Análise Estrutural e Mecânica

Prévia do material em texto

1) Primeiro vamos determinar as tensões principais do elemento infinitesimal: 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 
𝜎1 =
79,6 + 0
2
+ √(
79,6 − 0
2
)
2
+ 31,82 = 90,74 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 =
79,6 + 0
2
− √(
79,6 − 0
2
)
2
+ 31,82 = −11,14 𝑀𝑃𝑎 
a) O critério de Rankine nos diz o seguinte: 
𝜎𝑟 ≥ 𝜎𝑚á𝑥 
Portanto, vamos determinar o coeficiente de segurança para saber se o elemento 
estrutural irá falhar: 
𝑛 =
𝜎𝑟
𝜎1
 
𝑛 =
100
90,74
 
𝑛 = 1,1 
Como 𝑛 > 1 podemos afirmar que o elemento não apresentará falha. 
b) O critério de Von Mises nos diz o seguinte: 
𝜎𝑒 ≥ 𝜎′ 
Portanto vamos determinar incialmente a tensão de Von Mises: 
𝜎′ = √𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 3𝜏𝑥𝑦
2 
𝜎′ = √79,62 + 02 − 79,6 ∗ 0 + 3 ∗ 31,82 
𝜎′ = 96,8 𝑀𝑃𝑎 
Por fim, vamos determinar se haverá falha no material: 
𝑛 =
𝜎𝑒
𝜎′
 
𝑛 =
250
96,8
 
𝑛 = 2,58 
Como 𝑛 > 1 podemos afirmar que não haverá falha no elemento estrutural. 
2) Primeiro vamos determinar a reação no apoio de 2° gênero, o qual chamaremos de 
A: 
∑ 𝑀𝐵 = 0
↺+
 
𝐿
5
∗ 𝑞𝐿 + 𝑞𝐿 ∗
𝐿
2
− 𝐴𝑦𝐿 = 0 
𝑞𝐿2
5
+
𝑞𝐿2
2
= 𝐴𝑦𝐿 
𝐴𝑦 =
𝑞𝐿
5
+
𝑞𝐿
2
 
𝐴𝑦 =
2𝑞𝐿 + 5𝑞𝐿
10
 
𝐴𝑦 =
7𝑞𝐿
10
 
Agora vamos determinar a equação do momento fletor, onde iremos utilizar o método 
da função singular: 
𝑀(𝑥) =
7𝑞𝐿
10
< 𝑥 − 0 >1−
𝑞
2
< 𝑥 − 0 >2− 𝑞𝐿 < 𝑥 −
4𝐿
5
>1 
Agora vamos aplicar a equação da linha elástica que é dada por: 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥) 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
7𝑞𝐿
10
< 𝑥 − 0 >1−
𝑞
2
< 𝑥 − 0 >2− 𝑞𝐿 < 𝑥 −
4𝐿
5
>1 
Integrando ambos os lados da equação: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
7𝑞𝐿
20
< 𝑥 − 0 >2−
𝑞
6
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞𝐿
2
< 𝑥 −
4𝐿
5
>2+ 𝐶1 
Integrando ambos os lados da equação novamente: 
𝐸𝐼𝑣 =
7𝑞𝐿
60
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞
24
< 𝑥 − 0 >4−
𝑞𝐿
6
< 𝑥 −
4𝐿
5
>3+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Precisamos determinar os valores das constantes de integração 𝐶1 e 𝐶2, para isso 
vamos aplicar as seguintes condições de contorno: 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 𝐿 
Aplicando a primeira condição de contorno, teremos: 
0 =
7𝑞𝐿
60
< 0 − 0 >3−
𝑞
24
< 0 − 0 >4−
𝑞𝐿
6
< 0 −
4𝐿
5
>3+ 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 
𝐶2 = 0 
Aplicando agora a segunda condição de contorno: 
0 =
7𝑞𝐿
60
< 𝐿 − 0 >3−
𝑞
24
< 𝐿 − 0 >4−
𝑞𝐿
6
< 𝐿 −
4𝐿
5
>3+ 𝐶1 ∗ 𝐿 
7𝑞𝐿4
60
−
𝑞𝐿4
24
−
𝑞𝐿4
750
+ 𝐶1𝐿 = 0 
7𝑞𝐿3
60
−
𝑞𝐿3
24
−
𝑞𝐿3
750
= −𝐶1 
221𝑞𝐿3
3000
= −𝐶1 
𝐶1 = −
221𝑞𝐿3
3000
 
