Tema 3

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MÓDULO 1 
 Identificar a geometria e os carregamentos de uma viga biapoiada isostática 
INTRODUÇÃO 
Uma viga é um elemento estrutural prismático de uma grande estrutura que suporta 
carregamentos externos. 
Em função do tipo de carregamento sobre a viga, vários são os efeitos internos possíveis: 
 O esforço cortante ou cisalhante.  A flexão.  A torção.  O esforço normal. 
As vigas podem estar vinculadas de diversas maneiras. Algumas dessas possibilidades 
estão mostradas na figura. 
 
Vigas vinculadas de formas distintas. Fonte: o autor. 
 
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Neste tema, serão estudadas particularmente as vigas biapoiadas isostáticas. 
São vigas que se encontram vinculadas a dois apoios sendo um do primeiro gênero e o outro de segundo gênero. Elas podem estar ou não em balanço, conforme ilustra a figura a 
seguir. 
 
Vigas biapoiadas isostáticas. Fonte: O autor. 
Nesta fase introdutória do tema, será feita uma abordagem bastante simples a respeito da 
estaticidade das vigas biapoiadas. Elas podem ser: 
 
HIPOSTÁTICAS (SEM ESTABILIDADE) 
 As vigas hipostáticas (apoiadas sobre dois roletes, por exemplo), sob determinada condição de carregamento, podem não manter o equilíbrio. 
ISOSTÁTICAS (ESTATICAMENTE DETERMINADA) 
As isostáticas estão vinculadas de tal forma que três são as reações de apoio que podem 
ser determinadas utilizando apenas as três equações do equilíbrio estático 
 
HIPERESTÁTICAS (ESTATICAMENTE INDETERMINADA) 
As hiperestáticas apresentam mais que três reações de apoio, necessitando, portanto, de equações 
auxiliares (de deformação, por exemplo). 
Na figura, a seguir, são apresentadas algumas dessas vigas. 
 
Vigas hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. Fonte: O autor. 
 
 
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GEOMETRIA E OS CARREGAMENTOS DE UMA VIGA BIAPOIADA 
 
No item anterior, a viga foi descrita como um elemento estrutural prismático. 
De maneira bem coloquial, as vigas são elementos de grande comprimento, vinculadas a 
apoios, que resistem a carregamentos externos. 
Há uma gama de possibilidades para as seções retas das vigas. Podem ser constantes ou 
variáveis ao longo do comprimento L da barra (viga). 
Seções comuns na Engenharia são as retangulares (quadradas), em forma de I, em forma de T, em forma de C, circulares etc. 
Ademais, o tipo de material também apresenta um grande espectro. Podem ser de metais, 
de madeira, de concreto etc. 
Comentário 
A escolha da forma geométrica e do material da viga será estudada em disciplinas posteriores. 
A figura seguinte apresenta algumas possibilidades citadas, em que a_a’ e b_b’ são os cortes. 
 
Seções retas de vigas: retangular e “em I”. Fonte: O autor. 
Em relação ao carregamento que as vigas biapoiadas podem estar submetidas, existem 
dois grandes grupos: concentrado e distribuído. Cada um deles pode ser associado à força 
(carga) ou carga momento. 
Devemos ter em mente que as várias partes de uma grande estrutura se vinculam de alguma forma. 
Exemplo 
Uma viga de um prédio pode estar sendo o apoio transversal de outras duas ou três vigas. 
Anteriormente, já foi feita uma abordagem em que se mostrou a diferença entre os 
conceitos de força concentrada e de força distribuída. 
 
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FORÇA 
CONCENTRADA 
 
No caso da força concentrada, o ponto de sua aplicação é único, mas a linha de ação 
pode ser qualquer uma. Linha de ação vertical à viga é bastante comum. Perceba, porém, 
que na primeira figura do módulo, existe uma situação em que a força concentrada tem linha de ação oblíqua em relação à viga. 
Além de alguns exemplos já mostrados em figuras anteriores, é possível supor algumas pessoas em pé num apartamento, numa reunião familiar. A força que cada pessoa faz 
sobre a laje é considerada uma força concentrada. 
Observe no croqui da figura, a seguir, a situação descrita para uma dessas pessoas. 
 
Ainda dentro da ideia de carga concentrada, é possível pensar em uma carga momento 
aplicada sobre uma viga. 
Observe o esquema da figura a seguir, em que uma carga momento no sentido horário é aplicada à viga no ponto destacado. Lembrando que o momento é um vetor; em nosso 
estudo das vigas biapoiadas, perpendicular ao plano da viga, podendo estar “entrando” ou “saindo” deste (regra da mão direita). 
No exemplo da figura, o momento é um vetor com direção perpendicular ao plano e 
“entrando” neste. 
 
 
CARGA 
DISTRIBUÍDA 
No grupo das cargas distribuídas, é importante ressaltar que elas podem ser apresentadas em termos de distribuição ao longo de uma área, contudo, o estudo deste tema limita-se a 
vigas biapoiadas e, portanto, a carga será distribuída ao longo de um comprimento. Suponha uma viga homogênea de comprimento 4m e peso 2.000N. A ideia é distribuir 
esse peso ao longo do comprimento da viga. 
Pelo fato de a viga ser homogênea, há 2.000 N divididos por 4 m equivalendo a q = 500 N/m. 
Outro exemplo comum na engenharia civil, a respeito de cargas distribuídas ao longo de 
um comprimento, é a parede de um apartamento onde os tijolos estão assentados sobre uma base. 
A figura seguinte representa a situação real da parede e sua representação gráfica, ou seja, a de uma carga distribuída. 
 
 
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 Esquema de força distribuída ao longo de um comprimento. Fonte: O autor. 
SUBSTITUIÇÃO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA POR UMA CONCENTRADA 
Em muitas situações, para o cálculo de reações em vigas biapoiadas, será importante fazer a 
substituição da carga distribuída pela concentrada equivalente. 
Essa troca significa conhecer que vetor único (intensidade, direção, sentido e ponto de 
aplicação) representando uma carga concentrada é capaz de substituir a carga distribuída 
provocando os mesmos efeitos físicos no sistema. 
A figura, a seguir, apresenta uma situação genérica de substituição de uma carga distribuída 
q(x) pela sua carga equivalente concentrada F. 
 
Figura 8 – Substituição de uma carga distribuída por uma concentrada. Fonte: O autor. 
Para se determinar a intensidade da força concentrada F, é necessária a determinação da área 
sob a curva da carga distribuída, ou seja, e do ponto de aplicação (centroide da área 
sob a curva da carga distribuída). 
Dois casos de carregamentos distribuídos são apresentados na figura a seguir (uniformemente 
e linearmente distribuídos). 
A determinação da intensidade e localização (centroide) são bem simples. 
Nos dois casos, a intensidade da carga concentrada equivalente será numericamente igual à 
área do retângulo (base x altura) ou à área do triângulo retângulo (base x altura/2). 
• Em relação ao centroide, o do retângulo localiza-se no encontro das diagonais, ou seja, a vertical passa pelo ponto médio da base. • Quando a carga distribuída for de acordo com um triângulo retângulo, o centroide localiza-se, em relação ao ângulo reto, a 1/3 da base e a 1/3 da altura. 
 Cargas distribuídas particulares. Fonte: O autor 
 
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Exemplo 
Suponha que uma viga biapoiada isostática esteja sob um carregamento distribuído linear, 
conforme a figura. Considere a viga com comprimento 6 m e peso desprezível. Faça a substituição do carregamento por um equivalente concentrado. 
 
