Res Mat I Aula 03 06 mod

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Resistência dos Materiais I
Prof. Dr. Alexandre de Souza Rios
Projeto de vigas por cargas estáticas
03.06 – Equação diferencial da linha elástica
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
• Informe os valores de tensões de cisalhamento 
e flexão máximos no material indicado abaixo.
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
Projetando vigas por cisalhamento e 
flexão através de cargas estáticas
𝑄𝑚á𝑥 = ത𝑦
′. 𝐴′ =
0,15
4
.
0,15
2
. 0,1 = 2,8125. 10−4 𝑚3
Motivação e justificativa desta aula
Motivação e justificativa desta aula
Motivação e justificativa desta aula
Objetivos de aprendizagem desta aula
✓Atividades esperadas pelo aluno nesta aula:
• Compreender os conceitos de linha elástica;
• Identificar as condições de contorno para uma viga;
• Calcular a deformação máxima em uma viga;
• Calcular a inclinação de vigas submetidas aos
esforços mecânicos.
Linha elástica
• O diagrama da deflexão ou deslocamento (𝒗) do
eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada
área da seção transversal da viga é denominado linha
elástica;
• A inclinação (θ) e o deslocamento (𝑣 ) da linha
elástica são restringidos pelos apoios.
Linha elástica
• Devido aos apoios de rolete
e pino:
✓ Deslocamentos ( 𝒗 )
nulos nos pontos B e D;
✓ Inclinações (Ɵ) nulas
pontos B e E.
Linha elástica
Linha elástica
Linha elástica
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
• A equação da linha elástica pode ser descrita
em função do raio de curvatura (𝜌), 𝑣 e x.
• A teoria da elasticidade descreve essa
equação através de equações diferenciais de
segunda ordem:
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
1 +
𝑑𝑣
𝑑𝑥
2 Τ3 2
• A inclinação da linha elástica expressa por
d𝜐/dx será muito pequena e o quadrado
dessa inclinação será desprezível em
comparação com a unidade. Portanto:
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
1 +
𝑑𝑣
𝑑𝑥
2 Τ3 2
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
• Se diferenciarmos cada lado em relação a x e
substituirmos V = dM/dx, temos:
𝑑
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑉(𝑥)
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
• Se diferenciarmos cada lado em relação a x e
substituirmos V = dM/dx, temos:
• Diferenciando mais uma vez e sabendo que
–w=dV/dx, temos:
𝑑²
𝑑𝑥²
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −𝑤(𝑥)
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
𝑑
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑉(𝑥)
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
• Se considerarmos a rigidez (EI) constante,
temos:
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= 𝑉(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑤(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• Se considerarmos a rigidez (EI) constante,
temos:
Através de integrações
sucessivas é possível
determinar a deflexão (v) da
linha elástica.
Cada integração adiciona
uma constante de
integração. As condições de
contorno permitem obtê-las.
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= 𝑉(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑤(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• Se considerarmos a rigidez (EI) constante,
temos:
Se for fornecida carga 
distribuída, teremos de avaliar 
quatro constantes de 
integração; 
Contudo, se o momento fletor 
for determinado, teremos de 
avaliar somente duas 
constantes de integração. 
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= 𝑉(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑤(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• Por exemplo:
• 𝑀 𝑥 = −2𝑥 + 32
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −2𝑥 + 32 = 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2
𝑥2
2
+ 32𝑥 + 𝐶1 = −𝑥
2 + 32𝑥 + 𝐶1
❖𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
−𝑥2 + 32𝑥 + 𝐶1
• 𝐸𝐼𝑣 = −
𝑥3
3
+ 32
𝑥2
2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = −
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
❖𝑣 =
1
𝐸𝐼
−
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
• Por exemplo:
• 𝑀 𝑥 = −2𝑥 + 32
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −2𝑥 + 32 = 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2
𝑥2
2
+ 32𝑥 + 𝐶1 = −𝑥
2 + 32𝑥 + 𝐶1
❖𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
−𝑥2 + 32𝑥 + 𝐶1
• 𝐸𝐼𝑣 = −
𝑥3
3
+ 32
𝑥2
2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = −
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
❖𝑣 =
1
𝐸𝐼
−
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
• Por exemplo:
• 𝑀 𝑥 = −2𝑥 + 32
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −2𝑥 + 32 = 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2
𝑥2
2
+ 32𝑥 + 𝐶1 = −𝑥
2 + 32𝑥 + 𝐶1
❖𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
−𝑥2 + 32𝑥 + 𝐶1
• 𝐸𝐼𝑣 = −
𝑥3
3
+ 32
𝑥2
2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = −
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
❖𝑣 =
1
𝐸𝐼
−
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
Inclinação (θ)
• Por exemplo:
• 𝑀 𝑥 = −2𝑥 + 32
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −2𝑥 + 32 = 𝑀(𝑥)
• 𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2
𝑥2
2
+ 32𝑥 + 𝐶1 = −𝑥
2 + 32𝑥 + 𝐶1
❖𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
−𝑥2 + 32𝑥 + 𝐶1
• 𝐸𝐼𝑣 = −
𝑥3
3
+ 32
𝑥2
2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = −
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
❖𝑣 =
1
𝐸𝐼
−
𝑥3
3
+ 16𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Inclinação (𝜃) e deslocamento (𝑣) por 
integração
Deslocamento (𝒗)
Inclinação (θ)
Condições de contorno para linha 
elástica
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
• A viga em balanço mostrada abaixo está
sujeita a uma carga vertical P em sua
extremidade. Determine a equação da linha
elástica. EI é constante.
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
0 = −
𝑃𝐿3
6
+ 𝐶1. 𝐿 + 𝐶2
0 = −
𝑃𝐿3
6
+
𝑃𝐿2
2
. 𝐿 + 𝐶2
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
Exemplo 12.1 (Hibbeler)
Condições de contorno para linha 
elástica da lista de exercícios
Questão 12.03 (Hibbeler)
𝑒𝑚 𝑥 = 0:
𝑣 = 0
𝑒𝑚 𝑥 =
𝐿
2
:
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
𝑒𝑚 𝑥 = L:
𝑣 = 0
Condições de contorno para linha 
elástica da lista de exercícios
Questão 12.13 (Hibbeler)
𝑒𝑚 𝑥 = 0:
𝑣 = 0
𝑒𝑚 𝑥 = 1,2𝑚:
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
𝑣 = 75 mm
𝑒𝑚 𝑥 = 2,4 m:
𝑣 = 0
Condições de contorno para linha 
elástica da lista de exercícios
Questão A
𝑒𝑚 𝑥 = 0:
𝑣 = 0
𝑒𝑚 𝑥 =
𝐿
2
:
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0
𝑒𝑚 𝑥 = L:
𝑣 = 0
Síntese
• É possível estabelecer equações correlacionadas para
calcular momento, força cortante e cargas distribuídas
ao longo de uma barra;
• As concavidades dos diagramas de força cortante x
deslocamento e momento fletor x deslocamento foram
estabelecidas;
• A deformação da linha elástica pode ser obtida por
integração das equações de momento, força cortante e
cargas distribuídas;• Condições de contorno possibilitam calcular as
constantes de integração geradas após cada
integração.
Obrigado pela presença e até a 
próxima aula!