Resistencia dos Materiais Hibbeler - 12.6 Vigas e eixos estaticamente indeterminados

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DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 457 
;12.100. Determine a deflexão vertical e a inclinação na ex- 1 tremidade A do suporte. Considere que ele está engastado Vigas e eixos estaticamente 
indeterminados na base e despreze a deformação axial do segmento AB. EI 
é constante. 
75 mm 
c 
Problema 12.100 
12.101. A viga com perfil W610 x 155 de aço A-36 é 
usada para suportar a carga uniforme distribuída e uma 
força concentrada que é aplicada a sua extremidade. Se 
a força agir em um ângulo com a vertical como mostra a 
figura, determine os deslocamentos horizontal e vertical 
no ponto A. 
y I 
z 
Problema 12.101 
12.102. A estrutura é composta por duas vigas de aço A-36 
em balanço CD e BA e uma viga simplesmente apoiada CB. 
Se cada uma for feita de aço e tiver momento de inércia em 
torno de seu eixo principal I, = 46(106) mm4, determine a 
deflexão no centro G da viga CB. 
A �N 
Problema 12.102 
A análise de barras com cargas axiais e eixos com 
cargas de torção estaticamente indeterminados foi dis­
cutida nas seções 4.4 e 5.5, respectivamente. Nesta se­
ção, ilustraremos um método geral para determinar as 
reações em vigas e eixos estaticamente indeterminados. 
Especificamente, um elemento estrutural de qualquer 
tipo será classificado como estaticamente indetermina­
do, se o número de reações desconhecidas for maior 
que o número de equações de equilíbrio disponíveis. 
As reações adicionais dos apoios sobre a viga 
ou o eixo que não são necessárias para mantê-los 
em equilíbrio estável são denominadas reações re­
dundantes. O número dessas reações redundantes é 
denominado grau de indeterminação . Por exemplo, 
considere a viga mostrada na Figura 12.33a. Se dese­
nharmos o diagrama de corpo livre (Figura 12.33b ) , 
haverá quatro reações de apoio desconhecidas e, 
visto que há três equações de equilíbrio disponíveis 
para a solução, a viga é classificada como indeter­
minada de primeiro grau. AY, BY ou MA podem ser 
classificadas como a reação redundante porque, se 
qualquer dessas reações for removida, a viga perma­
necerá estável e em equilíbrio (A, não pode ser clas­
sificada como redundante porque, se fosse removida, 
2.F, = O não seria satisfeita.) De modo semelhante, 
a viga contínua na Figura 12.34a é indeterminada ele 
segundo grau, porque há cinco reações desconheci­
elas e somente três equações ele equilíbrio disponí­
veis (Figura 12.34b) . Nesse caso, as duas reações ele 
suporte redundantes podem ser escolhidas entre A", 
BY, CY e DY. 
-
Para determinar as reações em uma viga (ou eixo) 
estaticamente indeterminada, em primeiro lugar é ne­
cessário especificar as reações redundantes. 
p I I s �A�------------------#F� . 
(a) 
Figura 12.33 
458 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
pl p2 p3 
A i''++ 
! ! ! 
ID 
++R\ . .�j i) 1:/ 
B c 
(a) 
P I p2 p3 
·r t ! ! 
I t t t 
Ay By 
(b) 
Cy Dy 
Figura 12.34 
Podemos determinar essas reações redundantes pe­
las condições de geometria conhecidas como condições 
de compatibilidade. Uma vez determinadas, as reações 
redundantes são aplicadas à viga e as reações restantes 
são determinadas pelas equações de equilíbrio. 
Nas seções seguintes, ilustraremos esse procedi­
mento como solução, utilizando o método da integra­
ção (Seção 12.7), o método dos momentos de área (Se­
ção 12.8) e o método da superposição (Seção 2 .9) . 
1 2.7 Vigas e eixos estaticamente 
indeterminados - método 
da integração 
O método da integração, discutido na Seção 12.2, 
requer duas integrações da equação diferencial d2vldx2 
= MIEI, visto que o momento interno M na viga é ex­
presso em função da posição x. Entretanto, se a viga 
for estaticamente indeterminada, M também pode 
ser expresso em termos das reações redundantes des­
conhecidas. Após integrar essa equação duas vezes, 
haverá duas constantes de integração e as reações re­
dundantes para determinar. Embora seja esse o caso, 
essas incógnitas sempre podem ser determinadas pelas 
condições de contorno e/ou condições de continuidade 
para o problema. Por exemplo, a viga na Figura 12.35a 
tem uma reação redundante. Ela pode ser AY, MA ou 
BY (Figura 12.35b ). Uma vez escolhida, o momento in­
terno M pode ser escrito em termos da reação redun­
dante e, integrando a relação momento/deslocamento, 
podemos determinar as duas constantes de integração 
e a reação redundante pelas três condições v = O em 
x = O, dvldx = O em x = O e v = O em x = L. 
Os seguintes exemplos ilustram as aplicações espe­
cíficas desse método utilizando o procedimento para 
análise descrito na Seção 12.2. 
IV 
=:f l l l l l l l l l l l l �----------------------�IB 
lA • '-x---1 --�--------L ----------� 
(a) 
(b) 
Figura 12.35 
IV 
A viga está sujeita à carga distribuída mostrada na Figu­
ra 12.36a. Determine as reações em A . EI é constante. 