Solução: 
Inicialmente, será determinada a intensidade da carga equivalente ao carregamento 
distribuído. O módulo (intensidade) é determinado pela área do triângulo 
(b . h/2 = 10 . 6/2 = 30 kN). 
No caso da carga triangular, a linha de ação da carga concentrada equivalente localiza-se a 1/3 do vértice do ângulo reto. Nesse caso, a (1/3) . 6 = 2 m do apoio B. 
Assim, a substituição fica de acordo com a figura a seguir. 
 
 
Mão na Massa 
 
1. Considere as vigas I, II e III representadas nas figuras (fonte: O autor) com pesos 
desprezíveis. Todas elas estão vinculadas duplamente e com os carregamentos apresentados. 
 
Quanto à estaticidade das vigas, é correto afirmar que: 
A) I – hipostática; II – isostática e III – hiperestática. 
B) I – hiperestática; II – isostática e III – hipostática. 
C) I – hipostática; II – hiperestática e III – isostática. 
D) I – isostática;II – hipostática e III – hiperestática. 
E) I – hiperestática; II – hipostática e III – isostática. 
 
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2. (FCC ‒ 2014 ‒ METRÔ-SP ‒ Técnico Sistemas Metroviários ‒ Civil) Considere a viga isostática 
a seguir: 
 
Para o equilíbrio externo, as reações nos apoios A e B são, respectivamente, 
A) RVA, RVB e MB. B) RHA, RVB e RHB. C) RVA, RHA, RVB. D) RVA, RVB e RHB. E) RVA, RHA e MB. 
 
3. Considere uma viga biapoiada com um carregamento no plano xy. Essa viga pode ser 
classificada em hipostática, isostática e hiperestática. Considerando a viga em questão como 
isostática, é possível afirmar que os apoios são de primeiro e de segundo gênero. A justificativa 
para essa afirmação encontra-se na opção: 
 
A) O número de incógnitas (reações) n é igual ao número de equações do equilíbrio (q), ou 
seja, 
n = q = 3. 
B) O número de incógnitas (reações) n é maior que o número de equações do equilíbrio (q), 
ou seja, 
n = 4 e q = 3. 
C) O número de incógnitas (reações) n é igual ao número de equações do equilíbrio (q), ou 
seja, 
n = q = 4. 
D) O número de incógnitas (reações) n é menor que o número de equações do equilíbrio (q), 
ou seja, 
n = 3 e q = 4. 
E) O número de incógnitas (reações) n é menor que o número de equações do equilíbrio (q), 
ou seja, n = 4 e q = 5. 
 
4. Considere uma viga isostática biapoiada com o carregamento distribuído de 5 kN/m ao 
longo do vão da viga de 4 m. 
 
8 
 
Caso seja necessária a substituição desse carregamento, as suas intensidade e localização 
serão: 
A) 20 kN e a 1 m do apoio A. 
B) 20 kN e a 3 m do apoio A. 
C) 20 kN e a 2 m do apoio A. 
D) 10 kN e a 2 m do apoio A. 
E) 10 kN e a 1 m do apoio A. 
A) 
5. Uma viga isostática biapoiada nas extremidades apresenta seção reta quadrangular de lado 
120 mm. Sobre toda a extensão da viga, existe um carregamento q(x), dado em kN/m, que 
varia com o comprimento x da viga de acordo com a função q(x) = x2. Considerando que o 
comprimento x da viga é de 3 m, determine o módulo da força concentrada equivalente, em 
kN. 
A) 9 
B) 16 
C) 25 
D) 27 
E) 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. A figura representa uma viga biapoiada com um carregamento linearmente distribuído. 
Desconsiderando o peso da viga e sendo seu comprimento igual a 3 m, determine a função da 
carga distribuída sobre a viga q(x), em que x é a distância horizontal a partir do apoio A. As 
reações nos apoios A e B valem, respectivamente, 6 e 12 kN. 
 
 
9 
A) q(x) = 3.x 
B) q(x) = 4x 
C) q(x) = 3x + 6 
D) q(x) = - 4x + 6 
E) q(x) = 3x + 12 
 
 
 
TEORIA NA PRÁTICA 
Vários ramos da Engenharia apresentam muitos exemplos em que são aplicadas as vigas, um dos principais elementos estruturais para muitos autores. 
Na Engenharia Civil, por exemplo, é fácil perceber a presença desses elementos na fase intermediária da construção de um prédio, pois antes do fechamento das paredes, ficam 
evidentes as vigas, dentre outros elementos estruturais. 
Na Engenharia Mecânica também existem exemplos em grandes estruturas metálicas. O 
modelo prático, que será apresentado, possui algumas simplificações em sua modelagem, mas é didático para a percepção das vigas biapoiadas sob determinado carregamento. 
Suponha um carro estacionado (equilíbrio estático) de massa aproximadamente 1.800 kg. 
Devido à presença do motor na parte dianteira, o peso não é igualmente distribuído entre 
os eixos dianteiro e traseiro. Suponha que 40% do peso seja suportado pelo eixo traseiro. 
Para simplificar a modelagem, será suposto um eixo contínuo de seção circular constante 
e comprimento 2,0 m. Além disso, será feito um estudo que envolve o modelo físico, sua representação esquemática por meio do diagrama do corpo livre (DCL) e cálculos das 
reações nos apoios. 
Inicialmente, será determinado o peso do carro e a fração desse suportada pelo eixo 
traseiro. 
Considerando a aceleração da gravidade local igual a 10m/s2, o peso (P = m.g) será igual a 1800.10, ou seja, 18.000 N (18 kN). Apenas 40% desse valor é suportado pelas rodas 
traseiras. Dessa forma, 40% x 18 kN é igual a 7,2 kN. 
A seguir, há um esquema do eixo e as rodas traseiras vistos sob a óptica de um 
observador localizado na parte posterior do carro. 
O eixo é uma viga biapoiada em que as rodas são os vínculos. 
Considerando que o valor de 7,2 kN seja distribuído uniformemente ao longo do 
comprimento do eixo, é possível imaginar um modelo de uma carga distribuída sobre ele. 
Dessa forma, a carga distribuída q será dada por 7,2 kN divididos por 2 m, ou seja: 
q = 7,2 / 2 = 3,6 kN/m. 
 
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Na figura, a seguir, veja o DCL para a situação descrita. 
 
A partir das equações do equilíbrio estático ∑Fx=0;∑Fy=0 (equilíbrio translacional) 
e ∑Mz=0 (equilíbrio rotacional) é possível determinar os valores de RV1 e RV2. 
No caso apresentado, pela simetria da configuração geométrica e do carregamento, é imediata a determinação das reações, uma vez que elas serão iguais. 
A carga distribuída equivale a uma força concentrada de intensidade igual à área do 
retângulo, b . h = 3,6 . 2 = 7,2 kN que atua no ponto médio do eixo. 
Na equação do equilíbrio em y, tem-se: 
 
Como as reações (RV1 e RV2) são iguais, RV1 + RV1 = 7,2 → 2.RV1 = 7,2 → RV1 = 7,2/2 = 3,6 
kN. 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. Considere uma viga metálica cuja seção reta seja um “I”. Suponha que a viga esteja biapoiada em 
suas extremidades de tal forma que seja isostática. 
 
