Mourão_Descobrindo_os_Segredos_da_Física_Análise_Dimensional_e_Cinemática

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Pavlino Mourão
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Paulino Mourão
FORTALEZA-2013
Descobpipdo 
05 EEBpEBBSDfl
Análise Dimensional 
e 
Cinemática Geral
EDITORA
Copyright © 2013 Paulino Mourão
Daniel MoraisCapa
Editoração Eletrônica
Revisão
Impressão e Acabamento
Filiada à
ASSOCIAÇÃO CEARENSE DOS ESCRITORES
Dados Internacionais de Catalogação
M929d
ISBN 978-85-7564-692-2
CDU 53
l.Física-Análise dimensional. 2.Cinemática geral. 
I. Título.
Alex de Sousa, Nelson Germano e 
Diógenes Filgueira
Sebastião Valdemir Mourão
Mourão, Paulino.
Descobrindo os segredos da Física: análise dimensional 
e cinemática geral/Paulino Mourão. - Fortaleza: Premius, 
2013.
224p.:il.
Rua Antônio Pompeu, 1705 - Centro 
CEP 60040-001 - Fortaleza-CE 
Fone: (85) 3214.8181 - Fax: (85) 3214.8182 
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Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil 
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na Publicação na fonte (CIP)
EDITORA
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Sumário
CAPÍTULO 02 - Análise Vetorial
1. Grandezas físicas.....................................................
2. Vetores......................................................................
3. Soma de vetores......................................................
4. Subtração de vetores...............................................
5. Multiplicação de um número real por um vetor
6. Produto escalar de dois vetores...........................
7. Produto vetorial de dois vetores..........................
8. Versores.....................................................................
9. Vetores espaciais.....................................................
CAPÍTULO 03 - Movimento Retilíneo
1. Introdução.............................................................
2. Deslocamento e velocidade média...................
3. Velocidade instantânea.......................................
4. Velocidade escalar média e velocidade média
5. Cálculo de x(t) a partir de v(t)............................
6. Aceleração média.................................................
7. Aceleração instantânea.......................................
8. Cálculo de v(t) a partir de a(t)...........................
9. Classificação do movimento...............................
Sobre o autor.
Dedicatória....
Prefácio..........
CAPÍTULO 01 - Análise Dimensional
1. Grandeza.........................................................
2. Grandezas básicas.........................................
3. Regras para unidades...................................
4. Análise dimensional.....................................
5. Fórmulas dimensionais.................................
6. Sistema de unidades.....................................
7. Dimensões de grandezas físicas.................
8. Princípio da homogeneidade dimensional
9. Teorema de Bridgman..................................
10. Propriedades................................................
36
36
36
42
43
44
46
48
48
15
15
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18
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19
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.. 9
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57
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78
10. Descrição do movimento de um corpo com MRUV.......................
11. Distância percorrida durante o enésimo segundo..........................
12. Equações horárias quando t0 * 0.......................................................
13. Gráficos do movimento uniforme.....................................................
14. Gráficos do movimento uniformemente variado...........................
15. Queda livre.............................................................................................
16. Tempo de queda livre...........................................................................
17. Velocidade de chegada ao chão de queda livre.............................
18. Gráficos de queda livre........................................................................
19. Propriedade para corpos em queda livre - Proporção de Galileu
20. Distância percorrida durante o enésimo segundo de queda livre.
21. Tempo transcorrido durante o enésimo metro de queda livre. ...
22. Lançamento vertical.............................................................................
23. Tempo de subida no lançamento vertical.........................................
24. Altura máxima no lançamento vertical.............................................
25. Gráficos do lançamento vertical........................................................
26. "Gravidade zero"..................................................................................
27. Tempo de encontro e tempo de alcance..........................................
CAPÍTULO 04- Lançamento de Projéteis
1. Lançamento horizontal.....................................................................
2. Equação da trajetória no lançamento horizontal........................
3. Tempo de queda no lançamento horizontal.................................
4. Alcance no lançamento horizontal................................................
5. Velocidade de chegada ao plano horizontal.................................
6. Lançamento oblíquo.........................................................................
7. Altura máxima no lançamento oblíquo.........................................
8. Tempo de subida no lançamento oblíquo....................................
9. Tempo total no lançamento oblíquo.............................................
10. Alcance no lançamento oblíquo...................................................
11. Equação da trajetória no lançamento oblíquo..........................
12. Ângulos notáveis............................................................................
13. Parábola de segurança..................................................................
14. Deslocamento do projétil..............................................................
15. Velocidade instantânea.................................................................
16. Variação da velocidade.................................................................
17. Variação do momento linear........................................................
18. Momento angular...........................................................................
19. Relação entre tempos de vôo para ângulos complementares
102
102
103
103
103
104
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105
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106
106
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113
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CAPÍTULO 06 - Movimentos Circulares
1. Espaço angular ou fase (<p)......................................................
2. Velocidade escalar angular média (com)............................
3. Velocidade escalar angular instantânea (<jj).........................
4. Velocidade vetorial angular ( õ)............................................
5. Aceleração escalar angular média (am)..................................
6. Aceleração escalar angular instantânea (a)..........................
7. Relações entre as grandezas lineares e angulares...............
8. Movimento circular uniforme (MCU)....................................
9. Mudança na velocidade...........................................................
10. Aceleração no MCU.................................................................
11. Movimento circular uniformemente variado (MCUV)......
12. Ângulo percorrido durante o enésimo segundo................
13. Acoplamento de polias...........................................................
14. Sistema de transmissão do movimento de uma bicicleta
CAPÍTULO 05 - Movimento Relativo
1. Sistema inercial.......................................................................
2. Transformação de Galileu.....................................................
3. Posição relativa (xB/A)............................................................
4. Velocidade relativa (vB/A)......................................................
5. Aceleração relativa(ãB/A)......................................................
6. Caso geral de movimento relativo......................................
7. Princípio da independência dos movimentos de Galileu
8. Composição de rotação com translação............................
RESPOSTAS E SOLUÇÕES...........
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
143
144
144
145
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146
146
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128
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129
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133
135
163
221
20. Relação entre alturas máximas para ângulos complementares.......................... 116
21. Projétil passando por dois pontos diferentes na mesma altura no tempo tt e t2... 117
22. Movimento de um projétil em relação a outro projétil........................................118
23. Movimento de um projétil em um plano inclinado.............................................. 118
Prof. Mourão
Filho de peixe, peixinho é!
A grande paixão de PAULINO MOURÃO, Alley Kerth pela física começou com 
uma nota zero que tirou na primeira prova de Física, quando cursava a 2S série do 
ensino médio.
Naquele momento, ficou chocado com sua falta de compromisso e 
dedicação com os estudos.
Daquele momento em diante, procurou transformar toda sua raiva em 
dedicação aos estudos, para que pudesse recuperar a nota de forma oposta à anterior 
com estudo e dedicação.
Ao se dedicar de forma exaustiva, realizou a segunda prova, obtendo nota 
10 e, após um grande alívio por ter conseguido tal êxito, refletiu sobre o que tinha 
acontecido e, nessa reflexão, acabou se dando conta de que nasceu com a missão de 
ser escritor e professor, como seu pai.
Noutra ocasião, o fruto de sua dedicação acabou espelhando seu caráter e 
sua índole, visto que, ao ensinar o que tinha aprendido para um amigo, ele também 
obteve nota 10, o que lhe rendeu o primeiro salário como professor: o agradecendo 
por tê-lo ensinado de forma prática e fácil uma matéria que seu amigo nunca havia 
entendido antes.
Com o passar do tempo, sua paixão pela física só foi aumentando, pois, 
quanto mais estudava, mais ele descobria segredos revelados que facilitavam a 
compreensão nesta matéria tão indesejável pela grande maioria dos jovens e estes 
segredos estão incluídos neste seu primeiro volume.
Durante sua jornada acadêmica descobriu que o conhecimento só tinha va­
lor, quando passado para os outros, assim resolveu escrever este livro.
A ideia central dessa obra é levar para o leitor uma teoria completa e 
simplificada com problemas selecionados num nível adequado para estudantes de 
Humanas, Biológicas, Exatas, das engenharias e até para professores de ensino médio.
Isento da função de pai, ou de peixe, garanto que este livro apresenta uma 
didática admirável e uma notável capacidade de síntese.
A presente obra se torna uma excelente ferramenta que permite ao leitor 
obter um grande salto de conhecimento num curto intervalo de tempo, levando o 
autor a fazer jus aos ditados de interpretações muito próximas: "tal pai, tal filho" e 
"FILHO DE PEIXE PEIXINHO É!"
Finalizo estas impressões com as palavras do próprio autor sobre o 
conhecimento:
, ; \ Zjs / "Reflita um pouco!
\ / \ I I / O conhecimento tem a forma de um cone e,
CONHECIMENTO / quanto mais você estuda, preenchendo-o, 
\ comomíkto / \ / mais percebe qUe este possui proporções
\ \ / infinitas."
Dedicatória
Maria Júlia Mourão de Lima (Sobrinha) e
A todos os meus amigos professores que participaram de minha jornada 
educacional, que me propiciou um crescimento profissional, intelectual e pessoal.
Eva Paulino Soares (Mãe), por ter sido atenta e vigilante, me oferecendo suporte 
e ter me orientado a acreditar na capacidade que todo ser humano 
tem dentro de si;
Anne Kellya Paulino Mourão (Irmã); Anny Krys Paulino Mourão (Irmã); Sebastião 
Valdemir Mourão Júnior (Irmão - in memória);
À minha família, em especial, que me incentivou para continuar nesta jornada 
em busca de novos conhecimentos: 
Sebastião Valdemir Mourão (Pai), por ter me dado apoio e orientação no meu 
caminhar educacional;
A Deus, por ter me dado paciência e força de vontade para vencer as 
dificuldades encontradas no decorrer deste trabalho.
À minha esposa Nadya Virgínia Lima Peixoto Maia, pela paciência 
e renúncia ao lazer durante o tempo em que escrevi esta obra.
Albert Einstein
"Tudo acontece na hora certa. Tudo acontece, exatamente quando 
deve acontecer."
Capítulo 01 - Análise Dimensional
□
1. Grandeza
2. Grandezas básicas
Grandezas básicas Unidade Símbolo
s
A
candeia
Prof. Paulino Mourâo
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Comprimento, tempo, massa, 
velocidade, temperatura, trabalho, energia e potência são algumas das principais 
grandezas físicas existentes.
Comprimento
Massa
metro 
quilograma 
segundo 
ampère 
kelvin 
mol
Tempo
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de matéria
Intensidade luminosa
m 
kg
K 
mol 
cd
Na década de 1960, a Organização Internacional de Normalização criou um 
sistema baseado em sete grandezas de base ou grandezas básicas.
As sete unidades básicas se definem da seguinte maneira:
1. O metro é a distância que a luz percorre no vácuo em 1/299 792 468 segundos.
2. O quilograma é a massa de um bloco de uma liga de platina e irídio e é conservado no 
Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, nas proximidades de Paris.
3. O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente 
à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de 
césio-133.
4. A corrente elétrica é a corrente constante que, mantida em dois condutores 
retilíneos, paralelos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível e 
separado pela distância de 1 metro no vácuo, provoca entre esses condutores 
uma força igual a 2. 10“7newton por metro de comprimento.
5. O kelvin é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água.
6. Quantidade de matéria é a quantidade de substância de um sistema que contém 
tantas entidades elementares quantos são os átomos em 0,012 quilogramas de 
carbono 12.
7. A Intensidade luminosa é essa intensidade emitida na direção perpendicular, 
de uma superfície de 1/600 000 metros quadrados, de um corpo negro na 
temperatura de solidificação da platina, sob a pressão de 1 001,325 newtons por 
metro quadrado.
Descobrindo os Segredos da FIsica
Veja algumas unidades derivadas.