Portanto a equação da deflexão será: 
𝐸𝐼𝑣 =
7𝑞𝐿
60
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞
24
< 𝑥 − 0 >4−
𝑞𝐿
6
< 𝑥 −
4𝐿
5
>3−
221𝑞𝐿3
3000
𝑥 
Agora vamos determinar a inclinação dos apoios, determinando inicialmente no apoio 
A: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
7𝑞𝐿
20
< 𝑥 − 0 >2−
𝑞
6
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞𝐿
2
< 𝑥 −
4𝐿
5
>2−
221𝑞𝐿3
3000
 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
7𝑞𝐿
20
< 0 − 0 >2−
𝑞
6
< 0 − 0 >3−
𝑞𝐿
2
< 0 −
4𝐿
5
>2−
221𝑞𝐿3
3000
 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −
221𝑞𝐿3
3000
 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −
221𝑞𝐿3
3000𝐸𝐼
 
Agora vamos calcular a inclinação no apoio em B: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
7𝑞𝐿
20
< 𝐿 − 0 >2−
𝑞
6
< 𝐿 − 0 >3−
𝑞𝐿
2
< 𝐿 −
4𝐿
5
>2−
221𝑞𝐿3
3000
 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
7𝑞𝐿3
20
−
𝑞𝐿3
6
−
𝑞𝐿3
50
−
221𝑞𝐿3
3000
 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
269𝑞𝐿3
3000
 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
269𝑞𝐿3
3000𝐸𝐼
 
A deflexão máxima acontece no centro do vão, ou seja em 𝑥 = 𝐿/2. Desta forma 
vamos determinar qual será o valor da deflexão máxima em função da carga 
distribuída 𝑞 e da distância 𝐿: 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 =
7𝑞𝐿
60
<
𝐿
2
− 0 >3−
𝑞
24
<
𝐿
2
− 0 >4−
𝑞𝐿
6
<
𝐿
2
−
4𝐿
5
>3−
221𝑞𝐿3
3000
(
𝐿
2
) 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 =
7𝑞𝐿4
480
−
𝑞𝐿4
384
−
221𝑞𝐿4
6000
 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −
1193𝑞𝐿4
48000
 
𝑣𝑚á𝑥 = −
1193𝑞𝐿4
48000𝐸𝐼
 
O esboço da linha elástica será: 
 
3) Primeiro vamos determinar as reações no apoio em A: 
∑ 𝑀𝐵 = 0
↺+
 5 ∗ 2 ∗ 1,5 − 4𝐴𝑦 = 0 
15 = 4𝐴𝑦 
𝐴𝑦 = 3,75 𝑘𝑁 
Agora vamos determinar os esforços na seção S, primeiro determinando o esforço 
cortante: 
−𝑉 + 3,75 − 2 ∗ 1 = 0 
𝑉 = 3,75 − 2 
𝑉 = 1,75 𝑘𝑁 
Agora vamos calcular o momento fletor na seção S: 
𝑀 − 3,75 ∗ 1 + 2 ∗ 1 ∗ 0,5 = 0 
𝑀 − 3,75 + 1 = 0 
𝑀 = 2,75 𝑘𝑁𝑚 
Vamos determinar a posição da linha neutra da seção transversal: 
�̅� =
∑ �̃�𝐴
∑ 𝐴
 
