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Conceitos Básicos da Teoria de Erros Prof. Dr. Regina Meyer Branski Objetivo Apresentar Teoria da Medição e dos Erros Medidas experimentais Erros e Incertezas Propagação de erros e incertezas Linearização de Curvas Medidas Experimentais Erro decorre Condições ambientais Instrumento utilizado Pesquisador Toda medida realizada tem um erro assocido Erro Condições ambientais: chuva, vento, temperatura, umidade etc. Instrumentos Erros sistemáticos Pesquisador Erros grosseiros Erros aleatórios ou acidentais Classificação dos Erros Erro aleatório ou acidental: decorrem das variações imprevisíveis nas mensurações. Erro sistemático: se acumulam ao longo das medições. Decorrem de problemas nos equipamentos e são corrigidos com aferição, calibração e seu uso correto Erro Observacional ou grosseiro: relacionado a falhas no procedimento ou imperícia do observador. Acurácia (Exatidão) vs. Precisão Valor Alvo: valor verdadeiro de uma grandeza Exatidão ou Acurácia: proximidade entre os resultados de uma medição e o valor verdadeiro Precisão: consistência nos resultados experimentais obtidos em condições de reprodutibilidade Acurácia vs. Precisão ACURÁCIA ERRO = valor obtido – valor verdadeiro Quanto maior ACURÁCIA menor o ERRO PRECISÃO DESVIO = diferenças entre as medidas individuais Quanto maior a PRECISÂO menor o DESVIO Precisão Repetitividade • Grau de concordância entre os resultados de medições sucessivas de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medição. Incluem: • mesmo procedimento de medição • mesmo observador • mesmo instrumento de medição sob as mesmas condições • mesmo local • repetição em curto período de tempo Definições e Conceitos Mensurando: grandeza a ser determinada na medição Medição: Conjunto de operações que têm por objetivo determinar o valor de uma grandeza Resultado da medição: Valor atribuído ao mensurando e informações sobre incerteza Valor Médio Verdadeiro: valor que seria obtido de um número infinito de observações em condições de repetibilidade Medidas Físicas Medida direta: resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de instrumento de medida Medida indireta: resultado da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis. Algarismos significativos e Medidas Físicas Medidas Físicas são expressas em notação científica Um dígito antes da vírgula e decimais multiplicado pela potência de dez 14269513 mm = 1,43*10 7 mm • Arredondar para cima se o último dígito for ⩾ 5 • Mantem se o último dígito for < 5 • Pode dar a precisão necessária: 1,4269513 * 107 Contagem de algarismos significativos 1012 = 1,012 * 10 3 0,012 = 1,2 * 10 -2 1,3 * 10 -2 130 = 1,30 * 10 2 0,11 = 1,1 * 10 -1 0,110 = 1,10 * 10 -1 Algarismos significativos Número de algarismos que compõem valor da grandeza (exclui zeros à esquerda) Raio da Roda (mm) Significativos 57,896 5,79 * 10 1 5,789600 * 10 1 0,6 * 10 2 Algarismos significativos Quantidade de algarismos significativos • Depende: • Da sensibilidade e precisão do instrumento de medição • Da perícia do observador • Da incerteza associada à grandeza que está sendo medida Contagem dos algarismos