Estatistica e Probabilidade unidade 2

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
ANÁLISE COMBINATÓRIA EANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Autor: Mestre Raimundo José Almeida Júnior
Revisor : Hugo Estevam De Sa les Câmara
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Agora começaremos nosso estudo sobre probabilidade . Para isso,
iniciaremos o material abordando um pouco sobre os métodos de resolução
de problemas de contagem, que é o objeto de estudo da análise
combinatória.
Após aprendermos a trabalhar com o Princípio Fundamental da Contagem e
com suas formulações subsequentes (permutação, arranjo e combinação),
iniciaremos o estudo da probabilidade, suas propriedades e técnicas de
cálculo. Fecharemos a unidade abordando o cálculo de probabilidade para
eventos complementares e de probabilidade condicional.
Todo o conteúdo desta unidade poderá ser aplicado na produção de
relatórios qualitativos e quantitativos, estudo de con�abilidade de um
processo de produção industrial, análise da qualidade de um serviço,
predição do comportamento de uma variável, dentre outras.
Bons estudos!
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Nesta primeira seção, trabalharemos com os princípios de contagem, cujo
foco é determinar o número de possíveis ocorrências de determinado
fenômeno. Começaremos nosso estudo com o Princípio Fundamental da
Contagem e, em sequência, trabalharemos com as fórmulas e resultados que
nos ajudarão a resolver problemas de contagem de modo muito mais rápido
e prático. Vamos lá!
Princípio Fundamental da Contagem
Considere uma sequência de dois eventos. O evento 1 pode ocorrer de 
maneiras e o evento 2 de maneiras. Então, juntos, os eventos podem
ocorrer de maneiras.
Para ilustrar, considere o seguinte exemplo:
Um casal de pais deseja escolher duas atividades para que seu �lho realize no
turno oposto ao horário escolar. A primeira atividade deve ser um esporte e a
segunda deve ser uma atividade cultural ou de lazer. A Figura 2.1 ilustra as
Princípio Fundamental daPrincípio Fundamental da
ContagemContagem
m
n
m n
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três opções de atividades ligadas ao esporte e as duas opções ligadas a
lazer/cultura.
Quantas possibilidades de pares de atividades o casal dispõe para
escolher?
A �gura a seguir corresponde a um diagrama, chamado de diagrama de
árvore, que indica todas as possibilidades para os pares de atividades
possíveis:
Figura 2.1 - Opções para esporte, cultura e lazer 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Na Figura 2.2 podemos observar que existem 6 possibilidades de combinação
de pares de atividades. Uma outra forma de obter esse resultado consiste em
aplicarmos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Para isso, o primeiro
passo é veri�carmos o número de possibilidade para cada um dos 2 eventos
e, por �m, multiplicamos os números para obtenção do resultado �nal:
Figura 2.2 - Diagrama de árvore para contagem das possíveis combinações
entre esporte e cultura e lazer 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 2.3 - Contagem das combinações 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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praticar
Vamos Praticar
EXERCÍCIO 1
Uma sala tem 5 portas:
1 - De quantas maneiras distintas é possível entrar e sair da sala?
Solução:
1. O número de possibilidades para entrada e saída é o mesmo: 5 portas.
Logo, pelo PFC, temos:
Figura 2.4 - Quantidade de portas de uma sala 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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2. De quantas maneiras distintas é possível entrar e sair da sala sem utilizar a
mesma porta?
Solução:
2. O número de possibilidades para entrada é 5. Uma vez que a saída não
pode ser realizada pela mesma porta de entrada, então temos apenas 4
possibilidades para saída. Logo, pelo PFC, temos:
Figura 2.5 - Número de possibilidades 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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praticar
Vamos Praticar
EXERCÍCIO 2
A partir de 2019, todas as placas veiculares brasileiras tiveram que ser atualizadas
para um novo padrão, formado por uma sequência de 3 letras, seguidas de 1
algarismo, mais 1 letra e mais 2 algarismos, conforme modelo a seguir.