SímboloUnidade
m2
m3Volume
hertz Hz
Velocidade
Aceleração
NForça newton
PaPressão
J
Wwatt
Ccoulomb
volt V
0ohm
farad F
Wbweber
Veja algumas unidades suplementares.
SímboloUnidade
radradiano
esterradiano sr
Prefixos Símbolo Fator
1018Eexa
1015Ppeta
IO12Ttera
109giga G
106Mmega
Prof. Pau li no Mourão
É comum ainda usarmos os múltiplos e submúltiplos decimais de uma unidade, 
através dos prefixos abaixo:
Entropia
Condutividade térmica
Carga elétrica 
Diferença de potencial 
Resistência elétrica
Capacitância 
Fluxo magnético
Frequência
Densidade
Grandeza
Área
Energia 
Potência
Grandeza
Ângulo plano
Ângulo sólido
quilograma por metro cúbico 
metro por segundo 
metro por segundo ao quadrado
joule por kelvin 
watt por metro kelvin
metro quadrado 
metro cúbico
pascal 
joule
J/K 
W/m.K
kg/m3 
m/s 
m/s2
Capítulo 01 - Análise Dimensional
C
m
atto a
3. Regras para unidades
Prof. Paulino MourAo
nano 
pico 
femto
Prefixos 
kilo 
hecto 
deca 
deci 
centi 
mili 
micro
£ 
f
£ 
n
Símbolo 
k 
h 
da 
d
O nome da unidade deve ser sempre escrito com letra minúscula, mesmo quando 
são nomes próprios, exceto quando o nome estiver no início da frase, ou em sentença 
com letras maiusculas, como num título. De acordo com essa regra, a grafia correta 
do nome da unidade cujo símbolo é °C é"grau Celsius" (a unidade grau começa pela 
letra "g" minúscula e o adjetivo "Celsius" começa pela letra "C" maiúscula, pois este 
é um nome próprio. Exemplos: metro, quilograma, segundo, newton, joule, watt e 
pascal.
Os símbolos que indicam as unidades devem ser expressos com letras minúsculas 
exceto aqueles que representam unidadesquando são nomes próprios. Exemplos: 
metro (m), quilograma (kg), segundo (s), newton (N), joule (J), watt (W), pascal (Pa), 
ampère (A) e kelvin (K). Temos como exceção o litro (L), que se evita colocar em letra 
minúscula para que não haja confusão com o número 1.
Os símbolos das unidades nunca são abreviações, logo não devem ser seguidos de 
ponto, exceto se estiverem localizados no final da frase.
Os símbolos não variam no plural. Exemplos: pascais (nunca pascais), mois 
(nunca moles), decibels (nunca decibéis), newtons, watts, etc. Temos como exceção 
as unidades terminadas em s, x e z que não são flexionadas no plural. Exemplos: 
Siemens, lux, hertz.
Os símbolos não se misturam com nomes de unidades numa mesma expressão. 
Exemplos: m/s ou metro por segundo (nunca m/segundo), kW ou quilowatt (nunca 
kwatt ou quiloW).
Fator
103
10;
101 
IO'1 
10-;
103 
IO'6 
10'9 
101;
1015
1018
Descobrindo os Segredos da Física
4. Análise dimensional
5. Fórmulas dimensionais
[G] = MaLbTc;
[G] = MaLbTc0d ;
[g] = MaLbTT;
[G] = MaLbTcJf;
Sendo J a dimensão de intensidade luminosa.
Prof. Paulino Mourâo
[G] = MaLbTcNg;
Sendo N a dimensão de quantidade de matéria.
A análise dimensional é uma ferramenta de grande valia no estudo da física, 
prestando-se para identificar grandezas, obter suas respectivas unidades de medida, 
verificar a homogeneidade de equações e prever expressões matemáticas a partir 
de conclusões experimentais. Através da análise dimensional, podemos estabelecer 
as relações dimensionais entre grandeza derivada e as de base através de suas 
dimensões ou símbolos dimensionais.
Sendo 0 a dimensão de temperatura.
c) Uma grandeza derivada da Eletricidade possui uma fórmula dimensional do tipo:
Sendo I a dimensão de corrente elétrica.
d) Uma grandeza derivada da Óptica possui uma fórmula dimensional do tipo:
Sendo M a dimensão de massa, L, de comprimento, e T, de tempo.
b) Uma grandeza derivada da Termologia possui uma fórmula dimensional do tipo:
Toda grandeza física tem uma fórmula dimensional. Utilizamos o símbolo [G] para 
representar a fórmula dimensional da grandeza física [G].
a) Uma grandeza derivada da Mecânica possui uma fórmula dimensional do tipo:
e) Uma grandeza derivada da Termodinâmica possui uma fórmula dimensional do 
tipo:
Capítulo 01 - Análise Dimensional
6. Sistema de unidades
Grandezas básicas Dimensão Unidades do MKS
7. Dimensões de grandezas físicas
[v] = M°LT
[co] = M°L°T-1
Prof. Paulino Mourão
Podemos determinar as dimensões de diversas grandezas físicas a partir da 
definição dessas grandezas:
• Velocidade
Podemos escolher qualquer fórmula que relaciona a velocidade com as grandezas 
de base ou derivadas.
No movimento uniforme:
Um sistema de unidades é um conjunto de convenções que nos permite 
estabelecer as unidades de medidas de todas as grandezas físicas.
Mas: [As] = L e [At] = T 
Logo: v = ^ => 
No SI, sua unidade é m s-1.
• Velocidade angular
Intensidade luminosa
Quantidade de matéria
Tempo 
Temperatura 
Corrente elétrica
Comprimento
Massa
[J]
[N]
metro (m) 
quilograma (kg) 
segundo (s) 
kelvin (K) 
àmpere (A)
candeia (cd) 
mol (mol)
[ L] 
[M] 
[T] 
[6] 
[I]
Acp
co = —-
At
Mas: [A<p] = l e [At] = T 
Logo: [co] = y => 
Sua unidade é rad-s'
(«J-M
As r 1 [As]
At 1 J [At]
Descobrindo os Segredos da Física
• Aceleração
[At] = T
Prof. Paulino Mourào
Ava = —
At
Acoa =---
At
[At] = T
[4>] = m°l3t"1
=> [At] = T 
í> [P] = M1L°T-1 
Sua unidade é kg s-1.
Mas: [Av] = LT-1
, r 1 LT-1
Logo: [a] = —
Sua unidade é m s-2
• Aceleração angular
[«].M
[At]
fa] = 1^1 ^-[At]
1 _ Mas: [Atü] = y = T
r i T-1 
Logo: [a] =---- =!
Sua unidade é rad-s' 
Vazão volumétrica
Mas: [AV] = L3 => 
l3 
Logo: [4>] = — =>
Sua unidade é m3 -s
Vazão mássica
Mas: [Am] = M 
Logo: [p] = M
e [At] = T
=> [a] = M°LT
:> [a] = M°L°T-2
p=Ai? [P]=M
At [At]
At L J [At]
Capítulo 01 - Análise Dimensional
• Força
F = m-a
ou N.
MLT
Mas: [m] = M e [v] = LT'
Logo: [q] = MLT'
Prof. Pauuno Mourão
Sua unidade é kg . m . s"1.
• Impulso
Mas: [F]
Logo: [t] = MLT
Sua unidade é kg m2 -s'
Potência
z = F-d => [?] = [F][d]
[P] = —
e [d] = L
[t] = ML2T-2 
ou N m ou J.
P = — => 
At
Mas: [f] = MLT-2 
Logo: [l] = MLT-2‘
l = FAt => [l] = [F]-[At]
Mas: [m] = M e = LT 2
Logo: [F] = MLT2
Sua unidade é kgms
• Trabalho e energia
Mas: [t] = ML2T 2 e [At] = T
Logo: [p] = M^ZÍ => [p] = ML2T’3
Sua unidade é kg m2 s-3 ou Js'1 ou W.
• Quantidade de movimento ou momento linear
Q = mv => [Q] = [m]'[v]
' => [At] = T 
T => [l] = MLT
Descobrindo os Segredos da Física
ou Pa.ou N-lrí
s
Prof. Paulino Mourâo
Sua unidade é m3.
• Momento angular
Mas: [comprimento] 
Logo: [A] = L-L => 
Sua unidade é m2.
Volume
V = (comprimento) • (comprimento) • (comprimento)
[V] = [comprimento] • [comprimento] • [comprimento]
A = (comprimento) • (comprimento) 
[a] = [comprimento] ■ [comprimento]
= L
H-L2
Observe que [l] = [q] , daí a coerência do teorema T = AQ • 
Sua unidade é kg-m-s-1 ou N s .
Pressão
Mas: [comprimento] = L
Logo: [v] = L-L• L => [v] = L3
[P]=nLJ ÍA]P = í-A
Mas: [Q] = MLT-1 
Logo: [l] = MLT-1L 
Sua unidade é kg -m2 ■
[A]-l?
=> [P] = ML-1T-2 
i.s-2
L = Qr-sen0 => [L] = [Q]’[r] [sen®]
o [r] = L => [sen9] = l 
=> [l] = ml2t-1
Mas: [F] = MLT-2 e 
, r , MLT"2 
L°B°: [p] = —J—
Sua unidade é kg-m'
• Área
Capítulo 01 - Anáuse Dimensional
Momento de inércia
<l>
M=
Logo: [c] =
Prof. Paulino Mourào
AQ
At
[m] = M => [A0] = 0
[c] = M°L2T-20-1
[AQ] 
[m]-[A0]
ML2T2
T1
Mas: [aq] = ML2T~2 : 
ml2t-2 = 
M-0
Sua unidade é J/kgK .
Logo: [<>] =
Sua unidade é kg m2 -s
• Calor específico
o [4>] = ml2t-3 
~3 ou J/s.
Mas: [AQ] = ML2V2 => [At] = T
AQ é a variação de quantidade de calor (energia)
AQ
m-A0
l0=m-r2^>[l0]=[m]-[r]2
Mas: [F] = MLT-2 => [r] = L => [sen0] = l
Logo: [m] = MLT-2L => [m] = ML2T-2
Sua unidade é kg m2 -s~2 ou N m ou J.
Observe a coincidência dimensional entre o momento de uma força (grandeza 
vetorial) e a energia (grandeza escalar) embora sejam completamente distintas.
• Fluxo de calor
Mas: [m] = M => [t]2=L2
Logo: [l0]=ML2 => [l0]=ML2T° 
Sua unidade é kg • m2 .
• Momento de uma força
M = F-rsen9 => [M] = [F]-[r]-[senO]
MLT~ZL
Descobrindo os Segredos da Física
[c] = [m][c]C = m-c
Mas: [m] = M => [c] = M°L2T"20-1
Logo: [c] = M-M°L2T-20‘1 [c] = m1l2t‘2o*1
[v] = M°L-1T°
ou dioptria (di).
Luminância
M=
[cos0] = l
<|> = Yd2-Q
[d]2=L2 [n] = !
Logo: [<j>] = L 2J L2 M=J
Q. = i ■ At
[4t>T
Sua unidade é As ou Coulomb (C).
Prof. Paulino Mourâo
Sua unidade é J/K.
• Convergência óptica
Sua unidade é Im.
• Carga elétrica
Sua unidade é cd-m
Fluxo luminoso
Mas: [f] = L
Logo: [V] = - =
Sua unidade é m
Mas: [i]
[I]
[a]-[cos0]
UJ
• Capacidade térmica
M-«r2
Mas: [Y] = JL-2
v=l 
f
Mas: [l] = J => [a] = L2
Logo: [Y] = —— 
L-l
Y =----- !-----
AcosO
Logo:[Q] = |.T => [d] = M0 L° T I
Capítulo 01 - Anáuse Dimensional
• Campo elétrico
Logo: [e] ■I
[u] = [E].[d]U = Ed
Mas: [E] [d] = L■I
Sua unidade é Volt (V).