Sendo seu peso igual a 30 kN e o comprimento de 6 m, determine a carga q distribuída ao longo do 
comprimento da viga, supondo-a constante: 
A) 180 kN/m B) 90 kN/m C) 10 kN/m D) 5 kN/m E) 1 kN/m 2. Seja uma viga biapoiada com peso desprezível e carregamento e dimensões mostrados na 
figura. 
 
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 Fazendo a substituição da carga distribuída por uma concentrada, sua intensidade e 
localização serão, respectivamente: 
A) 600 kN e a 3,5 m do apoio A. B) 600 kN e a 2,5 m do apoio A C) 300 kN e a 3,0 m do apoio A. D) 300 kN e a 4,0 m do apoio A. E) 300 kN e a 2,5 m do apoio A. 
MÓDULO 2 
 Calcular os efeitos internos de flexão e cisalhamento numa viga biapoiada isostática 
INTRODUÇÃO 
Considere uma viga sob um carregamento externo genérico. 
Ao se estudar internamente as seções desse elemento estrutural, é possível perceber os 
efeitos decorrentes das ações externas. Cada seção interna pode estar submetida aos seguintes efeitos: flexão, torção e os esforços cortante e normal. 
A abordagem desse tema particulariza a viga e o carregamento aplicado. A suposição é que a viga se encontra biapoiada com um carregamento (força) no seu plano e momentos 
fletores perpendiculares a esse plano. Serão avaliados apenas os efeitos interno de 
cisalhamento (esforço cortante) e de flexão (momento fletor). 
A figura a seguir mostra essa situação de maneira esquemática. 
 
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Viga biapoiada sob carregamento no plano. 
EFEITOS INTERNOS DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO 
Ao se estudar os efeitos internos numa seção de uma viga sob um carregamento, é 
fundamental que o aluno perceba que o corte feito para “expor” a seção interna de estudo é tão somente uma abstração. Não ocorre, de fato, um rompimento físico da viga. 
Ao se efetuar o corte (a_a’) na viga, duas “partes” dessa surgirão (à esquerda e à direita do plano de corte). 
Será possível, portanto, o estudo da seção interna a partir de uma dessas duas partes em 
que a viga se dividiu (abstratamente). 
Observe o corte da viga na figura: 
 
Corte de uma viga e as seções “expostas”. 
Com o corte da viga e a exposição da seção interna, os efeitos internos são indicados por 
M (momento fletor) e V (esforço cortante). A figura, a seguir, apresenta estes dois vetores (M e V) na seção interna em ambas as partes da viga. 
 
Esforços internos – momento fletor e esforço cortante. 
 
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A figura anterior mostra o esforço cortante V (tangente à seção interna) e o momento 
fletor M convencionados como positivos. Perceba a Terceira Lei de Newton (ação-reação) 
sendo aplicada. 
O momento fletor na parte esquerda da viga tem sua reação naparte da direita, assim como o esforço cortante. 
Atenção 
Atente que os pares de M e V têm sentidos opostos, como prevê a Terceira Lei de Newton. 
DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS INTERNOS DE FLEXÃO E CISALHAMENTO EM 
UMA VIGA 
Para a determinação dos efeitos internos (esforço cortante V e momento fletor M), em uma dada seção da viga, serão utilizadas as equações do equilíbrio estático do corpo rígido 
bidimensional, ou seja: 
 ∑Fx=0; ∑Fy=0 (equilíbrio translacional)  ∑Mz=0 (equilíbrio rotacional)  Em linhas gerais, inicialmente são determinadas as reações nos apoios da viga, considerando-a como um corpo único. Conhecendo-se os valores das reações nos 
vínculos da viga, faz-se o corte na região da viga que se deseja estudar e separa-se uma das duas partes. 
 Uma vez que a viga se encontra em equilíbrio, qualquer uma das partes escolhidas 
também estará em equilíbrio. Assim, novamente as equações do equilíbrio são utilizadas e os valores de V e M são determinados. 
 O exemplo a seguir mostra os passos descritos. 
Exemplo 
(FCC ‒ 2014 ‒ TRF - 3ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil). Considere a figura: 
 
O momento fletor, distante 1m do apoio A, em kN.m, será igual a: 
A) 36 B) 18 C) 27 D) 72 E) 9 
 
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Solução: 
1º passo: Determinação das reações nos apoios 
Inicialmente, será feita a “troca” da carga distribuída pela carga concentrada equivalente e 
desenhado o DCL da barra. 
A intensidade da carga concentrada é dada pela área do retângulo, ou seja, 
b . h = 18 . 4 = 72 kN e seu ponto de aplicação no ponto médio da viga (4/2 = 2 m). 
Os apoios A e B são, respectivamente, do primeiro e segundo gêneros. Em A existe uma 
reação vertical (VA) e em B duas reações, uma vertical (VB) e outra horizontal (HB). 
Segue o diagrama do corpo livre da viga. 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido: 
 
Comentário 
Nesse exemplo, em particular, o carregamento e a simetria do problema facilitam a determinação das reações. Como não há carregamento horizontal, HB = 0 e, pela simetria do carregamento, VA = VB = 36 kN. 
 
2º passo: 
Determinação dos esforços internos na seção de estudo 
Observe na figura do exemplo o plano de seccionamento distante 1 m do apoio A. 
Fazendo o corte na viga e escolhendo-se a parte esquerda, tem-se: 
 
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 Perceba que na parte esquerda da viga, o carregamento distribuído atua apenas sobre o comprimento de um metro (corte). 
Na figura à direita, há o DCL com a representação da força concentrada equivalente (área 
do retângulo b . h = 18 . 1) de 18 kN atuando a 0,5 m de A. 
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido: 
 Mão na Massa 
 
1. (IBFC - 2016 – EBSERH - Engenheiro Civil (HUAP-UFF)) Assinale a alternativa correta: 
Uma viga biapoiada com 6 m de comprimento e uma carga distribuída de 550 kN/m, 
possui o momento no meio do vão: 
A) 2.650 kN.m B) 2.600 kN.m C) 2.700 kN.m D) 2.475 kN.m E) 2.455 kN.m 
 
 
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2. Suponha uma viga isostática biapoiada em suas extremidades em apoios do primeiro e 
segundo gêneros (A – à esquerda e B – à direita), com carregamento uniformemente 
distribuído de 8 kN/m e comprimento de 4 m. Os momentos fletores (em kN.m) nas 
extremidades A e B da viga são, respectivamente, iguais a: 
 
A) 12 e 12 B) 24 e 0 C) 32 e 32 D) 0 e 0 E) 2 e 32 
3. (VUNESP ‒ 2017 ‒ Prefeitura de Itanhaém ‒ SP ‒ Engenheiro Civil) Uma viga, simplesmente 
apoiada, de 6 m de comprimento é submetida a apenas uma carga uniformemente distribuída 
de 4 kN/m correspondente ao seu peso próprio. O momento fletor e a força cortante na seção 
transversal no meio da viga (a 3 m dos apoios), em kN.m e kN, são, respectivamente: 
 
A) 40 e 10 
B) 36 e 12 
C) 18 e zero 
D) 18 e 12 
E) 12 e 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (FCC ‒ 2012 ‒ TRF ‒ 2ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) A figura representa 
uma viga biapoiada com extensão (L) sendo solicitada por um carregamento uniformemente 
distribuído (q). 
 