Figura 2.6 - Número de possibilidades 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Quantas placas podem ser feitas, assumindo que os três algarismos precisam ser
distintos e a quarta letra da placa precisa ser a uma das 3 primeiras letras do
alfabeto?
Solução:
A tabela a seguir indica quantas possibilidades existem para cada um dos
caracteres da placa:
Caractere
Nº de
possibilidades
Pois...
Letra 1
26
possibilidades
O alfabeto tem 26 letras.
Letra 2 26 O alfabeto tem 26 letras.
Figura 2.7 - Modelo de uma placa de carro 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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possibilidades
Letra 3
26
possibilidades
O alfabeto tem 26 letras.
Algarismo
1
10
possibilidades
0, 1 , 2, 3, 4, 5 ,6 , 7, 8 ,9.
Letra 4
3
possibilidades
Precisa ser uma das 3 primeiras
letras do alfabeto.
Algarismo
2
9
possibilidades
Uma vez que não poderemos
repetir algarismos e algum deles
já foi utilizado no 4º caractere.
Algarismo
3
8
possibilidades
Uma vez que não poderemos
repetir algarismos e dois deles já
foram utilizados no 4º e 6º
caractere.
Quadro 2.1 - Número de possibilidades por caractere 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observe abaixo uma imagem que ilustra o número de possibilidades por
caractere.
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Aplicando o PFC, temos:
 possibilidades de
placas.
praticar
Vamos Praticar
Uma �la para atendimento num posto médico deve ser formada respeitando-se as
prioridades:
1. idosos, grávidas e pessoas com crianças de colo;
2. adultos com crianças (que não necessitam de colo);
Figura 2.8 - Aplicação do Princípio Fundamental da ContagemFonte:
Elaborada pelo autor.
26 × 26 × 26 × 10 × 3 × 9 × 8    =    37.964.160
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3. demais pessoas.
Numa determinada manhã, 7 pessoas (três adultos sem �lhos, uma gestante, um
idoso, uma mulher com criança de colo e um homem com criança que não necessita
de colo) precisam ser atendidas. De quantas maneiras a �la pode ser formada,
respeitando-se as prioridades estabelecidas?
a)   42
b) 36.
c) 27
Figura - Pessoas para compor uma �la 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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d) 64
e) 81
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Antes de iniciarmos nosso estudo das permutações, combinações e arranjos,
vamos relembrar a de�nição de fatorial, que será muito utilizada nesta
unidade. O fatorial de um número $n$ (maior que 1) é dado pelo produto dos
 primeiros números naturais. Notação: .
Por exemplo:
Exercício Resolvido:
Calcule o valor de .
Solução:
Como estratégia, desenvolveremos o numerador da fração para obtermos um
fator que se cancele com o denominador:
Permutações,Permutações,
Combinações e ArranjosCombinações e Arranjos
n n!
3! = 3 × 2 × 1 = 6
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
7!
5!
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Agora que você já sabe operar com o fatorial, vamos às de�nições principais
do capítulo. 
= = 7 × 6 = 42.
7!
5!
7 × 6 × 5!
5!
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1. PERMUTAÇÃO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de
possibilidades de formação de uma sequência (�la).
Qual a fórmula?
Permutação de elementos:
Exemplo:
Nº de possibilidades de formação de uma �la de 5
pessoas: possibilidades   Nº de
anagramas da palavra RENATO: 
anagramas
2. ARRANJO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de diferentes
�las que podem ser formadas com elementos
em um conjunto com elementos. Neste caso, a
ordem da escolha dos elementos importa.
Qual a fórmula?
Arranjo de elementos tomados a :
Exemplo:
Nº de possibilidades de formação de uma �la de 3
pessoas, extraídas de um conjunto de 5 pessoas:
 possibilidades
3. COMBINAÇÃO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de
subconjuntos com elementos que podem ser
n
= n!Pn
5! = 120
6! = 720
n
m
m n n
=An
m
n!
(n − p)!
= = 60A3
5
5!
2!
n
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Quadro 2.2 - Técnicas de contagem 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Agora, observe os exemplos a seguir para �xação das de�nições de
permutação, arranjo e combinação.
Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados a partir da palavra NÚMEROS?
Resposta: A resposta consiste no número de permutações de um conjunto de
7 elementos, logo
Exemplo 2:
Quantos anagramas possui a palavra NÚMEROS, sendo que a primeira letra é
uma consoante?
Resposta: Observe que existem 4 possibilidades para a primeira letra (N, M, R
e S). Uma vez escolhida a primeira letra, as demais devem ser permutadas
para formação dos anagramas ( ). Pelo PFC, temos:
formados a partir de um conjunto com 
elementos. Neste caso, a ordem da escolha dos
elementos não importa.
Qual a fórmula?
Combinação de elementos tomados a :
Exemplo:
Nº de trios que podem ser formados por uma
turma de 8 estudantes: 
possibilidades
m
m n n
=Cn
m
m!
n! (m − n)!
= = 56C3
8
8!
3!5!
= 7! = 5040 anagramas.P7
P6
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Exemplo 3:
Quantas senhas de 4 dígitos podemos formar com os caracteres A, B, C, D, E e
F?
Resposta: Observe que a senha ABCD é diferente da senha DCBA, ou seja, a
ordem da sequência importa na contagem. Sendo assim, a resposta consiste
no arranjo de 6 tomados 4 a 4:
Exemplo 4:
Um torneio de tênis de mesa possui 18 competidores, no qual cada
competidor joga contra todos os outros. Sendo cada partida disputada por 2
jogadores, quantas partidas teremos no torneio?
Resposta: Sendo A um jogador e B outro jogador, a disputa A B e a disputa B
A deve ser computada como uma só. Dessa forma, a ordem de escolha não
interfere no resultado. Sendo assim, o número de disputas será dado pelo
número de combinações de 18 tomados 2 a 2:
4 × = 4 × 6! = 4 × 720 = 2800 anagramas.P6
= = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 senhas.A4
6
6!
(6 − 4)!
6!
2!
×
×
= = = = 153 partidas.C2
18
18!
2! (18 − 2)!
18!
2!16!
18 × 17
2
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praticar
Vamos Praticar
Anagramas correspondem às palavras formadas a partir da permutação entre as
letras de uma outra palavra. Por exemplo, OLAMARE é um anagrama da palavra
AMARELO. Sendo assim, qual a quantidade de anagramas da palavra RAFAELA?
a) 760
b) 840.
c) 940
d) 1024
e) 556
reflita
Re�ita
Vários exercícios que podem ser solucionados pela análise
combinatória podem ser resolvidos pelo Princípio
Fundamental da Contagem OU pelas fórmulas de permutação,
arranjo e combinação. Cabe a você veri�car qual a forma mais
simples de resolver cada um deles.
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Iniciaremos, agora, o nosso estudo sobre probabilidades. Começaremos a
trabalhar os conceitos iniciais vinculados a essa teoria. Na sequência, faremos
um resumo das principais propriedades decorrentes do conceito de
probabilidade. Na última seção, fecharemos nossa unidade com o conceito de
probabilidade condicional.
Conceito de Probabilidade
Ao trabalharmos com probabilidade, estaremos tratando de experimentos
nos quais desejamos mensurar a chance da ocorrência de algum fato. Nesse
contexto, direcionaremos nosso estudo para os eventos aleatórios.
Um experimento aleatório é aquele cujo resultado não pode ser previsto
antes da realização e qualquer um tem a mesma chance de acontecer. Por
exemplo, lançar um dado é um experimento aleatório (cada resultado tem
igual chance de acontecer). Já o experimento realizar uma prova sem estudar
não é aleatório (uma vez que a chance de passar é diferente da chance de
Conceito e Cálculo deConceito e Cálculo de
ProbabilidadesProbabilidades
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perder). Experimentos que não são aleatórios são chamados de
experimentos determinísticos .