significativos: comprimento da barra 27,5 mm (medição com escala): 3 algarismos significativos 27,75 mm (medição feita com paquímetro digital): 4 algarismos significativos Quantos algarismos significativos tem 0,00129? Algarismos Significativos Corretos e Duvidosos s = 5,75 ± 0,05 cm algarismos significativos = algarismos corretos + algarismos duvidosos (5,75) (5,75) (5,75) Tamanho do besouro a) Entre 0 e 1 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,5 e 1,6 cm d) Entre 1,54 e 1,547 cm e) Entre 1,546 e 1,547 cm Diâmetro da moeda a) Entre 0 e 2 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,9 e 2,0 cm d) Entre 1,92 e 1,94 cm e) Entre 1,935 e 1,945 cm Regras de Arredondamento < 5: algarismo precedente é mantido inalterado • 3,14 e 2,73 são arredondados para 3,1 e 2,7 > 5: algarismo precedente é aumentado 1 • 3,16 e 2,78 são arredondados para 3,2 e 2,8 5: se algarismo precedente for par mantém inalterado e se for impar aumenta 1 • 4,65 e 4,75 são arredondados para 4,6 e 4,8 Incerteza em medidas diretas Expressão de uma medida deve representar o valor da grandeza e a incerteza Incerteza: parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser atribuídos ao mensurando (23,6 ± 0,2) Diferentes aparelhos • Valor após ± denominado incerteza • Incerteza é expressa pelo intervalo de confiança Medida Viscosidade (g cm s) A 9,8 ± 0,4 B 12,3 ± 4,0 Padrão 9,3 Expressão da grandeza • Usar a mesma potência de dez para o valor da grandeza e para a incerteza • Número de dígitos depois da vírgula na incerteza deve ser o mesmo da medida Notação errada Notação correta 5,30 ± 0,0572 5,30 ± 0,06 124,5 ± 11 125 ± 11 0,00002002 ± 0,0000005 (200 ± 5) * 10 -7 (45 ± 2,6) * 10 1 (45 ± 3) * 10 1 Como determinar a incerteza de uma medida? • Determinar o tempo de queda de um corpo • Medir várias vezes o tempo e calcular a média • Variabilidade de cada medida é dada pelo desvio padrão • Variabilidade da média é dado pelo erro (desvio padrão da média, caso tenha várias médias) Média, desvio padrão e erro padrão MÉDIA DA AMOSTRA: ത𝑋 = σ 𝑋𝑖 𝑁 DESVIO PADRÃO DA AMOSTRA: 𝑆 = σ(𝑋𝑖− ത𝑋)2 𝑛−1 ERRO PADRÃO OU DESVIO PADRÃO DA MÉDIA COM n VALORES: σ ത𝑋 = 𝑆 𝑛 Desvio Padrão e Erro Padrão Desvio Padrão: mede a variabilidade dentro de uma única amostra Erro Padrão (𝜎 ҧ𝑥 = s/√𝑛): mede a variabilidade média entre as amostras Interpretação do Erro Padrão σ ത𝑋 da Média Expressa a incerteza do valor médio de n medições em condições de repetitividade Amostra maior resulta em um erro padrão da média menor Erro padrão da média σ ത𝑋 baixo indica menor dispersão e, portanto, uma estimativa mais precisa da média da população Calcule a média do tempo de queda, desvio padrão e desvio padrão da média Com um cronômetro eletrônico foi realizado um conjunto de medidas de tempo de queda de um corpo. No quadro estão os resultados de nossas medições. A incerteza do cronômetro foi de 0,05 ms. 4,93 0,77 7,01 3,83 5,40 2,21 6,00 5,17 4,12 2,56 Operações Matemáticas e Propagação da Incerteza Operações matemáticas com algarismos significativos Adição e subtração: resposta não deve ter mais casas decimais que a parcela mais pobre em casas decimais