�̅� =
0,015 ∗ 0,01 ∗ 0,03 + 0,035 ∗ 0,01 ∗ 0,03
2 ∗ 0,01 ∗ 0,03
 
�̅� = 0,025 𝑚 
Agora vamos determinar o momento de inércia da seção transversal em relação a 
linha neutra: 
𝐼 = ∑ 𝐼̅ + 𝐴𝑑2 
𝐼 =
0,01 ∗ 0,033
12
+ 0,01 ∗ 0,03 ∗ (0,025 − 0,015)2 +
0,03 ∗ 0,013
12
+ 0,03 ∗ 0,01 ∗ (0,035 − 0,025)2 
𝐼 = 8,5 ∗ 10−8 𝑚4 
Para o ponto A temos as seguintes tensões: 
𝜎𝐴 =
2,75 ∗ 103 ∗ (0,025 − 0,01)
8,5 ∗ 10−8
= 485,29 𝑀𝑃𝑎 
Para determinar a tensão de cisalhamento precisamos determinar o momento estático 
nesse ponto, portanto: 
𝑄𝐴 = 0,012 ∗ (0,025 − 0,005) 
𝑄𝐴 = 2 ∗ 10−6 𝑚3 
Portanto a tensão de cisalhamento no ponto A será: 
𝜏𝐴 =
1,75 ∗ 103 ∗ 2 ∗ 10−6
8,5 ∗ 10−8 ∗ 0,01
= 4,12 𝑀𝑃𝑎 
Para o ponto B temos as seguintes tensões: 
𝜎𝐵 =
2,75 ∗ 103 ∗ (0,04 − 0,025)
8,5 ∗ 10−8
= 485,29 𝑀𝑃𝑎 
No ponto B a tensão de cisalhamento é nula, pois o momento estático é nulo nesse 
ponto, portanto: 
𝜏𝐵 = 0 
a) Aplicando o critério de Von Mises para o ponto A teremos: 
𝜎′ = √485,292 + 3 ∗ 4,122 
𝜎′ = 485,34 𝑀𝑃𝑎 
Portanto o coeficiente de segurança será: 
𝑛 =
250
485,34
 
𝑛 = 0,515 
Como 𝑛 < 1 temos que ocorrerá falha na estrutura no ponto A. 
b) Para aplicar o critério de Tresca precisamos inicialmente determinar as tensões 
principais: 
𝜎1 =
485,29 + 0
2
+ √(
485,29 − 0
2
)
2
= 485,29 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 =
485,29 + 0
2
− √(
485,29 − 0
2
)
2
= 0 
Calculando o coeficiente de segurança pela teoria de falha de Tresca: 
𝑛 =
250
485,29
 
𝑛 = 0,515 
Como 𝑛 < 1 temos que ocorrerá falha na estrutura no ponto B. 
4) Primeiro vamos determinar a reação no apoio da esquerda o qual chamaremos de 
A: 
∑ 𝑀𝐵 = 0
↺+
 2 ∗ 2 + 4 ∗ 1 ∗ 2 − 4𝐴𝑦 = 0 
4 + 8 = 4𝐴𝑦 
12 = 4𝐴𝑦 
𝐴𝑦 = 3 𝑘𝑁 
Agora vamos determinar a equação para o momento fletor utilizando função de 
singularidade: 
𝑀(𝑥) = 3 < 𝑥 − 0 >1− 0,5 < 𝑥 − 0 >2− 2 < 𝑥 − 2 >1 
Aplicando a equação diferencial da linha elástica: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 1,5 < 𝑥 − 0 >2−
0,5
3
< 𝑥 − 0 >3− 1 < 𝑥 − 2 >2+ 𝐶1 
𝐸𝐼𝑣 = 0,5 < 𝑥 − 0 >3−
0,5
12
< 𝑥 − 0 >4−
1
3
< 𝑥 − 2 >3+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Precisamos determinar os valores das constantes de integração 𝐶1 e 𝐶2, para isso 
vamos aplicar as seguintes condições de contorno: 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 4 
Aplicando a primeira condição de contorno: 
0 = 0,5 < 0 − 0 >3−
0,5
12
< 0 − 0 >4−
1
3
< 0 − 2 >3+ 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 
𝐶2 = 0 
Aplicando a segunda condição de contorno: 
0 = 0,5 < 4 − 0 >3−
0,5
12
< 4 − 0 >4−
1
3
< 4 − 2 >3+ 4𝐶1 
32 − 10,67 − 2,67 = −4𝐶1 
18,67 = −4𝐶1 
𝐶1 = −4,67 
Portanto a equação da linha elástica será: 
𝐸𝐼𝑣 = 0,5 < 𝑥 − 0 >3−
0,5
12
< 𝑥 − 0 >4−
1
3
< 𝑥 − 2 >3− 4,67𝑥 
Vamos determinar as inclinações nos apoios, começando pelo apoio da esquerda: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 1,5 < 0 − 0 >2−
0,5
3
< 0 − 0 >3− 1 < 0 − 2 >2− 4,67 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −4,67 ∗ 103 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −
4666,67
𝐸𝐼
 