Antes de entrarmos no conceito de probabilidade, vamos precisar
compreender duas de�nições preliminares: espaço amostral e evento. 
EVENTO
é qualquer subconjunto do espaço amostra.
Por exemplo: 
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Quadro 2.3 - Exemplo de espaço amostral e evento 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Dado um experimento, existem alguns tipos de eventos que possuem
nomenclatura especial. Por exemplo, no experimento do lançamento de um
dado, o evento sair número menor que 7 é dado por
 Nesse caso, dizemos que estamos tratando de
um evento certo . Por outro lado, o evento sair o número 9 é vazio,
, logo é chamado de evento impossível .
Em um experimento, dizemos que dois eventos e são complementares
se
1.  e
2. 
Por exemplo, no lançamento do dado, o evento sair número par e o evento
sair número ímpar são complementares, uma vez que a união dos dois
eventos resulta em todo o espaço amostral e que a interseção desses eventos
é vazia.
Dado um experimento, considere o evento contido no espaço amostral .
A probabilidade de ocorrência de é dada por
Experimento lançar um dado
Espaço amostral
Eventos
Sair um número par
Sair um número
menor que 5
Sair o número 6
Ω = {1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6}
A = {2 ,  4 ,  6}
B = {1 ,  2 ,  3 ,  4}
C = {6}
A = {1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6} .
B = {   }
A B
A ∪ B = Ω
A ∩ B = {   } .
A Ω
A
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em que signi�ca o número de elementos de e signi�ca o
número de elementos de .
Exemplo:
Uma urna contém três bolas verdes, duas bolas azuis e cinco bolas cinzas.Ao
retirarmos, aleatoriamente, uma bola dessa urna, qual a probabilidade de não
sair uma bola verde?
Solução: 
Logo, .
P (A) =  ,
# (A)
# (Ω)
# (A) A # (Ω)
Ω
Figura 2.9 - Possibilidades de bolas a serem sorteadas 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ω = {V 1 ,  V 2 ,  V 3 ,  A1 ,  A2 ,  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 ,  C5}
A = {A1 ,  A2 ,  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 ,  C5}
P (A) = = = 0, 7 = 70%
#(A)
#(Ω)
7
10
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Propriedades da Probabilidade
A seguir, seguem algumas propriedades da probabilidade, que podem ser
úteis em diversas situações e na resolução de problemas.
1. Se , então .
2. Se , então .
3. Para qualquer evento , temos: .
4. Se e são eventos complementares, então .
5. Regra da Adição: dados eventos e , temos sempre que
.
Exemplo resolvido:
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade que o número seja
par ou múltiplo de 3?
Solução:
Considere os dois eventos (sair um número par) e (sair um múltiplo de
3). Observe que   estamos procurando a probabilidade associado ao evento
. Sendo assim,
e
Logo, .
praticar
V P ti
A = {   } P (A) = 0
A = Ω P (A) = 1
A 0 ≤ P (A) ≤ 1
A B P (A) + P (B) = 1
A B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
A B
A ∪ B
A = {2 ,  4 ,  6 ,  8 ,  10 ,  12 ,  14 ,  16 ,  18 ,  20}
B = {3 ,  6 ,  9 ,  12 ,  15 ,  18}  .
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = + − =10
20
6
20
3
20
13
20
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praticar
Vamos Praticar
Qual a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados diferentes, obter
soma igual a 8?
a) 5/36
b) 1/12
c) 5/12
d) 1/15
e) 1/4
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A probabilidade condicional de um evento é a probabilidade obtida com a
informação adicional de que outro evento já tenha ocorrido. 
denota a probabilidade condicional de ocorrência do evento B, dado que já
ocorreu o evento . Para se calcular uma probabilidade condicional,
utilizamos a fórmula a seguir.
Exemplo resolvido:
Qual a chance de extrair uma carta de um baralho comum (de 52 cartas) e
obter um 3, sabendo que ela é uma carta de copas?