Resistência elétrica
Logo: [R] = M-L2 T“3l-l
[c]Logo: [c] = M’
Prof. Paulino Mouráo
Sua unidade é Ohm (Í2).
• Capacitância
[u]=ml2-t-3-i
■l-2.t4-i°
[’]='
• [r]=ml2t3i2
Mas: [u] = M L2-T-3-I
r=t
R = P^
n-T
c=H u
[q] = M°L°TI
=> [e] = M-L-T“3
[,’TT
[c] = —
M-LT3
[El = ^
L J H
Mas: [Q] = M°-L°-T I 
M° L°-T I 
ML2T"3-I
Sua unidade é Farad (F).
• Constante universal dos gases perfeitos
E = ^
q
•I L => [u] = M L2-T-3-ILogo: [ü] = M L-T“3
Mas: [F] = MLT-2
MLT 
M° L° T I
Sua unidade é Newton/Coulomb (N/C).
Potencial elétrico
fri-MM[1’H|t1
Descobrindo os Segredos da Física
Logo: [R] =
8. Princípio da homogeneidade dimensional
[M] = M1L2T 2 (Momento de uma força)
[t] = M1L2T 2 (Trabalho mecânico)
x = A + Bcos(Ct)
[A] = [x] = L .'. [a] = m°l1t°
Como a função cosseno é aplicada a números puros:
[C][t] = M°L°T° [c] = M0L0T-1
Prof. Paulino Mourão
Resolução:
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional, deve-se ter:
[V]= L3 => [n] = N => [T] = 0 
=> [R] = ML2T~26“1N~1
Onde A, B e C são parâmetros constantes não nulos. Adotando como básicas 
as dimensões de M (massa), L (comprimento) e T (tempo), obtenha as fórmulas 
dimensionais de A, B e C.
Mas: [p] = ML-1T-2 => | 
ML-1!-2 L3
N-0
Sua unidade é J mol-1 k*1.
Uma equação física não pode ser verdadeira, se não for dimensionalmente 
homogênea. Em outras palavras, a dimensão de um termo da equação deve ser igual 
à dimensão dos outros termos da mesma equação, ou seja, uma equação física deve 
ter parcelas com a mesma dimensão.
Se pensarmos um pouco, veremos que a homogeneidade dimensional é condição 
necessária, mas não suficiente para a legitimidade física.
Uma equação física pode ser dimensionalmente homogênea, mas não ser 
verdadeira sob outros aspectos.
Poderiamos destacar o momento de uma força e o trabalho mecânico que são 
dimensionalmente homogêneas, porém não possuem o mesmo significado físico. 
Veja:
Exemplo 1
Num movimento oscilatório, a abscissa (x) de uma partícula é dada em função do 
tempo (t) por:
Capítulo 01 - Análise Dimensional
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional, deve-se ter:
[B][cos(Ct)] = [x] = L [B] = [x] = MW
Exemplo 2
V
Y
OBSERVAÇÃO:
Exemplo 3
na qual A é força, B é potência, C é velocidade
Prof. Paulino Mourão
Nota: Embora a análise dimensional não seja capaz de dizer quem é o coeficiente 
dessa expressão acima, ela consegue dizer a dependência funcional da relação.
Obtenha o tempo necessário para o objeto atingir o solo, solto a partir de uma 
altura h, partindo da hipótese que esse tempo depende da massa m do objeto, da 
altura h e da aceleração da gravidade g.
Resolução:
11 iMJ
M°LOT1=MaL’3+YT-2Y
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional, deve-se ter:
£
4 Í~B
Com base na equação A = — 3/-------
ít VCD4
angular e D é massa específica superficial, verifique se esta equação pode traduzir um 
fato físico verdadeiro.
x h^xg^
Podemos reescrever a expressão acima como h oc gt2 que representa a expressão 
do deslocamento no movimento retilíneo uniformemente acelerado.
a = 0
_1 ta_ 
2
P = +|
to=m“
[T] = [M]“x[L]Px
Descobrindo os Segredos da Física
Resolução:
[C] = T'
=> MLT
T
MLT
= M'
4
V =
Prof. Paulino Mourâo
1 
2
1 
2
' 1'
• T3
4
3
_4 8'
M 3L3
1 2
= M3L3T'
10 2
L3T 3 (fato físico não verdadeiro)
Aplicando na equação acima, temos: 
ml2t~3 
4M4
"2 = (ml2t’3)3 (t1)3^’2)
9. Teorema de Bridgman
Se uma dada grandeza física depende apenas de outras grandezas físicas 
independentes entre si, então esta grandeza pode ser expressa pelo produto de um 
fator puramente numérico por potências das grandezas das quais ela depende.
Assim, com o princípio da homogeneidade e o teorema de Bridgman, podemos 
fazer previsões de fórmulas físicas.
Experimentalmente, verifica-se que a velocidade do pulso de onda (v) depende da 
força tensora (T) e da densidade linear (|i).
Pelo teorema de Bridgman, conclui-se que:
v = k-Txny
Os expoentes x e y são verificados pelo princípio da homogeneidade, logo: 
M=[t]x-Mv
M^T’1 =(m1L1T-2)’‘ • (m1L-1’
M°L1T-1=Mx+yLx-vT-2x
x + y = 0
• x-y = 1
—2x = -1
Experimentalmente, demonstra-se que k = 1, assim: s 
(Equação de Taylor)
MLT’2
MLT’2
[A] = MLT’2 => [b] = ML2T“3
[d] = ML“2 => [4] = [7t] = l
Capítulo 01 - Análise Dimensional
10. Propriedades
Exemplo 1
Resolução:
Exemplo 2
? Considere f como sendo frequência.
= 1
Pbof. Paulino Mourão
Qual a dimensão de x na fórmula E = kcos(2itxt) ? Considere t como sendo 
tempo.
b) Propriedade dos expoentes
Os expoentes são sempre números, em consequência, a dimensão dos expoentes 
é igual a uma unidade.
a) propriedade dos ângulos
Os ângulos são números, em consequência, a dimensão dos ângulos é igual a uma 
unidade.
A dimensão do expoente é igual a uma unidade.
[4kf] = l
[4][k][f] = l
[k].T'
[k] = T
A dimensão do ângulo é igual a uma unidade. 
[27TXt] = l 
[24x][t] = l 
[x]-T = l 
[x] = T-
c) Propriedade da adição e subtração
Nas operações dimensionais, não se cumprem as regras de adição e subtração.
L + L = L
M-M = M
Qual a dimensão de k na fórmula x = A4kf
Resolução:
Descobrindo os Segredos da Física
Exemplo 3
? Considere t como
QUESTÃO 01
QUESTÃO 02
Prof. Paulino Mourâo
Em um experimento, o professor Paulino Mourão verificou a proporcionalidade 
existente entre energia e frequência de emissão de uma radiação característica. Nesse 
caso, a constante de proporcionalidade, em termos dimensionais, é equivalente a:
A) Força D) Pressão
B) Quantidade de Movimento E) Potência
C) Momento angular
Qual a dimensão de R na fórmula R = (k-t)(k2 + aj(a2 -bj 
sendo tempo.
Resolução:
Pelo princípio da homogeneidade dimensional, temos:
[k] = [t] = T
[k2] = [a] = T2
[a2J = [b] = T4
Analisando a fórmula, teremos:
[R] = [k-t]-[k2 +a]-[a2-b]
[r] = T-T2 -T4
[R] = T7
De acordo com a Lei de Coulomb para a interação das cargas elétricas no vácuo, 
verifica-se que f = —-—HiSl. Sendo F a força, q e q as cargas elétricas e d 
4tce0 d2
distância, determine a dimensão da permissividade elétrica no vácuo (e0 ).
A) M-1L"3T4I2 C) M-1L“3T3I2 E) M“3L"3T3!3
B) M“1L~2T4I2 D) M-2L-3T4I2
Capítulo 01 - Análise Dimensional
QUESTÃO 03
QUESTÃO 04
QUESTÃO 05
. Considere P como sendo potência,
E) M^-2!-2
QUESTÃO 06
Se a equação de estado para alguns gases reais é
QUESTÃO 07
descubra a equação dimensional de k. Sendo b uma grandezaEm b
Prof. Paulino Mourão
A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas é dada pela relação 
1
(p+-y)(V-b)=RT, determine 
[a] / [b]. Onde: p é pressão, V é volume, T é temperatura absoluta e R é constante. 
A) ML5T~2 B) M2L5T2 C) ML2T3 D) MLT E) ML2T~2
Qual a dimensão de axb na relação p = 
x distancia e t tempo.
A) MLT
B) M2L2T3
—mv2
2
—kT 
2
adimensional, m a massa, v a velocidade e T a temperatura.
A) MLT26 D) ML-2T20
B) ML2T*2e~1 E) ML2T20-2
C) MLF1©-1
Os líquidos oferecem resistência ao movimento dos corpos devido sua viscosidade. A 
força de viscosidade é proporcional à velocidade do corpo (Fvisc = kv ). Para o caso de 
um corpo em forma de esfera, temos que k = 6nRq. Sendo R o raio, determine [q].
A) ML-1T-1 C) M-1L-1T E) ML~2T~2
B) ML-1T-2 D) ML-2T-2
b-X2 
at
C) M_1L’2T-3
D) M-1L2T2
c = . Sendo c a velocidade linear, e0 a permissividade elétrica no vácuo,
•yeoMo
determine a fórmula dimensional da permeabilidade magnética no vácuo (p0).
A) M-2LT-2r2 C) MLTF2 E) MLT-2!-1
B) MLT“2F2 D) MLT-1!-2
Descobrindo os Segredos da FIsica
QUESTÃO 08
dimensional
E) Comprimento
QUESTÃO 09
. Onde: v é a velocidade, F é a força, e é a base
QUESTÃO 10
E =
A) ML“8T“3 B) M-1L“8T5 E) ML’ST3D) ML“6T2
QUESTÃO 11
e) ivrVr1c) m-2l3t3 d) m3l-9t~3
Prof. Pauuno Mourão
C) Tempo
D) Frequência
Se a equação abaixo é dimensionalmente correta, encontre a dimensão de E, sabendo 
que |i é o coeficiente de atrito, M é o momento de uma força, f é a frequência de 
oscilação, p é a densidade, a é a aceleração e v é a velocidade.
p-f-log^p
/ r- \cosec30°
[MVa —kvj
C) M-1L"8T3
Quando um corpo se move dentro de um fluido, sua velocidade varia de acordo com a 
(kn)t~ 
1-e Aseguinte expressão v = —
kn
do logaritmo neperiano e t é o tempo. Determine a equação dimensional de [knA].
A) ML°T C) ML°T° E) ML°T“2
B) M-1L°T2 D) M2L°T-1
A equação de uma onda mecânica amortecida é dada pela seguinte expressão 
y = aebtsen(ct + a). Onde t é o tempo, y é a posição, e é a base do logaritmo 
neperiano e a é um ângulo. Determine a equivalência que tem a seguinte equação 
mi.
[c]
A) Velocidade
B) Aceleração
Determine a equação dimensional de Z na relação R = Z —Xn-V2n, para que a 
expressão P = EVnsen0 +Xgv0 - VSy seja dimensionalmente correta. Sendo: P 
pressão, g aceleração da gravidade, E energia mecânica, v0 velocidade inicial, V 
volume e S superfície.
A) M~3L9T3 B) M-1L3T3
Capítulo 01 - Análise Dimensional
QUESTÃO 12
QUESTÃO 13
QUESTÃO 14
E) A = kG2M2/c!e 10'
Prof. Paulino Mourào
A) A = kGM/ce 10“5
B) A = kG2M2/c e 10"8
C) A= kG2M2/c e 10'3
D) A = kG2M2/c2e IO"5
Ondas acústicas são ondas de compressão, ou seja, propagam-se em meios 
compressíveis. Quando uma barra metálica é golpeada em sua extremidade, uma 
onda longitudinal propaga-se por ela com velocidade v=y]Ea/ p ■ A grandeza 
E é conhecida como módulo de Young, enquanto p é a massa específica e a uma 
constante adimensional. Qual das alternativas é condizente a dimensão de E?
