Resistencia dos Materiais Hibbeler - 10.6 Relações entre o material e suas propriedades

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Problema 10.29 
10.30. A roseta de deformação a 45o está montada próxi­
ma ao dente da ferramenta. As seguintes leituras foram ob­
tldas em cada extensômetro: E" = 800(10-6), E6 = 520(10-6) e 
15 = -450(10-6) . Determine (a) as deformações principais no 
pÍano e b) a deformação por cisalhamento máxima no plano 
e a deformação normal média associada. Em cada caso, mos­
tre 0 elemento distorcido devido a essas deformações. 
Problema 10.30 
10.31. A roseta de deformação a 60° está montada sobre 
uma viga. As seguintes leituras foram obtidas em cada ex­
tensômetro: E a = 150(10-6), E6 = -330(10-6) e E c = 400(10-6). 
Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a 
deformação por cisalhamento máxima no plano e a defor­
mação normal média. Em cada caso, mostre o elemento dis­
torcido devido a essas deformações. 
Problema 10.31 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 379 
'10.32. A roseta de deformação a 45° está montada so­
bre um eixo de aço. As seguintes leituras foram obtidas 
em cada extensômetro: E" = 800(10-6), E6 = 520(10-6), 
Ec = -450(10-6). Determine (a) as deformações principais 
no plano e suas orientações. 
Problema 10.32 
"10.33. Considere a orientação geral dos três extensôme­
tros em um ponto como mostra a figura. Escreva um códi­
go computacional que possa ser usado para determinar as 
deformações principais no plano e a deformação por cisa­
lhamento máxima no plano em um ponto. Mostre uma apli­
cação do código usando os valores ()a = 40°, Ea = 160(10-6), 
06 = 125°, E6 = 100(10-6), ()c = 220°, E c = 80(10-6). 
1 0.6 
Problema 10.33 
Relações entre o materia l 
e suas p ropriedades 
Agora que já apresentamos os princípios gerais 
da tensão e da deformação multiaxial, usaremos esses 
princípios para desenvolver algumas relações impor­
tantes que envolvem as propriedades dos materiais. 
Para tal, consideraremos que o material seja homo­
gêneo e isotrópico e comporta-se de um modo linear 
elástico. 
380 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
+ 
� 
(a) (b) (c) (d) 
Figul'a 10.20 
Lei de Hooke generalizada. Se o material em 
um ponto estiver sujeito a um estado de tensão triaxial, 
ux, uY, uz (Figura 10.20a), deformações normais associa­
das E , E , E serão desenvolvidas no material. As tensões X )' Z 
podem ser relacionadas com as deformações pelo princí-
pio da superposição, coeficiente de Poisson, E1 = -vE1 at ong 
e pela lei de Hooke, como aplicável na direção uniaxial, 
E = ui E. Para mostrar como isso é feito, em primeiro lu­
gar consideraremos a deformação normal do elemento na 
direção x, causada pela aplicação isolada de cada tensão 
normal. Quando ux é aplicada (Figura 10.20b ), o elemento 
alonga-se na direção x e a deformação < nessa direção é 
A aplicação deu provoca a contração do elemento com y uma deformação < na direção x (Figura 10.20c ). Aqui, 
O'y 
E11 = -v-x E 
Da mesma forma, a aplicação de uz (Figura 10.20d), 
provoca uma contração na direção x tal que 
O'z 
E"' = -v-x E 
Quando essas três deformações normais são super­
postas, a deformação normal Ex é determinada para o 
estado de tensão na Figura 10.20a. Equações seme­
lhantes podem ser desenvolvidas para as deformações 
normais nas direções y e z. Os resultados finais podem 
ser escritos como 
1 
Ex = E [ux - v(uy + uz)] 
1 
Ey = E [uy - v(ux + uz)] (10. 18) 
1 
Ez = E [uz - v(ux + uy)] 
Essas três equações expressam a lei de Hooke de 
uma forma geral para um estado de tensão triaxial. 
Como observamos da dedução, elas serão válidas so­
mente se o princípio da superposição for aplicável, 0 
que exige uma resposta linear elástica do material e a 
aplicação de deformações que não provoquem altera­
ções graves na forma do material - isto é, exigem-se 
pequenas deformações. Ao aplicar essas equações, ob­
serve que as tensões de tração são consideradas quan­
tidades positivas e as tensões de compressão, negativas. 
Se a deformação normal resultante for positiva, isso 
indicará que o material alonga-se, ao passo que uma 
deformação normal negativa indicará que o material 
contrai-se. 
