Cálculo Diferencial e Integral II

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MA72A (turma S01) - Cálculo Diferencial e Integral II - 1o. sem. 2016
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
3a. PROVA
1. (6 pontos)Escolha três integrais abaixo para resolver: :
(a)
∫ 1
0
∫ 1
−1
e3x + y3 dy dx.
(b)
∫∫
S
y
x5 + 1
dA, com S = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}.
(c)
∫ 1
0
∫ 2
2x
sen(y2)dydx.
(d)
∫∫∫
E
ey sen(z)dV, com E = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ π}.
2. (4 pontos)Escolha dois problemas abaixo para resolver:
(a) Esboce a região cuja área é dada pela integral
∫ 7π/4
π
∫ 4
2
rdrdθ.
(b) Determine o volume do sólido que se encontra, acima do plano z = 0, dentro da esfera
x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4.
(c) Determine
∫∫∫
E
cos
(√
(x2 + y2 + z2)3
)
dV, onde E é o hemisfério superior da bola de
centro na origem e raio 3.
Todas as respostas nos exercícios abaixo devem ser justificadas.
Respostas sem justificativas não serão aceitas.
Aparelhos eletrônicos de qualquer tipo, incluindo telefones celulares,
devem ser mantidos desligados durante a realização da prova.
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r senθ, J(x, y) = r
Coordenadas cilíndricas: x = r cos θ, y = r senθ, z = z, J(x, y, z) = r
Coordenadas esféricas: x = ρ senφ cos θ, y = ρ senφ senθ, z = ρ cosφ, J(x, y, z) = −ρ2 senφ
sen2x =
1− cos 2x
2
e cos2 x =
1 + cos 2x
2