Resistencia dos Materiais Hibbeler - 10.3 Círculo de Mohr - plano de deformação

Prévia do material em texto

Orientação do elemento. Pela Equação 10.10 temos 
(Ex - Ey) tg 20s = - --- = 
Yxy 
( -350 - 200)(10-6) 
80(10-6) 
Assim, 20, = 81,72° e 81,72° + 180° = 261,72°, de modo que 
Os = 40,9° e 13P 
Observe que essa orientação está a 45a em relação à mostra­
da na Figura 10. 7b no Exemplo 10.2 , como esperado. 
Deformação por dsalhamento máxima no plano. Apli­
cando a Equação 10. 11 , obtemos 
2 (�Y + (�Y 
= [ )(-350; 2ooy + C�Y}10_6) 
')'��looo = 556(10-6) Resposta 
o sinal adequado de y máx no plano pode ser obtido pela aplica­
ção da Equação 10.6 com Os = 40,9°. Temos 
Yx'y' Ex - Ey Yxy 
- = ----sen 20 + -cos 20 2 2 2 
= -
(-350 
2
- 200) ( 1o-6) sen 2 (40,9a ) 
y 
(a) 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 367 
Assim, Ymáxno plano tende a distorcer o elemento de modo que o ângulo reto entre dx' e dy' diminui (convenção de sinal 
positivo) (Figura 10.8b). 
Além disso, há deformações normais médias associadas impos­
tas ao elemento que são determinadas pela Equação 10.12: 
E 
• = Ex + Ey 
= 
-350 + 200 ( 10-6) = _75(10-6) med 2 2 
Essas deformações tendem a provocar contração no elemen­
to (Figura 10.8b). 
*1 0 . 3 Círcu l o de M o h r - p l a n o 
de deformação 
Visto que a s equações d e transformação d o esta­
do plano de deformação são matematicamente se­
melhantes às de transformação do estado plano de 
tensão, também podemos resolver problemas que 
envolvem a transformação da deformação usando o 
círculo de Mohr. Essa abordagem tem a vantagem 
de possibilitar a visualização gráfica da variação das 
componentes das deformações normal e por cisalha­
mento em um ponto de uma orientação do elemento 
para outra. 
Como no caso da tensão, o parâmetro (} nas equa­
ções 10.5 e 10.6 pode ser eliminado e o resultado, res­
crito na forma 
y 
y' 
(b) 
FigUl'a 10.8 
368 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2 ('Yx'y' )2 -
(Ex' - Eméd) + l - R 
(10.13) 
onde 
Eméd = 
R = 
A Equação 10. 13 representa a equação do círculo 
de Mohr para deformação, com centro sobre o eixo E 
no ponto C( Eméd' O) e raio R. 
Figura 10.9 
O procedimento para traçar o círculo de Mohr para deformação é o mesmo definido para tensão. 
Construção do círculo 
• Defina um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a deformação normal e,positiva para a direita, e a 
ordenada represente metade do valor da deformação por cisalhamento, 'YI2,positiva para baixo (Figura 10.9) . 
• Usando a convenção de sinal positiva para e , e , 'Y , como mostra a Figura 10.3, determine o centro do círculo C, 
localizado sobre o eixo e a uma distância emédx= (ex·:;_ e)/2 da origem (Figura 10.9). 
• Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A( e , 'Y /2). Esse ponto representa o caso no qual o eixo x' 
coincide com o eixo x. Daí, e = 0° (Figura 10.9). 
x xy 
• Ligue o ponto A ao centro C do círculo e, pelo triângulo sombreado, determine o raio R do círculo (Figura 10.9). 
• Uma vez determinado R, trace o círculo. 
Deformações principais 
• As deformações principais e1 e e2 são determinadas pelo círculo como as coordenadas dos pontos B e D, isto é, onde 
112 = O (Figura 10.10a). 
• A orientação do plano sobre o qual e1 age pode ser determinada pelo círculo calculando 2eP1 por trigonometria. 
Aqui, esse ângulo é medido em sentido anti-horário da linha de referência radial CA até a linha CB, Figura 10.10a. 
Lembre-se de que a rotação de eP1 deve ser na mesma direção, do eixo x de referência do elemento até o eixo x', 
Figura 10.10b.* 
• Quando e1 e e2 são indicadas como positivas, como na Figura 10.10a, o elemento na Figura 10.10b se alongará nas 
direções x' e y' como mostra o contorno tracejado. 
Deformação por cisalhamento máxima no plano 
• A deformação normal média e a metade da deformação por cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo 
círculo como as coordenadas dos pontos E e F (Figura 10.10a). 
• A orientação do plano no qual 'Ymáx e eméd agem pode ser determinada pelo círculo calculando 2 e,1 por trigonome-
tria. Aqui, esse ângulo é medido "efriansentido horário da linha de referência radial CA até a linha CE (Figura 10.10a). 
