Modelos Probabilísticos

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INTRODUÇÃO AOS 
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
PROFESSOR: FELIPE FERNANDES 
Variáveis Aleatórias
Independente de um experimento gerar resultados qualitativos ou
quantitativos, geralmente estamos interessados em aspectos numéricos
dos resultados.
Uma variável aleatória é uma função que
associa números reais com os resultados de
experimentos aleatórios. Denota-se por uma
letra maiúscula: X, Y, Z.
𝑋:Ω → ℝ
Para motivar este conceito, considere o experimento de se lançar uma moeda três
vezes e defina a variável aleatória X como o número de caras observadas.
Variáveis Aleatórias - exemplos
Exemplo 1: Lançamento de 3 moedas honestas
Seja 𝑋 = “número de caras que aparecem”
Então 𝑋 é uma v.a. com possíveis valores {0, 1, 2, 3}
Exemplo 2: Seja 𝑋= “tempo de vida de uma lâmpada”
𝑋 é uma v.a. que pode assumir qualquer valor nos reais positivos, ou
seja, qualquer valor no intervalo [0, ∞]
Função de distribuição acumulada
O valor de uma variável aleatória é determinado pelo resultado do
experimento. Então, podemos assinalar probabilidades aos seus
possíveis valores.
Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.)
A f.d.a. de uma v.a. 𝑋 é a função definida por: 𝐹:ℝ → [0,1] definida
por:
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ
Essa função representa a probabilidade da v.a. 𝑋 ser menor ou igual a 𝑥.
Função de distribuição acumulada
Para qualquer f.d.a. F, tem-se:
1. 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1, para todo 𝑥
2. F é não decrescente, isto é, para 𝑥1 < 𝑥2, 𝐹(𝑥1) ≤ 𝐹(𝑥2)
3. F(−∞) = 0
4. F(+∞) = 1
5. F é contínua à direita
Ainda temos que:
1. 𝑃(𝑋 > 𝑎) = 1 – 𝐹(𝑎)
2. 𝑃(𝑋 = 𝑎) = 𝐹(𝑎) – 𝐹(𝑎−)
3. 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎), 𝑎 < 𝑏
Tipo de Variável Aleatória
Variável Aleatória Discreta: Uma função 𝑋 que associa a cada
elemento do espaço amostral um valor num conjunto finito ou
enumerável de pontos da reta.
Variável Aleatória Contínua: quando o contradomínio de 𝑋 é um
intervalo (ou coleção de intervalos) de números reais.
Variável Aleatória Discreta
A função de massa probabilidade de uma variável aleatória discreta
fornece a probabilidade de ocorrência de cada um dos valores
possíveis. Isto é, se 𝑥𝑖; 𝑖 = 1; 2;… ; 𝑛 são os valores assumidos pela
variável X, estão:
𝑝(𝑥𝑖) = 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]
Propriedades
i) 0 ≤ 𝑝(𝑥𝑖) ≤ 1, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛
ii) σ𝑖=1
𝑛 𝑝(𝑥𝑖) = 1 (finito) ou σ𝑖=1
∞ 𝑝(𝑥𝑖) = 1 (infinito enumerável)
Ao conjunto {𝑥𝑖 , 𝑝 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} damos o nome de distribuição
de probabilidades da variável aleatória X. Que pode ser representada
em uma tabela ou um gráfico.
Variável Aleatória Discreta
Exemplo 01: Você observa se 3 computadores estão estragados. Seja
X o número de computadores estragados. Determine a distribuição de
probabilidades de X.
Ω = {EEE;EEB;EBE;BEE;EBB;BEB;BBE;BBB} e 𝑋: {0,1,2,3}
Distribuição de probabilidades da variável X.
Variável Aleatória Discreta
Exemplo 02: Considere o lançamento de dois dados, onde estamos
interessados na soma dos resultado.
Variável Aleatória Discreta
Exemplo 02: Defina X: soma dos resultados
Podemos estar interessados em outras v.a.’s
Y: valor máximo entre os dois lançamentos
Z: pontos do 2º lançamento
Função de Massa de Probabilidade - Gráfico
É comum representar a distribuição de probabilidade da v.a. 𝑋 usando
o gráfico de barras, onde a altura das barras representa sua função de
massa.