Como o material é is o trópico, o elemento na Figura 
10.20a permanecerá um bloco retangular quando sub­
metido às tensões normais, isto é, nenhuma deforma­
ção por cisalhamento será produzida no material. Se 
agora aplicarmos uma tensão de cisalhamento r,Y ao 
elemento (Figura 10.2la), observações experimentais 
indicam que o material se distorcerá somente devido 
a uma deformação por cisalhamento Y.<J' isto é, r.,y não 
causará outras deformações no material. Da mesma 
forma, ryz e Txz provocarão somente deformações po�· 
cisalhamento Tyz e Txz' respectivamente. Portanto, a �et 
de Hooke para tensão de cisalhamento e deformaçao 
por cisalhamento pode ser escrita como 
1 1 
Yxy = GTxy Yyz = G Tyz 1 
Yxz = G Txz (10.19) 
Relações que envolvem E, v e G. Na Seçãt; 
3.7, afirmamos que o módulo de elasticidade E esta 
relacionado com o módulo de cisalhamento G pela 
Equação 3. 11 , a saber, 
(10.20) 
(a) 
(c) 
Figura 10.21 
(b) 
Um modo de deduzir essa relação é considerar que 
um elemento do material está sujeito a cisalhamento 
puro (crx = crY = crz = O) (Figura 10.22a). A aplicação 
da Equação 9.5 para obter as tensões principais nos dá 
(í máx = Txy e (T mín = -rxy' Pela Equação 9.4, o elemento 
tem de ser orientado a 8P1 = 45oem sentido anti-ho­
rário em relação ao eixo x, de modo a definir a dire­
ção do plano no qual cr máx age (Figura 10.22b ). Se as 
três tensões principais cr , = r , cr. = O, cr , = -r max xy mt mm xy' forem substituídas na primeira das Equações 10. 18, a 
deformação principal Emáx pode ser relacionada com a 
tensão de cisalhamento r . O resultado é xy 
(10.21) 
Essa deformação, que distorce o elemento ao longo 
do eixo x', também pode ser relacionada com a defor­
mação por cisalhamento 'Yxy por meio das equações de 
transformação da deformação ou pelo círculo de Mohr 
para deformação. Para tal, em primeiro lugar obser­
v.e que, considerando-se cr = cr = cr = O então pela 
E - X y z ' ' 
quaçao 10. 18, E = E = O. Substituindo esses resul-
tados na equaçã� de transformação (Equação 10. 9), 
obtemos 
'Yxy 
Et = Emáx = l 
Pela lei de Hooke y = r /G de modo que ' xy xy ' ;máx, == rj2G. Substituindo na Equação 10.21 e rear-;nJando os termos, temos o resultado final, a saber 
quação 10.20. 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 381 
y 
�-------------------- X 
(a) 
y 
�-------------------- X 
(b) 
Figura 10.22 
Dilatação e módulo de compressibi l idade. 
Quando um material elástico for submetido a tensão 
normal, seu volume mudará. Para calcular essa mudan­
ça, considere um elemento de volume que está sujeito 
às tensões principais crx, crY, crz. Os lados do elemento 
são originalmente dx, dy, dz (Figura 10.23a); contudo, 
após a aplicação da tensão, eles se tornam, respecti­
vamente, (1 + E) dx, (1 + E) dy, (1 + E) dz (Figura 
10.23b ). Portanto, a mudança no volume do elemento é 
8V = ( 1 + Ex) (1 + Ey) ( 1 + Ez) dx dy dz - dx dy dz 
Desprezando os produtos das deformações, já que 
elas são muito pequenas, temos 
8V = kr + Ey + Ez) dx dy dz 
A mudança em volume por unidade de volume é 
denominada 'deformação volumétrica' ou dilatação 
(e) e pode ser expressa como 
BV 
e = dV = Ex + Ey + Ez (10.22) 
Por comparação, as deformações por cisalhamento 
não mudarão o volume do elemento; mais exatamente, 
mudarão apenas sua forma retangular. 
382 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
dz 
t 
(a) (b) 
Figma 10.23 
Se usarmos a lei de Hooke generalizada, como de­
finida pela Equação 10. 18, podemos expressar a dilata­
ção em termos da tensão aplicada. Temos 
(10.23) 
Quando um elemento de volume de material é sub­
metido à pressão uniforme p de um líquido, a pressão no 
corpo é a mesma em todas as direções e é sempre nor­
mal à qualquer superfície sobre a qual ela age. Tensões 
de cisalhamento não estão presentes, visto que a resis­
tência de um líquido ao cisalhamento é nula. Esse esta­
do de carga 'hidrostática' exige que as tensões normais 
sejam iguais em toda e qualquer direção e, portanto,um elemento do corpo está sujeito às tensões principais 
O'x = O'Y = O'z = -p (Figura 10.24). Substituindo na 
Equação 10.23 e rearranjando os termos, obtemos 
p E 
e 3(1 - 2v) (10.24) 
O suporte no Exemplo 10. 8 (Figura 10.25a), é feito de 
aço para o qual E = 200 GPa, v = O 3 Determine as aço aço ' ' 
tensões principais no ponto A. 