Solução:
Considere os eventos (sair 3) e (sair copas). A probabilidade procurada é
. Observe que a probabilidade , pois só existe um
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
P(A | B)
A
P(A | B) = .
P (A ∩ B)
P (B)
A B
P(A | B) P (A ∩ B) = 1
52
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único 3 de copas dentre as 52 cartas. A probabilidade , pois
existem 13 cartas de copas dentre as 52. Sendo assim,
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a
probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário, os eventos são ditos
dependentes . Para o caso de eventos independentes, a fórmula da
probabilidade condicional pode ser reescrita como
uma vez que 
A fórmula anterior é bastante conhecida por Regra da Multiplicação. Ela deve
ser aplicada apenas quando estamos falando de eventos independentes.
Nesses casos, devemos calcular cada probabilidade separadamente e
multiplicar as suas respostas.
Exemplo resolvido:
Uma caixa tem 20 peças, sendo 8 delas peças do tipo X e 12 delas peças do
tipo Y. Se retirarmos duas peças, ao acaso e com reposição , qual a
probabilidade de se obter duas peças do tipo X?
Solução:
Como estamos tratando de um problema que envolve a reposição da primeira
peça sorteada (antes do sorteio da segunda peça), podemos a�rmar que
estamos trabalhando com eventos independentes. Dessa forma, a
probabilidade de que sejam retiradas duas peças do tipo X é dada pelo
produto da probabilidade de se retirar X no primeiro momento por ela
mesmo:
P (B) = 13
52
P(A | B) = = = .
P (A ∩ B)
P (B)
1
52
13
52
1
13
P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) ,
P(A | B) = P (A) .
P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) = ⋅ = = .
8
20
8
20
64
400
4
25
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praticar
Vamos Praticar
Suponha que tenhamos um lote de 30 corpos de prova de concreto, dos quais 26
passaram pelo teste de tração e 4 foram reprovados. Se dois desses corpos de
prova forem selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que ambos tenham
sido aprovados no teste?
a) 75/87
b) 25/87
c) 45/87
d) 65/87
e) 55/87
saiba mais
Saiba mais
Para saber mais sobre o conteúdo desta
unidade, você pode assistir ao vídeo através
do link abaixo. Nele, o professor aparece
resolvendo uma sequência de exercícios
sobre cálculo de probabilidades, nos quais
são aplicados os métodos de contagem e as
fórmulas trabalhadas nesta unidade.
ASS I ST IR
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Introdução à Estatística - Atualização da
Tecnologia - Capítulo 4
Mario F. Triola
Editora: LTC
ISBN: 9788521622062
Comentário: Neste livro você encontrará outros
exemplos e aplicações de todo o conteúdo trabalhado
na unidade, além de inúmeros exercícios para
fortalecer e �xar seu aprendizado.
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FILME
Quebrando a Banca
Ano: 2008
Comentário: Esse �lme conta a história de um grupo
de ex-estudantes do M.I.T. que se juntaram para
elaborar estratégias e truques utilizando a matemática
e a estatística com o objetivo de trapacear em jogos de
cartas.
É um �lme muito interessante e enche os olhos de
qualquer pessoa que gosta de matemática.
TRA ILER
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conclusão
Conclusão
Parabéns por ter chegado até aqui! Isso mostra que você está com vontade de
aprender o conteúdo. Você já está apto a resolver problemas de análise
combinatória e cálculo de probabilidades, aplicar o Princípio Fundamental ou
as fórmulas de permutação, combinação e arranjo na solução de problemas
de contagem, além de aplicar as propriedades e as fórmulas da Regra da
Adição e da Regra da Multiplicação.
Agora é com você, não esqueça de exercitar todos os tópicos e tirar todas as
suas dúvidas. Boa sorte!
referências
Referências
Bibliográ�cas
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências . São
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade
para engenheiros . Rio de Janeiro: LTC, 2003.
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TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia, v. único.
11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
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