 
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Analisando a viga, o esforço cortante (Q), em kN, e o momento fletor (M), em kN.m, no centro 
da viga, são iguais, respectivamente, a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (FCC ‒ 2014 ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) Para uma 
viga engastada com balanço de 3,0 m, o valor do momento máximo no engaste é igual a 
121,5 kN.m. Para esse valor de momento, a carga distribuída retangular por metro máxima 
existente, em kN/m, é igual a 
A) 27 
B) 40,5 
C) 81 
D) 13,5 
E) 49,5 
 
 
6. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Tecnologista em Saúde ‒ Engenharia Civil) Em uma viga 
engastada e livre, submetida a um carregamento uniformemente distribuído de intensidade 
q, a expressão que define, em valor absoluto, o esforço cortante a uma distância x da 
extremidade livre, é: 
A) qx 
B) qx/2 
C) qx/4 
D) qx2/2 
E) qx2/8 
 
 
 
 
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TEORIA NA PRÁTICA 
 
Um projeto tem várias etapas que culminam na concepção do produto. Neste momento do 
tema, iniciamos o estudo para o dimensionamento de um elemento estrutural muito presente 
em vários ramos da Engenharia: a viga. 
Em passos futuros, outros conceitos serão apresentados, mas que necessariamente carecerão 
dos conceitos aprendidos na disciplina. 
Suponha que um aluno esteja estagiando e auxiliando em um projeto cujo engenheiro 
responsável pediu que o estagiário determinasse os esforços internos (cortante e momento 
fletor) em uma viga a 1 m da sua extremidade esquerda. 
O aluno lembrou de suas aulas de Mecânica dos Sólidos e, percebendo que precisava de mais 
informações, falou com o engenheiro, que disse que a viga em questão tem comprimento 3 m e 
um carregamento linear crescente, a partir da extremidade esquerda (0) até a extremidade 
direita (12 kN/m). Ainda pensando sobre a questão, o aluno perguntou ao engenheiro como 
essa viga estava vinculada. 
A resposta foi que era biapoiada, sendo os apoios de segundo e primeiro gêneros, à 
esquerda e à direita da viga, respectivamente. 
Com todas essas informações, o aluno criou o modelo mostrado na figura a seguir. 
 Inicialmente, o aluno determinou as reações nos apoios A e B. O primeiro passo foi fazer a 
substituição do carregamento distribuído linearmente pela carga concentrada equivalente. 
A intensidade da carga concentrada equivale à área do triângulo, ou seja, 
 
F = (b . h)/2 = (12 . 3)/2 = 18 kN. 
O ponto de aplicação fica a 1/3 do ângulo reto, no caso descrito, o apoio B. Assim, F terá ponto 
de aplicação a 1 m de B. 
Na figura, seguinte, está o DCL da viga determinado pelo aluno. 
 O aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido: 
 
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Determinadas as reações, o aluno fez o corte (1_1’) mostrado na figura de seu modelo inicial e 
desenhou o DCL da parte esquerda da viga. O modelo para esse corte é mostrado na figura a 
seguir. 
 O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do 
triângulo (4.1)/2 = 2 kN. O ponto de aplicação encontra-se a 1/3 m da seção de corte. O valor 
de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Para 3 m, o valor é de 12 kN/m, para 1 m (3 vezes 
menor), q’ será dado por 12/3 = 4 kN/m. 
Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Considere uma viga biapoiada isostática com uma força concentrada em seu ponto médio, conforme 
a figura. Sendo F = 20 kN e o vão igual a 4 m, determine o esforço cortante e o momento fletor na seção 
localizada a 1 m do apoio A. 
 
A) 20 kN e 20 kN.m B) 10 kN e 20 kN.m C) 20 kN e 10 kN.m D) 10 kN e 10 kN.m E) 0 kN e 10 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
2. Considere a viga biapoiada isostática com 6 m de vão e carregamento linearmente 
distribuído, conforme a figura a seguir. 
 
 
Determine o esforço cortante, em módulo, atuante na seção interna localizada a 2 m de A. 
 
A) 600 N 
B) 800 N 
C) 1000 N 
D) 1800 N 
E) 2000 N 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 3 
 Esquematizar os diagramas de estado de vigas biapoiadas isostáticas 
INTRODUÇÃO 
A apresentação deste tema baseia-se apenas no estudo e compreensão dos esforços internos cortantee de flexão em uma viga 
 No módulo anterior, fizemos exemplos e exercícios para mostrar a metodologia de como 
determinar esses esforços para uma seção particular da viga. 
 Neste momento, apresentaremos uma análise geral. 
 
Considerando o eixo da viga como o eixo x, por exemplo, e as extremidades com valores 
zero e L (comprimento da viga), será possível determinar expressões para o esforço 
cortante e o momento fletor como função de x, ou seja, V(x) e M(x). 
A partir das expressões V(x) e M(x), vários aspectos podem ser abordados. É possível plotar os gráficos do diagrama de esforço cortante (DEC) e do diagrama do momento fletor 
(DMF). Ademais, é possível a determinação do valor do esforço cortante/ momento fletor 
em quaisquer pontos da viga diretamente a partir das expressões V(x) e M(x). 
Comentário 
Outro aspecto é a determinação de valores específicos e a posição em que eles ocorrem, 
como o momento fletor máximo em uma viga sob dado carregamento e a sua localização 
na viga. 
Complementando o estudo do DEC e do DMF, serão apresentadas equações diferenciais 
que relacionam o carregamento q(x), V(x) e M(x) e algumas propriedades geométricas dos diagramas que auxiliam na elaboração deles. 
ELABORAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE (DEC) E MOMENTO 
FLETOR (DMF) DE VIGAS BIAPOIADA 
Antes de efetivamente determinarmos o DEC e o DMF de uma viga, será adotada a convenção de que os valores positivos de V e M estarão acima do eixo longitudinal da viga 
e os valores negativos, abaixo. 
Na figura, a seguir, há um exemplo de uma viga biapoiada com carregamento 
uniformemente distribuído e o DEC e o DMF correspondentes com a convenção de sinais adotada. 
 
22 
 
DEC e DMF de uma viga biapoiada. 
Em linhas gerais, a determinação das expressões V(x) e M(x) é feita iniciando-se pelo cálculo das reações de apoios da viga. 
Após, é feito um corte genérico a uma distância x da origem (extremidade esquerda da 
viga) e estuda-se a parte esquerda da viga em termos de equilíbrio, ou seja, são aplicadas 
as equações: 
 
Dessa forma, serão determinadas expressões para o esforço cortante e para o momento 
fletor em função da variável x. Generalizando, por vezes são necessários cortes distintos em função do carregamento. 
A fim de que essas ideias qualitativas da metodologia sejam entendidas de forma quantitativa, segue um exemplo para a construção do DEC e do DMF de uma viga 
biapoiada. 
Exemplo: 
Suponha uma viga biapoiada de comprimento L e com uma carga concentrada F 
distante a unidades de comprimento do apoio A e b unidades de comprimento do apoio B. Dessa forma, a + b = L. 
Observe a figura a seguir. 
 Determinação das reações nos apoios. Observe o diagrama do corpo livre da barra. 
 
