m Complexo-101

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d) \(\csc^2(x)\) 
 
399. Qual é a integral indefinida de \(\tan(x)\) com respeito a \(x\)? 
 a) \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
 b) \(\ln|\sin(x)| + C\) 
 c) \(\ln|\cos(x)| + C\) 
 d) \(-\ln|\sin(x)| + C\) 
 
400. Se \(f(x) = \cot(x)\), qual é a derivada de \(f(x)\)? 
 a) \(-\csc^2(x)\) 
 b) \(-\cot(x)\) 
 c) \(-\sec^2(x)\) 
 d) \(\csc^2(x)\) 
Entendi, vou fornecer as respostas e explicações para as próximas 10 questões: 
 
469. Se \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 5 \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: b) \( 3x^2 - 4x + 5 \) 
 Explicação: Para encontrar a derivada de \( f(x) \), aplicamos as regras de diferenciação 
termo a termo. A derivada de \( x^3 \) é \( 3x^2 \), a derivada de \( -2x^2 \) é \( -4x \), a 
derivada de \( 4x \) é \( 4 \), e a derivada de uma constante é zero. Portanto, a derivada de 
\( f(x) \) é \( 3x^2 - 4x + 5 \). 
 
470. Qual é a integral indefinida de \( \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \) com respeito a \( x \)? 
 Resposta: a) \( \frac{1}{2}\arctan(2x + 4) + C \) 
 Explicação: Podemos completar o quadrado no denominador para reescrever a 
expressão como \( \frac{1}{(x + 2)^2 + 1} \). Agora, podemos fazer uma substituição 
trigonométrica \( u = x + 2 \) para resolver a integral. A integral de \( \frac{1}{u^2 + 1} \) é \( 
\arctan(u) + C \). Substituindo de volta \( u = x + 2 \), obtemos \( \arctan(x + 2) + C \). E 
como o coeficiente de \( x \) é 2, precisamos multiplicar por \( \frac{1}{2} \), resultando em 
\( \frac{1}{2}\arctan(2x + 4) + C \). 
 
471. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3x}}{x} \)? 
 Resposta: b) \( \infty \)