Resistencia dos Materiais Hibbeler - 13.3 Colunas com vários tipos de apoio

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I, = 45,5 x 106 mm4 e IY = 15,3 x 106 mm4• Por inspeção, ocor­
rerá fiambagem em torno do eixo y-y. Por quê? Aplicando a 
Equação 13.5, temos 
11'2 El 11'2 [200(106) kN/m 2 ](15,3(104 ) mm4 )(1 m/1.000 mm)4 p = -- = ..:.:_!==.::'--'--'---!_---'-0::.:��"-=�'-'=--=:!....C:.:..::..::_-=--==-cr I} (4 m)2 
= 1.887, 6 kN 
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão mé­
dia na coluna é 
= 
Per = 
1 .887, 6 kN (1.000 N/kN) = 320 5 N/mm2 
OCr A 5.890 mm2 ' 
Visto que essa tensão ultrapassa a tensão de escoamento 
(250 N/mm2), a carga P é determinada por compressão simples: 
250 N/mm2 p 
5.890 mm2 ; P = 1.472,5 kN Resposta 
Na prática, um fator de segurança seria imposto a essa carga. 
1 3 .3 Col u nas com vários tipos 
de a poio 
Na Seção 13.2, deduzimos a carga de Euler para uma 
coluna com extremidades acopladas por pinos ou livres 
para girar. Todavia, muitas vezes as colunas podem ser 
apoiadas de algum outro modo. Por exemplo, considere 
o caso de uma coluna engastada na base e livre no topo 
(Figura 13.11a) .A determinação da carga de flambagem 
nessa coluna segue o mesmo procedimento usado para 
a coluna presa por pinos. Pelo diagrama de corpo livre 
na Figura 13.11b, o momento interno na seção arbitrária 
é M = P( 8 - v). Por consequência, a equação diferencial 
para a curva de deflexão é 
d2v EI 
dx2 = P(8 - v) 
d2v P P - + -v = -8 dx2 EI EI 
(13.7) 
Diferentemente da Equação 13 .2, essa é não homo­
gênea por causa do termo não nulo no lado direito. A 
solução consiste em uma solução complementar, bem 
como uma solução particular, a saber, 
v = C1 sen ( [f x) + C2 cos( [f x) + 8 
As constantes são determinadas pelas condições 
de contorno. Em X = o, v = O, de modo que c2 = -8. 
Além disso, 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 483 
Em X = o, dvldx = O, de modo que cl = o. A curva 
de deflexão é, portanto, 
(13.8) 
Considerando que a deflexão no topo da coluna é 
8, isto é, em x = L, v = 8, exige-se 
A solução trivial 8 = O indica que não ocorre ne­
nhuma flambagem, independentemente da carga P. 
Em vez disso, 
ou 
A menor carga crítica ocorre quando n 1, de 
modo que 
1r2EI p cr = --2 (13.9) 4L 
Por comparação com a Equação 13.5, vemos que 
uma coluna engastada na base e livre no topo supor­
tará apenas um quarto da carga crítica que pode ser 
aplicada a uma coluna apoiada por pinos em ambas as 
extremidades. 
X 
L M 
(b) 
(a) 
Figura 13.11 
484 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
p + 
Extremidades presas por pinos 
IK = l l 
(a) 
p � 
[ [ 
L � 
Di J 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I I I 
I I I I I I I I I \ \ \ \ \ \ \ \ \ \.) 
= 2L 
Uma extremidade engastada 
e a outra livre 
IK = 2 1 
(b) 
p + 
= 0,5L 
Extremidades engastadas 
IK = o,sl 
(c) 
p + 
Extremidades engastadas 
e presas por pinos 
!K = 0,7j 
(d) 
Figura 13.12 
Outros tipos de coluna apoiada são analisadas de 
maneira muito semelhante e não as estudaremos deta­
lhadamente aqui .* Em vez disso, tabularemos os resul­
tados para os tipos mais comuns de apoio de coluna e 
mostraremos como aplicar esses resultados escreven­
do a fórmula de Euler em uma forma geral. 
Comprimento efetivo. Como já dissemos, a 
fórmula de Euler (Equação 13 .5) foi desenvolvida 
para o caso de uma coluna com extremidades presas 
por pinos ou livres para girar. Em outras palavras, L 
na equação representa a distância sem apoio entre os 
pontos de momento nulo. Se a coluna for apoiada de 
outros modos, então a fórmula de Euler poderá ser 
usada para determinar a carga crítica, desde que 'L' 
represente a distância entre pontos de momento nulo. 
