2020415_133159_Metrologia+4

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Metrologia
Professora Márcia Milach
Programa
➢ Definições de metrologia
➢ Instrumentos de medição e controle dimensional
➢ Sistema de tolerâncias e ajustes e tolerâncias geométricas
➢ Fundamentos de estatística aplicados na Metrologia, erros
de medição e incerteza de medição
➢ Calibração, verificação, regulamentação e confirmação
metrológica
➢ Avaliação da conformidade e acreditação de laboratórios
1. Principais conceitos
1.1 Definição de Estatística
1.2 Medidas de posição ou de tendência central
1.3 Medidas de dispersão
2. Erros de medição
2.1 Definições iniciais
2.2 Diferença entre precisão e exatidão
2.3 Exemplo de cálculo do erro sistemático ou tendência e repetibilidade
3. Incerteza de medição
3.1 Definições iniciais
3.2 Estimativa da Incerteza Padrão Tipo A
3.3 Estimativa da Incerteza Tipo B
3.4 Procedimento experimental para cálculo das Incertezas Tipo A e Tipo B
Fundamentos de estatística aplicados na Metrologia, erros de
medição e incerteza de medição
1. Principais conceitos
1.1 Definição de Estatística
É uma ciência que utiliza teorias probabilísticas para explicar
eventos, estudos e experimentos. Ela também utiliza métodos
científicos para coletar e analisar dados. Tem por objetivo obter,
organizar e analisar dados, determinar as correlações que
apresentam entre si, tirando delas suas consequências para
descrição e explicação do que se passou e para fazer previsão e
organização do futuro.
1.2 Medidas de posição ou de tendência central
Em que:
• xi é o valor genérico das observações
• n é o número de observações
Em que:
• xi é a sequência das medidas
• Fi é a frequência que as medidas aparecem
• n é o número de observações
Em determinado período de tempo, mediu-se a temperatura de uma
amostra em C: 58,4; 58,2; 60,1; 58,4; 59,2; 60,1; 59,0; 57,8; 58,4; 59,0.
Com base nesses dados, pede-se a distribuição de frequência dos
resultados e a média aritmética de dados agrupados.
58,9C
Mediana é o valor da variável, para dados não classificados, que ocupa a 
posição central da distribuição. Veja duas distribuições como exemplos:
a) 1; 4; 7; 8; 10; 12; 14
b) b) 3; 5; 6; 8; 10; 11
No caso da primeira distribuição, na qual se tem um número ímpar de 
elementos, a mediana é o termo central, ou seja: 8. Já no caso da segunda, 
que tem número par de elementos, a mediana é calculada pela média 
aritmética dos dois termos centrais, isto é: (6 + 8)/2 = 7
Moda é a observação que ocorre com maior frequência em uma amostra ou 
distribuição. Feita a seguinte distribuição: 21; 22; 17; 21; 18; 21; 16; 19; 21; 
20; 23; 17; 19. Nesse caso, a moda é 21.
Mediana (md) e Moda (m)
1.3 Medidas de dispersão
Amplitude total (A)
Em que:
• xmín é o valor mínimo
• xmáx é o valor máximo
Desvio médio (DM)
Exemplo 1:
Suponha que uma peça foi medida com um micrômetro e foram
encontrados os seguintes resultados: 12,021 mm; 12,023 mm;
12,019 mm; 12,018 mm e 12,025 mm. Pede-se o desvio médio
DM = 0,002 mm
Exemplo 2:
Pede-se o desvio médio da atividade com temperaturas:
DM = 6,2/10 = 0,62C
Variância (s2)
Desvio padrão (s)
Exemplo
Calcule a variância para a sequência a seguir, que representa, 
em milímetros, o diâmetro de um eixo que foi torneado.
A variância é 0,0096. 
S2 = 0,01 mm
Exemplo
Calcular o desvio padrão para a sequência a seguir, que
representa o diâmetro, em milímetros, de um eixo que foi
torneado.
A representação do diâmetro do eixo é 23,33 mm ± 0,1 mm.
A variância é 0,0096. 
S2 = 0,01 mm, logo S = 0,1 mm.
2. Erros de medição
2.1 Definições iniciais
Em que:
• E é o erro de medição
• I é a indicação
• VVC é o valor verdadeiro convencional
Em que:
• Td é a tendência de instrumento de medição
• Es é o erro sistemático
• MI é a média de n indicações
• VVC é o valor verdadeiro convencional
O conceito de erro de medição pode ser utilizado:
• Quando existir um único valor de referência, o que ocorre se
uma calibração for realizada por meio de um padrão com um
valor cuja incerteza de medição é desprezível ou se um valor
convencional for fornecido. Nesses casos, o erro de medição será
conhecido.