Multiplicação e divisão: quantidade de algarismos significativos da resposta é igual à quantidade de significativos do operando que tiver a menor quantidade de algarismos significativos Exemplos 1,6 + 2,39 + 500,004 1,506 x 50,5 250 x sen(15°) Propagação da Incerteza: Adição de valores experimentais 𝜎𝐿 2 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2 𝜎𝐿 2 = 22 + 0,52= 4,25 𝜎𝐿 = 2,06 Portanto: L = 20,0 ± 2,1 Propagação da Incerteza: Subtração de valores experimentais 𝜎𝐿 2 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2 𝜎𝐿 2 = 22 + 22= 8 𝜎𝐿 = 2,8 Portanto: L = 4,0 ± 2,8 Propagação da Incerteza: multiplicação de grandezas experimentais • ( σ𝑉 𝑉 )2= ( σп П )2 + ( 2σ𝑅 𝑅 )2 + ( σ𝐿 𝐿 )2 • σп П = 0 • 2* σ𝑅 𝑅 = 1 2,0 = 0,5 • σ𝐿 𝐿 = 0,5 10,0 = 0,05 • σ𝑉 𝑉 = 02 + 0,52 + 0,052 = 0,5025 • 𝜎𝑉 = 0,5025*V = 0,5025*125,7 = 63 • V = (126 ± 63) cm3 ou (13 ± 6)*10 cm3 Propagação de Incerteza para variáveis independentes Regra Geral para variáveis independentes Na soma ou subtração, a incerteza absoluta do resultado é a soma em quadratura das incertezas absolutas Na multiplicação ou divisão, a incerteza relativa do resultado é dada pela soma em quadratura das incertezas relativas dos operandos. Não esqueça de converter a incerteza absoluta em relativa para o resultado final Qualquer termo menor que 1/3 do maior termo nasoma em quadratura pouco contribui com o resultado final e pode ser desprezado Incerteza padrão final • Erro Padrão do Valor Médio + Desvio padrão residual • Erro padrão residual: indicado pelo fabricante (ou adotar metade da menor divisão da escala) (sistemáticos) • 𝜎𝑓= 𝜎 ҧ𝑥 2 + 𝜎𝑟 2 Exercício • Você quer medir o volume de água que uma pia pode conter. Para isso foram realizadas 10 medidas do comprimento (C), da largura (L) e da profundidade (P) mostradas na tabela Medidas C (cm) L (cm) P (cm) 1 54,2 30,7 16,3 2 54,4 30,5 16,5 3 54,3 30,8 16,4 4 54,2 30,8 16,2 5 54,1 30,6 16,5 6 54,4 30,7 16,4 7 54,3 30,6 16,3 8 54,1 30,8 16,2 9 54,2 30,5 16,3 10 54,3 30,6 16,4 Soma 542,5 306,6 163,5 Média 54,25 30,66 16,35 Desvio Desvio Padrão 0,11 0,12 0,11 Exercício • Cálculo da Área • ҧ𝐴 = 54,3 * 30,7 = 1.667,01 cm2 • Desvio Padrão da Área • 𝑠𝐴 = ±[ ҧ𝐴 ( 𝑠𝐶 2 ҧ𝐶2 + 𝑠𝐿 2 ത𝐿2 )1/2] = ± 7,193 • A = (1667,0 ± 7,2) cm2 ҧ𝐴 = ҧ𝐶 ∗ ത𝐿 • Cálculo do Volume ത𝑉 = ҧ𝐴 ∗ ത𝑃 • ത𝑉 = 1.667,0 * 16,35 = 27.338,80 • Desvio Padrão do Volume • 𝑠𝑉 = ±[ത𝑉 ( 𝑠𝐴 2 ҧ𝐴2 + 𝑠𝑃 2 ത𝑃2 )1/2] = ± 215,722 • V = (27.338,8 ± 215,7) cm2 Linearização de curvas • Transformar uma função curvilínea (não linear) em linear • Exemplo: 𝑠 = 𝑎𝑡2 2 (não é linear) • Criar uma nova variável 𝑥 = 𝑡2 2 ⇒ 𝑠 = ax Espaços em função do tempo para um corpo em queda livre S = 𝑡2 2 para um corpo em queda livre Linearização de curvas Exponencial Aplicar log em ambos os termos Exemplo 1: 𝑦 = 𝑎𝑒𝑏𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑥 𝑌 = 𝑙𝑛 𝑦 𝑒 𝐴 = 𝑙𝑛(𝑎) 𝑌 = 𝐴 + 𝑏 ∗ 𝑥 Exemplo 2: 𝑦 = 𝑎𝑥𝑏 ln(y) = ln(a) + b*ln(x) Y = ln(y), A = ln(a) e X = ln(x) Y = A + b*X Objetivo Apresentar Teoria da Medição e dos Erros Medidas experimentais Erros e Incertezas Propagação de erros e incertezas Linearização de Curvas
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