Essa distância é denominada comprimento efetivo da 
coluna, Le. É óbvio que para uma coluna presa por 
pinos nas extremidades como mostra a Figura 13 .12a, 
L = L. No caso da coluna com uma extremidade en­
g�stada e a outra livre que já analisamos, constatou­
se que a curva de deflexão é metade da curva para 
uma coluna acoplada por pinos com comprimento 2L 
(Figura 13 .12b) . Desse modo, o comprimento efetivo 
entre os pontos de momento nulo é L e = 2L . A Figura 
13 .12 mostra também exemplos para duas outras co­
lunas com apoios diferentes nas extremidades. Aquela 
' Veja os problemas 13.43, 13.44 e 13.45. 
presa nas extremidades (Figura 13.12c) tem pontos 
de inflexão ou pontos de momento nulo à distância 
L/4 de cada apoio. Portanto, o comprimento efetivo 
é representado pela metade central de seu compri­
mento, isto é, Le = 0,5L. Por fim, a coluna com uma 
extremidade presa por pino e a outra engastada (Fi­
gura 13 .12d) tem um ponto de inflexão a aproxima­
damente 0,7 L de sua extremidade presa por pino, de 
modo que L e = 0,7 L. 
Em vez de especificar o comprimento efetivo da 
coluna, muitos códigos e manuais de projeto dão fór­
mulas de colunas que empregam um coeficiente adi­
mensional K denominadofator de comprimento efeti­
vo. K é definido por 
L = KL e ( 13.10) 
A Figura 13 .12 também apresenta valores específi­
cos de K. Com base nessa generalidade, podemos ex­
pressar a fórmula de Euler como 
ou 
7T2EI p = --
cr (KL)2 
7TzE 
O"
cr = ----(KL/r)2 
(13.11) 
(13.12) 
Nessa expressão, (KL!r) é o índice de esbeltez efe­
tivo da coluna. Por exemplo, observe que para a coluna 
engastada na base e livre na extremidade, temos K = 
2 e, portanto, a Equação 13 .11 dá o mesmo resultado 
que a Equação 13.9 . 
Uma coluna de aço W150 x 24 tem 8 m de comprimento e 
as extremidades engastadas como mostra a Figura 13.13a. Sua 
capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em 
torno do eixo y-y (fraco). Consideramos que essas escoras es­
tão acopladas por pinos no ponto médio da altura da coluna. 
Determine a carga que a coluna pode suportar sem flamba­
gem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento. 
Considere E aço = 200 GPa e ue = 410 MPa. 
p 
Flambagem no eixo x-x 
(b) 
X 
Flambagem no eixo y-y 
(c) 
Figura 13.13 
SOLUÇÃO 
O comportamento de ftambagem da coluna será diferente em 
tomo dos eixos x e y por causa das escoras de reforço. As for­
mas da flambagem para cada um desses casos são mostradas nas 
figuras 13.13b e 13 13c. Pela Figura 13.13b, o comprimento efeti­
vo para flambagem em torno do eixo x-x é (KL ), = 0,5(8 m) = 
4 m e, pela Figura 13.13c, para flambagem em torno do eixo y-y, 
(KL\. = 0,7(8 m/2) = 2,8 m. Os momentos de inércia para um 
perfil W150 x 24 são determinados pela tabela no Apêndice B. 
Temos I, = 13,4 x 106mm4, IY = 1,83 x 106 mm4• 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 485 
Aplicando a Equação 13.11, obtemos 
(Pcr )x = 7r2EI� = 7r2 [200(106 ) kN/m2 ]13,4(100-6) m4 
(KL)x (4 m)2 
= 1 .653,2kN 
= 460,8 kN 
Por comparação, a flambagem ocorrerá torno do eixo y-y. 
A área da seção transversal é 3.060 mm2; portanto, a ten­
são de compressão média na coluna será 
= 
Per = 460,8(10
3) N _ / 2 CTcr A ? - 150,6 N mm 3.060 mm-
Visto que essa tensão é menor do que a tensão de escoamen­
to, a flambagem ocorrerá antes do escoamento do material. 
Assim, 
P = 461 kN 
çr Resposta 
OBSERVAÇÃO: Pela Equação 13.12 podemos ver que a 
flambagem sempre ocorrerá em torno do eixo da coluna que 
tenha o maior índice de esbeltez, visto que um grande índice 
de esbeltez resultará em pequena tensão crítica. Assim, uti­
lizando os dados para o raio de giração dados pela tabela no 
Apêndice B, temos 
4 m(l.OOO mm/m) 
= 60 4 66,2 mm ' 
( KL ) = 2,8 m(l .OOO mm/m) = 114,3 
r 
Y 
24,5 mm 
Por consequência, ocorrerá flambagem no eixo y-y, que é 
a mesma conclusão a que chegamos comparando as equa­
ções 1 e 2. 
