Cálculos de Limite, Logaritmo e Derivada

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75. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin(2x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada do seno em \( x = \infty \), sabemos que \( 
\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
76. Questão: Resolva a equação \( 5^x = 125 \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos o logaritmo na base 5 em ambos os 
lados, resultando em \( x = \log_{5}(125) = 3 \). 
 
77. Questão: Se \( f(x) = \ln(4x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: Para encontrar \( f'(x) \), aplicamos a regra da cadeia à função \( \ln(4x) \). A 
derivada é \( f'(x) = \frac{1}{4x} \). 
 
78. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo x de 
\( x = 0 \) a \( x = 4 \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = \sqrt{x} \) de \( x = 0 \) a \( x = 4 \) é dada pela integral 
definida \( \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx \). Aplicando a regra da integral definida, obtemos \( 
\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} \times 4^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} 
\times 8 = \frac{16}{3} \) unidades quadradas. 
 
79. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(3x) - 1}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada do cosseno em \( x = 0 \), sabemos que \( 
\lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(3x) - 1}{x} = 0 \). 
 
80. Questão: Resolva a equação \( \log_{7}(x) = \log_{7}(49) \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos a definição de logaritmo na base 7, 
resultando em \( x = 49 \). 
 
81. Questão: Se \( f(x) = e^{4x} \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: A derivada de \( e^{4x} \) em relação a \( x \) é \( 4e^{4x} \). Isso ocorre porque 
a derivada da função exponencial é ela mesma multiplicada pelo coeficiente da variável 
independente. 
 
82. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo x de 
\( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \).