Aula 5 - Matematica basica

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Profª Tathiana R. Cidral
Matemática 
básica
Aula 5
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Equação e 
Inequação
1º e 2º grau
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Enem de 2010 - Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz 
dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 
30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa 
R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, 
quantas cédulas a mais?
a) 1 667.
b) 2 036.
c) 3 846.
d) 4 300.
e) 5 882.
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Enem de 2010 - Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz 
dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 
30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa 
R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, 
quantas cédulas a mais?
a) 1 667.
b) 2 036.
c) 3 846.
d) 4 300.
e) 5 882.
Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença 
entre o quociente das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte 
equação:
x = valor empregado – valor empregado
custo por cédula custo por moeda
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Enem de 2010 - Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz 
dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 
30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa 
R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, 
quantas cédulas a mais?
a) 1 667.
b) 2 036.
c) 3 846.
d) 4 300.
e) 5 882.
Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença 
entre o quociente das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte 
equação:
x = valor empregado – valor empregado
custo por cédula custo por moeda
O enunciado informa que o valor empregado é de R$ 1 000,00. Já sabemos que o custo por 
moeda é de R$ 0,26 e por cédula é de R$ 0,17. Sendo assim, temos:
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Enem de 2010 - Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz 
dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 
30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa 
R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, 
quantas cédulas a mais?
a) 1 667.
b) 2 036.
c) 3 846.
d) 4 300.
e) 5 882.
Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença 
entre o quociente das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte 
equação:
x = valor empregado – valor empregado
custo por cédula custo por moeda
O enunciado informa que o valor empregado é de R$ 1 000,00. Já sabemos que o custo por 
moeda é de R$ 0,26 e por cédula é de R$ 0,17. Sendo assim, temos:
x = 1 000 – 1 000 x ≈ 5 882,34 – 3 846,14 x ≈ 2 036,2
0,17 0,26
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São usadas para resolver problemas;
São a tradução para a matemática de um problema em linguagem corrente.
Equação e Inequação
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Equação é uma igualdade (=) envolvendo uma ou mais incógnitas. 
Além disso, em uma equação, nosso objetivo é encontrar um ou mais números específicos que satisfaçam
nossa expressão matemática. Portanto, em uma equação, uma coisa deve ser obrigatoriamente igual a
outra, ou isso não será uma equação.
Equação
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A equação tem o mesmo grau do monômio de maior grau de sua sentença.
Por exemplo,
❑ A equação x³+2x = -5 é de terceiro grau porque seu monômio de maior grau é x³.
Grau de uma Equação
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Para resolver uma equação do primeiro grau, passamos o problema para a linguagem matemática, depois
isolamos a variável e, então, encontramos seu valor. Para isolarmos a variável (incógnita) passamos tudo
que não for uma incógnita para o outro lado…
Equação do 1º Grau
Passando para o outro lado…
Isolar a incógnita significa deixá-la sozinha em um dos lados da expressão, e para que isso seja feito,
precisamos eliminar todos os termos que não são uma incógnita.
Como fazer isso?
Primeiramente, vamos lembrar de algo importante: sempre que você fizer alguma coisa de um lado da
expressão, tem que fazer a mesma coisa do outro.
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Exemplo: Considere a seguinte equação
5x + 3 = 1 
Para eliminar o + 3 do lado esquerdo, precisamos colocar um -3 do lado esquerdo e direito. Sendo assim,
agora temos:
5x + 3 – 3 = 1 – 3
5x = – 2
Mas ainda falta tirar o 5, e para isso precisamos transformá-lo em 1, pois 1*x = x.
Então basta dividirmos os dois lados por 5; Fazendo isso, temos:
5x = −2 → x = –2
5 5 5
O que realmente acontece nessas passagens de um lado para o outro é que estamos, sem perceber, fazendo
as operações necessárias para eliminar cada termo de um dos lados da expressão.
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E essas “operações necessárias” serão sempre as operações inversas às presentes na expressão. 
Segue uma lista com as operações inversas:
❑ Adição e subtração;
❑ Multiplicação e divisão;
❑ Potenciação e radiciação (raízes);
❑ Logaritmo e exponencial.
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É a equação escrita sob o formato ax² + bx + c, sendo a ≠ 0. Pois se a=0, a equação volta a ser do 1º grau.