A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está 
ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movi­
mente-se ao longo do eixo x (Figura 13.14a). Se conside­
rarmos que ela está fixa na base, determine a maior car­
ga admissível P que pode ser aplicada. Use um fator de 
segurança para flambagem FS = 3,0. Considere Ea1 = 70 
GPa, ue = 215 MPa, A = 7,5(10-3)m2, I, = 61,3(10-6)m4, 
IY = 23,2(10-6)m4• 
486 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
X 
(a) 
\ I I) Le = 3,5 m 
Le = 10 m 
� 
Flambagem noeixo x-x Flambagem no eixo y-y 
(b) (c) 
Figma 13.14 
SOLUÇÃO 
A fiambagem em tomo dos eixos x e y é mostrada nas figuras 
13.14b e 13.14c, respectivamente. Usando a Figura 13.12a, para 
a fiambagem no eixo x-x , K = 2, portanto, (KL)x = 2(5 m) = 
10 m. Para a fiambagem no eixo y-y,K = 0,7, portanto, (KL) = 
0,7(5 m) = 3,5 m. 
v 
Aplicando a Equação 13.11, as cargas críticas para cada caso são 
112Eix 112[70 ( 109) N/m2)[ 61,3(10-6) m4] 
(Pcr)x = 
(KL)� 
= 
(10 m? 
= 424 kN 
112Ely 112[70(109) Njm2)[23,2(10-6) m4] 
(Pcr)y = 
(KL); 
= 
(3,5 m? 
= 1,31 MN 
Por comparação, à medida que P aumenta, a coluna sofrer . d . a fiambagem em tomo o e1xo x-x. Portanto, a carga admissí-vel é 
Visto que 
Per 424 kN Pactm = FS = 3Q = 141 kN , Resposta 
Per 424 kN 
O'cr = -
A = 
3 2 
= 56,5 MPa < 215 MPa 7,5(10- ) m 
a equação de Euler pode ser aplicada. 
13.1. Determine a carga de fiambagem crítica para a colu­
na. Podemos considerar que o material é rígido. 
p 
r 
L 
L 
Problema 13.1 
13.2. A coluna é composta por um elemento estrutural rí­
gido preso por um pino na base e acoplado a uma mola no 
topo. Se a mola não estiver esticada quando a coluna estiver 
em posição vertical, determine a carga crítica que pode ser 
aplicada à coluna. 
p 
Problema 13.2 
13.3. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4 m 
e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área 
da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, 
determine a carga crítica. 
*13.4. Resolva o Problema 13.3 se a coluna for engastada 
na base e presa por pinos no topo. 
mm-----1--t--j 
lO mm 
Problemas 13.3/4 
25 mm 
13.5. Uma barra quadrada é feita de plástico PVC com mó­
dulo de elasticidade E = 9 GP a e deformação por escoamen­
to E = 0,001 mm/mm. Determine as dimensões a de sua me­
nor �eção transversal, de modo que não falhe por flambagem 
elástica. As extremidades da barra estão presas por pinos e 
seu comprimento é 1 .250 mm. 
13.6. A haste é feita de aço A-36. Determine, com aproxi­
mação de 1 mm, o menor diâmetro da haste que suportará 
a carga P = 25 kN sem flambagem. As extremidades estão 
apoiadas em roletes. 
13.7. A haste é feita de aço com 25 mm de diâmetro. Deter­
mine a carga crítica de flambagem, se as extremidades estive­
rem apoiadas em roletes. E aço = 200 GPa, CT0 = 350 MPa. 
Problemas 13.617 
*13.8. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 5 m e 
está engasta da em ambas as extremidades. Se a área da seção 
transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determi­
ne a carga crítica. 
mm 
Problema 13.8 
13.9. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4,5 m 
e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área 
da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, 
determine a carga crítica. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 487 
f.- 200 mm -1 1 
12 mm 
12 mm� mm 
------'T l2 mm 
Problema 13.9 
13.10. O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 
e usado como uma coluna de 4,5 m de comprimento. Se con­
siderarmos que suas extremidades estão apoiadas por pinos 
e que ela é submetida a uma carga axial de 500 kN, determi­
ne o fator de segurança em relação à flambagem. 
