Questão sobre Círculo de Mohr - Instituto Acesso SEDUC-AM 2018

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Questão sobre Círculo de Mohr - Instituto Acesso – SEDUC/AM– 2018 
Analise o círculo de Mohr apresentado na figura abaixo, que representa o 
estado de tensões em um ponto. 
 
Considere as seguintes proposições: 
I) As tensões principais são 15MPa e 65Mpa; 
II) A tensão cisalhante máxima é 25Mpa; 
III) As ordenadas x e y do ponto M que representa uma rotação de 60 
graus em relação ao plano de tensão máxima são 42,5MPa e 21,7MPa. 
Pode-se afirmar que: 
a) Nenhuma das proposições está correta. 
b) Apenas as proposições II e III estão corretas. 
c) Apenas as proposições I e III estão corretas. 
d) Todas as proposições estão corretas. 
e) Apenas as proposições I e II estão corretas. 
 
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Resposta 
Para resolver essa questão vamos dá uma revisada sobre o que é o 
Círculo de Mohr: 
O Círculo de Mohr é a representação gráfica de um estado de tensões em 
um ponto. Para visualizarmos melhor, temos a imagem abaixo, um ponto 
infinitesimal submetido à tesões de compressão na direção x e y, e tensões de 
cisalhamento. A partir dos valores dessas tensões, podemos fazer a 
representação gráfica de um Círculo de Mohr. A partir de um estudo pontual feito 
com o círculo de Mohr, pode-se ampliar para toda uma estrutura. 
 
Não será demonstrado aqui, mas a partir de deduções trigonométricas, 
obtém-se a seguinte equação: 
[𝜎𝑥′ − 𝜎𝑚𝑒𝑑]
2 + 𝜏²𝑥′𝑦′ = 𝑅
2 (1) 
E analisando essa equação, percebe-se que ela possui a mesma 
estrutura da equação de uma circunferência: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅² 
Sendo R, o raio dessa circunferência. 
Daí o surgimento desse famoso Círculo. 
Agora, vamos entender a estrutura dessa representação gráfica: 
O Círculo de Mohr é representado em um plano cartesiano, em que os 
eixos das abscissas (x) são representadas as tensões normais, e nos eixos das 
ordenadas (y) são representadas as tensões cisalhantes, como mostrado na 
próxima figura: 
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O Raio do Círculo de Mohr é dado por: 
𝑅 = √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏²𝑥𝑦 
Outro conceito importante nesse estudo é o de Tensões Principais, que 
pode ser encontrada na posição que as tensões cisalhantes são nulas. 
Com esses conceitos podemos resolver a questão proposta: 
 
I. Tensões Principais: 
As Tensões Principais podem ser facilmente encontradas apenas olhando 
para o Círculo. Como sabemos, a tensão principal é representada pela posição 
que as tensões cisalhantes são nulas. Pela imagem, percebemos que os pontos 
A (15,0) e B(65,0) representam as tensões principais. Então, o item I está correto. 
II. Tensões Cisalhante Máxima: 
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As Tensões Cisalhantes Máximas será o ponto mais alto do círculo. E 
esse valor pode ser encontrado através do Raio, que vale 25 (65 – 40 ou 40 – 
15). Então o Item II está correto. 
III. Ponto M (x,y): 
Essa é a parte mais complicada da questão, e pra facilitar vamos olhar a 
imagem abaixo: 
 
Houve uma rotação de 60º em relação as tensões máximas (Ponto B), 
como mostrado na figura anterior. E para descobrir as coordenadas do Ponto M, 
basta utilizar da trigonometria para nos ajudar: 
 
Para descobrir o valor de y, utilizamos de: 
𝑦 = 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(60º) → 𝑦 = 25. 𝑠𝑒𝑛(60º) → 𝑦 = 21,7 
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Como o centro do círculo possui ordenada de 0, tem-se: 0+21,7 = 21,7 
Para descobrir o valor de x, utilizamos de: 
𝑦 = 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(60º) → 𝑦 = 25. 𝑐𝑜𝑠(60º) → 𝑦 = 12,5 
Como o centro do círculo possui abscissa de 40, tem-se: 40+12,5 = 52,5 
Logo, o item III está incorreto. 
Resposta: Letra E.