Agora vamos determinar a inclinação no apoio da direita: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 1,5 < 4 − 0 >2−
0,5
3
< 4 − 0 >3− 1 < 4 − 2 >2− 4,67 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 24 − 10,67 − 4 − 4,67 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 4666,67 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
4666,67
𝐸𝐼
 
A deflexão máxima acontece no centro do vão, ou seja para 𝑥 = 2, desta forma 
conseguimos calcular a deflexão máxima nesse ponto: 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 0,5 < 2 − 0 >3−
0,5
12
< 2 − 0 >4−
1
3
< 2 − 2 >3− 4,67 ∗ 2 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 4 − 0,67 − 9,33 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −6 ∗ 103 
𝑣𝑚á𝑥 = −
6000
𝐸𝐼
 
O esboço da linha elástica será: 
 
5) Temos uma viga estaticamente indeterminada, portanto não conseguimos calcular 
as reações de apoio utilizando apenas as equações de equilíbrio, portanto vamos 
escrever asequações de equilíbrio para depois que obtermos as equações da linha 
elástica conseguirmos determinas essas reações: (Nosso ponto A é o engaste) 
∑ 𝑀𝐴 = 0
↺+
 𝑀𝐴 −
𝑞𝐿
2
∗
1
3
𝐿 + 𝐵𝑦𝐿 = 0 
𝑀𝐴 + 𝐵𝑦𝐿 −
𝑞𝐿2
6
= 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0
↑+
 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 −
𝑞𝐿
2
= 0 
Vamos escrever a equação para o momento fletor: 
𝑀(𝑥) = −𝑀𝐴 < 𝑥 − 0 >0+ 𝐴𝑦 < 𝑥 − 0 >1−
𝑞
6𝐿
< 𝑥 − 0 >3 
Aplicando a equação da linha elástica temos o seguinte: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −𝑀𝐴 < 𝑥 − 0 >1+
𝐴𝑦
2
< 𝑥 − 0 >2−
𝑞
24𝐿
< 𝑥 − 0 >4+ 𝐶1 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑀𝐴
2
< 𝑥 − 0 >2+
𝐴𝑦
6
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞
120𝐿
< 𝑥 − 0 >5+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Para calcular as constantes de integração temos as seguintes condições de contorno: 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0 ⟶ 𝑥 = 0 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 
Aplicando a primeira condição de contorno teremos: 
0 = −𝑀𝐴 < 0 − 0 >1+
𝐴𝑦
2
< 0 − 0 >2−
𝑞
24𝐿
< 0 − 0 >4+ 𝐶1 
𝐶1 = 0 
Aplicando a segunda condição de contorno teremos: 
0 = −
𝑀𝐴
2
< 0 − 0 >2+
𝐴𝑦
6
< 0 − 0 >3−
𝑞
120𝐿
< 0 − 0 >5+ 𝐶2 
𝐶2 = 0 
Portanto, temos a seguinte equação para a deflexão: 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑀𝐴
2
< 𝑥 − 0 >2+
𝐴𝑦
6
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞
120𝐿
< 𝑥 − 0 >5 
Temos uma terceira condição de contorno no apoio de 1 gênero, a qual utilizaremos 
para determinar uma das reações: 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 𝐿 
Aplicando a condição de contorno teremos: 
0 = −
𝑀𝐴
2
< 𝐿 − 0 >2+
𝐴𝑦
6
< 𝐿 − 0 >3−
𝑞
120𝐿
< 𝐿 − 0 >5 
−
𝑀𝐴𝐿2
2
+
𝐴𝑦𝐿3
6
−
𝑞𝐿4
120
= 0 
−
𝑀𝐴
2
+
𝐴𝑦𝐿
6
−
𝑞𝐿2
120
= 0 
Vamos isolar o 𝐴𝑦 na equação acima: 
𝐴𝑦𝐿
6
=
𝑀𝐴
2
+
𝑞𝐿2
120
 
