Lei de Darcy e Permeabilidade

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número de quedas de carga entre equipotenciais é igual a oito; desta forma, a
razão Nf/Nd é 0,375. A perda de carga total entre duas linhas equipotenciais
adjacentes é
O volume total de água que flui sob as estacas-prancha por unidade de tempo
e por unidade de comprimento da pranchada é dado por
Há um tubo piezométrico em um ponto P da linha equipotencial com carga
total h = 1,00 m, isto é, o nível da água é de 1,00 m acima da referência. O
ponto P está a uma distância zP = 6 m abaixo da referência, isto é, a carga
altimétrica é –zP. A pressão da água nos poros (poropressão ou pressão
neutra) em P pode, então, ser calculada com base no teorema de Bernoulli:
O gradiente hidráulico através de qualquer quadrado na rede de fluxo envolve
a medida da dimensão média do quadrado (Equação 2.22). O maior gradiente
hidráulico (e, em consequência, a maior velocidade de percolação) ocorre
através do menor quadrado e vice-versa. A dimensão Δs foi estimada
medindo-se o diâmetro dos círculos na Figura 2.8c. Os gradientes hidráulicos
através de cada quadrado são mostrados por uma representação de vetores
(dígrafos ou quivers) na Figura 2.8d, na qual o comprimento das setas é
proporcional ao módulo do gradiente hidráulico.
Exemplo 2.1
Um leito de rio consiste em uma camada de areia com 8,25 m de espessura sobre uma rocha
impermeável; a profundidade da água é de 2,50 m. Uma grande ensecadeira, com 5,50 m de
largura, é formada pela escavação de duas linhas de estacas-prancha até uma profundidade de
6,00 m abaixo do nível do leito do rio, realizando-se uma escavação com profundidade de 2,00
m abaixo do nível do leito dentro da ensecadeira. O nível de água desta última é mantido no
nível da escavação por meio de bombeamento. Se o fluxo de água na ensecadeira, por
comprimento unitário, for de 0,25 m3/h, qual será o coeficiente de permeabilidade da areia?
Qual é o gradiente hidráulico imediatamente abaixo da superfície escavada?
Solução
A seção e as condições de contorno são mostradas na Figura 2.9a, e a rede de fluxo, na Figura
2.9b. Nesta última, há seis canais de fluxo (três em cada lado) e dez quedas de equipotenciais
(carga). A perda de carga total é de 4,50 m. O coeficiente de permeabilidade é dado por
A distância (Δs) entre as duas últimas linhas equipotenciais é de 0,9 m. O gradiente hidráulico
exigido é dado por
Figura 2.9 Exemplo 2.1.
Exemplo 2.2
A Figura 2.10 mostra a seção transversal do vertedouro de uma barragem. Determine a
quantidade de percolação sob ela e faça um gráfico da distribuição de subpressão em sua base;
determine também a distribuição líquida da pressão de água na cortina de vedação (cut-off) na
extremidade de montante do vertedouro. O coeficiente de permeabilidade do solo da fundação
é 2,5 × 10–5 m/s.
Solução
A rede de fluxo é mostrada na Figura 2.10. O nível de água de jusante (superfície do solo) é
selecionado como referência. A perda de carga total entre as linhas equipotenciais de montante
e de jusante é 5,00 m. Na rede de fluxo, há três canais de fluxo e dez quedas de carga
equipotenciais. A percolação é dada por
Esse valor de fluxo de entrada refere-se a um metro de comprimento da ensecadeira. As
poropressões (pressões de água nos poros) que agem na base do vertedouro são calculadas nos
pontos de interseção das linhas equipotenciais com a base do vertedouro. A carga total de cada
ponto é obtida a partir da rede de fluxo e da carga altimétrica da seção. Os cálculos são
mostrados na Tabela 2.2, e o diagrama de pressões é representado na Figura 2.10.
As pressões de água que agem na cortina de vedação (cortina impermeável ou, ainda,
cortina de cut-off) são calculadas tanto na parte traseira (hb) quanto na frontal (hf) da cortina,
nos pontos de interseção entre ela e as equipotenciais. Dessa forma, a pressão líquida que age
na face traseira da cortina é
Figura 2.10
Tabela 2.2
Tabela 2.3
Exemplo 2.2.
Os cálculos são mostrados na Tabela 2.3, e o diagrama de pressões é representado na Figura
2.10. Os níveis (z) dos pontos 5–8 na Tabela 2.3 foram encontrados por meio da medida em
escala do diagrama.
Exemplo 2.2
Ponto h(m) z(m) h – z(m) u = γw(h – z) (kPa)
1 0,50 –0,80 1,30 12,8
2 1,00 –0,80 1,80 17,7
3 1,50 –1,40 2,90 28,4
4 2,00 –1,40 3,40 33,4
5 2,30 –1,40 3,70 36,3
 
