RdMI-Deflexão-de-Vigas

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Deflexão de vigas
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
4 de julho de 2016
Luciano Pessanha Moreira, Professor Associado, UFF
Departamento de Engenharia Mecânica (VEM)
Deformação-Curvatura
𝜀𝑥𝑥 = −
𝑦
𝜌
= −𝜅 𝑦
𝜅 =
1
𝜌
Deformação
Curvatura
Popov (2011)
Hipótese cinemática
Seções planas permanecem planas 
durante e após deformação
Momento-Curvatura
Δ𝑢 = − 𝑦 Δ𝜃
Popov (2011)
Elemento A’B’C’D’ Alongamento de uma fibra qualquer (de)
em relação a superfície neutra (fibra ab)
lim
Δ𝑠→0
Δ𝑢
Δ𝑠
= − 𝑦 lim
Δ𝑠→0
Δ𝜃
Δ𝑠
𝑑𝑢
𝑑𝑠
= −𝑦
𝑑𝜃
𝑑𝑠
ou
Mas,
𝜀𝑥𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑠
e lim
Δ𝑠→0
Δ𝜃
Δ𝑠
=
𝑑𝜃
𝑑𝑠
=
1
𝜌
= 𝜅
Logo,
1
𝜌
= 𝜅 = −
𝜀𝑥𝑥
𝑦
No regime linear elástico, material isotrópico
𝜎𝑥𝑥 = 𝐸𝜀𝑥𝑥 = −
𝑀𝑦
𝐼
1
𝜌
= 𝜅 =
𝑀
𝐸𝐼
Equação da Linha Elástica
Popov (2011)
Equação diferencial para deflexão de vigas elásticas
1
𝜌
=
 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2
1 +
𝑑𝑣
𝑑𝑥
2
x e v são coordenadas de um ponto sobre a curva,
a saber, x é a distância que localiza um ponto e v
define a deflexão do mesmo ponto em relação à
sua posição inicial.
Pequenas deflexões
1
𝜌
≈
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
2
≪ 1
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑣2 = 1 + (𝑣′)2≈ 1
Equações Diferenciais de Vigas Elásticas
Popov (2011)
Vigas elásticas com rigidez à flexão EI constante
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑥
𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= −𝑉 𝑥
𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= 𝑤 𝑥
𝑣 = 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
Convenção de sinal positivo
Equações Diferenciais de Vigas Elásticas
Popov (2011)
Condições de contorno
𝑀 𝑎 = 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 0
𝑣 𝑎 = 0
Suporte de rolete ou pino
𝜃 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
𝑣(𝑎) = 0
Suporte fixo ou engastado
Equações Diferenciais de Vigas Elásticas
Popov (2011)
Condições de contorno
𝑀 𝑎 = 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 0
𝑉 𝑎 = −𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
Extremidade livre
𝜃 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
Suporte guiado
𝑉 𝑎 = −𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
Exemplo
Viga engastada com carga na extremidade livre
𝑥
𝑣
L
0
P
P
x
V(x)
M(x)
M x = −P x
V x = P
𝑣(𝐿) = 0
𝜃 𝐿 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
Condições de contorno (C.C.)
0
Exemplo
Viga engastada com carga na extremidade livre
𝑥
𝑣
L
0
M x = −P 𝑥
V x = P
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −𝑃 𝑥
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −𝑃
𝑥2
2
+ 𝐶1
𝐸𝐼 𝑣 = −𝑃
𝑥3
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
(C.C.) 𝐶1 =
𝑃𝐿2
2
𝐶2 = −
𝑃𝐿3
3
𝑣(𝐿) = 0
𝜃 𝐿 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
Condições de contorno (C.C.)P
Exemplo
Viga engastada com carga na extremidade livre
𝑥
𝑣
L
0
Valores máximos em x = 0
𝜃 0 =
𝑃𝐿2
2𝐸𝐼
𝑣(0) = −
𝑃𝐿3
3𝐸𝐼
𝑣(𝐿) = 0
𝜃 𝐿 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
Condições de contorno (C.C.)P
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑃
2𝐸𝐼
𝐿2 − 𝑥2
𝑣 =
𝑃
6𝐸𝐼
−𝑥3 + 3𝐿2𝑥 − 2𝐿3
Exercício
Viga simplesmente apoiada com carga concentrada
𝑥
𝑣
𝑥2
0
P
𝑥1
2𝑎 𝑎
Máxima deflexão da viga ?
Referências
E.R., Popov, Introdução à Mecânica dos Sólidos, Editora Blucher, 1ª edição, 9ª reimpressão,
2011, São Paulo – SP
R.C. Hibbeler, Resistência dos Materiais, Editora Pearson Prentice Hall, 7ª edição, 6ª
reimpressão, 2013, São Paulo - SP