GAAL - 1a prova (2002 2) (3)

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas – ICEx
Departamento de Matemática
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
2o. Semestre de 2002 – 1a. Prova
03/12/2002 – 14:55-16:35
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1: Considere o sistema de equações nas variáveis x, y e z
x + y + 2z = a
x + by + z = 0
2x + y + 3z = 0
Discuta em função das constantes a e b, o que acontece com o sistema. Isto é decida quando o
sistema tem solução única, nesse caso ache a solução. Decida em que casos o sistema não tem
solução. Decida quando o sistema tem infinitas soluções, nesse caso descreva o conjunto solução.
Questão 2: Seja
A =
 3 2 4
4 3 6
4 3 7
 .
a) Calcule a inversa, se existir, da matriz A.
b) Encontre todas as soluções do sistema AX = B, onde
B =
 2
5
8
 .
Questão 3: Seja
A =

3 2 3 5
1 1 2 1
−2 −2 −3 −2
3 3 7 7
 .
a) Calcule detA.
b) Calcule det
(
3A4(At)−1
)
.
Questão 4: Seja A uma matriz quadrada singular.
a) Mostre que existe uma matriz B 6= 0 tal que AB = 0.
b) Mostre que existe uma matriz B 6= 0 tal que BA = 0.
A resolução da prova será colocada no site oficial de GAAL: http://www.mat.ufmg.br/gaal