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Revisando números racionais e irracionais – Parte 1
Matemática
1o bimestre – Aula 01
Ensino Médio
1a
SÉRIE
2024_EM_B1_V1
Conjunto dos números reais e seus subconjuntos;
Os números reais na reta numérica.
Reconhecer as diferentes representações dos números racionais;
Identificar um número racional para sua expansão decimal finita ou infinita periódica.
Conteúdo
Objetivos
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(EF09MA02) - Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. 
Discuta com seus colegas e responda:
1. O número 3,410497784 pode ser representado por meio de uma fração?
2. Este número é um número racional? 
Racional ou irracional?
Virem e conversem
5 MINUTOS
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Para começar
Professor(a), deixe que os estudantes pensem nas questões individualmente num primeiro momento. Enquanto respondem, circule pela sala e observe as principais estratégias de resolução e as dificuldades dos alunos, fazendo intervenções quando isso for necessário. Lembre-se de nunca falar a resposta da atividade aos estudantes ou dizer como alcançá-la, procure fazer perguntas que os estimulem a encontrar a resposta.
1. O número 3,410497784 pode ser representado por meio de uma fração?
a. O número 3,41049778444 pode ser representado por uma fração, da seguinte maneira: no numerador, podemos indicar o numeral decimal sem a vírgula e no denominador, indicamos o algarismo 1 (um) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado, então: 
Correção
Continua...
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Para começar
2. Este número é um número racional?
Sim, o número 3,410497784 é racional, pois mostramos que ele pode ser representado pela fração: . 
Correção
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Para começar
Revisando números racionais e irracionais
Como você já sabe, os conjuntos numéricos foram ampliados dos naturais aos racionais, introduzindo novos tipos de números, de modo a permitir a realização das quatro operações básicas sem restrições. Essa ampliação pode ser representada pelos seguintes diagramas: 
Continua...
5 MINUTOS
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Foco no conteúdo
Conjunto dos Naturais 
Fechado para as operações de adição e multiplicação.
0, 1, 2, 3, ...
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ampliação dos Naturais para os Inteiros 
Introdução dos números negativos;
Fechado para adição, subtração e multiplicação.
Continua...
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Foco no conteúdo
Ampliação dos Inteiros para os Racionais 
Introdução das frações positivas e negativas, que resultam em números decimais finitos ou infinitos e periódicos;
Fechado para adição, subtração, multiplicação e divisão.
Continua...
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Foco no conteúdo
Continua...
A introdução dos números irracionais permitiu a ampliação do campo dos racionais para os números reais , representado pelo diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os irracionais são o conjunto complementar aos racionais em relação aos reais. 
Com base no diagrama apresentado, podemos escrever as seguintes relações entre os conjuntos numéricos: 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Foco no conteúdo
Continua...
O conjunto dos números irracionais é aquele cujos elementos são números decimais que não podem ser resultado da divisão entre dois números inteiros. Essa definição é o oposto da definição de número racional, que é qualquer número que pode ser escrito na forma de fração. Os números irracionais são todos os decimais infinitos não periódicos.
São exemplos de números irracionais: o número do ouro:
 = 11,61803398...; o número = 3,141592653558970...; 
 = 1,4142135623...; e infinitos outros números. 
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Foco no conteúdo
(Aprender Sempre, Vol. 1, Parte 1, p. 103) Represente na reta numérica os números abaixo e identifique a qual conjunto numérico cada um deles pertence.
	2 		3,5			 	
Atividade 1
Mostre-me
5 MINUTOS
Fonte: Aprender Sempre, C.A, V.1, p. 103, 2024 
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Na prática
Represente na reta numérica os números abaixo e identifique a qual conjunto numérico cada um deles pertence.
	2 		3,5			 	
Correção
Continua...
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Na prática
Represente na reta numérica os números abaixo e identifique a qual conjunto numérico cada um deles pertence.
	2 		3,5			 	
Correção
Continua...
				 
				 
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Na prática
Os números racionais, como dissemos anteriormente, podem ser representados na forma fracionária ou decimal, sendo que a representação decimal traz duas possibilidades: decimal finito e decimal com dízima periódica. No quadro a seguir estão alguns exemplos:
	Decimal finito	Dízima periódica simples	Dízima periódica composta
			
			
Continua...
10 MINUTOS
Fonte: Aprender Sempre, C.A, V.1, p. 103, 2024 
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Foco no conteúdo
As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas, dependendo dos números que aparecem após a vírgula na parte decimal.
Seguem alguns exemplos de como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica: 
Como converter 0,333... para uma representação fracionária:
Inicialmente, você pode perceber que o número apresentado é uma dízima periódica simples e que o numeral 3 é repetido infinitamente, portanto, podemos dizer que o período dessa dízima periódica é igual a 3.
O número 0,333... também pode ser representado por .
 
