Tarefa 2 (7)

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos. 
Identificação da tarefa: Tarefa 2. Unidade 2. Envio de arquivo. 
Pontuação: 10 pontos. 
 
TAREFA 2 
 
Sobre deflexão de vigas, calcule as questões a seguir. 
1. Determine as equações da linha elástica da viga da figura 1, utilizando a 
coordenada x válida para 0≤x<L/2. Indique a inclinação em A e a deflexão 
máxima. Considerando EI constante. 
Figura 1 
 
Fonte: Hibbler, 2004. 
Solução: 
Aplicando a equação: 
𝐸𝐼
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
= 𝑀(𝑥) temos: 
𝐸𝐼
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
=
𝑃
2
𝑥 
E integrando duas vezes temos as equações: 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑃𝑥²
4
+ 𝐶1 (2) 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑃𝑥³
12
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3) 
Se usamos as condições de contorno 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0 em 𝑥 =
𝐿
2
= 0 e v = 0 em x= 0, as 
P 
 
c o 
P
2
 
P
2
 
x 
L
2
 
L
2
 
P
2
 
c
V(x) 
𝑀𝑥 =
𝑃
2
 x 
equações 2 e 3 tornam-se: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑞. 2 0 =
𝑃
4
(
𝐿
2
) ² + 𝐶1 
𝐶1 =
𝑃𝐿²
16
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑞. 3 0 = 0 + 0 + 𝐶2 
𝐶2 = 0 
Inclinação: 
 Substituindo o valor de C1 na eq.2 temos: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑃
16𝐸𝐼
(4𝑥2 − 𝐿2) 
 𝜃𝐴 =
𝑑𝑣
𝜎𝑥
|
𝑥=0
= −
𝑃𝐿²
16𝐸𝐼
 Resposta 
(1) O sinal negativo indica rotação para ꝊA no sentido horário. 
Linha elástica: 
Substituindo o valor de C1 e C2 na equação 3. 
𝑣 =
𝑃𝑥
48𝐸𝐼
(4𝑥2 − 3𝐿2) Resposta 
A deflexão máxima (vmax) ocorre em x= L/2: 
𝑣𝑚𝑎𝑥 = −
𝑃𝐿2
48𝐸𝐼
 Resposta 
O sinal negativo indica que va estende-se para baixo 
 
 
 
 
 
2. Determine a equação da linha elástica da viga da figura 2, que está submetida 
a M0. Indique a inclinação em A e a deflexão máxima. Considerando EI 
constante. 
Figura 2 
 
Fonte: Hibbler, 2004. 
Linha elástica e inclinação: 
𝐸𝐼
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
= 𝑀(𝑥) 
𝐸𝐼
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
= −𝑀𝑜 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −𝑀𝑜𝑥 + 𝐶1 (2) 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −
𝑀0𝑥2
2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3) 
Se usamos as condições de contorno 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0 em 𝑥 = 0 
Para eq. (2). C1= 0 
V = 0 em x=0 
Para eq. (3). C2 = 0 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −
𝑀𝑜𝑥
𝐸𝐼
 
𝜃𝑚𝑎𝑥 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
|
𝑥=𝐿
= −
𝑀0𝐿
𝐸𝐼
 Resposta 
O sinal negativo indica a rotação no sentido horário. 
 
x 
Mo M(x)= - Mo 
𝑣 = −
𝑀𝑜𝑥²
2𝐸𝐼
 Resposta 
𝑣𝑚𝑎𝑥 =
𝑣
|
𝑥=𝐿
= −
𝑀0𝐿²
2𝐸𝐼
 Resposta 
O sinal negativo indica que o deslocamento ocorre para baixo 
 
 
 
 
 
Referência: 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materias 5º ed.