Exemplo 2.2
Nível z(m) hb(m) ub/γw(m) hf(m) uf/γw(m) ub – uf
(kPa)
5 –1,40 5,00 6,40 2,28 3,68 26,7
6 –3,07 4,50 7,57 2,37 5,44 20,9
7 –5,20 4,00 9,20 2,50 7,70 14,7
8 –6,00 3,50 9,50 3,00 9,00 4,9
 
2.5 Condições anisotrópicas de solo
Neste momento, admitiremos que o solo, ainda que homogêneo, é
anisotrópico no que diz respeito à permeabilidade. A maioria dos depósitos
naturais de solo é anisotrópica, com o coeficiente de permeabilidade tendo
um valor máximo na direção da estratificação e um valor mínimo na direção
normal daquela estratificação; essas direções são indicadas por x e z,
respectivamente, isto é
Nesse caso, a forma generalizada da lei de Darcy é
Além disso, em qualquer direção s, inclinada a um ângulo α para a direção x,
o coeficiente de permeabilidade é definido pela equação
Agora
isto é,
Figura 2.11
Os componentes da velocidade de descarga também estão relacionados entre
si da seguinte forma:
Daí
ou
A variação direcional da permeabilidade é, portanto, descrita pela Equação
2.24, que representa a elipse mostrada na Figura 2.11.
Coeficiente de permeabilidade.
Dada a forma generalizada da lei de Darcy (Equação 2.23), a equação da
continuidade (2.11) pode ser escrita como:
ou
Substituindo
a equação da continuidade se torna
que é a equação da continuidade para um solo isotrópico em um plano xt – z.
Dessa forma, a Equação 2.26 define um fator de escala que pode ser
aplicado na direção x para transformar uma determinada região de fluxo
anisotrópico em uma de fluxo isotrópico fictício, na qual a equação de
Laplace seja válida. Uma vez desenhada a rede de fluxo (representando a
solução da equação de Laplace) para a seção transformada, a rede de fluxo
para a seção natural pode ser obtida aplicando-se o inverso do fator de escala.
No entanto, em geral, dados essenciais podem ser obtidos a partir da seção
transformada. A transformação necessária também poderia ser feita na
direção z.
O valor do coeficiente de permeabilidade que se aplica à seção
transformada, denominado coeficiente isotrópico equivalente, é
Uma prova formal da Equação 2.28 foi dada por Vreedenburgh (1936). A
validade desta pode ser demonstrada examinando um campo elementar de
uma rede de fluxo no qual o fluxo esteja na direção x. O campo desta rede é
desenhado para a escala transformada e para a escala normal na Figura 2.12,
com a transformação sendo efetuada na direção x. A velocidade de descarga
vx pode ser expressa tanto em termos de k′ (seção transformada) quanto em
termos de kx (seção natural), isto é,
em que
Dessa forma,
Figura 2.12 Campo elementar de rede de fluxo.
2.6 Condições não homogêneas de solo
Duas camadas isotrópicas de solo com espessuras H1 e H2 são mostradas na
Figura 2.13, com seus respectivos coeficientes de permeabilidade sendo k1 e
k2; o limite entre as camadas é horizontal (se as camadas fossem
anisotrópicas, k1 e k2 representariam seus coeficientes isotrópicos
equivalentes). As duas camadas podem ser consideradas uma única camada
homogênea anisotrópica de espessura (H1 + H2), em que os coeficientes na
direção paralela e na normal à de estratificação são respectivamente.
Na percolação unidimensional na direção horizontal, as linhas
equipotenciais em cada camada são verticais. Se h1 e h2 representam a carga
total em qualquer ponto das respectivas camadas, então, para um ponto
comum no limite, h1 = h2. Sendo assim, qualquer linha vertical através das
duas camadas representa uma linha equipotencial comum. Os gradientes
hidráulicos nas duas camadas e na camada única equivalente são, portanto,
iguais; os gradientes hidráulicos idênticos são indicados por ix. O fluxo
horizontal total por unidade de tempo é dado por
Figura 2.13 Condições não homogêneas de solo.Na percolação unidimensional na direção vertical, as velocidades de descarga
em cada camada e na camada única equivalente devem ser iguais, se a
exigência de continuidade precisar ser satisfeita. Assim sendo,
na qual é o gradiente hidráulico médio ao longo da profundidade (H1 + H2).
Dessa forma,
Agora, a perda na carga total ao longo da profundidade (H1 + H2) é igual à
soma das perdas de carga totais das camadas individuais, isto é
Expressões similares para se aplicam ao caso de qualquer número de
camadas de solo. Pode-se demonstrar que deve sempre ser maior do que 
isto é, a percolação pode ocorrer mais rapidamente na direção paralela à
estratificação do que na perpendicular.
2.7 Solução numérica usando o Método das Diferenças Finitas
Embora os esquemas de redes de fluxo sejam úteis para estimar as relações
	Parte 1 - Desenvolvimento de um modelo mecânico para o solo
	2 Percolação
	2.5 Condições anisotrópicas de solo
	2.6 Condições não homogêneas de solo
	2.7 Solução numérica usando o Método das Diferenças Finitas