Y: valor máximo entre os dois lançamentos dos dados
Função de Distribuição Acumulada de v.a.
Discreta
É Já vimos que a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma
variável aleatória 𝑋 é definida por
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ
No caso de X ser uma v.a. discreta, a f.d.a. é dada por
𝐹 𝑥1 = 𝑃 𝑋 = 𝑥1
𝐹 𝑥2 = 𝑃 𝑋 = 𝑥1 + 𝑃 𝑋 = 𝑥2
⋮
𝐹 𝑥𝑛 = 𝑃 𝑋 = 𝑥1 +⋯+ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑛
Função de Distribuição Acumulada de v.a. Discreta
Y: valor máximo entre os dois lançamentos de dados
Momentos de uma Variável Aleatória
Um dos conceitos mais importantes em teoria de probabilidade
é a esperança (ou valor esperado) de uma variável aleatória
Esperança: Considere uma v.a. discreta 𝑋, tendo função de
massa 𝑝(𝑥). O valor esperado (ou valor médio), é a seguinte
média ponderada:
𝐸 𝑋 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑝(𝑥𝑖)
Notação: 𝜇 = 𝐸(𝑋)
Esperança de uma v.a. Discreta
Seja Y: valor máximo entre os dois dados
𝐸 𝑌 = 1 ×
1
36
+ 2 ×
3
36
+⋯+ 6 ×
11
36
=
161
36
= 4,47
Algumas propriedades da esperança
1. Se 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, onde a e b são constantes, então
𝐸 𝑌 = 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏
Casos particulares:
𝐸 𝑋 + 𝑏 = 𝐸 𝑋 + 𝑏
𝐸 𝑎𝑋 = 𝑎𝐸(𝑋)
2. Se 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 são variáveis aleatórias:
𝐸 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝐸(𝑋𝑖)
Esperança de uma função de uma v.a.
Proposição: Se 𝑋 é uma v.a. discreta com valores 𝑥𝑖 e função de 
massa 𝑝(𝑥𝑖), então para qualquer função 𝑔
𝐸 𝑔 𝑋 =෍
𝑖
𝑔 𝑥𝑖 𝑝(𝑥𝑖)
No exemplo em que 𝑋 é a soma dos dois dados, temos que:
𝐸 𝑋2 = 22 ×
1
36
+ 32 ×
2
36
+⋯+ 122 ×
1
36
=
1974
36
= 54,83
sendo𝑔 𝑥 = 𝑥2
Variância de uma Variável Aleatória
▪ Variância de uma v.a. é uma medida de dispersão
▪ Se X é uma v.a com média μ, então a variância de X é dada 
por:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2]
Notação: 𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋
No caso de 𝑋 ser uma v.a. discreta:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇 2𝑝(𝑥𝑖)
Uma forma alternativa de calcular a variância é usando a fórmula:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑋) 2
Variância de uma v.a. Discreta
No exemplo em que X é soma dos dois dados:
Poderíamos calcular a variância pela definição:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 2 − 7 2 ×
1
36
+⋯+ 12 − 7 2 ×
1
36
= 5,83
Alternativamente, como já calculamos
𝐸 𝑋 = 7 e E 𝑋2 = 54,83
então podemos usar a fórmula simplificada:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 54,83 − 72 = 5,83
Algumas propriedades da variância
1. Se 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, onde a e b são constantes, então
𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉𝑎𝑟 𝑋
Casos particulares:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑏 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋
𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 = 𝑎2𝑉𝑎𝑟 𝑋
2. Se 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 são v.a. independentes:
𝑉𝑎𝑟 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖)
	Slide 1: Introdução aos modelos Probabilísticos professor: Felipe Fernandes 
	Slide 2: Variáveis Aleatórias
	Slide 3: Variáveis Aleatórias - exemplos
	Slide 4: Função de distribuição acumulada 
	Slide 5: Função de distribuição acumulada
	Slide 6: Tipo de Variável Aleatória
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