Tensão hidrostática 
Figma 10. 24 
O termo à direita consiste somente nas proprieda­
des do material E e v e é igual à razão entre a tensão 
normal uniforme p e a dilatação ou 'deformação volu­
métrica' . Como essa razão é semelhante àquela entre 
tensão elástica linear e deformação, que define E, isto 
é, O"! E = E, os termos da direita são denominados mó­
dulo de elasticidade do volume ou módulo de compres­
sibilidade. Suas unidades são as mesmas da tensão c 
ele será simbolizado pela letra k; isto é, 
' 
k = --
E 
__ 
3(1 - 2v) (10.25) 
Observe que, para a maioria dos metais, v = 1/3, 
portanto, k = E. Se existisse um material que não mu· 
classe de volume, então 8V = O e, por consequência, k 
teria de ser infinito. Pela Equação 10.25, o valor máximo 
teórico para o índice de Poisson é,portanto, v = O,S.Aiém 
disso, durante o escoamento não se observa nenhuma 
mudança de volume no material e, portanto, v = 0,5 é 
usado quando ocorre escoamento plástico. 
SOLUÇÃO I 
No Exemplo 10.8, as deformações principais foram determi· 
nadas como 
E1 = 272(10-6) 
E2 = 33,9(10-6) 
.�. 
(a) 
u (MPa) 
r (MPa) 
(b) 
Figura 10.25 
Como o ponto A encontra-se sobre a supe1jície do supor­
te na qual não existe carga, a tensão na superfície é nula, 
portanto, o ponto A está sujeito ao estado plano de tensão. 
Aplicando a lei de Hooke com u3 = O, temos 
(1) 
A solução simultânea das equações 1 e 2 produz 
u1 = 62,0 MPa Resposta 
u2 = 25,4 MPa Resposta 
lambém é possível resolver o problema usando o estado de deformação dado, 
'Yxy = -149(10-6) 
visto no Exemplo 10.8. Aplicando a lei de Hooke no 
x-y, temos 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 383 
Ux = 29,4 MPa 
0,3uy 
200(109) Pa 
0,3ux 
uy = 58,0 MPa 
A tensão de cisalhamento é determinada pela lei de Hooke 
para cisalhamento. Todavia, em primeiro lugar temos de cal­
cular G. 
Assim, 
E 200 GPa G = 2(1 + v) 
= 2(1 + 0,3) = 76,9 GPa 
Txy = 76,9(109) [-149(10-6)] = -11 ,46 MPa 
O círculo de Mohr para esse estado plano de tensão tem um 
ponto de referência A(29,4 MPa, -11,46 MPa) e centro em 
u méd = 43,7 MP a (Figura 10.25b ) . O raio é determinado pelo 
triângulo sombreado. 
R = Y(43,7 - 29,4)2 + (11 ,46)2 = 18,3 MPa 
Portanto, 
u1 = 43,7 MPa + 18,3 MPa = 62,0 MPa 
u 2 = 43,7 MPa - 18,3 MPa = 25,4 MPa 
Resposta 
Resposta 
OBSERVAÇÃO: Cada uma dessas soluções é válida desde 
que o material seja linear elástico e isotrópico, pois, nesse caso, 
os planos principais de tensão e deformação coincidem. 
A barra de cobre na Figura 10.26 está sujeita a uma car­
ga uniforme ao longo de suas bordas, como mostra a figura. 
Se tiver comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e 
espessura t = 20 mm antes da aplicação da carga, determine 
seus novos comprimento, largura e espessura após a aplica­
ção da carga. Considere E,o = 120 GPa, v
,o = 0,34. 