23 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido à viga, tem-se: 
 
Primeiro corte O primeiro corte (1_1’) levará a uma expressão válida no intervalo 0 até a, ou seja, à esquerda do ponto de aplicação de F. Outro corte O outro corte levará a uma expressão que valerá no intervalo de a até L, ou seja, à direita do ponto de aplicação de F. Observe o DCL na figura após o primeiro corte da viga. 
 Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido: 
 Observe a figura, após o segundo corte (2_2’) da viga, após o ponto de aplicação da força concentrada F. 
 
24 
 
 Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido: 
 A partir de agora, com as expressões encontradas para V e M, serão traçados os gráficos 
que representam o esforço cortante e o momento fletor nas seções da viga ao longo de 
seu comprimento. 
Diagrama do esforço cortante (DEC): 
 Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função 
constante . Assim, uma reta paralela ao eixo x, acima do zero.  Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função 
constante . Assim, uma reta paralela ao eixo x, abaixo do zero. 
Dessa forma, a seguir, há o esboço do DEC. 
 
 
25 
Atenção 
Note que no DEC há uma descontinuidade no gráfico no ponto de aplicação da força 
concentrada F. Perceba que esse “degrau” tem valor igual a F. 
 
 
Atenção 
Note que o momento fletor máximo ocorre no ponto de aplicação da força F 
(descontinuidade do DEC) e seu valor é dado por . 
Relações matemáticas entre carregamento, esforço cortante e momento fletor e propriedades 
geométricas do DEC e DMF 
 
Por isso, é importante estudar uma metodologia que auxilie nessa situação. É possível 
demonstrar que as seguintes relações são válidas entre q(x), V(x) e M(x). 
 
 
26 
A partir da equação 1, é possível concluir que, em cada ponto ao longo do comprimento 
da viga, o coeficiente angular da tangente ao DEC equivale a – q(x) aplicada no ponto. 
Cuidados devem ser tomados para aplicação da equação 1 para cargas concentradas, 
pois levam a descontinuidades no DEC. 
A partir da equação 2, integrando-a, tem-se 
 
Assim, a variação do momento fletor em um dado trecho corresponde à área do DEC 
nesse trecho da viga. 
Para funções polinomiais, é verdade que se q(x) é de grau “n”, V(x) será de grau “n + 1” e M(x) de grau “’n + 2”. 
A partir das expressões anteriores, será utilizado um exemplo para mostrar a aplicação na montagem dos DEC e DMF. 
Exemplo: 
Barra biapoiada de comprimento L com carregamento uniformemente distribuído. 
 A carga concentrada equivalente é igual à área do retângulo, ou seja, q.L. Pela simetria, as reações em A e B serão iguais a qL/2. 
O carregamento é uma função constante (polinômio de grau 0), logo V(x) será um 
polinômio de grau 1 e M(x) um polinômio de grau 2. 
O carregamento é dado por q(x) = q (constante). 
 
 
27 
Note que em x = 0, ponto A, o esforço cortante é igual a V(0) = VA = q.L/2. 
Assim, substituindo na última equação, tem-se: 
 
Observe que é uma função do primeiro grau (reta) com coeficiente angular negativo 
(decrescente). 
Assim, substituindo na última equação, tem-se: 
 
Logo, o DEC terá o seguinte aspecto: 
 
 
Logo, em x = L/2, o esforço cortante é nulo. 
Para a confecção do DMF, será utilizada a equação 2. 
 
 
28 
 
 
É fácil mostrar esses valores, pois basta derivar a função de M(x) em relação a x e igualar a 
zero, ou seja, 
 
 
 
29 
Mão na Massa 
1. (CEPS-UFPA ‒ 2018 ‒ UFPA ‒ Técnico em Edificações) Observe a figura a seguir. 
 
 
Sobre a viga biapoiada da figura, é correto afirmar o seguinte: 
A) O momento fletor é máximo no meio do vão, o esforço cortante é máximo nas 
extremidades e o esforço normal é nulo. 
B) O momento fletor é máximo no meio do vão, o esforço cortante é nulo e o esforço normal é 
máximo no meio do vão. 
C) O momento fletor é nulo e os esforços cortante e normal são máximos no meio do vão. 
D) O momento fletor é nulo, o esforço cortante é máximo nas extremidades e o esforço normal 
é nulo. 
E) O momento fletor é máximo nas extremidades, o esforço cortante é máximo no meio do 
vão e o esforço normal é nulo. 
 
 
 
2. (COMPERVE ‒ 2017 ‒ MPE-RN ‒ Analista do Ministério Público Estadual ‒ Engenharia 
Civil) A figura a seguir representa o diagrama de esforços cortantes de uma viga isostática. 
 
 
Com base nesse diagrama, é correto afirmar: 
A) A tangente à curva da função do momento fletor é horizontal na seção B da viga. 
B) A taxa de carregamento distribuído, no trecho AB, é o dobro dessa taxa no trecho BC. 
C) A função do momento fletor é decrescente no trecho AB. 
D) A variação do momento fletor, no trecho AB, é de 96 kN.m. 
E) No ponto C da viga existe uma força concentrada de intensidade 48 kN. 
 
 
 
30 
3. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ Analista de Gestão Administrativa ‒ Engenharia Civil) 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor da carga distribuída (q) para a viga biapoiada 
apresentada na figura 1, considerando que a viga mostra o diagrama de esforço cortante 
representado na figura 2. 
A) 10 kN 
B) 80 kN 
C) 75 kN 
D) 50 kN 
E) 30 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (FCC ‒ 2011 ‒ TRE-AP ‒ Analista Judiciário ‒ EngenhariaCivil) Considere a figura abaixo. 
 
 
Se a viga simplesmente apoiada da figura está submetida a uma carga uniformemente distribuída 
de 
1 t/m, então o momento fletor na seção S, medido em t.m, é igual a: 
 
31 
A) 4,0 
B) 3,5 
C) 3,0 
D) 2,5 
E) 2,0 
 
 
5. (FDC - 2014 ‒ IF-SE ‒ Engenheiro Civil ‒ adaptada) A carga concentrada P que, aplicada no 
meio de uma viga biapoiada de comprimento L, gera nesta viga um momento fletor máximo 
igual ao de uma carga uniformemente distribuída q, tem o valor de: 
 
A) ql 
B) 2ql 
C) ql/2 
D) ql/4 
E) q.l/8 
 
 
 
 
6. (CESPE ‒ 2012 ‒ TJ-AL ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia) Considerando viga isostática, 
biapoiada e submetida a carregamento distribuído uniformemente, assinale a opção correta. 
 A) O momento fletor é constante em toda a viga. B) Nos apoios da viga, a reação tem o mesmo sentido do carregamento. C) O momento fletor máximo ocorre no meio da viga. D) A viga está sujeita a momentos torsores e esforços cortantes. E) A viga possui momento fletor máximo próximo aos apoios. 
TEORIA NA PRÁTICA 
No módulo anterior, o Teoria na prática apresentou um aluno estagiário de uma empresa auxiliando um engenheiro na determinação do cálculo dos esforços internos cortante e 
fletor, numa dada seção da viga. 
O estagiário conseguiu resolver o que lhe fora pedido e recebeu uma nova incumbência: 
determinar os mesmos esforços internos em outra seção da mesma viga. 
 