A) J/m2 B) N/m2 C) J/s. m D) kg. m/s2 E) dyn/cm3
Um exercício sobre a dinâmica da partícula tem seu início assim enunciado: Uma partícula 
está se movendo com uma aceleração cujo módulo é dado por p (r + aVr2), sendo r a 
distância entre a origem e a partícula. Considere que a partícula foi lançada a partir de 
uma distância a com uma velocidade inicial 2,/pa . Existe algum erro conceituai nesse 
enunciado? Por que razão?
A) Não, porque a expressão para a velocidade é consistente com a da aceleração;
B) Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2a2,/p;
C) Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2a2Jp/r;
D) Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2yja2p/r;
E) Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2 a .Jp;
Pela teoria Newtoniana da gravitação, o potencial gravitacional devido ao Sol, 
assumindo simetria esférica, é dado por-V = GM/r, em que r é a distância média do 
corpo ao centro do Sol. Segundo a teoria da relatividade de Einstein, essa equação de 
Newton deve ser corrigida para -V = GM/r+A/r2, em que A depende somente de G, de 
Meda velocidade da luz, c. Com base na análise dimensional e considerando k uma 
constante adimensional, assinale a opção que apresenta a expressão da constante 
A, seguida da ordem de grandeza da razão entre o termo de correção, A/r2, obtido 
por Einstein, e o termo GM/r da equação de Newton, na posição da Terra, sabendo a 
priori que k = 1.
Dado: G = 6,67 • 10'11 m3/s2 ■ kg; M = 1,99 • 103°kg; c = 3 • 108 m/s; r = 1,5 • 10" m.
Descobrindo os Segredos da Física
QUESTÃO 15
QUESTÃO 16
E) M-1L2T2D) mA1!10 M"2L2T2
QUESTÃO 17
E) p = X.Qd2 /S
Pbof. Paulino Mourão
D) a = -1; P = l;y = l;T=l
E) a = 1; p = 1; y = 0; T= 1
Quando camadas adjacentes de um fluido viscoso deslizam regularmente umas sobre 
as outras, o escoamento resultante é dito laminar. Sob certas condições, o aumento 
da velocidade provoca o regime de escoamento turbulento, que é caracterizado 
pelos movimentos irregulares (aleatórios) das partículas do fluido. Observa-se, 
experimentalmente, que o regime de escoamento (laminar ou turbulento) depende 
de um parâmetro adimensional (Número de Reynolds) dado por R = pav’dvr|', em que 
p é a densidade do fluido, v, sua velocidade, q, seu coeficiente de viscosidade, e d, 
uma distância característica associada à geometria do meio que circunda o fluido. 
Por outro lado, num outro tipo de experimento, sabe-se que uma esfera, de diâmetro 
D, que se movimenta num meio fluido, sofre a ação de uma força de arrasto viscoso 
dada por F = 3nDqv. Assim sendo, com relação aos respectivos valores de a, P, y e T, 
uma das soluções é:
A) a = 1; p = 1; y= 1; T = -l
B) a = 1; p = -1; y = 1; t = 1
C) a = 1; p = 1; y = -l; T = 1
Experimentalmente se encontra que a pressão (p em Pa) que exerce um fluxo de água 
sobre uma placa vertical depende da densidade (d em kg/m3) da água, do fluxo (Qem 
m3/s) e da área (S em m2) da placa. Se 1 é uma constante adimensional, uma fórmula 
apropriada para calcular a pressão é:
A) p = ÃQd/S C) p = X(Qd/S)2
B) p = X.Q(d / S)2 D) p = XQ2d / S2
 xz 
Determine a dimensão de E, quando E = —. Sabendo também que a expressão 
y2
dvlog(mx/t) = ytg(0 + ymz) é dimensionalmente correta. Sendo d densidade, m 
massa, v velocidade e t tempo.
A) M-1!1!2 B) IvtVt1
Capítulo 01 - Análise Dimensional
QUESTÃO 18
E) M9/2L°T-2
QUESTÃO 19
Com base na equação do momento de inércia
QUESTÃO 20
Prof. Paulino Mo u rã o
c) m5/2l°t-2
D) M7/2L°T-2
Sendo E energia, vf velocidade, n! fatorial de n, k. constante física, determine a 
fórmula dimensional de X, se X = k9 k17 /k12 .
A) ML~6T6
B) ML“8T8
C) ML~10T10
D) ML’12T12
E) ML-14T14
(Rn ■ COS 9n )X - (Rn-1 • COS en! )Y 
(Rn ■ sen0n )2 - (Rn_j • senen_! )p
Se a expressão T = mv“ + Agh-Bx5ec60°+PC é dimensionalmente correta, 
determine a fórmula dimensional de Q, sabendo que Q = Aa Vb/Vc“". Sendo r 
trabalho, m massa, v velocidade, g aceleração da gravidade, h altura, x distância e P 
potência.
A) M1/2L°T-2
B) M3/2L°T-2
A seguinte expressão contém n termos e é dimensionalmente correta.
E = klV1+ ̂+ ̂+ ...
1 1 2! 3!
que está dimensionalmente correta, encontre E = (x-p)^2 Y). Sendo I o momento 
de inércia = massa . comprimento2; m massa; R e R . raios e 0n e 9n-i são ângulos. 
A) 1 B) 1/2 C) 1/3 n nD) 1/4 E) 1/5
Descobrindo os Segredos da Física
1. Grandezas físicas
2. Vetores
d
A ■> B
OBSERVAÇÕES:
3. Soma de vetores
Prof. Paulino Mourâo
A figura acima ilustra o vetor AB que tem direção horizontal, sentido da esquerda 
para a direita, e módulo dado pelo comprimento AB . O vetor AB também pode ser 
designado por uma única letra minúscula d .
Dois vetores a e b são iguais se, e somente se, apresentarem o mesmo módulo, 
a mesma direção e o mesmo sentido: a = b .
Se dois vetores a e b, possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos 
contrários, eles representam vetores opostos: a = -b.
As grandezas escalares são definidas por um valor numérico associado a uma 
unidade de medida. Exemplos: Tempo, massa, comprimento, temperatura, energia, 
carga elétrica, potencial elétrico, resistência elétrica, corrente elétrica, potência, calor 
específico, coeficiente de dilatação térmica.
As grandezas vetoriais são definidas por um valor numérico acompanhado de uma 
unidade de medida, direção e sentidos. Exemplos: Deslocamento, força, momento de 
uma força, aceleração, quantidade de movimento, impulso, campo elétrico, campo 
magnético.
OBSERVAÇÃO:
Não confunda direção com sentido. Uma reta define uma direção e a essa direção 
podemos associar dois sentidos.
Um vetor é representado por um segmento de reta orientado, onde possui uma 
origem (A) e uma extremidade (B).
A soma de vetores pode ser feita através de dois métodos: a regra do polígono e 
a do paralelogramo.
Capítulo 02 - Anáuse Vetorial
REGRA DO POLÍGONO
a+b+c+d+e
a+b+c+d+e=a+c+d+e+b
c
b
ã>
5
Prof. Paulino Mourão
A regra de polígono também pode ser usada no caso de adição e subtração 
simultâneas de vetores.
Se o polígono formado pelos vetores for fechado, ou seja, a extremidade do último 
coincidir com a origem do primeiro, então o vetor soma é nulo.
OBSERVAÇÕES:
Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores parcelas não altera a 
soma.
A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer número de vetores. 
Para a sua aplicação, devemos colocar os vetores de modo que a origem do segundo 
vetor coincida com a extremidade do primeiro, a origem do terceiro vetor coincida 
com a extremidade do segundo e, assim, sucessivamente.
O vetor soma é determinado ligando-se a origem do primeiro à extremidade do 
último vetor traçado.Observe a figura:
s=a+b+c=Õ
Descobrindo os Segredos da Física
c
ã
REGRA DO PARALELOGRAMO
ã
X
Prof. Paulino Mourão
0 vetor soma (s ) é obtido ligando-se o ponto origem comum dos vetores ao 
ponto de cruzamento dos segmentos de reta, traçados:
Agora devemos desenhar um triângulo retângulo (marcado de cinza), cujos 
catetos medem x e y e a hipotenusa mede |b|.
s = a + b-c ou s =
= |b|-cos0 e y
A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de dois vetores. Essa regra 
permite determinar o módulo do vetor soma para qualquer que seja o ângulo entre 
os vetores somados.
Dados dois vetores, a e b , o vetor s (soma) é obtido do seguinte modo: Sem 
alterar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor, desenhamos os dois vetores 
com suas origens coincidentes a partir da extremidade do vetor a , traçamos um 
segmento de reta paralelo ao vetor b . Em seguida, a partir da extremidadedo vetor 
b, traçamos outro, paralelo ao vetor a .
Capítulo 02 - Análise Vetorial
ã x
ã
sb
b
Prof. Paulino Mourâo
Observe que o vetor s é a hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos 
medem y e (|ã| + x ).
|ã| • |b] • cos0
J + (|b|-sen0)
• cos0 + |b|2 (sen20 + cos2 0)
|ã| • x (|b| - cos 0
+ 2-|ã|-|b|
Como (sen20 + cos2 0j = 1, temos:
|s|2=|ã|2+|b|2+2-
|s| = |ã| + |b|
Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos contrários (0 = 180° ); 
ISO’ 
b /—x a =
RIM2
OBSERVAÇÃO:
O ângulo entre dois vetores é definido como o "menor ângulo" determinado por 
eles, quando dispostos "origem com origem", portanto o ângulo entre a e b é 0 e 
não a.
Casos Particulares: Quando o ângulo entre dois vetores for 0°, 90“ ou 180“ existem 
expressões simplificadas para a determinação do vetor soma.
Adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido ( 0 = 0o ):
5 b
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos: 
|s|2=(|ã| + x)2+y2 => |s|2 =|ã|2+2-|ã|-x + x2+y2
|s|2=|ã|2+2.
Mas a + 0 = 180°, então cos0 = -cosa, portanto:
|s|2 =|ã|2 +|b|2 -2-|ã|-|b|-cosa
Descobrindo os Segredos da FIsica
Adição de dois vetores perpendiculares entre si ( 9 = 90° ):
b
tL ■>
ã
|s|2=|ã|2 + |b|2
Prof. Paulino Mourâo
O módulo do vetor soma pode assumir todos os valores compreendidos entre o 
valor máximo e o valor mínimo.
Exemplo 1
Se um avião que se desloca de oeste para leste com velocidade v2 = 800 km/h for 
atingido por um vento de velocidade v2 = 70 km/h, a velocidade resultante v do avião 
será obtida efetuando-se a adição dos vetores e v2 , conforme o sentido do vento.
I*L
|ã| - |b| < |s| < |ã| + |b|
O valor mínimo para o módulo do vetor soma se obtém com a soma de dois 
vetores de mesma direção e sentidos contrários:
|s|2<-|b|2
OBSERVAÇÕES:
O valor máximo para o módulo do vetor soma se obtém com a soma de dois 
vetores de mesma direção e mesmo sentido:
ls|M2<
Capítulo 02 - Anáuse Vetorial
F*-.oeste leste
v2 •*1
V
b) Se o vento sopra de leste para oeste:
|v| = 730 km/hIWI-M
J norte
vi x---- leste
v
* sul
8002 + 702
COMPONENTES VETORIAIS
Prof. Pauuno Mourão
Todo vetor pode ser representado por dois outros vetores, perpendiculares entre 
si. A estes vetores denominamos componentes octogonais do vetor dado.
|v| = 870 km/h|v| = 800 + 70
|v| = 800 — 70
a) Se o vento sopra de oeste para leste:
vento
c) Se o vento sopra de norte para sul:
vento
|v| = 7640.000+ 4.900
|v| = 803 km/h
Descobrindo os Segredos da Física
V
e
vx
vx
A lei dos senos pode ser muito útil no estudo dos vetores.