𝐴𝑦 =
3𝑀𝐴
𝐿
+
𝑞𝐿
20
 
Da equação do somatório dos momentos no ponto A vamos isolar o 𝐵𝑦: 
𝑀𝐴 + 𝐵𝑦𝐿 −
𝑞𝐿2
6
= 0 
𝐵𝑦𝐿 =
𝑞𝐿2
6
− 𝑀𝐴 
𝐵𝑦 =
𝑞𝐿
6
−
𝑀𝐴
𝐿
 
Substituindo agora 𝐴𝑦 e 𝐵𝑦 na equação para o somatório das forças em y, teremos: 
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 −
𝑞𝐿
2
= 0 
3𝑀𝐴
𝐿
+
𝑞𝐿
20
+
𝑞𝐿
6
−
𝑀𝐴
𝐿
−
𝑞𝐿
2
= 0 
2𝑀𝐴
𝐿
−
17𝑞𝐿
60
= 0 
2𝑀𝐴
𝐿
=
17𝑞𝐿
60
 
𝑀𝐴 =
17𝑞𝐿2
120
 
Agora vamos determinar 𝐴𝑦: 
𝐴𝑦 =
3
𝐿
(
17𝑞𝐿2
120
) +
𝑞𝐿
20
 
𝐴𝑦 =
17𝑞𝐿
40
+
𝑞𝐿
20
 
𝐴𝑦 =
19𝑞𝐿
40
 
Agora vamos calcular o 𝐵𝑦: 
𝐵𝑦 =
𝑞𝐿
6
−
1
𝐿
(
17𝑞𝐿2
120
) 
𝐵𝑦 =
𝑞𝐿
6
−
17𝑞𝐿
120
 
𝐵𝑦 =
𝑞𝐿
40
 
Agora vamos reescrever a equação da linha elástica com as reações calculadas: 
𝐸𝐼𝑣 = −
17𝑞𝐿2
240
< 𝑥 − 0 >2+
19𝑞𝐿
240
< 𝑥 − 0 >3−
𝑞
120𝐿
< 𝑥 − 0 >5 
Para traçar a deformada, temos que a deflexão será máxima em 𝑥 = 3𝐿/5, portanto 
temos que a deflexão máxima será: 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −
17𝑞𝐿2
240
<
3𝐿
5
− 0 >2+
19𝑞𝐿
240
<
3𝐿
5
− 0 >3−
𝑞
120𝐿
<
3𝐿
5
− 0 >5 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −
51𝑞𝐿4
2000
+
171𝑞𝐿4
10000
−
81𝑞𝐿4
125000
 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −
1131𝑞𝐿4
125000
 
𝑣𝑚á𝑥 = −
1131𝑞𝐿4
125000𝐸𝐼
 
Esboçando a transformada, teremos: 
 