800 MPa 
SOO MPa 
Figura 10.26 
384 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
SOLUÇÃO 
Por inspeção, a barra está sujeita a um estado plano de ten­
são. Pelas cargas, temos 
a = 800MPa X a = -500 MPa )' r = O X)' a = 0 z 
As deformações normais associadas são determinadas pela 
lei de Hooke generalizada, Equação 10.18; isto é, 
ax v 
E = - - -(a + a ) 
X E E y z 
800MPa 0 34 '3 (-500MPa) = 0,00808 120(10 ) MPa 
Uy V E = - - -(u + u ) y 
E E X z 
-500MPa 0 34 
--c--- - ' (800 MPa + O) = -0 00643 120(103) MPa 120(103) MPa ' 
Uz v 
Ez = E - E(ux + uy) 
0,34 ( ) = O - 3 800 MPa - 500 MPa = -0,000850 120(10 ) MPa 
Os novos comprimento, largura e espessura da barra são, 
portanto, 
a' = 300 mm + 0,00808(300 mm) = 302,4 mm Resposta 
b' = 50 mm + ( -0,00643)(50 mm) = 49,68 mm Resposta 
SOLUÇÃO 
Dilatação. A dilatação pode ser determinada pela Equa­
ção 10.23 com ax = ay = a, = -20 kPa. Temos 
1 - 2v 
e = -E-- ( �< + ay + az) 
= 1 - 2(0,45) [3(-20 kPa)] 600 kPa 
= - 0,01 cm3/cm3 Resposta 
Mudança no comprimento. A deformação normal de 
cada lado pode ser determinada pela lei de Hooke, Equação 
10.18; isto é, 
1 
= 600 kP)-20 kPa - (0,45 ) (-20 kPa- 20 kPa)] 
= -0,00333 cm /cm 
Assim, a mudança no comprimento de cada lado é 
8a = -0,00333( 4 cm) = -0,0133 cm Resposta 
8b = -0,00333(2 cm) = -0,00667 cm Resposta 
8c = -0,00333(3 cm) = -0,0100 cm Respmta 
t' = 20 mm + ( -0,000850)(20 mm) = 19,98 mm Resposta Os sinais negativos indicam que cada dimensão diminuiu. 
Se o bloco retangular mostrado na Figura 10.27 estiver 
sujeito a uma pressão uniforme p = 20 kPa, determine a 
dilatação e a mudança no comprimento de cada lado. Con­
sidere E = 600 kPa, v = 0,45. 
b = 2 cm 
Figura 10.27 
10. 34. Mostre que, para o caso do estado plano de tensão, a 
lei de Hooke pode ser expressa como 
E E Ux = ( l _ VZ) (Ex + VEy), Uy = (1 
_ Vz) (Ey + VEx) 
10.35. Use a lei de Hooke, Equação 10.18, para desenvol­
ver as equações de transformação da deformação, equações 
10.5 e 10.6, a partir das equações de transformação de tensão, 
9. 1 e 9.2. 
*10.36. Uma barra de liga de cobre é carregada em um equi· 
pamento de ensaio de tração e constata-se que Ex = 940(10 ") 
e a = 100 MPa a = O a = O Determine o módulo de etas-
x ' )' ' z • 
ticidade, Eco' e a dilatação, eco' do cobre. vco = 0,35. 
10.37. As tensões principais no plano e as deformações 
· d I t - - 250 MPa. associa as em um p ano em um pon o sao a1 - • 
a = 112 MPa E = 1 02(10-3) E = O 180(10-3). Determwe 0 2 ' 1 ' ' 2 ' 
módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson. 
J( 
r a 
H i 
se 
C • 
[]l 
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10. 
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· w . . 
k N/ 
Iom 
sôcs 
suas 
/•, 
/' 
Determine o módulo de compressibilidade para bar­
dura se Eb == 5 GPa e vb = 0,43. 
As deformações principais em um ponto sobre a fu­
de alumínio de um avião a jato são E1 = 780(10-6) 
== 400(10-6). Determine as tensões principais associadas 
ponto no mesmo plano. Ea1= 70 GPa, vai = 0,33. Dica: Veja 
o Problema 10.34. 
A haste é feita de alumínio 2014-T6. Se for subme­
à carga de tração de 700 N e tiver diâmetro de 20 mm, 
" termine a deformação por cisalhamento máxima absoluta ue b f' . haste em um ponto so re sua super 1c1e. 
Problema 10.40 
10.41. A haste é feita de alumínio 2014-T6. Se for subme­
tida à carga de tração de 700 N e tiver diâmetro de 20 mm, 
determine as deformações principais em um ponto sobre a 
superfície da haste. 
Problema 10.41 
10.42. Uma haste tem raio de 10 mm. Se for submetida a 
uma carga axial de 15 N tal que a deformação axial na haste 
seja e, = 2,75(10-6), determine o módulo de elasticidade E e 
a mudança em seu diâmetro. v = 0,23. 
10.43. As deformações principais em um ponto sobre a 
superfície de alumínio de um tanque são E1 = 630(10-6) e 
e2 = 350(10-6). Se for um caso de estado plano de tensão, de­
termine as tensões principais associadas no ponto no mesmo 
plano. E ai = 70 GP a, v ai = 0,33. Dica: Veja o Problema 10.34. 