A lei dos senos estabelece que:
ba
sencpsena
4. Subtração de vetores
O vetor diferença entre a eb (d = a — b ) pode ser obtido pela soma do vetor a
Proe. Paulino Mourão
C 
senO
x
►
=>d = a + (-b).com o oposto de b : d = a - b
Vy
È -b
O oposto do vetor b , ou seja, o vetor -b, tem o mesmo módulo e mesma direção 
de b , porém sentido contrário.
sen0=^ M=M'sene 
cos6 = l^l /. |vx| = |v|-cos6
CapItulo 02 - Análise Vetorial
5. Multiplicação de um número real por um vetor
0 produto de um número real n, não nulo, por um vetor A é um vetor B tal que:
OBSERVAÇÕES:
e E terão a
Prof. Pauuno Mouráo
Observe na figura a seguir que o vetor a é a hipotenusa do triângulo retângulo, 
cujos catetos medem w e z.
Módulo: |b| = |n| -|a|
Direção: A mesma de A
Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto ao de A se n for negativo.
w = |a|-cos0
— 2-|a|-|b|-cós©
A 
w 
-b
• w + w2
z = |ã|-sen0 e
Observe que F = m-a, assim podemos observar que como a massa m de um 
corpo é sempre positiva concluímos que a força e a aceleração estarão sempre na 
mesma direção e sentidos.
Observe que FE =q-E, assim podemos observar que se q > 0, FE 
mesma direção e sentidos, mas se q < 0, FE e Ê terão a mesma direção e sentidos 
opostos.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo branco, temos: 
l3NMÈHMí-'24l2-2fi 
|d|2 = |ã|2 ■ sen20 + |b|2 — 2 - |b| - |ã| • cos0 + |ã|2 ■ cos2 0 
|d| = |ã|2-(sen20 + cos2 0) + |b| - 2 • |b| • |ã| • cos0
Como (sen20 + cos2 Oj = 1, temos:
Descobrindo os Segredos da FIsica
6. Produto escalar de dois vetores
Demonstração:
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
a) comutativa:
ab =ba
Prof. Paulino Mourão
Exemplos de grandezas escalares entre grandezas vetoriais: trabalho de uma 
força, potencial elétrico, fluxo do campo elétrico, etc.
A grandeza trabalho (t) é obtida do produto escalar da força pelo deslocamento. 
Por essa razão, o trabalho é escalar.
r = F-d —> x = F-d cos0
b) associativa em relação a um escalar:
c-(ab) = (c-a)b = a(c-b)
É a operação entre dois vetores a e b que resulta um número escalar. É indicado 
por ã-b (lê-se "a" escalar "b") e é definido por uma grandeza escalar cujo valor 
numérico é obtido efetuando-se o produto entre o módulo de a pelo módulo de b 
pelo cosseno do ângulo formado por a e b , tal que:
ã-b = |ã|-|b|-cos0
ã-b = |ãx|-|bx| + |ãy]-|by|
ã-b = |ã|cosa -|b|cos0 + |ã|sena -|b| sen 0
ã-b = |ã|-|b|(cosa-cos0+sena-senP) 
cos(fl-a)
ã -b = |ã| -|b| • cos0
Capítulo 02 - Análise Vetorial
c) distributividade:
d) quadrado de um vetor:
e) ortogonalidade de vetores:
ab = Õ aXbe
Para o caso dos vetores unitários, teremos:
k A
Y
'x'
yx
Prof. Pauuno Mourão
I
ii = j-j = kk = l 
(vetores unitários cartesianos colineares)
a(b + c) = ab + ac
i.j = j.k = ik = O 
(vetores unitários cartesianos perpendiculares)
(ã)2=ã-ã
bxo e
Se agora representarmos os vetores a e b em função de suas componentes 
cartesianas e logo realizarmos o produto escalar, teremos:
ã = ãx i + ãy j + ãz k
b = bxi + by j + bzk
ã b = (ãxi + ãy j + ãzk). (bxi + by j + b2k) 
ãb = ãxbx (i-i) + ãxbyp^J + ãxb2ppiJ 
+ãybx + ãyby (j • j) + ãybz
+ãzbx pzp + ãzby + ãzbz (k ■ k) 
|ã.b = |ãx|.|bx| + |ãy|-|by| + |ãz|.|bz|
Se a
Descobrindo os Segredos da Física
7. Produto vetorial de dois vetores
ãx b
i h = b- sen0
Prof. Pauuno Mouráo
É a operação de produto entre vetores de grandezas diferentes que resulta num 
vetor de uma grandeza física diferente das originais.
O vetor axb aparece na direção perpendicular ao plano determinado por ã e b; 
seu módulo é dado por:
Área = basex altura
Área = |ã|- |b|-sen0
|ax b| = |ã| ■ |b| - senO I
O sentido do vetor produto axb pode ser obtido pela "regra da mão direita": 
mantém-se a mão direita de forma que os dedos se curvem seguindo a rotação de ã
Para obtermos o produto vetorial expresso em forma analítica, teremos:
i j k 
ãxb=|ãx| |ãy| |ãz|
l5x| |6y| |bz|
ãxb = (|ãy|lbz|-|by||ãz|)i-(|ãx||bz|-|bx||ãz|)j + (|ãx||by|-|bx||ãy|)k
OBSERVAÇÃO:
y
9
ã
k 
ã
Matematicamente, o produto vetorial dos vetores ã e b têm o módulo igual 
à área do paralelogramo formado pelos vetores ã e b .
para b , o polegar dará o sentido de a x b. Se ã = (ax i + ãy j + ãz k) = (|ãx | + |ãy | + |ã21) 
e b = (bx i + by j+b2 k) = (|bx | + |by | + |bz |).
Capítulo 02 - Análise Vetorial
Portanto:
= ãxb|
Em geral, temos:
|ãxb| • Área
ã
APLICAÇÕES
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
a) anticomutativa:
b)
c) distributividade:
axb+axc
d) produto vetorial de um vetor por ele mesmo
axa = 0
e) paralelismo de vetores:
Õ ã//bSe ã
Prof. Pauuno Mourão
O produto vetorial ocorre na definição de torque e momento angular. O produto 
vetorial também pode ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro 
polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento 
de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação, dentre outros.
ax(b + c)
associativa em relação a um escalar:
c-(axb) = (c-ajxb = ax(c-b)
axb=-bxa
Áreao
e b e axb = Õ
Descobrindo os Segredos da Física
f) Produto vetorial dos vetores unitários
8. Versores
cã
b
S = 3Í+4jd
I
T
9. Vetores espaciais
Prof. Paulino Mourão
1
íx-j=k
jxk=‘i
kxi=-j
Se tivermos um vetor em três dimensões tal como se mostra, poderemos 
expressá-lo em função de três vetores componentes, que são as projeções deste 
vetor sobre os três eixos de coordenadas.
ã = l-T+7j
b = 4-7+Oj + 
c = 0T-3jd = -2 -T+Oj
Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários. Usaremos o versor i 
para a direção horizontal e o versor j para a direção vertical, sendo |ij = |j| = 1.
s2 = (3)2 + (4)2 
s = 79+16 
|s| = 5
Capítulo 02 - Análise Vetorial
A Z
Ã
y
ía.
«x, 
X
Observando a figura, concluímos:
Onde:
Prof. Pauuno Mourão
!
Dado o vetor Ã, suas projeções sobre os eixos x, y e z são Ax, Ay, Âz, 
respectivamente.
|Ãx| = |Ã|cosa
|Ãy| = |Ã|c°sP
|Ãz| = |Ã|cosy
A = Ax 4- Ay + Az
♦ z 
Ãzk
Ãy y
Descobrindo os Segredos da Física
Se do gráfico extrairmos o triângulo retângulo sombreado, encontraremos:
Simplificando temos:
cos2 a + cos2 p + cos2 y = 1
QUESTÃO 01
E) I, F, P, T, Q, a
Prof. Paulino Mourào
|ã|2-|à.M\Mã,i!
Como, |Ax| = |Ã|cosa, |Ãy | = | a| cos P, |ÃZ| = |A|cosy , temos:
Definindo: F = força; I = impulso de uma força; Q = quantidade de movimento; 
P = pressão; p = densidade de massa; v = velocidade; a = aceleração angular; 
Ec = energia cinética; Ep = energia potencial; M = momento de força; 
t = trabalho de uma força; m = massa. Assinale abaixo a opção que contém três 
grandezas escalares e três vetoriais.
A) F, t, M, P, p, m C) F, Q, M, v, a, I
B) a, Ep, P, I, Q, p D) P, m, Ep, x, Q, M
|Ã| = ^(|A|c°sa)2 +(|Ã|cosp)2 +(|a|cosy)2 
|Ã| = ^|Ã|2 [(coscc)2 + (cosp)2 + (cos y)2 ]
|Ãz|2
Capítulo 02 - Análise Vetorial
QUESTÃO 02
>
r
E) 11
QUESTÃO 03
à B
O
D
A)-------c e 0 = arctg —
B) -------C e 0 = arctg —
C)-------C e 0 = arctg —
Prof. Paulino Mo u rã o
F1
Quatro forças Â, B, C e D atuam sobre um ponto 0, como mostra a figura. Calcule 
o valor da resultante dessas forças e sua direção.
1
Qual a intensidade da resultante dessas três forças, em newtons?
A) 3,7 B) 5,5 C) 7,0 D) 9,3
•U17 (1
E) ——C e 0 = arctg —7 l*
As forças Fj, F2 e F3, cujas intensidades são, respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0 N, 
têm direções coincidentes com as arestas de um bloco retangular, conforme esquema 
abaixo.
J---
D) e 0 = arctg^-|^ 
l'!
4 J
17
5
1
4
1
4
1
2
17
2
VI7
4
Descobrindo os Segredos da Física
QUESTÃO 04
B) 10(1 +>5) E) zeroC) 20 D) 10
QUESTÃO 05
(II) b = 2j
(III) b + c = +lí
B
J
3.
QUESTÃO 06
Prof. Paulino Mourão
Podemos afirmar que:
A) são corretas apenas a (I) e a (II).
B) são corretas apenas a (II) e a (III).
C) são corretas apenas a (I) e a (III).
D) são todas corretas.
E) há apenas uma correta.
Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos 
minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como 
um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos 
três vetores determinados pela posição desse ponteiro, quando o relógio marca 
exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em 
cm, igual a: 
A) 30
Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regulara seguir. 0 
módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: f
A) 40u D) 16u / \
B) 32u E) zero / T
ci 24” \7
No gráfico anexo, estão representados três vetores ã , b 
unitários. Analise as expressões:
(I) ã = 2Í+3j
e c . Os vetores i e j são
Ao se determinar a resultante de seis vetores de mesmo módulo k, pelo método 
do poligono, foi obtido um hexágono regular dando resultante nula. Se trocarmos o 
sentido de três deles, alternadamente, a resultante terá módulo igual a:
A) 2k D)zero
B) 2^3 k E)6k
QUESTÃO 07
Capítulo 02 - Análise Vetorial
QUESTÃO 08
A) D)
B) E)
C)
B) 4s/3u E) ’u
QUESTÃO 10
Expresse Â
AZ
Ã
Y
X
Prof. Pauuno Mourâo
C) 6>/7u D) sVãu
D) Â = (18i + 20j + 10k)u
E) Ã = (2Ói + 25j + 15k)u
Dados os vetores ã e b que formam entre si 60°, onde a = lOu e o módulo do vetor 
diferença tem o seu menor valor, determine o módulo do vetor resultante entre ã 
e b .
A) 5>/7u
(x+y)
2
(x2+y2)
2
2
QUESTÃO 09
em função dos vetores unitários i, j, k , sabendo que suas projeções 
, „„ ( 2-J1 „ 72^1
sobre o eixo x e 20u • cosa =------ ;cosB =— .