32 
O aluno concluiu que uma adaptação na solução encontrada no primeiro caso levaria à 
solução desejada. Porém, ele optou por determinar o esforço cortante e o momento fletor 
em uma região genérica qualquer da viga. 
Dessa forma, ao determinar as expressões para V(x) e M(x), poderia ter os valores em quaisquer seções e ainda ratificar o resultado encontrado inicialmente. 
Como a viga a ser estudada era a mesma, o modelo criado inicialmente não mudou, como 
apresenta a figura. 
 Os valores encontrados para as reações em A e B também poderiam ser reutilizados. 
Na figura seguinte está o DCL da viga com os valores previamente determinados pelo 
aluno. 
 Determinadas as reações, o aluno fez o corte genérico (1_1’) mostrado na figura de seu 
modelo inicial, localizado a x m do apoio A, e desenhou o DCL da parte esquerda da viga. 
O modelo para esse corte é apresentado a seguir. 
 O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do triângulo (4x .x /2 = 2.x2). O ponto de aplicação encontra-se a x/3 m da seção de corte. 
O valor de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Assim, q’ = 4.x. 
Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido: 
 
33 
 
Aproveitando as expressões de V(x) e M(x), o aluno fez um teste para os valores pedidos pelo 
engenheiro no caso descrito no módulo 2, ou seja, para x = 1 m. Substituindo esse valor em 
V(x) e M(x), encontrou: 
 
 VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Tecnologista em Saúde ‒ Engenharia Civil ‒ adaptada) Num ponto 
de uma viga de 5 m de comprimento em que o diagrama de esforços cortantes apresenta uma 
descontinuidade de magnitude P = 20 kN, pode-se afirmar que: 
 A) Existe uma carga concentrada de intensidade P igual a 20 kN. B) Existe uma carga uniformemente distribuída de intensidade q = 4 kN/m. C) Existe uma rótula, que não restringe momento fletor. D) Com essas informações apenas, não é possível chegar à conclusão sobre o carregamento. E) Existe uma carga uniformemente distribuída de intensidade q = 100 kN/m. 
 
34 
2. Uma viga AB biapoiada em suas extremidades está sob um carregamento uniformemente 
distribuído de 3 kN/m. Sendo o comprimento da viga igual a 4 m, determine o esforço cortante 
numa seção localizada a 1 m do apoio da extremidade esquerda. 
 A) 6,0 kN B) 3,0 kN C) 2,0 kN D) 0,0 kN E) 1,0 kN 
MÓDULO 4 
 Compreender a modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas 
INTRODUÇÃO 
De forma similar ao estudo feito para as treliças simples isostáticas, neste módulo faremos 
uma abordagem inicial da modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas. 
Existem muitas ferramentas computacionais acadêmicas/profissionais que auxiliam na determinação de, por exemplo, esforços internos de uma viga. 
Contudo, muitos aspectos são considerados nos modelos e que ainda não foram 
abordados nessa fase do curso de Engenharia. Portanto, a abordagem apresentará um 
viés qualitativo, mas com possibilidade de alcançar resultados para modelos ainda bem simplificados. 
Na Engenharia, as situações reais devem ser entendidas fisicamente para que sejam 
modeladas matematicamente e, por fim, determinar a solução (de maneira analítica ou 
computacional). Essas fases são, de maneira genérica, executadas pelos seguintes passos: 
1º passo: 
Compreensão de todos os aspectos físicos teóricos associados à situação real para a 
elaboração de um modelo físico que reproduza com a maior realidade a situação a ser estudada. 
2º passo: 
Tendo um modelo físico que reproduza a situação real e dependendo das condições impostas para o projeto, algumas simplificações podem ser introduzidas no modelo inicial, 
porém de maneira criteriosa para não comprometerem os resultados. Essas simplificações 
no modelo propiciam uma diminuição do grau de complexidade matemática do passo seguinte. 
 
35 
3º passo: 
A partir das simplificações adotadas no modelo físico inicial, decorre a modelagem 
matemática, isto é, equacionar matematicamente os fenômenos físicos. 
4º passo: 
Uma vez que já estão definidas as equações matemáticas e as condições conhecidas 
(condições iniciais, condições de contorno etc.) é o momento de resolver o problema. A 
escolha de uma solução analítica é possível. Porém, por vezes, demandará tempo excessivo ou, até mesmo, a impossibilidade da solução. Nesses casos, a escolha de uma 
ferramenta computacional adequada já existente é conveniente. Por vezes, uma solução computacional própria também pode ser utilizada, por exemplo, para situações novas que 
ainda não foram amplamente estudadas a ponto de se desenvolver um software. 
ANÁLISE FÍSICA DE UMA VIGA E SUA MODELAGEM MATEMÁTICA 
Em nosso estudo, a modelagem física de uma viga já será precedida de algumas simplificações: 
 A viga é isostática, ou seja, o número de equações do equilíbrio do corpo rígido é 
igual ao número de incógnitas (reações nos apoios).  A viga encontra-se biapoiada.  A viga é rígida, ou seja, indeformável.  O carregamento ocorre no plano da viga.  A princípio, os pesos das vigas são desprezíveis quando comparados às forças 
externas. 
Atenção 
Na eventualidade de se considerar os pesos das vigas, adotar-se-á que essa é 
homogênea e, portanto, o seu peso é uniformemente distribuído ao longo de seu 
comprimento. 
Em linhas gerais, para a determinação das reações nos apoios, serão feitas substituições 
de cargas distribuídas q(x) por cargas concentradas equivalentes F (intensidade e ponto de aplicação) e o diagrama do corpo livre da viga. 
Para determinar a intensidade de F é necessária a determinação da área sob a curva de 
carregamento, ou seja, encontrar a integral definida dada por e, para 
determinar o ponto de aplicação é necessário conhecer o centroide da área sob a curva da carga distribuída. 
O ponto de aplicação tem linha de ação passando por esse centroide, atuando na viga. O 
centroide é determinado pela integral 
O DCL é esquematizado a partir dos cálculos anteriores, as eventuais cargas 
concentradas e as reações nos apoios (que dependem do gênero do apoio). 
 Primeira Fase Já nessa primeira fase da resolução, é possível perceber uma 
eventual dificuldade matemática: a resolução das integrais. A resolução por métodos numéricos (ferramenta computacional) é uma opção. Dependendo da 
necessidade de maior ou menor precisão, adota-se um método numérico ou outro. 
 
36 
 Segunda Fase Na segunda fase, surgem as 3 equações do equilíbrio. Como no caso 
das treliças, um sistema de equações lineares deve ser resolvido. A utilizaçãode 
um método numérico também pode ser útil, como, por exemplo, o método de Gauss Jordan. Mais uma vez o auxílio de ferramentas computacionais já 
desenvolvidas pode diminuir o tempo de resolução. 
 
