Cálculo Diferencial e Integral II

Prévia do material em texto

MA72A (turma S02) - Cálculo Diferencial e Integral II - 1o. sem. 2015
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
AVALIAÇÃO DE RECUPERAÇÃO
Todas as respostas nos exercícios abaixo devem ser justificadas.
Respostas sem justificativas não serão aceitas.
Aparelhos eletrônicos de qualquer tipo, incluindo telefones celulares,
devem ser mantidos desligados durante a realização da prova.
1. Considere f(x, y) =
√
25− 9x2 − 9y2:
(a) (0.5 ponto) Determine e esboce o domínio de f .
(b) (0.5 ponto) Determine e esboce a imagem de f .
(c) (1 ponto) Calcule as derivadas parciais de 1a. ordem de f .
(d) (0.5 ponto) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f?
(e) (0.5 ponto) Calcule o gradiente de f no ponto (1, 0).
(f) (0.5 ponto) Calcule a derivada direcional f no ponto (1, 0) na direção
(√
5
5
,
2
√
5
5
)
.
(g) (1 ponto) Determine a equação do plano tangente ao grá�co de f no ponto (1, 0, 4).
2. (1,5 ponto) Deseja-se construir uma caixa sem tampa, com a forma de um paralelepípedo
retângulo e 1m3 de volume. Se o material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do
material escolhido para o fundo, determine as dimensões da caixa que minimiza o custo de
material.
3. (3 pontos) Resolva as integrais abaixo:
(a)
∫∫
S
(2xy − ex)dA, com S = {(x, y)|0 ≤ x ≤ y, 1 ≤ y ≤ 2}.
(b)
∫ √
π
0
∫ √
π
y
sen(x2)dxdy.
4. (1,5 ponto) Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 16, pelo plano
z = 0 e pelo parabolóide 9z = x2 + y2.