeçam seu deslocamento na direção axial. Assim, aplicam-se somente duas das três equações de equilíbrio. As reações verticais que atuam de baixo para cima serão convencionadas com sinal positivo, bem como as reações horizontais que atuam da esquerda para a direita. Vigas isostáticas6 Vejamos alguns exemplos de aplicação: Exemplo 01: Viga simplesmente apoiada, carga concentrada de 60kN, aplicada a 4 m da extremidade A, conforme mostra a Figura 7. Figura 7. (a) Viga carregada; (b) viga isolada. Em (a), observa-se uma viga carregada vinculada por um apoio fixo e um móvel que impedem, apenas, a tendência da viga de deslocar-se verticalmente. Em (b), observa-se a viga isolada com as reações correspondentes aos vínculos, com sentido arbitrados como sendo positivos. Utilizando o grupo de equações com três momentos e adotando como sendo positivo para os momentos a tendência das forças em provocar rotação anti-horária, tem-se: ∑Ma = 0 ∑Mb = 0 6 × Rvb − 4 × 60 + 0 × Rva = 0 − 6 × Rva + 2 × 60 − 0 × Rvb = 0 6 × Rvb − 240 + 0 = 0 − 6 × Rva + 120 − 0 = 0 6 × Rvb = 240 − 6 × Rva = − 120 Rvb = 40 kN Rva = 20 kN Os sinais positivos encontrados para Rva e Rvb indicam que o sentido das reações foi arbitrado corretamente. Para cargas distribuídas, é necessário calcular as forças equivalentes, conforme mostra a Figura 8. 7Vigas isostáticas Figura 8. Viga simplesmenteapoiada com distribuída triangular. ∑Ma = 0 ∑Mb = 0 6 × Rvb − 4 × 18 + 0 × Rva = 0 − 6 × Rva + 2 × 18 − 0 × Rvb = 0 6 × Rvb − 72 + 0 = 0 − 6 × Rva + 36 − 0 = 0 6 × Rvb = 72 − 6 × Rva = − 36 Rvb = 12 kN Rva = 6 kN A Figura 9 mostra uma viga em balanço (engastada), com carga unifor- memente distribuída. O engastamento impossibilita a rotação e a translação no ponto A. Vigas isostáticas8 Figura 9. Viga em balanço com carga uniformemente distribuída ∑Y = 0 ∑Ma = 0 Rva − 20 = 0 − 2 × 20 + Ma = 0 Rva = 20 kN Ma = 40 kN/m Esforços solicitantes internos em vigas isostáticas Ao analisar uma estrutura, tem-se por objetivo determinar a reação que os apoios exercem na estrutura e as solicitações internas ao elemento estrutural. 9Vigas isostáticas Como você já sabe, as forças externas são aquelas exercidas por corpos externos à estrutura (CASCÃO, 2009), sejam elas ativas ou reativas, que precisam estar em equilíbrio. Já os esforços internos são aqueles provenientes da interação entre as partes do corpo que você esteja analisando. Essas forças surgem em qualquer seção de um corpo que está sobre infl uência de um sistema de forças externo. Para entender os esforços solicitantes internos, imagine um corpo subme- tido a um sistema de forças externas em equilíbrio, como mostra a Figura 10. Figura 10. Corpo seccionado. Fonte: Adaptada de Cascão (2009). Se for feita uma seção S no corpo, como você pode ver na Figura 11, será necessário criar um sistema de forças internas para manter a estrutura em equilíbrio tanto à direita quanto à esquerda da seção S. Figura 11. Solicitações internas. Fonte: Adaptada de Cascão (2009). Vigas isostáticas10 Conhecendo os esforços externos, é possível, portanto, inferir os esforços solicitantes internos (ESI), uma vez que estes são resultado dos primeiros. No Quadro 1, são apresentados os tipos de esforços, as convenções de sinais, os tipos de solicitações e os tipos de deformações, além dos diagra- mas utilizados para representar cada uma das seis categorias de esforços solicitantes internos. Fonte: Adaptado de Cascão (2009). Quadro 1. Categorias de ESI A melhor maneira para você entender os esforços solicitantes internos em uma viga isostática é olhando para um exemplo desse tipo de estrutura. Na Figura 12, você pode ver uma viga isostática que sofre duas cargas externas, uma vertical, de cima para baixo, de intensidade 3P, e uma horizontal, da esquerda para a direita, de intensidade 2P. 11Vigas isostáticas Figura 12. Viga isostática. Fonte: Adaptada Cascão (2009). Com a decomposição das forças, distribuindo as cargas nos dois apoios, conforme as restrições que estes exercem, chegamos no seguinte modelo matemático, desenhado na Figura 13. Figura 13. Cargas distribuídas. Fonte: Adaptada Cascão (2009). Neste exemplo, você pode verificar os esforços solicitantes internos na seção S1, localizada entre o apoio A e as cargas pontuais. Para tanto, por se tratar de uma estrutura isostática, você pode optar por considerar o sistema à direita ou à esquerda de S1. Independentemente de qual lado você escolher, obterá os mesmos resultados. Vigas isostáticas12 Quando trabalhar com estruturas isostáticas, não interessa qual lado da seção você escolher, pois o equilíbrio da estrutura faz com que os dois lados gerem o mesmo resultado. No entanto, é recomendado escolher o lado mais simples, com menos forças, pois, por facilitar os cálculos, diminui a chance de erros nos seus cálculos. Levando-se em consideração a escolha do lado mais simples da seção, trabalharemos à esquerda de S1, pois, dessa forma, precisamos levar em consideração apenas as reações no apoio A. Neste exemplo, adotaremos a convenção de sinais contidos no Quadro 1. Logo, os esforços solicitantes internos na seção S1 para a estrutura da Figura 11 são: N (Normal) = +2P (tração) Q (Cortante) = +P (sentido horário) M (Momento) = +Pa (fibras inferiores tracionadas) CASCÃO, M. Estruturas isostáticas. Rio de Janeiro: Oficina de Textos, 2009 MACHADO JUNIOR, E. F. Introdução à isostática. São Carlos: EESC-USP, 1999 13Vigas isostáticas
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