• Caso se suponha que um mensurando é representado por um
único valor verdadeiro ou um conjunto de valores verdadeiros de
amplitude desprezível. Nesse caso, o erro de medição será
desconhecido. Não se deve confundir erro de medição com erro
de produção ou erro humano
2.2 Diferença entre precisão e exatidão
Representação da precisão e exatidão em medidas experimentais
Distribuição de tiros dos 
quatro atiradores sob a 
forma de “curva normal
Comparação entre precisão ou repetibilidade e exatidão
Em que:
• Eai é o valor individual do erro aleatório
• I é a indicação
• MI é a média de n indicações
Em que:
• Re é a faixa de dispersão dentro da qual se situa o erro 
aleatório, considerando, neste caso, uma probabilidade 
P = 95%. 
• s é desvio padrão experimental
• t é o coeficiente t-Studant, em t = f(n, P), em que n é o 
número de medidas
• "P é a probabilidade (n e p são tabelados) e o cálculo t é 
feito com base na tabela
Em que:
• RM é resultado da medição
• MI é a média aritmética dos valores medidos
• Td é a tendência
• Re é a repetitividade
• n é o número de medições executadas
2.3 Exemplo de cálculo do erro sistemático ou tendência e
repetibilidade
O diâmetro de um eixo padrão de 25,000 mm (VVC) foi medido com um 
micrômetro externo de resolução 0,001 mm. Foram encontrados os resultados 
mostrados na tabela
MI = 25,012 mm e VVC = 25,000 mm
Com base nesses resultados, qual é o erro sistemático ou
tendência do micrômetro?
Qual é a repetibilidade desse micrômetro com 95% de
probabilidade?
s = 0,003 mm
P = 95%
Grau de liberdade: n-1 = 10 – 1 = 9
n é o número de medições executadas
Como se expressa o resultado da medição (RM) do diâmetro do
eixo?
3. Incerteza de medição
3.1 Definições iniciais
Na avaliação da incerteza total é necessário considerar e incluir, no
mínimo, as incertezas provenientes das fontes a seguir:
• Definição incompleta do ensaio: os requisitos não estão claramente
descritos. Por exemplo, a temperatura de ensaio pode ser dada como
“temperatura ambiente”.
• Realização imperfeita do procedimento de ensaio: mesmo quando as
condições de ensaio são claramente definidas, às vezes não é possível
reproduzir as condições requeridas.
• Amostragem: a amostra pode não ser totalmente representativa.
• Conhecimento inadequado dos efeitos das condições ambientais no
processo de medida ou medições imperfeitas das condições
ambientais.
• Erros de leitura em instrumentos analógicos.
• Resolução do instrumento ou erro na graduação da escala.
• Valores indicados para os padrões de medida ou materiais de
referência.
• Mudança nas características ou no desempenho do instrumento de
medida desde a última calibração.
• Valores de constantes e outros parâmetros utilizados na avaliação de
dados.
• Aproximações e suposições incorporadas nos métodos e procedimentos
de medida.
• Variações em repetidas observações feitas sob condições
aparentemente idênticas. Esse efeito aleatório pode ser causado por
variabilidade do operador
As incertezas padrão de entrada u(xi) podem ser estimadas de duas
maneiras:
• Por meio de uma Avaliação da Incerteza Padrão Tipo A, baseada
num conjunto de observações de Xi, por meio de um tratamento
estatístico. Quando são executadas medições da grandeza Xi, sob
condições de repetibilidade, u(xi) = S(xi) é a estimativa da Incerteza
Padrão Tipo A de uma medição da grandeza Xi. Como vemos, a
Avaliação da Incerteza Padrão do Tipo A (aleatória) é feita a partir do
desvio padrão do conjunto de dados das medições Xi. Portanto, aqui,
o problema resume-se ao cálculo ou estimativa do desvio padrão.
• Por meio de uma Avaliação Tipo B, ou seja, por outros meios que
não dependam de um conjunto de observações (dados de literatura,
certificados de calibração, informações do tipo de distribuiçãoetc
3.2 Estimativa da Incerteza Padrão Tipo A
Desvio padrão:
Incerteza padrão Tipo A:
A Incerteza Padrão Tipo A considera apenas fatores estatísticos e, 
por ser mais simples, é geralmente adotada para cálculo. Deve-se 
executar uma série de repetições em iguais condições. Para obter 
bons resultados, o número de repetições deve ser (de preferência) 
no mínimo 10 e contar com um mensurando de boa qualidade.
3.3 Estimativa da Incerteza Tipo B
O conjunto de informações pode incluir:
• Dados de medições prévias.
• Experiência ou conhecimento geral do comportamento e 
propriedades de materiais e instrumentos relevantes.
• Especificações do fabricante.
• Dados fornecidos em certificados de calibrações ou outros 
certificados.
• Incertezas relacionadas a dados de referências extraídos de 
manuais.
Os passos para avaliação e expressão da Incerteza Tipo B são:
• Expressar o mensurando em função das grandezas Xi (escrever o 
modelo matemático).