5 2
A) Ã = Í2Í+5j + 5k)u
B) Ã = (20i + 20j + 20k)u
C) Â = (16i + 18j + 8k)u
1 Y / 
aJXP
Dois vetores de módulos iguais são tais que o módulo da soma deles vale (x) e, o 
módulo da diferença vale (y). Pode-se afirmar que cada um deles vale:
£3
2
(x+y)
3
Descobrindo os Segredos da Física
QUESTÃO 11
E) 9 = arccos(0,l)
QUESTÃO 12
E) -6i + 12j-4k
QUESTÃO 13
QUESTÃO 14
Prof. Paulino Mourão
A) 0 = arccos(O,8)
B) 0 =arccos(0,6)
A) -3i + 8j-2k
B) -4i + 10j-2k
C) -2i + 10j-4k
D) -5i + 7j-3k
A figura mostra um cubo de aresta a = 2. Calcule 2Â - B + 3C •
Considere dois vetores ã e b, de módulos iguais a 5u e 7u respectivamente, e que 
formam entre si um ângulo 0, tal que cos0 = 0,6 e sen0 = 0,8. Assinale a alternativa 
que corresponde ao ângulo P que o vetor ã-b faz com o vetor b .
m í 4 IC) a = arcsen —== 
V29 J
3
2^29
Considere dois vetores a e b , de módulos iguais a 5u e 7u respectivamente, e que 
formam entre si um ângulo 0, tal que cos0 = 0,6 e sen0 = 0,8. Assinale a alternativa 
que corresponde ao ângulo a que o vetor ã + b faz com o vetor b .
E) a = 45°Aí [ 2A) a = arccos —==
Ia/29, 
r 2B) a = arcsen —==
1^29.
Considere que a soma de dois vetores iguais seja o triplo da diferença desses vetores. 
O professor Paulino Mourão pede que você calcule o ângulo entre esses vetores e 
assinale o item encontrado.
C) 0 = arccos(O,4)
D) 0 =arccos(0,2)
D) a = arcsen
Capítulo 02 - Análise Vetorial
C) 0 = arcsen
QUESTÃO 15
E) y = 90°C) y = arccos —y=
D) y = arccos
QUESTÃO 16
Dados dois vetores ã e b, com 0 o ângulo entre os dois vetores, podemos afirmar que:
C) Ç^ = tgO
QUESTÃO 18
Prof. Paulino Mourão
2A) 0 = 60°
B) 0 = 30°
2
3^2
D) 0 = arcsen
E) 0 = 45°
A figura ilustra 3 vetores apoiados num cubo de aresta a = Víu . A resultante desses 
três vetores tem módulo:
A) 6u
B) lOu
C) 12u
D) 14u
E) 16u
e B, sendo: Ã = (20;15)u e B = ^24\/2;-7^)u, determine:
D) ã • b = |ã| ■ |b| ■ senG
lãxbl
E) = cotg0 
ã-b
A) ã-b = |ã||b|
B) ãxb = |ã|-|b|-cos0 
lãxbl
c) L4 = tgo
a-b
QUESTÃO 17
Dado os vetores Â
A) Ã-B
B) o ângulo que formam os vetores  e B .
Considere dois vetores ã e b, de módulos iguais a 5u e 7u respectivamente, e que 
formam entre si um ângulo 0, tal que cos0 = 0,6 e sen0 = 0,8. Assinale a alternativa 
que corresponde ao ângulo y que o vetor ã + b faz com o vetor ã-b.
, ( 2 ( 2
A y = arcsen —=
l V58.
( 3
B) y = arcsen —==
l V58
V58
___3_
758
Descobrindo os Segredos da Física
QUESTÃO 19
QUESTÃO 20
A) R = - (n + 1)
B) R = —(n + 1) A
C) R = —(n + 1)
D) R = -(n + l)
E) R = -(n + l)
Prof. Pauuno Mourão
!
"O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário."
Albert Einstein
Se o lado BC do triângulo ABC que se mostra é dividido em n partes iguais, sendo n 
impar, obtenha o módulo da resultante dos n + 1 vetores que se mostram. Considere
AB = 5u e AC = 4u, tga = v24 .
Sejam A = ^2i +3j + 5k)u e B = ^3i + 8j + 5k)u , determine o módulo do produto 
vetorial à x B e o ângulo que estes vetores formam entre si.
9
2 
7
2 
5
2
3
2
1
2
Capítulo 03 - Movimento Retilíneo
r j
1. Introdução
«2
x
X2 X3 X«0 X1
2. Deslocamento e velocidade média
x
x>
; MO
ex.
At
t„+At<=
A velocidade média é definida como:
Prof. Pauuno Mourão
t2-ti
Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. Um objeto é 
localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto 
de referência, geralmente tomado como origem (x = 0).
Exemplo:
O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posição com o decorrer 
do tempo.
Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua descrição depende 
do observador. Já a escolha da origem é arbitrária.
A trajetória é o lugar geométrico dos pontos dos espaços ocupados pelo objeto 
que se movimenta.
Ax 
— = tg0 
At
vm
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (At) é a 
diferença entre a posição final (x2) no instante t2 = t0 + At e a posição inicial (xj no 
instante t2 = t0. A velocidade média nos dá informações sobreo movimento em um 
intervalo de tempo.
Descobrindo os Segredos da Física
UNIDADES DE VELOCIDADE
Prof. Paulino Mourào
OBSERVAÇÃO:
Apenas com o valor da velocidade média não somos capazes de descrever como 
foi o movimento de um móvel em cada instante, ou seja, caso um carro tenha uma 
velocidade média de 72 km/h, não implica que em todo o percurso ele tenha mantido 
essa velocidade constante, pois poderia em determinado momento estar com 160 
km/h, em outro 20 km/h e em outro poderia até ter ficado parado, adquirindo a 
velocidade média de 72 km/h, no percurso total.
Na Unidade Prática, temos: 
unid.(Ax) = quilômetro (km) 
unid.(At) = hora (h) 
unid.(vm) = quilômetro/hora (km/h)
unid.(vm) =
No Sistema Internacional, temos: 
unid.(Ax) = metro (m) 
unid.(At) = segundo (s) 
unid.(vm) = metro/segundo (m/s)
No Sistema CGS (centímetro, grama e segundo), temos: 
unid.(Ax) = centímetro (cm) 
unid.(At) = segundo (s) 
unid.(vm) = centímetro/segundo (cm/s)
í 
j
Ax
Da relação vm = —, concluímos que a unidade de velocidade é a razão entre a 
unidade de deslocamento e a unidade de tempo. Veja:
unid.(Ax)
unid.(At)
SeAx>0 —> vm >0 (movimento para direita, ou no sentido de x crescente).
Se Ax<0 —> vm<0 (movimento para esquerda, ou no sentido de x 
decrescente).
Capítulo 03 - Movimento Retilíneo
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA FÍSICA
vTotal At-, + At-■1
vTotal “
vTotalvTotal
vTotalvTotal
vTotal
vTotal -
VTotal =2' Ax-vTotal
= At, temos:
2-Ax
Ax • v2 + Ax • Vj
VfVj
vl v2
Ax(v2+V1)
Vl+V2
2
Como Axt =vj Atj e Ax2 = v2 • At2 , teremos:
vT ■ At! + v2 • At2 
Atj + At2
Na condição que At2 = At2
VjAt + v^At __ At(vi+v2)
---------Z"Z ZZZ vTotal - 77“ = At + At 2 At
Caso você perceba na questão que Ax2 = Ax2, teremos:
Ax-rotal _ v _ Ax1+Ax2
At Total T°tal Atx + At2
, Ax, Ax,
Como At, = —- e At, = —— , teremos: 
vi v2
Axx + Ax2
Ax! | —.
vi
Na condição que Axt = Ax; = Ax, teremos:
Ax + Ax
VTotal “ Ax Ax 
------ 1- — 
vi v2
2-Ax
Ax(v2+Vi)
vi-v2
vTotal ~
Existem questões que dividem um deslocamento unidimensional em duas partes. 
Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com velocidade média 
constante v2, percorrendo um deslocamento Ax2 em um intervalo de tempo At, e no 
segundo trajeto o móvel se desloca com velocidade média constante v2, percorrendo 
um deslocamento Ax2 em um intervalo de tempo At2. Como devemos calcular a 
velocidade média em todo o percurso?
Caso você perceba na questão que At2 = At2, teremos:
AxTQtal _ v z Ax1+Ax2
AtTotal T°tal At2+At2
Conclusão: Em vez de fazer toda essa conta, você pode aplicar direto as expressões 
finais concluídas tanto para a condição de At2 = At2 quanto para Ax2 = Ax2.
Prof. Pauuno Mourão
Ax2
v2
Descobrindo os Segredos da Física
vTotal “vTotal
vTotal
vTotal
vTotal
vTotal vTotal “
vTotal “
vTotal ~~
Prof. Paulino Mourão
Existem outras questões que dividem um deslocamento unidimensional em três 
partes. Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com velocidade média 
constante v3, percorrendo um deslocamento Axt em um intervalo de tempo Atr Já no 
segundo trajeto o móvel se desloca com velocidade média constante v2, percorrendo um 
deslocamento Ax2 em um intervalo de tempo At2 e no terceiro trajeto o móvel se desloca 
com velocidade média constante v3, percorrendo um deslocamento Ax3 em um intervalo 
de tempo At3. Como devemos calcular a velocidade média em todo o percurso?
Caso você perceba na questão que At3 = Atz = At3, teremos:
Ax-rotai v _ Ax3+Ax2+Ax3 
Total T°tal Atl + At2 + At3
Como Axj = v1-At1, Ax2 = v2 -At2 e Ax3 = v3 • At3 , teremos:
vx ■ Atx + v2 ■ At2 + v3 • At3
Atx + At2 + At3
Na condição que At3 = At2 = At3 =At, temos:
và ■ At + v2 ■ At + v3 ■ At
At + At + At
Axi 
Como Atj =------ At,
V1
v -3 V1V2V3
vTotal — á \
(v2v3+v1-v3+v1-v2)
_ ____________ 3Ax_____________ 
Ax ■ v2 ■ v3 + Ax ■ vx ■ v3 + Ax ■ vx ■ v2 
vi-v2v3
V, -v,-v3
=> vTota | = 3 • Ax------±£--------------------------t
Ax(v2 v3 +Vx-v3 +Vj-V2)
Vl + v2 + v3 
3
Caso você perceba na questão que Ax1 = Ax2 =Ax3, teremos:
AxTOtai v = Ax!+Ax2+Ax3
Atiotal T°tal At1+At2+At3
Ax, . Ax,
= —- e At3 = —- , teremos: 
v2 v3
_ Axi+Ax2+Ax3
Vlotal Axj Ax2 + Ax3
Vi v2 v3
Na condição que Axt = Ax2 = Ax3 = Ax , teremos:
_ Ax + Ax + Ax
vT°ta| Ax Ax
— + — + —
Vi v2 v3
___________ 3Ax____________
Ax(v2•v3 + Vl■v3 + Vl■v2)
VjV2 V3
At^Vi + v2 + v3 ) 
vTotal = □ A+3At
Capítulo 03 - Movimento Retiüneo
vTotal => vTotal -
vTotal -
vTotalvTotal
vTotal
Prof. Pauuno Mourão
Conclusão: Em vez de fazer toda essa conta, você pode aplicar direto as expressões 
finais concluídas tanto para a condição de At; = At2 = At3 quanto para Ax2 = Ax2 = Ax3.