SOLUÇÃO 
Linha elástica. A viga sofre deflexão como mostra a Fi­
gura 12.36a. Somente uma coordenada x é necessária. Por 
conveniência, consideraremos orientada para a direita, visto 
que o momento interno é fácil de formular. 
Função do momento fletor. A viga é indeterminada de 
primeiro grau como indicado pelo diagrama de corpo livre 
(Figura 12.36b ). Podemos expressar o momento interno M 
L -� 
(a) 
Figura 12.36 
em termos da força redundante em A utilizando o segmento 
mostrado na Figura 12.36c.Aqui 
Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10, 
temos 
As três incógnitas Av, C1 e C2 são determinadas pelas con­
dições de contorno �t = O, v = O; x = L, dvldx = O e x = L, 
v = O. Aplicando essas condições obtemos 
X = O, v = O; 
dv x = L - = o· � ' dx ' 
X = L, v = O; 
Resolvendo, 
O = O - O + O + C2 
1 1 o = 2AyL2 - 24 WoL3 + cl 
O = .!_A L3 1 4 , 6 y 120 woL + ClL + Cz 
Resposta 
OBSERVAÇÃO: Utilizando o resultado para AY, as reações 
em B podem ser determinadas pelas equações de equi­
líbrio (Figura 12.36b). Mostre que B, = O, BY = 2w0L/5 e 
MB = w0U/15. 
A viga na Figura 12.37a está engastada em ambas as extre­
midades e sujeita à carga uniforme mostrada na figura. De­
termine as reações nos apoios. Despreze o efeito da carga 
axial. 
SOLUÇÃO 
linha elástica. A viga sofre deflexão como mostra a Fi­
gura 12.37a. Como no problema anterior, somente uma co­
ordenada x é necessáría para a solução, visto que a carga é 
contínua em todo o vão. 
Função do momento fletor. Pelo diagrama de corpo li­
vre (Figura 12.37b ), as respectivas reações de cisalhamento 
e momento em A e B devem ser iguais, visto que há simetria 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 459 
IV 
A I I I I I I I I I I t B 
L-----
(a) 
V _ wL 
J
wL 
V _ wL 
' · t ______ ��_::_�-=::=====.::d 
A - � . . t�-------------- --------------- ,tB
.·
-
2 
M - .Mi l L L I M I A - f--- 2 2 -------1 B = M 
(b) 
wL \\t 1-1 
M' t�!��ç 
(c) 
Figura 12.37 
de carga e também de geometria. Por isso, a equação de equi­
líbrio, lFY = O, exige 
Resposta 
A viga é indeterminada de primeiro grau, onde M1 é redun­
dante. Utilizando o segmento da viga mostrado na Figura 
12.37c, o momento interno M pode ser expresso em termos 
de M1 da seguinte maneira: 
wL w M = -x - -x2 - M1 2 � 2 � 
Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10, 
temos 
d2v wL w 2 1 EI- = -x - -x - M dx 2 2 
wL w M1 
Eiv = -x3 - - x4 - -x2 + C x + C 12 24 � 2 1 2 
As três incógnitas, M1, C1 e C2 podem ser determinadas pelas 
três condições de contorno v = O em x = O, que produz C2 = O; 
dvldx = o em X = O, que produz cl = O; e v = o X = L, que 
produz 
M' Resposta 
Utilizando esses resultados, observe que, devido à simetria, 
a condição de contorno restante dv!dx = O em x = L é auto­
maticamente satisfeita. 
460 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
OBSERVAÇÃO: Entenda que esse método de solução é ge­
ralmente adequado quando somente uma coordenada x é 
necessária para descrever a curva elástica. Se forem necessá­
rias várias coordenadas x, as equações de continuidade têm 
de ser escritas, o que complica o processo de solução. 
12.103. Determine as reações nos apoios A e B; em segui­
da, trace o diagrama de momentofletor. EI é constante. 
Problema 12.103 
*12.104. Determine as reações nos apoios A e B; em segui­
da, trace os diagramas de força cortante e momento fletor. 
EI é constante. Despreze o efeito da carga axial. 
Problema 12.104 
12.105. Determine as reações nos apoios A, B e C; em se­
guida, trace os diagramas de força cortante e momento fle­
tor. EI é constante. 
d5L � - ���;� �-+-� ---r 
Problema 12.105 
12.106. Determine as reações nos apoios e, em seguida, trace os 
diagramas de força cortante e momento fletor. EI é constante. 
p 
�A------L----B-·--��� -----L------4! 
Problema 12.106 
'12.107. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B. EI é constante. 
p p 
Problema 12.107 
12.108. Determine o valor de a para o qual o momento má­
ximo positivo tenha o mesmo valor que o momento máximo 
negativo. EI é constante. 
p 
Problema 12.108 
12.109. Determine as reações nos apoios e a seguir trace os 
diagramas de força cortante e momento. EI é constante. 
�------ L ----�------ L --------1 
Problema 12.109 
12.110. A viga tem E/1 constante e é suportada pela pare­
de fixa em B e pela haste AC. Se a haste tiver área de seção 
transversal A2 e o material tiver módulo de elasticidade E2, 
determine a força na haste. 
B 
PI·oblema 12.110 
12.111. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B; a seguir, trace os diagramas de força cortante e momento 
fletor. Resolva expressando o momento interno na viga em 
termos de AY e MA. EI é constante.