Feita essa fase inicial de determinação das reações, um modelo será apresentado para 
que uma função possa descrever os esforços internos com dependência da posição x da 
seção. Tendo essas funções, é possível utilizar uma ferramenta computacional para desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor (DEC e DMF). 
A Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ), por meio de um de seus 
professores, Luiz Fernando Martha, desenvolveu um software (FTOOL) que determina, 
dentre outros valores, as reações nos apoios de vigas, pórticos, quadros bidimensionais, os diagramas de esforço normal, de esforço cortante e de momento fletor. Uma ferramenta 
acadêmica muito difundida e um ótimo software de estruturas para modelos bidimensionais (na seção Explore + está o site que leva à versão mais nova do FTOOL 
(4,0), que tem a versão acadêmica, gratuita, e a profissional, com licença.). 
Será realizado um exemplo já resolvido (viga biapoiada de 3 m de comprimento com carga 
triangular). Determinação dos esforços cortante e fletor em x = 1 m, para fins de comparação, a partir do FTOOL versão 3.1. 
 Inicialmente, desenha-se a viga com o comprimento desejado.  Depois, os apoios são vinculados à estrutura. No input, deverão ser informadas as restrições do apoio para que o software consiga identificá-los. 
Por exemplo, um apoio de 2º gênero deverá apresentar as informações de restrições em x e y e rotação livre. 
Observe parte da tela do FTOOL na figura a seguir, em que informações para o apoio são 
apresentadas. 
 
 
37 
Perceba a importância de se conhecer bem as restrições impostas pelos apoios. Nesse 
caso, as translações em x e y são nulas e a rotação permitida, ou ainda, trata-se de um 
apoio de segundo gênero. 
Após a montagem da barra e o carregamento desejado, a tela para o modelo proposto no problema terá o aspecto mostrado na figura seguinte. 
 
Carregamento viga biapoiada. Imagem baseada no FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ. 
Numa terceira etapa de “alimentação” do software, são necessários parâmetros 
geométricos da seção reta da viga (forma, dimensões etc.) e parâmetros do material que 
constitui a viga. 
Cumprida essa etapa, os diagramas de esforço cortante e momento fletor podem ser apresentados, assim como as reações nos apoios. 
Observe na figura, a seguir, o DEC, as reações nos apoios e o esforço cortante para x = 1 
m afastado do apoio à esquerda. 
 
DEC e esforço cortante em x = 1 m. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ. 
Na figura, a seguir, há o DMF para o exemplo proposto. 
Observe o valor do momento fletor em x = 1 m. Cabe ressaltar que a convenção utilizada 
pelo FTOOL para o DMF é oposta a que foi adotada nesse tema, ou seja, valores positivos do momento encontram-se abaixo da viga e vice-versa. 
 
38 
 
DMF e momento fletor em x = 1m. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz 
Fernando Martha, da PUC-RJ. 
Mão na Massa 
1. Considere que um aluno deseje utilizar a ferramenta computacional FTOOL para desenhar o 
DEC e o DMF de uma viga biapoiada com dado carregamento. Vários inputs devem alimentar o 
software. Considere os inputs apresentados nas afirmativas abaixo. 
 
I – Os tipos de vínculos da barra. 
II – As propriedades geométricas da viga. 
III – O carregamento a que está submetida a viga. 
IV – O peso da viga. 
 
Dos dados apresentados nas afirmativas, qual/quais é/são necessário(s) informar, 
obrigatoriamente, ao FTOOL? 
A) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e II. B) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e III. C) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e IV. D) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e III. E) Apenas os dados presentes nas afirmativas II e III. 
 
 2. A modelagem computacional, em linhas gerais, inicia-se com o modelo físico do problema 
real, sua modelagem matemática e, por fim, a utilização de ferramentas computacionais para a 
determinação do resultado. No caso de uma viga, várias informações são desejadas para 
auxiliar nos projetos. No uso de uma ferramenta computacional, existem a entrada de dados 
(input) e a saída dos resultados (output). Considere as informações apresentadas. 
 
I – Diagrama dos esforços cortantes (DEC). 
II – Diagrama dos momentos fletores (DMF). 
III – As dimensões dos apoios. 
IV – As reações nos apoios. 
 
Em que afirmativas são apresentadas outputs da ferramenta computacional FTOOL? 
 A) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e II. B) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e III. C) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e IV. D) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e III. E) Apenas os dados presentes nas afirmativas II e III. 
 
 
39 
3. Quando a opção de resolução de uma viga biapoiada isostática (2 apoios, sendo um de 
primeiro gênero e outro do segundo gênero) é a escolhida, em muitas situações há 
carregamentos distribuídos sobre uma viga, havendo necessidade de efetuar a substituição 
desses por uma carga concentrada equivalente para que possa ser desenhado o DLC e 
realizada a modelagem, a partir das equações do equilíbrio estático. Dessa forma, surgirá um 
sistema a ser resolvido por uma ferramenta computacional. Dos sistemas abaixo, qual pode ser 
o oriundo para a viga descrita? 
 
 
 4. Suponha que um diagrama de momento fletor (DMF) de carregamento uniformemente 
distribuído, gerado a partir de uma ferramenta computacional, não mostre a equação 
associada, ou seja, M(x). As únicas informações disponíveis são o valor do momento fletor 
máximo (360kN.m), o comprimento da viga (6m) e que os apoios que estão nas extremidades 
da viga são de primeiro e segundo gêneros, conforme a figura. 
 
 É possível determinar a equação do DMF? 
A) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, o DMF será uma função 
constante (M(x) = a) que se relaciona apenas com os valores do momento fletor máximo e 
o carregamento. B) Não, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do 
segundo grau (M(x) = a.x2 + b.x + c) e existem apenas 2 informações matemáticas e 3 
incógnitas (a, b e c). C) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do 
segundo grau (M(x) = a.x2 + b.x + c) e existem 3 informações disponíveis para determinar 
as 3 incógnitas a, b e c. O momento máximo (ocorre no ponto médio da viga) e nos apoios 
de primeiro e segundo gêneros, a rotação é permitida, logo, os momentos são nulos. D) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do 
primeiro grau (M(x) = a.x + b) e existem mais de 2 informações matemáticas e apenas 2 
incógnitas (a, b e c). E) Não, pois não é possível saber qual o grau da função que representa o DMF e, assim, 
escrever uma equação genérica para descobrir os coeficientes e determinar M(x). 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5. Um estagiário, estudando um antigo projeto de sua empresa, observou que a análise de 
uma viga biapoiada sobre determinado carregamento foi realizada utilizando a ferramenta 
computacional FTOOL. Em uma das páginas do documento do projeto havia o desenho do 
diagrama do esforço cortante. Como não havia mais informações, ficou curioso e quis 
determinar, a partir do DEC, informações do carregamento sobre a viga. 
 
 A respeito do carregamento, o DEC é típico para que carregamento? 
A) Carga concentrada que atua no ponto médio da viga e tem intensidade 200 kN. B) O ponto de aplicação da carga concentrada está na descontinuidade do DEC (degrau) e 
tem módulo 600 kN. C) Carga distribuída uniformemente de 100 kN/m. D) Carga distribuída linearmente a partir de 400 kN/m até – 200 kN/m. E) Não é possível concluir a respeito do carregamento, apenas a partir do DEC.41 
6. Um aluno encontrou o DEC de uma viga biapoiada desenhado a partir de uma ferramenta 
computacional (FTOOL), mas que não continha informações como o tipo de carregamento e a 
equação do DEC. A seguir, está o DEC para o carregamento dessa viga que contém 10m de 
comprimento. 
 
 
Utilizando seu conhecimento de Mecânica dos Sólidos, o aluno conseguiu complementar o estudo 
da viga chegando à equação para o esforço cortante em função de x (distância a partir do apoio da 
esquerda) e ao tipo de carregamento. Essas informações estão corretamente descritas na opção: 
A) V(x) = -75.x + 250 / carregamento distribuído. B) V(x) = 500 kN / carregamento concentrado. C) V(x) = -75.x / carregamento distribuído. D) V(x) = - 50.x + 250 / carregamento distribuído. E) V(x) = - 5.x + 250 / carregamento distribuído. 
 