Equação do 2º Grau
I) Método de solução para equações do tipo
ax² + c = 0
O método para determinar a solução de equações
incompletas que possuem b=0 consiste em isolar a
incógnita x,
assim:
Exemplo
Encontre as raízes da equação 3x2 – 27 = 0.
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II) Método de solução para equações do tipo
ax2 + bx = 0
O método para determinar as possíveis soluções de uma
equação com c=0, consiste em utilizar a fatoração por
evidência.
assim: ax2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
Ao observar a última igualdade, é notável que há uma
multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário
que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0.
x = 0 ou ax + b = 0
Assim, a solução da equação é dada por:
Exemplo
Determine a solução da equação 5x2 – 45x = 0
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fator-comum.htm
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III) Método de solução para equações completas
O método conhecido como método de
Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes
de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é
dada pela seguinte relação:
Exemplo
Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0.
Note que os coeficientes da equação são:
a = 1; b= – 1 e c = – 12. 
Substituindo esses valores na fórmula de
Bhaskara, temos:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
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IMPORTANTE!
O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme
sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da
equação do 2º grau:
→ discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação;
→ discriminante igual a zero (Δ = 0): as soluções da equação são repetidas;
→ discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real.
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-raiz-quadrada.htm
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(ENEM) Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o
pedido de compra, a empresafornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a
pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Quantas caixas do produto tal
pessoa comprou?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Dados: 
são x caixas e cada caixa com um valor y .
x caixas de valor y = 396 reais
Então ... 
I) x.y = 396
com o desconto de 8 reais por caixa x ... (y-8)
é possível comprar mais 2 caixas .... x + 2 e continua 
o mesmo preço...
Então ...
Teremos :
II) (x+2).(y-8) = xy
Desenvolvendo ...
(x+2).(y-8) = xy
xy - 8x + 2y - 16 = xy
- 8x + 2y - 16 = 0 
2y = 8x + 16
y = (8x + 16)/2
y = 4x + 8
=========================
x.y = 396
x.(4x+8) = 396
4x² + 8x - 396 = 0
x = [- 8 + - √6 400]/8
x = [- 8 + - 80]/8 ...................... (desconsidero = - 80)
x = [-8 + 80]/8
x = 72/8
x = 9 caixas seriam compradas sem o desconto ...
com o desconto comprou 2 a mais ... (x + 2)
9 + 2 = 11 caixas foram compradas após o desconto.
=============================================
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Inequação
Inequação é uma sentença matemática expressa por uma desigualdade, através dos símbolos,
relacionando uma ou mais variáveis:
➢ ≠ (diferente de),
➢ < (menor que),
➢ > (maior que) ,
➢ ≤ (menor ou igual a),
➢ ≥ (maior ou igual a).
O objetivo não é encontrar um número específico, mas sim um
conjunto de valores que satisfaçam nossa condição de
desigualdade.
As resoluções das inequações são praticamente iguais às das
equações, exceto quando há mais de 1 resposta. Neste caso,
você deverá avaliar quais das respostas fazem parte do conjunto
solução.
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A inequação tem o mesmo grau do monômio de maior grau de sua sentença.
Por exemplo,
❑ A inequação x² - 1 < 0 é de segundo grau porque seu monômio de maior grau é x².
Grau de uma Inequação
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Como fizemos na equação, para resolver uma inequação do primeiro grau, também passaremos o
problema para a linguagem matemática e isolaremos a variável, porém, não descobriremos seu valor e
sim uma informação sobre ele que nos permitirá dizer o conjunto ou o intervalo de valores que satisfaz
nossa inequação.
Inequação do Primeiro Grau
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Exemplo 
Vamos resolver a inequação: 3x + 4 < x − 8, 
Inicialmente solucionamos como uma inequação do primeiro grau 
comum, isolando as variáveis conservando a regra de sinais:
3x − x < − 4 − 8
2x < − 12
x < −12/2
x < −6
Sendo assim, o conjunto solução da inequação será: S = {x ∈ R: x < −6}
A solução também pode ser escrita na notação de intervalos reais ou 
representado na reta real como:
S = ] −∞, −6 [
A “bolinha” é aberta, pois o sinal da 
inequação não é igual.