Ainda existem outras questões que dividem um deslocamento unidimensional em 
n partes. Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com velocidade 
média constante v2, percorrendo um deslocamento Ax2 em um intervalo de tempo 
Atj. Já no segundo trajeto, o móvel se desloca com velocidade média constante 
v2, percorrendo um deslocamento Ax2 em um intervalo de tempo At;. No terceiro 
trajeto, o móvel se desloca com velocidade média constante v3, percorrendo um 
deslocamento Ax3 em um intervalo de tempo At3 e, no enésimo trajeto, o móvel se 
desloca com velocidade média constante vn, percorrendo um deslocamento Axn em 
um intervalo de tempo Atn. Como devemos calcular a velocidade média em todo o 
percurso?
Caso você perceba na questão que At2 = At2 = At3 = ... = Atn, teremos:
AxTota| v Ax1+Ax2+Ax3+... + Axn 
AtTotal T°tal Atj + At2 + At3 + ... + Atn
Como Axt = Vj ■ Atj, Ax2 = v2 • At2 , Ax3 = v3 • At3 e Axn = vn • Atn, teremos:
 Vj • At2 + v2 • At2 + v3 • At3 + ... +vn • Atn
Atj + At2 + At3 +... + Atn
Na condição que At2 = At2 = At3 = ... = Atn = At, temos:
v3 • At + v2 ■ At + v3 ■ At +... + vn • At
At + At + At +... + At
Atív! +v2 +v3 + ... + vn)
V^l= n-At '
Vi + V2 + V3 +... + vn 
vTOta! = n
Caso você perceba na questão que Ax2 = Ax2 = Ax3 = ... = Axn, teremos:
AxTotal „ Axj + Ax2 + Ax3 +... + Axn 
---------------- => VTotal ~ 
AtTota |-----------------------Atj + At2 + At3 +... + Atn
Ax, Ax, Ax3 Axn
Como Atj =—-, At-, = —-, At3 =—- e Atn =—- , teremos:
V1 v2 v3 vn
Axj + Ax2 + Ax3 +... + Axn
Axx | Ax2 ! Ax3 [ [ Axn
vx v2 v3 vn
Descobrindo os Segredos da Física
n-Ax
vTotal
n
3. Velocidade instantânea
X(t)
9X(t0)
At
t0 to + At
Prof. Paulino Mourào
A velocidade escalar instantânea é o limite da velocidade escalar média, quando o 
intervalo de tempo considerado tender a zero. A velocidade instantânea nos dá uma 
informação mais precisa num determinado tempo t0.
x
Exemplo 1
Considere um ponto material cujo movimento é traduzido pela função horária dos 
espações:
Reta tangente 
a curva
; Ax(t)
x = at2 + bt + c
- — + — + — + + — 
vTotal V1 v2 v3 vn
Onde n representa o número de divisões do percurso.
n
vTotal 111 1
— + — + — + ... + —
Vi v2 v3 vn
Na condição que AxJ = Ax2 = Ax3 = ... = Axn = Ax, teremos:
Ax +Ax +Ax + ... +Ax 
vTotal Ax Ax + Ax + + Ax
V1 v2 v3 vn
i- Ax 
v= hm — 
At—>0 At
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
x(t + At) - x(t) dx
v = hm --------------------- = — = tg0
At->o At________dt______
Logo, a derivada de uma função em um ponto é o coeficiente angular da reta 
tangente àquele ponto.
Aí 1 1 1 1Ax — + — + — + ... + —
l V1 v2 v3 vn
Capítulo 03 - Movimento Retilíneo
X1 =at0 +bt0 +c
+ C
2at0 + aAt + b
CASO PARTICULAR
Sabemos que:
dx = vAt
Prof. Paulino Mourão
Escrevendo a integral indefinida (antiderivada) em ambos os lados da equação, 
teremos:
Em que x é o espaço no instante t e a, b e c são constantes. Calcule a velocidade 
escalar instantânea num instante t.
vjdt
Jdx = Jvdt
Como v é constante, pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração, 
assim:
fdx
v = 2at0 + b
Desenvolvendo-se o valor de x2, teremos:
+ 2tg At + At I -r b^tg + At
+ 2at0At + aAt2 + bt0 + bAt + c
/\x
Observe que o cálculo do lim — que acabamos de fazer é a função matemática 
At—>0 Atdenominada "derivada" da função x =/(t). Assim podemos verificar que a velocidade 
escalar instantânea é a derivada da posição x =/(t) em relação ao tempo.
Calculando Ax = x2-Xj, teremos:
Ax = 2at0 At + aAt2 + bAt 
Dividindo-se por At em ambos os lados da equação, obteremos: 
Ax 
At 
vm = 2at0 + aAt + b
Fazendo At tender a zero ( At —> 0 ), a parcela aAt tende a zero, assim obteremos 
a velocidade escalar instantânea no tempo t.
x2=a(t02 
x2 = at02 ■
Resolução:
Inicialmente, devemos calcular a velocidade escalar média entre o instante 
considerado tt = t0 e um instante posterior t2 = t0 + At.
xi = at02 + bt0 + c e x2 =a(t0 + At)2+b(t0 + At) + c
Descobrindo os Segredos da Física
(II)x0 =c
(função da posição do MRV)
ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES
ex
Prof. Paulino Mourão
dy 
dx
dy 
dx
dy 
dx
Por mais que você não acredite, você acabou de aprender a encontrar derivadas. 
Vamos treinar mais uma vez para você se convencer que é um gênio?
Imagine uma curva descrita pela função y = x4.
A derivada dessa função é:
dy
dx
A função acima pode ser escrita da seguinte maneira:
x = vt + c (I)
Para determinar a constante de integração c, faremos t = 0, instante no qual 
x = x0, logo:
) = -senx2.—
dx
Caso você nunca tenha tido contato com cálculo diferencial, não se preocupe, irei 
desvendar mais esse segredo e você vai ficar craque nesse assunto.
Imagine uma curva descrita pela função y = x5.
Para achar o coeficiente angular da reta tangente àquele ponto, você precisa 
calcular a derivada dessa função líX , copiando o número 5 e escrevendo antes e na 
dx
mesma altura do x e subtrair uma unidade desse expoente. Veja:
xo=v(o) + c =>
Substituindo (II) em (I), teremos:
|x = vt + x0| ou
— = 4y4-1
5y4
d i x d / \
1. ■—(c) = 0;c = constante 3. —(senx) = cosx 
dx' dx' ’
(mxn) = n-m-xn-1 4. y-(cosx
4y3
5y5-1
Legal, né?
Já que você esta craque em derivação, vamos entender a temida integração.
Para integrar a função y = x4, devemos escrever da seguinte forma:
T 4 . X5 
j x dx= —+ c
A integração nada mais é que a antiderivação, ou seja, basta acrescentarmos uma 
unidades no expoente 4 e depois dividimos por esse novo número encontrado. Fique 
atento, que após fazer esses procedimentos, você deve somá-lo a uma constante que 
representamos pela letra c.
|x-x0 = vt |
5. A(ex)
dx' >
6. — (lnx) = —
dx' ' x
Capítulo 03 - Movimento Retiüneo
.3
4. Velocidade escalar média e velocidade média
Ax
At
Prof. Paulino Mourão
A velocidade média ou velocidade vetorial média vmédia é a razão da distância 
percorrida Ax pelo intervalo de tempo. Deve ser levado em consideração a direção e 
o sentido. ______
Exemplo 1
Considere um veículo que se desloca de uma cidade A até uma cidade B, percorrendo 
meia circunferência. Calcule a distância percorrida Ax e a distância total percorrida Ax.
Caso você queira checar se o procedimento foi feito da maneira certa, basta você 
derivar o resultado obtido que retomaremos para a função de origem. Veja:
^fx5
dx 5 C
— + c 
4
A velocidade escalar média vesca|armédia ® uma f°rrna de descrever a rapidez 
com que um objeto se move. Ela envolve apenas a distância total percorrida Ax, 
independentemente da direção e do sentido.
4
5
_ Ax
^escalar,média —
vmédia
Por mais que você não acredite você acabou de aprender a encontrar integrais.
Vamos treinar mais uma vez para você se convencer que é além de gênio, é um 
convencido?
Para integrar a função y = x3, devemos escrever da seguinte forma: 
f 3 , X4
X dx = — + C 
J 4
Checando se realmente tá certo, 
d x4 
dx
Descobrindo os Segredos da Física
■> t
V!
‘o ‘l t o + At
Prof. Pauuno Mourão
Resolução:
A distância percorrida é representada por uma reta do ponto inicial A até o ponto 
final B, sem se preocupar com a trajetória e a distância total percorrida; é representada 
pela soma de todos os pontos desse percurso, ou seja:
Ax = 2R
Ax = TtR
Onde R representa o raio da trajetória.
Ax, = v(t|)-At 
^Ax^^vftjl-At
‘o ‘
Esse é um resultado geral. Para demonstrá-lo, usaremos para intervalos de tempo 
muito curtos. Assim, podemos escrever:
Ax = v(t) ■ At
Onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
Agora se dividirmos o intervalo de tempo (t - t0) em um número grande (N) de 
pequenos intervalos At, teremos:
v(t)
5. Cálculo de x(t) a partir de v(t)
Considere inicialmente o caso da velocidade constante, isto é x -Xo = v(t- t0). Note 
que v(t -10) é numericamente igual à área sob a curva da velocidade (v = constante) 
em função do tempo.
v(t)
Capítulo 03 - Movimento Retiüneo
ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES
6.
4.
6. Aceleração média
v(t)
‘o t0+ At
Prof. Paulino Mouráo
u + v)dx = J(u)dx +J(v)dx + c5.j(í
Jexdx=ex+c
Jsenxdx = -cosx + c
8. |cosxdx = senx + c
3. Jxndx =
No limite em que N —> oo e At -» 0, temos: 
t 
x(t)-x(t0) = |v(t)-dt 
tp
A aceleração média nos dá informações sobre o movimento em um intervalo de tempo.
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma 
aceleração (ou foi acelerada). Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração 
média am em um intervalo de tempo At é:
1. |dx = x + c
2. Jcdx = cj dx + c
xn+1
(n + l)+C 
rdx ■— = lnx + c
J x
ATENÇÃO:
A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo. 
Geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da 
posição em função do tempo no instante considerado.
O deslocamento é obtido pela antiderivação (ou integração) da velocidade. 
Geometricamente, o deslocamento é numericamente igual à área sob a curva da 
velocidade em função do tempo.
Descobrindo os Segredos da Física
=>
UNIDADES DE ACELERAÇÃO
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA FÍSICA
Prof. Paulino Mourão
OBSERVAÇÃO:
Apenas com o valor da aceleração média, não somos capazes de descrever como foi o 
movimento de um móvel em cada instante, ou seja, caso um carro tenha uma aceleração 
média de 8 m/s2, não implica que em todo o percurso ele tenha mantido essa aceleração 
constante, pois poderia em determinado momento estar com 12 m/s2, em outro 
6 m/s2 e em outro poderia até ter ficado com velocidade constante, adquirindo a 
aceleração média de 8 m/s2, no percurso total.
No Sistema CGS (centímetro, grama e segundo), temos:
unid.(Av) = centímetro/segundo (cm/s)
unid.(At) = segundo (s)
unid.(am) = centímetro/segundo ao quadrado (cm/s2)
No Sistema Internacional, temos:
unid.(Av) = metro/segundo (m/s)
unid.(At) = segundo (s)
unid.(am ) = metro/segundo ao quadrado (m/s2)
unid.(am) =
v(t)-v(t0)
t-to
Existem questões que dividem um deslocamento unidimensional em duas partes. 
Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com aceleração média 
constante alf adquirindo uma variação de velocidade Avt em um intervalo de tempo 
Atj e no segundo trajeto o móvel se desloca com aceleração média constante a? 
adquirindo uma variação de velocidade Av2 em um intervalo de tempo At;. Como 
devemos calcular a aceleração média em todo o percurso?
a„ m
Av
Da relação am = — , concluímos que a unidade de aceleração é a razão entre a 
unidade da velocidade e a unidade de tempo. Veja:
unid.(Av)
unid.(At)
a-=irte9 v(t0 + At) — v(t0) m At
Capítulo 03 - Movimento Retilíneo
aTotal ~aTotal -
Como Avj =aj Atj e Av2 = a2 -At2, teremos:
aTotal
aTotal -
aTotal -
aTotal - aTotal -
vTotal
aTotal=2‘Av-aTotal -
aTotal ~2‘
Prof. Pauuno Mouráo
At(ai +32)
2At
at • At + a2 • At2
Att + At2
2-Av
Av • a2 + Av • aj
ai a2
ai a2
Av-(a2+a1)
al • a2
al +a2
Conclusão: Em vez de fazer toda essa conta, você pode aplicar direto as expressões 
finais concluídas tanto para a condição de At2 = At2 quanto para Avt = Av2.
Existem outras questões que dividem um deslocamento unidimensional em três 
partes. Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com aceleração 
média constante a2, adquirindo uma variação de velocidade Av2 em um intervalo de 
tempo At. No segundo trajeto o móvel se desloca com aceleração média constante 
a2, adquirindo uma variação de velocidade Av2 em um intervalo de tempoAt2 e no
_ Avx + Av2
Av2 Av2 
ai a2
al +a2
2
Caso você perceba na questão que Av2 = Av2, teremos:
AvTotal a _AV1+Av2
A. dTotal “ A. , A.
AtTotai Atx + At2
Av2 
=------- , teremos:
a2
aTotal
Caso você perceba na questão que At2 = At2, teremos:
Aviotal a _ AV1+Av2
A. dTotal — A. , A.
At Total Atx + At2
Na condição que Av2 = Av2 = Av , teremos: 
_ Av + Av 
aT°ta| Av Av 
al a2 
2Av 
Av ■ (a2 + ) 
ai a2
AVi
Como Atj = —i- e At2 
ai
Na condição que Atx = At2 = At, temos: 
aj • At + a2 • At 
aTo,al“ At + At ’
Descobrindo os Segredos da FIsica
aTotal —aTotal -
aTotal
aTotal -
aTotal ~aTotal
aTotal
aTotal -
Prof. Paulino Mourão
Na condição que Atj = At2 = At3
aà ■ At + a2 • At + a3 • At 
At +At +At
_____________ 3-Av____________
Av ■ a2 ■ a3 + Av ■ aj^ • a3 + Av ■ a-i ■ a2 
ai ■ 32 ■ 33
Conclusão: Em vez de fazer toda essa conta, você pode aplicar direto as expressões finais 
concluídas tanto para a condição de At2 = At2 = At3 quanto para Av2 = Av2 =Av3.
terceiro trajeto o móvel se desloca com aceleração média constante a3, adquirindo 
uma variação de velocidade Av3 em um intervalo de tempo Aty Como devemos 
calcular a aceleração média em todo o percurso?
Caso você perceba na questão que At2 = At2 = At3, teremos:
AvTQtal a _ AV1+Av2+Av3 
AtTotal T°tal Atl + At2 + At3
Na condição que Avj = Av2 = Av3 = Av, temos: 
Av + Av + Av 
aTotal " Av Av Av 
— + — +— 
ai a2 a3
+ a2 ■+■ 33
3
Caso você perceba na questão que Av2 = Av2 = Av3, teremos:
AvTotal a Av1+Av2+Av3 
d Total —
At Total Atl + At2 + At3
.. Avi . Av, . Av,Como Atj =----- , At = —— e At3 = ——, teremos:
ai a2 a3
Avx + Av2 + Av3
aTotal = Avt ! Av2 ! Av3
al a2 a3
Como Avj = aj ■ At!, Av2 = a2 • At2 e Av3 = a3 • At3, teremos: 
a, ■ At, + a, • At, + a, ■ At, 
a™a'= At1+At2+At3--------
At, temos:
__________3-Av__________
Av(a2 • a3 + a^ ■ a3 + a2 ■ a2 j 
a^ • a2 • a3
_ . 3i • a2 • a3aTotal = 3 • AV • —--------- 1 ------------ r
Ava2•a3 + aT•a3 + 3^ • s2 J
a ,_3_______ al' a2 ‘ a3______
aTotal “ 5 ( \(a2 a3 +ax -a3 +ax -a2)
At(a^ + 32 +23) 
aTotal = o a+■ 3At
Capítulo 03 - Movimento Retiüneo
aTotal -aTotal -
aTotal -
aTotal
=> aTotal “aTotal -
aTotal -
Prof. Paulino Mourão
Existem outras questões que dividem um deslocamento unidimensional em n 
partes. Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com aceleração média 
constante a , descrevendo uma variação de velocidade Av1 em um intervalo de tempo 
Atr Já no segundo trajeto, o móvel se desloca com aceleração média constante a2, 
descrevendo uma variação de velocidade Av2 em um intervalo de tempo At2. No 
terceiro trajeto, o móvel se desloca com aceleração média constante a3, descrevendo 
uma variação de velocidade Av3 em um intervalo de tempo At3 e no enésimo trajeto o 
móvel se desloca com aceleração média constante an, descrevendo uma variação de 
velocidade Avn em um intervalo de tempo Atn. Como devemos calcular a velocidade 
média em todo o percurso?
Caso você perceba na questão que At2 = At2 = At3 = ... = Atn, teremos:
Av-i-otal a = Av1+Av2+Av3+... + Avn 
AtTotal T°tal At1+At2+At3+... + Atn
Avi
Como Ati =—- , At2 = 
ai
■^2-, At3 = e Atn = —’ -, teremos: 
a2 a3 an
Av-l + Av2 + Av3 +... + Avn
AVj , Av2 t Av3 ! [ Avn
al a2 a3 an
Como Avj = aj • At!, Av2 = a2 • At2, Av3 = a3 • At3 e Avn = an - Atn , teremos:
■ Atj + a2 ■ At2 + a3 • At3 +... + an • Atn
Atj + At2 + At3 +... + Atn
Na condição que At! = At2 = At3 =... = Atn = At, temos:
ax ■ At + a2 • At + a3 • At +... + an • At 
At + At + At +... + At 
At(ax + a2 + a3 +... + an)
n-At
t a^ + a2 + a3 + ... + an
aTotal = n
Caso você perceba na questão que Av3 = Av2 = Av3 = ... = Avn, teremos:
AvTotal a = Av1+Av2+Av3+... + Avn 
AtTotal T°tal Atl + At2 + At3 +... + Atn
Descobrindo os Segredos da Física
Na condição que Av3 = Av2 Av3 -... = Avn = Av, teremos:
aTotal ~
n
Onde n representa o número de divisões do percurso.
7. Aceleração instantânea
V(t)
v(t0>
t0+Át '—.—'
Prof. Pauuno Mourão
Logo, a derivada de uma função em um ponto é o coeficiente angular da reta 
tangente àquele ponto.
Reta tangente 
à curva
Av 
a= lim — 
At—>o At
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
dv
A aceleração instantânea nos dá uma informação mais precisa num determinado 
tempo t . Observe a figura: 
v(t)
n
aTotal - i i 7“
— + —+ — + ...H----
al a2 a3 an
Av + Av + Av +... + Av 
aTotal 2\v Av Av Av
al a2 a3 an
n-Av
A í 1 1 1 1Av ----+---- +------ F... +---
lal a2 a3 an
111 1—---- 1------ 1-----+... +----
aTotal al a2 a3 3n
a = lim V(to+AtHv(t°)
At—>0 At
Capítulo 03 - Movimento Retilíneo
Observe que:
dx
FUNÇÃO DA VELOCIDADE DO MRUV
Sabemos que:
v0=C (II)
H]
FUNÇÃO DA POSIÇÃO DO MRUV
Sabemos que:
dx vdt
Prof. Pauuno Mouráo
Substituindo a função da velocidade do MRUV, teremos:
Jdx = J(v0+at)dt
dv = adt
Escrevendo a integral indefinida (antiderivada) em ambos os lados da equação, 
teremos:
Escrevendo a integral indefinida (antiderivada) em ambos os lados da equação, 
teremos:
Jdv = a J dt
A função acima pode ser escrita da seguinte maneira: 
v = at + c (I)
Para determinar a constante de integração "c", faremos t = 0, instante no qual v = v0, 
logo:
Jdx = J vdt
Jdv = | adt
Como "a" é constante, pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração, 
assim:
Nota: A aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é dada por: 
a = |im (primeira derivada)
At—>o At dt
d2x
- (segunda derivada) 
dt2
v0 =a(o) + c
Substituindo (II) em (I), temos:
[y = at + v0| ou |v-v0
(função da velocidade do MRUV)
dv d
a =— = —
dt dt dt
Descobrindo os Segredos da Física
(I)
x0 =vo(o) (II)
ou
vm —
v(t)
v(t)
%
t/20 t
Como:
tt => X = xo +x = x0 +
X
Prof. Paulino Mourão
+ |a>
Substituindo (II) em (I), teremos:
v0 + v
2
x = x0 + vmt, teremos:
Vp+Vp+at
2
x-x0 =vot + |at2
Outra maneira de demonstrar a relação acima é por gráfico. 
Note que nesse movimento a velocidade média é dada por: 
x~xp v0 +v(t) 
t 2
x0+v0t + |at2
(função da posição do MRUV)
Como voea são constantes, podemos escrever:
jdx = Vpjdt + ajtdt
A função acima pode ser escrita da seguinte maneira:
x = v0t + ^at2 +c
Para determinar a constante de integração c, faremos t = 0, instante no qual x = xff 
logo:
(O)2 +c => x0 =c
x = Vpt + ^at2 +x0
(função da posição do MRUV)
Capítulo 03 - Movimento Retilíneo
EQUAÇÃO DE TORRICELLI DO MRUV
Sabemos que:
|t (Dx-x0 =tx = x0 +
e
(")v = v0 +at t =
2
X-X0 = X-X0
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA FlSICA
(II)
(UI)t =
Ax
(a2 -aj)
Prof. Paulino Mourão
OBSERVAÇÃO:
As equações demonstradas acima, só valem quando a aceleração for constante.
fol-Vz) 
(a2 -a2)
v2 = v02 +2a(x-x0) 
(Equação de Torricelli)
v0+v
2
v-v0
a
Substituindo (II) em (I), teremos: 
Vq+vY' 
2 A
v2-v0:
2a
v-v0 
a
v0 + v
2
Considere que dois carros iniciam uma corrida numa estrada retilínea, partindo 
de uma mesma posição, com velocidades iniciais iguais a v1 e v2 e com acelerações 
escalares constantes respectivamente iguais aa,e az. Considerando que eles atingem 
a linha de chegada simultaneamente, como devemos calcular o comprimento dessa 
pista de corrida?
Para o primeiro carro, temos que:
Ax = v1t + —a2t2 (I)
Para o segundo carro, temos que:
Ax = v2t + -|a2t2
Subtraindo membro a membro (I) e (II), teremos: 
0 = (vi -v2)t + -(a1 -a2)t2
2(V1~V2)
(a2 - a2)
Substituindo (III) em (I), teremos:
„ 2(V1-v2) 1 
V17T^T+Iai
Descobrindo os Segredos da Física
Ax =
Ax =
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA FÍSICA
2 2
n
2 2
n
2 2
n
n
d2 2
n
l)a)
Prof. Pauuno Mourào
(n-l)a^d
n
— ía + 2a + 3a + ... + (n- 
n x v
a1(v1—v2) 
(a2-al)
d 
= 2— n-a +
n
lí +> 
(a2 -al)
_2(V1 ~ V2 )' (Vla2 ~ V2al ) 
(a2 -al)
Considere um deslocamento unidimensional d dividido em n partes iguais e 
que ao final de cada parte a aceleração do móvel sofre um aumento a/n, onde a é 
sua aceleração inicial a partir do repouso do início desse percurso. Como devemos 
calcular a velocidade desse móvel após percorrer todo esse percurso?
Aplicando a equação