Lembre-se de que a rotação de e,, deve ser na mesma direção, do eixo x de referência do elemento até o eixo x' 
(Figura 10.10c).* 
Deformações em plano arbitrário 
• As componentes da deformação normal e por cisalhamento e., e 'Yx'y' para um plano específico a um ângulo e (Figura10.10d), 
podem ser obtidas pelo círculo usando trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P (Figura 10.10a). 
• Para localizar P, o ângulo conhecido e do eixo x' é medido no círculo como 2e. Essa medição é feita da linha de 
referência radial CA até a linha radial CP. Lembre-se de que as medições de 2e no círculo devem estar na mesma 
direção de e para o eixo x'. * 
• Se for necessário, o valor de e/ pode ser determinado calculando a coordenada e do ponto Q na Figura 10.10a. A 
linha CQ encontra-se a 180° de CP e, por isso, representa uma rotação de 90° do eixo x ' . 
' Se, ao contrário, o eixo y/2 fosse construído como positivo para cima, então o ângulo 20 no círculo seria medido na direção oposta à da 
orientação () do plano. 
'� . . . ':?'( 
'}' 
2 
(a) 
y y' 
x' '.------ � - . .. . =------.li__ X 
(d) 
Figura 10.10 
O estado plano de deformação em um ponto é repre­
sentado pelas componentes Ex = 250(10-6), EY = -150(10-6) e :xy = 120(10-6). Determine as deformações principais e a 
onentação do elemento. 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 369 
D( -Ez, Ü) 
(a) 
(b) 
Figura 10.11 
SOLUÇÃO 
Construção do círculo. Os eixos E e y/2 estão definidos na 
Figura 10. 1la. Lembre-se de que o eixo positivo y/2 deve es­
tar dirigido para baixo, de modo que as rotações em sentido 
mui-horário do elemento correspondam à rotação em senti­
do anti-horário ao redor do círculo e více-versa. O centro do 
círculo C está localizado sobre o eixo E em 
Visto que 'Yx/2 = 60(10-6), as coordenadas do ponto de 
referência A(8 = oa) são A [250(10-6)], 60(10-6)2] . Pelo tri­
ângulo sombreado na Figura 10. 1la, o raio do círculo é CA, 
isto é, 
Deformações principais. As coordenadas E dos pontos B 
e D representam as deformações principais. Elas são: 
370 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
F 
y y' 
(a) (b) 
x' 
E1 = (50 + 208,8)(10-6) = 259(10-6) 
Figura 10.12 
Resposta ( 'Yx'y' )�oá�lano 6 
Ez = (50 - 208,8)(10-6) = -159(10-6) Resposta 
A direção da deformação principal positiva E1 é definida 
pelo ângulo 21JP1 em sentido anti-horário medido da linha de 
referência radial CA até a linha CE. Temos 
60 tg 2(]P! = (250 - 50) 
1Jp1 = 8,35° Resposta 
Por consequência, o lado dx' do elemento está orientado a 
8,35° em sentido anti-horário, como mostra a Figura 10. 1 1b. 
Isso define também a direção de E1 • A deformação do ele­
mento também é mostrada na figura. 
O estado plano de deformação em um ponto é repre­
sentado pelas componentes Ex = 250(10-6) , E>' = -150(10-6) 
e 'Yxy = 120(10-6). Determine as deformações por cisalha­
mento máximas no plano e a orientação do elemento. 
SOLUÇÃO 
O círculo foi definido no exemplo anterior e mostrado na 
Figura 10.12a. 
Deformação por c:isalhamento máxima no plano. Me­
tade da deformação por cisalhamento máxima no plano e 
a deformação normal média são representadas pelas coor­
denadas do ponto E ou F no círculo. Pelas coordenadas do 
ponto E, 
2 = 208,8(10- ) 
( "•·'y• ) máx = 418(10-6) I -� no plano 
Resposta 
Para orientar o elemento, podemos determinar o ângulo em 
sentido horário 21Js1 pelo círculo. 
21ls1 = 90° - 2(8,35°) 
lls1 = 36,r 
Resposta 
Esse ângulo é mostrado na Figura 10. 12b. Visto que a defor­
mação por cisalhamento definida pelo ponto E no círculo 
tem valor positivo e a deformação normal média também é 
positiva, a tensão de cisalhamento positiva e a tensão normal 
média positiva correspondentes deformam o elemento até a 
forma tracejada delineada na figura. 
O estado plano de deformação em um ponto é re­
presentado sobre um elemento que tem as componen te.s 
Ex = -300(10-6), EY = -100(10-6), 'Yxy = 100(10-6). Determt.: neo estado de deformação em um elemento orientado a 20 
em sentido horário em relação a essa posição informada. 