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Exemplo
Agora, note a solução da inequação 3x + 4 ≤ 7x − 8:
3x − 7 x ≤ − 4 − 8
−4x ≤ −12
Perceba que neste ponto, ambos os lados da desigualdade estão
negativos. Convenientemente, podemos trocar o sinal de ambos os
lados da igualdade multiplicando toda a expressão por (-1). Mas,
numa desigualdade, quando invertemos o sinal de toda a expressão,
também invertemos a desigualdade, o que nos leva a:
4x ≥ 12
x ≥ 124
x ≥ 3
Escrevendo então o conjunto solução desta inequação nas três
possíveis representações temos:
S = {x ∈ R: x ≥ 3}
S = [3, +∞[ 
A “bolinha” é fechada, pois o sinal da 
inequação é igual.
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Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto solução de cada inequação.
3x + 1 > 0
3x > -1
x > -1
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Calculamos agora o conjunto solução da outra solução.
5x – 4 ≤ 0
5x ≤ 4
x ≤ 4
5
Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação,
assim temos:
S = S1 ∩ S2 (intersecção)
S = { x R | -1 < x ≤ 4} ou S = ] -1 ; 4]
3 5 3 5
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Sendo a ≠ 0, são inequações do segundo grau as sentenças abaixo:
i) ax² + bx + c > 0
ii) ax² + bx + c < 0
iii) ax² + bx + c ≥ 0
iv) ax² + bx + c ≤ 0
v) ax² + bx + c ≠ 0
Resolver essas equações é responder se existe x tal que f(x) = ax² + bx + c seja:
i) positiva
ii) negativa
iii) não negativa
iv) não positiva
v) não nula
A resposta se encontra no estudo do sinal de f(x) e pode ser feito através do gráfico da função.
Inequação do Segundo Grau
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1º Exemplo
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
S = {x ∈ R / –7/3 < x < –1}
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2º Exemplo
Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
S = {x ∈ R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}
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3º Exemplo
Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
S = {x ∈ R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
4º Exemplo
Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
S = {x ∈ R / x < 3 e x > 3}
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Exercícios de 
fixação
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Enem - Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está 
indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua 
área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.
Figura de questão do Enem 2009
De acordo com a figura acima, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x 
metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa 
é
a) 10% (a + b)²
b) 10% (a · b)²
c) 
d) 
e) 
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Resolução:
O terreno total do filho tem dimensões de a + x e b + x. Para calcular essa área (A), basta multiplicar 
essas medidas dos lados:
A = (a + x) · (b + x)
A = ab + ax + bx + x²
A = x² + x · (a + b) + ab
Se 20% da área total é de reserva legal, então 80% da área total é cultivada. Vamos então aplicar esses 
80% na equação da área:
80% A = 0,8 · [x² + x · (a + b) + ab]
Mas observe que a área cultivada é representada na imagem como o quadrado de dimensões a e b. 
Facilmente podemos afirmar que a área desse espaço é de a · b. Vamos substituir essa multiplicação na 
equação anterior, em que temos 80% A (área cultivada):
a · b = 0,8 · [x² + x · (a + b) + ab]
ab = 0,8x² + 0,8x · (a + b) + 0,8ab
0,8x² + 0,8x · (a + b) + 0,8ab – ab = 0
0,8x² + 0,8x · (a + b) – 0,2ab = 0
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O resultado deu origem a uma equação do 2° grau. 
Para facilitar o cálculo, vamos multiplica-se toda a equação por 5→ 4x² + 4(a + b) · x – ab = 0
Resolveremos essa equação através da fórmula de Bhaskara. Para evitar confusão entre os coeficientes da 
equação e as letras dessas fórmulas, eles serão colocados em letra maiúscula. Os coeficientes são A = 4, B = 
4(a + b) e C = – ab. Substituindo-os na fórmula, teremos:
∆ = B² – 4.A.C
∆ = [4(a + b)]² – 4.4.(– ab)
∆ = 16(a + b)² + 16ab
∆ = 16 [(a + b)² + ab]
x = – B ± √∆
2.A
Dividindo o numerador e o denominador por 4:
Essa equação só pode ser simplificada até aqui. 
A questão pede “o dobro da largura x”, por isso multiplicaremos x por 2:
Letra d.
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(Enem) Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico 
deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um 
triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário 
escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados tais que
a) b) c) 
d) e) 
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(Enem) Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico 
deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um 
triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário 
escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados tais que
a) b) c) 
d) e) 
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(Enem) Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico 
deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um 
triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário 
escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados tais que
a) b) c) 
d) e)