• Determinar xi estatisticamente ou por outros meios.
• Classificar cada estimativa em tipo A ou B e estimar a incerteza 
padrão.
• Determinar a incerteza padrão combinada.
• Determinar a incerteza expandida.
• Estimar o grau de liberdade efetivo.
• Definir o valor de k.
• Relatar o resultado da medição conjuntamente com a incerteza 
expandida, o valor de k e a probabilidade de abrangência.
3.4 Procedimento experimental para cálculo das Incerteza Tipo A
Esquema do bloco padrão
Um bloco padrão foi utilizado para calcular as
incertezas Tipo A e Tipo B. A figura apresenta o
esquema do bloco padrão, de comprimento
nominal 18,000 mm, usado nos procedimentos
experimentais e temperatura no local de 25 ± 5°C.
3.4 Procedimento experimental para cálculo das Incerteza Tipo B
As incertezas geradas por efeitos sistemáticos e pela força de
medição foram desconsideradas, e as incertezas padrão a serem
avaliadas serão: incerteza Tipo A das medições (IA); incerteza da
Calibração (IC); incerteza da Resolução (IR) (como se trata de um
exemplo didático, neste caso não foi feita nenhuma observação ou
diferenciação sobre instrumentos analógicos ou digitais); e
incerteza devido à variação da temperatura (IT).
• Incerteza Tipo A das medições (IA) = 1,7 μm.
• Incerteza da Calibração (IC). No certificado de calibração do
micrômetro tem-se a informação de que a resolução é 1 μm, e
U95% = 0,0025 mm, para um fator de abrangência k = 2,1 (nível
de confiança de 95% e grau de liberdade estimado).
• Incerteza da Resolução (IR)
A resolução do micrômetro introduz um componente adicional de erro devido
ao truncamento numérico. Seu efeito é aleatório e pode ser quantificado
através dos limites máximos possíveis. O máximo erro de arredondamento
corresponde a um terço do valor da resolução e segue uma distribuição
retangular. Seu valor é calculado pela equação a seguir, em que res é
resolução do micrômetro = 1 μm.
• Incerteza devido a variação da temperatura (IT)
em que:
∆L: variação no comprimento.
L: comprimento inicial.
: coeficiente de dilatação térmica do material (aço:  = 11,5 μm/mK).
∆T = variação da temperatura (pode ser colocada em °C no cálculo).
IT = 0,018 · 11,5 · 5 = 1,035 μm.
Cálculo da incerteza combinada
A incerteza combinada é obtida ao se utilizarem incertezas padrão
individuais associadas às grandezas de entrada em um modelo de
medição. Em caso de correlações entre grandezas de entrada em
um modelo de medição, as covariâncias também devem ser
levadas em consideração no cálculo da incerteza padrão
combinada. Ela consiste na soma quadrática das diversas
incertezas de medição apresentadas por um instrumento qualquer,
que é calculada pela equação:
Cálculo da incerteza de medição expandida
Para algumas aplicações comerciais, industriais e de
regulamentação (por exemplo, a saúde e a segurança), é
necessária uma medida de incerteza que defina um intervalo
sobre o resultado da medição y, no qual o valor do mensurando
Y pode ser confirmado com a confiança adequada e é obtida
multiplicando-se uc(y) por um fator de abrangência, cujo símbolo
é k. A incerteza expandida é calculada pela equação a seguir
em que k é o fator de abrangência e uc é a incerteza combinada.
O nível de confiança normalmente é determinado para 95% de
confiabilidade.
• νef é o número de graus de liberdade efetivos.
• uc é a incerteza de medição combinada.
• ui é a incerteza de medição para a i-ésima fonte de incerteza.
• νi é o número de graus de liberdade para a i-ésima fonte de incerteza
O fator de abrangência equivale ao coeficiente de t-Student para desvios
padrão. O valor k é obtido através da tabela de correlações k (para 95%
de confiabilidade) e vef (número de graus de liberdade efetivos) como
mostrado na equação
Quando não é possível determinar o número de medições
realizadas para a obtenção de uma incerteza padrão, o grau de
liberdade será infinito. Nesse caso, ui, u
4 de IR e IT são iguais a
zero. A tabela a seguir é utilizada para determinar a soma de u4/vi.
IA e IC e fornece valores em m
Cálculo de vef: 
O resultado de medição é RM = (18,002 ± 0,0048) mm
A incerteza expandida que foi calculada pode sofre alterações se forem
consideradas outras fontes de erro, como a pressão de medição ou a
habilidade ou experiência do operador. Logo, a realização imperfeita do
procedimento de ensaio pode não reproduzir as condições requeridas.
Para o exemplo, a calibração do erro de medição do micrômetro para o
ponto 18 mm é 4,8 m, considerando um nível de confiança de
aproximadamente 95% e k = 2,06.