Exercícios de Probabilidade

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MAE0127 - Lista de exerćıcios 3
Profa. Beti Os exerćıcios assinalados com l serão resolvidos em sala
Entregar os 4 exerćıcios assinalados com ♣ em 03.abril.2024 (quarta-feira) - ińıcio da aula
1. ♣ Na distribuição de n bolas (distintas) em n urnas, calcule
(a) a probabilidade de que uma urna fixada, por exemplo urna 1, seja a única urna vazia.
(b) a probabilidade de que exatamente uma urna esteja vazia.
(c) a probabilidade condicional de que somente uma urna esteja vazia, dado que a urna 1 está
vazia.
(d) a probabilidade condicional de que somente a urna 1 esteja vazia, dado que apenas uma
urna está vazia.
2. l Prove que
P (E | F ) = P (E | F ∩G)P (G | F ) + P (E | F ∩GC)P (GC | F )
3. Em um teste de mútlipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta é p. Havendo m
escolhas, se ele sabe a resposta ele responde corretamente com probabilidade 1; se não sabe ele
responde corretamente com probabilidade 1/m. Qual é a probabilidade que ele saiba a resposta
dado que a pergunta foi respondida corretamente ?
4. ♣ Considere uma urna contendo 12 bolas das quais 8 são brancas. Uma amostra de 4 bolas é
selecionada ao acaso. Calcule a probabilidade condicional que a primeira e a terceira bolas sejam
brancas dado que a amostra contém exatamente 3 bolas brancas, se as retiradas são feitas
(a) com reposição (b) sem reposição
5. Considere 3 urnas. Urna A contém 2 bolas brancas e 4 vermelhas; urna B contém 8 bolas brancas
e 4 vermelhas, e urna C contém 1 bola branca e 3 vermelhas. Se uma bola é selecionada ao acaso
de cada urna, qual é a probabilidade de que a bola retirada da urna A seja branca, dado que
exatamente 2 bolas brancas foram selecionadas ?
6. ♣ Considere que você tem um álbum composto de m figurinhas distintas. Suponha que você
compra as figurinhas uma a uma para colar no álbum e, cada figurinha é do tipo i com pro-
babilidade pi, i = 1, . . . ,m;
∑m
i=1 pi = 1. Se você adquiriu sua n−ésima figurinha, qual é a
probabilidade que ela seja inédita ? (Sugestão: condicione)
7. Prove ou dê contra-exemplos para cada uma das afirmações abaixo:
(a) l Se E é independente de F , e E é independente de G, então E é independente de F ∪G.
(b) Se E é independente de F , E é independente de G, e F ∩ G = ∅, então E é independente
de F ∪G.
(c) Se E é independente de F e F é independente de G, e E é independente de F ∩ G, então
G é independente de E ∩ F .
1
8. Prove que se E1, E2, . . . , En são eventos (conjuntamente) independentes, então
P (E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En) = 1−
n∏
i=1
[1− P (Ei)]
9. Considere os circuitos elétricos mostrados nas figuras abaixo. Para ambos os circuitos, a proba-
bilidade do i−ésimo relé estar fechado é pi, i = 1, 2, 3, 4, 5 (note que essas probabilidades não
precisam ter soma igual a 1, e nem são necessariamente iguais). Supondo que todos os relés
funcionam independentemente, calcule a probabilidade de que uma corrente flua entre A e B nos
respectivos circuitos.
Sugestão para o circuito (b): condicione no status do relé 3 (fechado ou aberto)
(a)
A
1 3
2 4
5 B
(b)
A
1 4
B
2 5
3
1
10. No circuito (a) do problema acima, determine a probabilidade condicional de que os relés 1 e 3
estejam ambos fechados dado que uma corrente fluiu de A para B.
11. l Um teste simples para o diagnóstico de uma doença resulta positivo em 90% das vezes quando
um indiv́ıduo está realmente doente. O teste apresenta 20% de chance de acusar positivo em
indiv́ıduos saudáveis (falso positivo). Se a incidência da doença na população é de 10% e um
indiv́ıduo, escolhido ao acaso, se submeter ao teste, qual é a probabilidade do indiv́ıduo estar
realmente doente se o teste resultar positivo?
12. ♣ Refaça o exerćıcio anterior considerando agora que o indiv́ıduo está no grupo de risco, então
a probabilidade de um indiv́ıduo do grupo estar doente é de 30%.
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