13.11. O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 
e usado como uma coluna de 4,5 m de comprimento. Se as 
extremidades da coluna estiverem engasta das, a coluna pode 
suportar a carga crítica sem escoamento? 
p 
4,5 m 
p 
Problemas 13.10/11 
*13.12. Determine a força máxima P que pode ser aplicada 
ao cabo, de modo que a haste de controle de aço A-36 AB 
não sofra ftambagem. A haste tem diâmetro de 30 mm e está 
presa por pinos nas extremidades. 
f---- 0,9 m-------! 
f-- 0,6 m --�1 I 
A 
Problema 13.12 
p 
488 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
13.13. Os dois perfis em U de aço devem ser interligados para 
formar uma coluna da ponte de 9 m de comprimento que consi­
deramos estar acoplada por pinos nas extremidades. Cada perfil 
em U tem área de seção transversal A = 1.950 mm2 e momen­
tos de inércia I, = 21,60(106) mm\ Iv = 0,15(106)mm4• A figura 
mostra a localização do centroide C de sua área. Determine a 
distância adequada d entre os centroides dos perfis em U, de 
modo que ocorra ftambagem em tomo dos eixos x-x e y'-y' 
devido à mesma carga. Qual é o valor dessa carga crítica? Des­
preze o efeito da interligação. Eaço = 200 GPa, O" e = 350 MPa. 
y y' 
y y' 
Problema 13.13 
13.14. O elemento estrutural W200 x 100 é usado como 
uma coluna de aço estruturalA-36. Podemos considerar que 
a base dessa coluna está engastada e que o topo está preso 
por um pino. Determine a maior força axial P que pode ser 
aplicada sem provocar ftambagem. 
13.15. Resolva o Problema 13.14 considerando que a colu­
na está engasta da na base, mas livre no topo. 
p 
7,5 m 
--=i'=-=j 
Problemas 13.14/15 
''13.16. Uma coluna de aço tem comprimento de 9 m e está 
engastada em ambas as extremidades. Se a área da seção 
transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determi­
ne a carga crítica. E,10 = 200 GPa, O" e = 250 MPa. 
13.17. Resolva o Problema 13.16, se a coluna estiver presa 
por pinos no topo e na base. ±1--- lOO m --lt lO mm 
10 Tm 
T
lO mm 
Problema 13.17 
13.18. A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 mm tem diâ­
metro externo de 75 mm e espessura de 6 mm. Determine a 
carga crítica, se considerarmos que suas extremidades estão 
acopladas por pinos. 
13.19. A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 mm tem diâme­
tro externo de 75 mm e espessura de 6 mm. Determine a carga 
crítica, se a base estiver engastada e o topo preso por pinos. 
I 
Problemas 13.18/19 
*13.20. A coluna retangular de madeira de 3 m tem as di­
mensões mostradas na figura. Determine a carga crítica, se 
considerarmos que as extremidades estão acopladas por pi­
nos. Em = 12 GPa, O" e = 35 MPa. 
13.21. A coluna de 3 m tem as dimensões mostradas na fi­
gura. Determine a carga crítica se a base for engastada e o 
topo estiver preso por pinos. Em = 12 GPa, O" e = 35 MPa. 
li 
3 m 
lOO mmi O 
_.j f._ 
50 mm 
Problemas 13.20/21 
13.22. Consideramos que os elementos estruturais da tre­
liça estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural BD 
for uma haste de aço A-36 de raio 50 mm, determine a carga 
máxima P que pode ser suportada pela treliça sem provocar 
ftambagem no elemento estrutural. 
1323. Resolva o Problema 13.22 no caso de um elemento 
estrutural AB com raio de 50 mm. 
r----- 4 m -- -- 4 m --1----- 4 m ----! 
p p 
Problemas 13.22/23 
'13.24. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma 
delas tem seção transversal circular com diâmetro de 40 
mm. Determine a força máxima P que pode ser aplicada 
sem provocar ftambagem em nenhum dos elementos es­
truturais. As extremidades dos elementos estruturais estão 
acopladas por pinos. 
13.25. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma 
delas tem seção transversal circular. Se a carga aplicada for 
P = 50 kN, determine, com aproximação de múltiplos de 5 
mm, o diâmetro do elemento estrutural AB que impedirá 
que esse elemento estrutural sofra ftambagem. As extremi­
dades dos elementos estruturais estão apoiadas por pinos. 
p 
Problemas 13.24/25 
13.26. As extremidades do elo de aço-ferramenta L-2 
de uma máquina de forjar estão acopladas aos garfos por 
pinos, como mostra a figura. Determine a carga máxima 
P que ele pode suportar sem sofrer ftambagem. Use um 
fator de segurança FS = 1 ,75 para a ftambagem. Obser­
ve que, no lado esquerdo da figura, as extremidades estão 
presas por pino, ao passo que no lado direito, elas estão 
engastadas. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 489 
p p 
p p 
Problema 13.26 
13.27. O mecanismo articulado é composto por duas hastes 
de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Deter­
mine, com aproximação de múltiplos ele 5 mm, o diâmetro de 
cada haste que suportará uma carga P = 30 kN. Considere 
que as extremidades das hastes estão acopladas por pinos. 