Continua...
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Foco no conteúdo
Agora vamos encontrar a fração geratriz do número 3333...
1o passo: 
Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos tratá-la como uma incógnita, por exemplo D.
D = 0,3333...
2o passo:
Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 10, cujo expoente é igual à quantidade de algarismos do período da dízima.
Continua...
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Foco no conteúdo
Realizando a subtração das expressões (II) e (I), temos:
Portanto, a fração geratriz da dízima periódica 0,3333.... será igual a .
 
Continua...
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Foco no conteúdo
(Aprender Sempre – Atividade 2, p. 104)
No quadro abaixo, escreva se o número é: natural, inteiro, racional, decimal finito, dízima periódica simples, dízima periódica composta ou um número irracional, e represente-os na reta numérica.
Atividade 2
27
0,151515...
2,6
Mostre-me
5 MINUTOS
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Na prática
Correção
No quadro abaixo, escreva se o número é: natural, inteiro, racional, decimal finito, dízima periódica simples, dízima periódica composta ou um número irracional, e represente-os na reta numérica.
27 é um número natural, inteiro e racional. 
 é um número racional com uma dízima periódica simples. 
é um número inteiro.
0,151515... é um número racional com uma dízima periódica simples. 
é um número irracional. 
2,6 é um número decimal finito e racional.
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Na prática
Correção
Fonte: Elaborada pelo autor.
No quadro abaixo, escreva se o número é: natural, inteiro, racional, decimal finito, dízima periódica simples, dízima periódica composta ou um número irracional, e represente-os na reta numérica.
Observação:
Fração geratriz do número 0,151515... 
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Na prática
(Aprender Sempre – Atividade 3, p. 105)
(AAP - 2019) Observe os números apresentados nos itens a seguir:
Atividade 3
I. 
II. 4,121212... 
III. 
IV. 0,11223344... 
V. 
Os números irracionais estão apresentados nos itens:
I, II e III.
II, III e V.
II e V.
I, III e IV.
Mostre-me
5 MINUTOS
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Na prática
Correção
I. 
II. 4,121212... 
III. 
IV. 0,11223344... 
V. 
Os números irracionais estão apresentados nos itens:
I, II e III. (Alternativa incorreta)
II, III e V. (Alternativa incorreta)
II e V. (Alternativa incorreta)
I, III e IV. (Alternativa correta)
I. 
Número irracional
II. 4,121212... Número racional com dízima periódica simples 
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Na prática
Correção
III. Número irracional 
IV. 0,11223344... Número irracional 
Os números representados nos itens I, III e IV pertencem ao conjunto dos númerosirracionais, portanto, a alternativa correta é: D.
V. Número racional 
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Na prática
(Aprender Sempre, S.A. 1, Aulas 1 e 2, p. 105)
A figura abaixo está dividida em seis partes iguais. A parte pintada de preto corresponde a que fração? 
Atividade 4
(A)
(B)
(C)
(D)
Mostre-me
5 MINUTOS
Fonte: Aprender Sempre, C.A, V.1, p. 105, 2024 
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Na prática
A figura abaixo está dividida em seis partes iguais. A parte pintada de preto corresponde a que fração? 
Correção
(A)
(B)
(C)
(D)
Incorreto
Incorreto
Correto
Incorreto
Alternativa C 
A figura está dividida em 6 partes e, dessas seis partes, duas foram pintadas de preto; logo, 2/6 representam a parte pintada de preto. 
Fonte: Aprender Sempre, C.A, V.1, p. 105, 2024 
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Na prática
Desafio:
Escreva o número racional na forma , sendo uma fração irredutível.
Mostre-me
10 MINUTOS
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Aplicando
Correção
Sabemos que o decimal 0,3333... corresponde ao número racional 
, então, temos que:
 
 
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Aplicando
A reconhecer as diferentes representações de um número racional e identificar um número racional para sua expansão decimal finita ou infinita periódica.
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O que aprendemos hoje?
Lista de imagens
Slides 8, 9, 12, 25 e 26 – Aprender Sempre, Volume 1, C.A, Sequência de Atividades 1, Aulas 1 e 2, pp. 102 a 107, 2024.
Slides 13 e 21 – Elaborados pelo autor.
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Referências
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula.
Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Professor, Volume 1, Parte 1, Sequência de Atividades 1, Aulas 1 e 2, 2023.
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Referências
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