 
TEORIA NA PRÁTICA 
Considere uma estrutura em que parte dela apresenta uma viga biapoiada com peso 
próprio de 300 kN e comprimento 6 m. A 1/3 de cada apoio existe uma viga apoiada, tal 
que cada uma equivale a uma carga concentrada de 100 kN. Inicialmente, será feito um estudo para a criação de uma modelo físico simplificado. Duas premissas serão adotadas 
para a simplificação do modelo físico: a viga é isostática e homogênea. Sendo assim, os apoios são de primeiro e segundo gêneros. Uma vez que a viga é homogênea, o peso total 
será distribuído ao longo do comprimento, ou seja, um carregamento uniformemente 
distribuído de 300/6 = 50 kN/m. Dessa forma, a figura a seguir representa a modelagem física da situação apresentada. 
 
 
42 
Como segunda etapa, será realizada a modelagem matemática do problema. As equações 
decorrem do equilíbrio estático (translacional e rotacional) do corpo rígido. Para tanto, será 
desenhado o DCL da viga. Substituição do carregamento distribuído por uma força concentrada. 
 Intensidade: área do retângulo = 50 . 6 = 300 kN;  Ponto de aplicação: linha de ação passando pelo centroide, ou seja, pelo ponto médio da base do retângulo (3 m). 
A seguir, está o DCL da viga. 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido: 
 
Na terceira etapa, utilização da ferramenta computacional. A partir das equações (*), (**) e 
(***) é possível escrever o sistema de equações lineares 3 . 3. 
 O sistema é de fácil resolução, mas também é possível utilizar uma ferramenta computacional para este objetivo. Vários programas estão disponíveis para a resolução de 
sistemas lineares. 
Geralmente, utilizam-se regras conhecidas como a de Cramer, a de Gauss-Jordan, a 
da decomposição LU etc. O aluno também pode desenvolver um programa numa linguagem de programação (C++, Python etc.) que conheça e utilizá-lo. 
Aplicando uma ferramenta computacional, determinam-se RBY = 250 kN, RAY = 250 kN e RAX = 0. Para a determinação dos diagramas de esforço cortante e momento fletor (DEC e DMF) será utilizado o FTOOL. 
 
43 
Perceba que esse software também determina as reações, o que eliminaria a etapa 
anterior. Seguem os diagramas da viga. 
 
DEC da viga. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ. 
Para utilização do FTOOL, foram feitos alguns inputs (tipo de apoios, carregamentos, 
seção reta, propriedades do material etc.). Observe alguns detalhes no diagrama de esforço cortante (DEC). O coeficiente angular de cada reta terá valor igual a -50, que 
equivale a - q(x). Por exemplo, na primeira reta, o coeficiente angular será determinado por 
 Similarmente, pode-se fazer para as demais retas do DEC. Nos dois pontos de aplicação 
das cargas concentradas, existem dois degraus cujos valores equivalem aos das 
intensidades das forças concentradas (150 – 50 = 100 kN). Além disso, as reações nos apoios estão mostradas no DEC. 
Também utilizando a ferramenta FTOOL, é possível gerar o diagrama de momento fletor 
(DMF) para a viga em estudo. 
 
DEC da viga. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ. 
Observe que o DMF, em situações mais simplórias, pode ser rapidamente determinado a 
partir do DEC. Primeiramente, o DEC é representado por funções do primeiro grau (retas), 
assim o DMF será composto por funções do segundo grau (parábolas). A partir das áreas sob o DEC, descobre-se a variação do momento fletor no comprimento da viga analisado. 
Note que, no DMF, para se chegar ao valor de 400 kN.m, bastaria ter feito a área correspondente ao intervalo no DEC (área do trapézio) e a partir do zero (apoio de 
segundo gênero não impede rotação) traçar uma parábola. De maneira sucessiva, 
completa-se o DMF. Cabe ratificar que o FTOOL utiliza como convenção, no desenho do DMF, valores positivos abaixo da viga. 
 
 
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 VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Suponha que seja necessário resolver uma viga, ou seja, determinar as reações no apoio. 
Sabe-se que a viga é isostática e tem um carregamento único concentrado e as suas distâncias 
aos apoios são conhecidas. Fazendo a modelagem matemática do problema, é correto afirmar 
que: 
 A) Serão geradas 6 equações lineares e que um método computacional para resolução de sistemas lineares pode ser utilizado para resolver o sistema linear. B) Serão geradas 3 equações lineares e que um método computacional para resolução de sistemas lineares pode ser utilizado para resolver o sistema linear. C) Serão geradas 3 equações, sendo apenas 2 lineares (as do equilíbrio translacional), e que um método computacional para resolução de sistemas pode ser utilizado para resolver o sistema linear. D) Serão geradas 3 equações, sendo apenas 1 linear (a do equilíbrio rotacional), e que um método computacional para resolução de sistemas pode ser utilizado para resolver o sistema linear. E) Faltam informações iniciais para a modelagem completa do problema. O sistema formado não terá coeficientes numéricos que resultem em respostas numéricas para as reações procuradas. 
 
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2. Suponha que o carregamento de uma viga de 4 m de comprimento e biapoiada seja 
distribuído linearmente, conforme a figura. Fazendo a modelagem e determinando o DEC, em 
que ponto da viga o esforço cortante é nulo? 
 A) A 1,85 m do ponto de apoio A (apoio da esquerda). B) A 1,85 m do ponto de apoio A (apoio da esquerda). C) A 2,16 m do ponto de apoio A (apoio da esquerda). D) A 3,00 m do ponto de apoio A (apoio da esquerda). E) A 3,25 m do ponto de apoio A (apoio da esquerda). 
 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Neste tema, apresentamos um dos elementos estruturais mais importantes utilizados na 
Engenharia, as vigas biapoiadas sob carregamento. 
Inicialmente, fez-se uma descrição da geometria das vigas e dos carregamentos possíveis. 
Uma vez definida a viga e o carregamento, apresentamos os conceitos dos efeitos internos, 
esforço cortante V e momento fletor M. 
A partir das equações do equilíbrio do corpo rígido, mostramos a técnica para determinação 
dos esforços internos V e M para uma seção particular da viga em estudo. Em seguida, foi 
possível realizar a generalização para qualquer seção da viga, isto é, determinar funções para 
o esforço cortante V(x) e para o momento fletor M(x). 
A partir dessas equações, e com a convenção de sinais adotada, foi possível traçar os 
diagramas do esforço cortante e do momento fletor (DEC e DMF). 
Relações matemáticas entre carregamento, esforço cortante e momento fletor foram estudadas 
e utilizadas. 
Por fim, apresentamos a modelagem computacional das vigas biapoiadas com utilização da 
ferramenta FTOOL. 
 REFERÊNCIAS BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros – Estática. 2. ed. São Paulo, SP: Mc Graw-Hill do Brasil LTDA., 1976. v. 1. HIBBELER, R. C. Mecânica para Engenharia – Estática. 12. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2011. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e métodos básicos. 2a reimpressão. Rio de Janeiro, RJ: Elsevier, 2010. MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática.7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016. v. 1.