Use fator de segurança de 1,8 para ftambagem. 
*13.28. O mecanismo articulado é composto por duas has­
tes de aço A-36, cada uma com seção transversalcircular. Se 
cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga 
que o mecanismo pode suportar sem provocar ftambagem 
em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das 
hastes estão acopladas por pinos. 
Problemas 13.27/28 
13.29. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 50 mm 
e espessura de 12 mm. Se for mantido no lugar por um cabo 
de ancoragem, determine a maior força vertical P que pode 
ser aplicada sem provocar ftambagem no tubo. Considere 
que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. 
13.30. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 50 mm. 
Se for mantido no lugar por um cabo de ancoragem, determi­
ne, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro inter­
no exigido para que ele possa suportar uma carga vertical má­
xima P = 20 kN sem provocar ftambagem no tubo. Considere 
que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. 
490 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
p 
Problemas 13.29/30 
13.31. O mecanismo articulado é composto por duas hastes 
de aço A -36, cada uma com seção transversal circular. Deter­
mine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro 
de cada haste que suportará uma carga de 4,5 kN. Considere 
que as extremidades das hastes estejam acopladas por pinos. 
Use fator de segurança FS = 1 ,8 para fiambagem. 
B 
�4,8 m --4�2,7 m� 
Problema 13.31 
*13.32. O mecanismo articulado é composto por duas has­
tes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Se 
cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga 
que o mecanismo pode suportar sem provocar fiambagem 
em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das 
13.33. Considere que as extremidades da barra de aço AB 
da estrutura estejam acopladas por pinos para fiambagem no 
eixo y-y. Se P = 18 kN, determine o fator de segurança para 
fiambagem em torno do eixo y-y devido à carga aplicada. 
E aço = 200 GPa, O' e = 360 MPa. 
p 
y 
4m 1 50 
y 
Pmblema 13.33 
13.34. Determine a carga máxima P que a estrutura pode 
suportar sem provocar fiambagem no elemento estrutural 
AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremi­
dades estão presas por pinos para fiambagem no eixo y-y e 
engastadas em ambas as extremidades para fiambagem no 
eixo x-x. E aço = 200 GPa, 0'0 = 360 MPa. 
p 
y 
4m l 50 
y 
hastes estejam conectadas por pinos. Problema 13.34 
B 13.35. Determine a força máxima P que pode ser aplicada 
-.------ ao cabo de modo que a haste de controle BC de aço A-36 
não sofra fiambagem. A haste tem diâmetro de 25 mm. 
�4,8 m --4!1--2,7 m� 
Problema 13.35 
Problema 13.32 
13.36. Determine a carga máxima admissível P que pode 
ser aplicada ao elemento estrutural BC sem provocar fiam­
bagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é fei­
to de aço e que suas extremidades estejam presas por pinos 
para fiambagem no eixo x-x e engastadas para fiambagem 
no eixo y-y. Use um fator de segurança FS = 3 para fiamba­
gem. E aço = 200 GPa, O" e = 360 MPa. 
p 
X 
Problema 13.36 
13.37. Determine se a estrutura pode suportar uma carga 
P = 20 kN, se o fator de segurança para fiambagem do ele­
mento estrutural AB for FS = 3. Considere que AB é feito 
de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para 
fiambagem no eixo x-x e engastadas para fiambagem no eixo 
y-y. E aço = 200 GPa, O" e = 360 MPa. 
p 
X 
Problema 13.37 
13.38. Considere que os elementos estruturais da treliça 
estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural GF for 
uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm, determine 
o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça 
sem provocar fiambagem naquele elemento estrutural. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 491 
p 
2 m 
X 
Problema 13.38 
*13.39. Considere que os elementos estruturais da treliça 
estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural AG for 
uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm, determine 
o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça 
sem provocar fiambagem naquele elemento estrutural. 
H G F E 
p p 
Problemas 13.39/40 
13.40. Determine a carga máxima distribuída que pode ser 
aplicada à viga de abas largas, de modo que a haste CD não 
sofra fiambagem. A braçadeira é uma haste de aço A-36 com 
diâmetro de 50 mm. 
4 m 
D . l 
Problema 13.40