SOLUÇÃO 
Construção do círculo. Os eixos E e y/2 estão defin idos 
na Figura 10. 13a. O centro do círculo encontra-se sobre 0 
eixo E em 
··� 
(a) 
y y' 
I 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 371 
x' 
(b) 
Figura 10.13 
As coordenadas do ponto de referência A são A[-300(10-6), 
50(10-6)]. O raio CA determinado pelo triângulo sombreado 
é, portanto, 
Deformações sobre elemento inclinado. Como o ele­
mento deve ser orientado a zoo em sentido horário, temos de 
definir um linha radial CP, 2(20°) = 40° em sentido horário, 
medida de CA (O = 0°) (Figura 10.13a) . As coordenadas do 
ponto P (Ex'' Yx·y,/2) são obtidas pela geometria do círculo. Observe que 
Assim, 
A. -1[ 50 ] 
'I' = tg (300 - 200) = 26,570, 
Ex• = -(200 + 111,8 COS 13,43°)(10-6) 
= -309(10-6 ) Resposta 
Yx'y' 2 = -(111,8 sen 13,43°) (10-6) 
Yx'y' = -52,0(10-6) Resposta 
A deformação normal E/ pode ser determinada pela coorde­
nada E do ponto Q no círculo (Figura 10.13a). Por quê? 
€y' == -(200 - 111 ,8 cos 13,43°)(10-6) = -91,3(10-6) 
Resposta 
Como resultado dessas deformações, o elemento deforma-se 
em relação aos eixos x' , y ' , como mostra a Figura 10.13b. 
10.1. Prove que a soma das deformações normais nas dire­
ções perpendiculares é constante. 
10.2. As componentes do estado plano de deformação no 
ponto da aba da bequilha são Ex = -400(10-6), EY = 860(10-6) 
e Yxy = 375(10-6). Use as equações de transformação da de­
formação para determinar as deformações equivalentes no 
plano sobre um elemento orientado a um ângulo de (} = 30° 
em sentido anti-horário em relação à posição original. Trace 
um esboço do elemento deformado devido a essas deforma­
ções dentro do plano x-y. 
P•·oblema 10.2 
10.3. As componentes do estado plano de deformação no 
ponto sobre a aba do pino são Ex = 200(10-6), EY = 180(10-6) 
e Yxy = -300(10-6). Use as equações de transformação da 
deformação e determine as deformações equivalentes no 
plano sobre um elemento orientado a um ângulo (:1 = 60° em 
sentido anti-horário em relação à posição original. Trace um 
esboço do elemento distorcido devido a essas deformações 
no plano x-y. 
372 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
*10.4. Resolva o Problema 10.3 para um elemento orienta­
do a um ângulo O = 30°em sentido horário. 
Problemas 10.3/4 
10.5. Devido à carga P, as componentes do estado plano 
de deformação no ponto do suporte são Ex = 500(10-6), 
EY = 350(10-6) e 'Yxy = -430(10-6). Use as equações de trans­
formação da deformação para determinar as deformações 
equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um 
ângulo de O = 30° em sentido horário em relação à posição 
original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a 
essas deformações no plano x-y. 
p 
Problema 10.5 
10.6. As componentes do estado plano de deformação no 
ponto sobre uma chave são Ex = 120(10-6), EY = -180(10-6), 
'Yxy = 150(10-6). Use as equações de transformação da de­
formação para determinar (a) as deformações principais no 
plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano 
e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a 
orientação do elemento e mostre como as deformações dis­
torcem o elemento no plano x-y. 
10. 7. As componentes do estado plano de deformação 
no ponto sobre o dente da engrenagem são Ex = 850(10-6), 
EY = 480(10-6) e 'Yxy = 650(10-6) . Use as equações de trans­
formação da deformação para determinar (a) as deforma­
ções principais no plano e (b) a deformação por cisalha­
mento máxima no plano e a deformação normal média. 
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e 
mostre como as deformações distorcem o elemento no 
plano x-y. 
y 
Problema 10.7 
*10. 8. As componentes do estado plano de deformação 
no ponto sob:; o dente da engrenagem são Ex = 520(10-6), 
EY = -760(10 ) , yxy = -750(10-6). Use as equações de trans­
formação da deformação para determinar (a) as deforma­
ções principais no plano e (b) a deformação por cisalhamen­
to máxima no plano e a deformação normal média. Em cada 
caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as 
deformações distorcem o elemento no plano x-y. 
y 
Problema 10.8 
10.9. As componentes do estado plano de deforma­
ção no ponto sobre a chave de porca são E = 260(10-6), 
EY = 320(10-6) e 'Yxy = 180(10-6). Use as equàÇões de trans­
formação da deformação para determinar (a) as deformações 
principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento má­
xima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, 
especifique a orientação do elemento e mostre como as de­
formações distorcem o elemento no plano x-y. 
Problema 10.9