Agora vamos esboçar os diagramas de esforços internos, começando pelo esforço 
cortante: 
𝑉(𝑥) =
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑉(𝑥) = −
17𝑞𝐿2
120
< 𝑥 − 0 >−1+
19𝑞𝐿
40
< 𝑥 − 0 >0−
𝑞
2𝐿
< 𝑥 − 0 >2 
Portanto o diagrama de esforço cortante: 
 
Agora vamos esboçar a equação para o momento fletor: 
𝑀(𝑥) = −
17𝑞𝐿2
120
< 𝑥 − 0 >0+
19𝑞𝐿
40
< 𝑥 − 0 >1−
𝑞
6𝐿
< 𝑥 − 0 >3 
Vamos determinar o momento no centro do vão: 
𝑀 (
𝐿
2
) = −
17𝑞𝐿2
120
<
𝐿
2
− 0 >0+
19𝑞𝐿
40
<
𝐿
2
− 0 >1−
𝑞
6𝐿
<
𝐿
2
− 0 >3 
𝑀 (
𝐿
2
) = −
17𝑞𝐿2
120
+
19𝑞𝐿2
80
−
𝑞𝐿2
64
 
𝑀 (
𝐿
2
) = −
77𝑞𝐿2
960
 
Portanto o diagrama de momento fletor: 
 
6) Inicialmente vamos determinar a equação para o momento fletor: 
𝑀(𝑥) = 𝐴𝑦 < 𝑥 − 0 >1− 1,5 < 𝑥 − 0 >2+ 𝐵𝑦 < 𝑥 − 3 >1 
Aplicando a equação da linha elástica teremos: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝐴𝑦
2
< 𝑥 − 0 >2− 0,5 < 𝑥 − 0 >3+
𝐵𝑦
2
< 𝑥 − 3 >2+ 𝐶1 
𝐸𝐼𝑣 =
𝐴𝑦
6
< 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+
𝐵𝑦
6
< 𝑥 − 3 >3+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Temos 3 condições de contorno: 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 0 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 3 
𝑣 = 0 ⟶ 𝑥 = 6 
Aplicando a primeira condição de contorno na equação para a deflexão: 
0 =
𝐴𝑦
6
< 0 − 0 >3− 0,125 < 0 − 0 >4+
𝐵𝑦
6
< 0 − 3 >3+ 𝐶1 ∗ 0 + 𝐶2 
𝐶2 = 0 
Aplicando a segunda condição de contorno: 
0 =
𝐴𝑦
6
< 3 − 0 >3− 0,125 < 3 − 0 >4+
𝐵𝑦
6
< 3 − 3 >3+ 3𝐶1 
4,5𝐴𝑦 − 10,125 + 3𝐶1 = 0 
3𝐶1 = −4,5𝐴𝑦 + 10,125 
𝐶1 = −1,5𝐴𝑦 + 3,375 
Portanto a equação da linha elástica será: 
𝐸𝐼𝑣 =
𝐴𝑦
6
< 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+
𝐵𝑦
6
< 𝑥 − 3 >3+ (−1,5𝐴𝑦 + 3,375)𝑥 
Aplicando a terceira condição de contorno: 
0 =
𝐴𝑦
6
< 6 − 0 >3− 0,125 < 6 − 0 >4+
𝐵𝑦
6
< 6 − 3 >3+ 6 ∗ (−1,5𝐴𝑦 + 3,375) 
36𝐴𝑦 − 162 + 4,5𝐵𝑦 − 9𝐴𝑦 + 20,25 = 0 
27𝐴𝑦 + 4,5𝐵𝑦 − 141,75 = 0 
Aplicando o somatório das forças no apoio em C: 
∑ 𝑀𝐶 = 0
↺+
 − 3𝐵𝑦 − 6𝐴𝑦 + 6 ∗ 3 ∗ 3 = 0 
−6𝐴𝑦 − 3𝐵𝑦 + 54 = 0 
Temos um sistema de equações: 
{
27𝐴𝑦 + 4,5𝐵𝑦 = 141,75
−6𝐴𝑦 − 3𝐵𝑦 = −54
 