'10.44. Uma carga periférica uniforme de 100 kN/m e 70 
kN/m é aplicada a um corpo de prova de poliestireno. Se a 
forma original do corpo de prova for quadrada, de dimen­
sões a = 50 mm, b = 50 mm e espessura t = 6 mm, determine 
suas novas dimensões a' , b' e t' após a aplicação da carga. 
E1, = 4 GPa e vP = 0,25. 
r lOO kN/m 
a = 50 mm 
l 
f-- b = 50 mm --1 
Problema 10.44 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 385 
10.45. As tensões principais em um ponto são mostradas 
na figura. Se o material for grafite, para o qual Eg = 5,6 GPa 
e vg = 0,23, determine as deformações principais. 
182 MPa 
105 MPa 
Problema 10.45 
10.46. O eixo tem raio de 15 mm e é feito de aço-ferramen­
ta L2. Determine as deformações nas direções x' e y', se for 
aplicado um torque T = 2 kN · m ao eixo. 
Problema 10.46 
10.47. A seção transversalda viga retangular é submetida 
ao momento fletor M. Determine uma expressão para o au­
mento no comprimento das retas AB e CD. O material tem 
módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson v. 
Problema 10.47 
*10.48. O vaso de pressão esférico tem diâmetro interno de 
2 m e espessura de 10 mm. Um extensómetro com 20 mm 
de comprimento é ligado ao vaso e constata-se um aumento 
no comprimento de 0,012 mm quando o vaso é pressurizado. 
Determine a pressão que provoca essa deformação e calcule 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão por 
cisalhamento máxima absoluta em um ponto sobre a super­
fície externa do vaso. O material é aço, para o qual E aço = 200 
GPa e v aço = 0,3. 
386 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
Problema 10.48 
10.49. Uma haste tem raio de 10 mm. Se estiver sujeita a 
uma carga axial de 15 N tal que a deformação axial na haste 
seja Ex = 2,75(10-6), determine o módulo de elasticidade E e 
a mudança em seu diâmetro. v = 0,23. 
10.50. Um extensômetro colocado no plano vertical sobre a 
supetfície extema a um ângulo de 60° em relação ao eixo do 
tubo dá uma leitura EA = -250(10-6) no ponto A. Determine 
a força vertical P, se o tubo tiver diâmetro extemo de 25 mm e 
diâmetro interno de 15 mm. O tubo é feito de bronze C86100. 
Problema 10.50 
10.51. Um extensômetro colocado no plano vertical sobre 
a superfície externa a um ângulo de 60° em relação ao eixo 
do tubo dá uma leitura E A = -250(10-6) no ponto A. Deter­
mine as deformações principais no tubo no ponto A. O tubo 
tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 15 
mm e é feito de bronze C86100. 
Problema 10.51 
*10.52. Um material está sujeito às tensões principais u 
uY. Determine a orientação e de um extensômetro colo�a� 
do em um ponto, de modo que sua leitura da deformação 
normal responda apenas a uY, e não a ux. As constantes do 
material são E e v. 
y 
Problema 10.52 
10.53. As tensões principais em um ponto são mostradas na 
figura. Se o material for alumínio, para o qual E.1 = 70 GPa e 
v.1 = 0,33, determine as deformações principais. 
lOS MPa 
Problema 10.53 
10.54. Um vaso de pressão cilíndrico de parede fina tem 
raio interno r, espessura t e comprimento L. Se for subme­
tido a uma pressão interna p, mostre que o aumento em seu 
raio interno é dr = rE1 = pr2(1 - 1!2v)/Et e o aumento em 
seu comprimento é D.L = pLr(l/2 - v)/Et. Com esses re­
sultados, mostre que a mudança no volume interno torna-�e 
dV = 1Tr2(1 + E)Z(l + E2)L - m:J.L. Visto que E1 e E2 sao 
quantidades pequenas, mostre também que a mudança no 
volume por unidade de volume, denominada deformação vo­
lwnétrica, pode ser expressa como dV/V = pr(2,5 - 2v)!Et. 
10.55. As extremidades do vaso de pressão cilíndrico são 
fechadas com tampas semiesféricas para reduzir a tensão de 
flexão que ocorreria se as tampas fossem planas. As tensões 
de flexão nas linhas de junção entre as tampas e o corpo po­
dem ser eliminadas com a escolha adequada das espessura' 
t11 e te das tampas e do cilindro, respectivamente. Isso requer 
que < 
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