Isolando o 𝐵𝑦 na equação 2: 
−3𝐵𝑦 = 6𝐴𝑦 − 54 
𝐵𝑦 = 18 − 2𝐴𝑦 
Substituindo na equação 1: 
27𝐴𝑦 + 4,5(18 − 2𝐴𝑦) = 141,75 
27𝐴𝑦 + 81 − 9𝐴𝑦 = 141,75 
18𝐴𝑦 = 60,75 
𝐴𝑦 = 3,375 𝑘𝑁 
E portanto 𝐵𝑦: 
𝐵𝑦 = 18 − 2 ∗ 3,375 
𝐵𝑦 = 11,25 𝑘𝑁 
Aplicando o somatório das forças em y: 
∑ 𝐹𝑦 = 0
↑+
 3,375 + 11,25 − 6 ∗ 3 + 𝐶𝑦 = 0 
−3,375 + 𝐶𝑦 = 0 
𝐶𝑦 = 3,375 𝑘𝑁 
Reescrevendo a equação da deflexão com o valor obtido para as reações: 
𝐸𝐼𝑣 =
3,375
6
< 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+
11,25
6
< 𝑥 − 3 >3+ (−1,5 ∗ 3,375 + 3,375)𝑥 
𝐸𝐼𝑣 = 0,5625 < 𝑥 − 0 >3− 0,125 < 𝑥 − 0 >4+ 1,875 < 𝑥 − 3 >3− 1,6875𝑥 
A deflexão máxima acontece entre os apoios, ou seja em 𝑥 = 1,5 ou em 𝑥 = 4,5. Desta 
forma vamos calcular qual é o valor da deflexão máxima: 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 0,5625 < 1,5 − 0 >3− 0,125 < 1,5 − 0 >4+ 1,875 < 1,5 − 3 >3− 1,6875 ∗ 1,5 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = 1,8984375 − 0,6328125 − 2,53125 
𝐸𝐼𝑣𝑚á𝑥 = −1,265625 
𝑣𝑚á𝑥 = −
1265,625
𝐸𝐼
 
Portanto vamos traçar a deformada: 
 
Agora vamos esboçar os diagramas dos esforços internos, começando pelo diagrama 
de esforço cortante. Temos a seguinte equação de esforço cortante: 
𝑉(𝑥) = 3,375 < 𝑥 − 0 >0− 3 < 𝑥 − 0 >1+ 11,25 < 𝑥 − 3 >1 
Vamos calcular o esforço cortante no centro do vão: 
𝑉(3) = 3,375 < 3 − 0 >0− 3 < 3 − 0 >1+ 11,25 < 3 − 3 >1 
𝑉(3) = 3,375 − 9 
𝑉(3) = −5,625 𝑘𝑁 
Portanto temos o seguinte diagrama de esforço cortante: 
 
E por fim vamos esboçar o diagrama de momento fletor que possui a seguinte 
equação: 
𝑀(𝑥) = 3,375 < 𝑥 − 0 >1− 1,5 < 𝑥 − 0 >2+ 11,25 < 𝑥 − 3 >1 
Calculando o momento fletor máximo entre os apoios entre os apoios: 
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑥
= 0 
3,375 − 3𝑥 = 0 
3𝑥 = 3,375 
𝑥 = 1,125 
Portanto o momento fletor nesse ponto: 
𝑀(1,125) = 3,375 < 1,125 − 0 >1− 1,5 < 1,125 − 0 >2+ 11,25 < 1,125 − 3 >1 
𝑀(1,5) = 3,796875 − 1,8984375 
𝑀(1,5) = 1,8984375 𝑘𝑁𝑚 
Calculando agora o momento fletor no centro do vão: 
𝑀(3) = 3,375 < 3 − 0 >1− 1,5 < 3 − 0 >2+ 11,25 < 3 − 3 >1 
𝑀(3) = 10,125 − 13,5 
𝑀(3) = −3,375 𝑘𝑁. 𝑚 
Portanto, temos o seguinte diagrama de momento fletor: