2023313_22947_AULA 03 - OPER-FUNÇÕES

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MATEMÁTICA
Ensino Médio, 1º Ano
Função: conceito
Funções e suas 
representações gráficas
Um pouco da história
O conceito de função, presente nos mais diversos
ramos da ciência, teve sua origem na tentativa de
filósofos e cientistas em compreender a realidade e
encontrar métodos que permitissem estudar e
descrever os fenômenos naturais. Ao longo da
História vários matemáticos contribuíram para que
se chegasse ao conceito atual de função.
Ao matemático alemão Leibniz (1646-1716) atribui-
se a denominação função que usamos hoje.
A representação de uma função pela notação (x)
(lê-se:  de x) foi atribuída ao matemático suíço
Euler (1707-1783), no século XVII.
O Matemático alemão Dirichlet (1805-1859)
escreveu uma primeira definição de função muito
semelhante àquela que usamos atualmente.
Imagem : Christoph Bernhard 
Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c. 
1700 / Herzog-Anton-Ulrich-Museum, 
Braunschweig / Public Domain.
Aplicação do conceito
O conceito de função é um dos mais importantes
da Matemática e ocupa lugar em destaque em
vários de seus ramos, bem como em outras áreas
do conhecimento. É muito comum e conveniente
expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais,
etc. por meio de funções.
A noção intuitiva de função
Situação 1
João vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Veja as
condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por
consulta num certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por
consulta num certo período.
Dependendo da necessidade, João fará 5, 6 ou 7 consultas. Qual o plano
mais econômico para ele em cada situação?
Observe que o gasto total de cada plano é dado em função do número
de consultas dentro do período preestabelecido.
Às vezes, a polícia usa a evidência de pegada
para estimar a altura de um suspeito e a
altura é incluída em uma descrição que se
torna parte dos “procurados”. Por volta de
1877, o antropólogo Paul Topinard coletou
medidas de pé/altura e as usou para
desenvolver a seguinte regra: Estime a altura
de uma pessoa dividindo o comprimento de
seu pé por 0,15. (Um cálculo equivalente é
estimar-se a altura multiplicando-se o
comprimento do pé por 6,67.) Tente isso
você mesmo – meça o comprimento de seu
pé e, então, divida-o por 0,15 (ou
multiplique-o por 6,67) para obter sua altura
estimada. O resultado é razoavelmente
preciso?
Um pequeno experimento:
Vamos aferir o tamanho do pé e a altura de
alguns colegas e verificar se há alguma relação
entre essas grandezas.
Vamos usar o Excel para compilar nossos dados:
VAMOS LÁ...
Um pequeno experimento:
Que conclusão chagamos após a realização 
desse experimento?
Situação 2
Na cidade do Recife, de acordo com
valores em vigor desde 01/01/2015, um
motorista de táxi cobra R$ 4,32 de
bandeirada (comum) mais R$ 2,10 por
quilômetro rodado (comum). Sabendo que
o preço a pagar é dado em função do
número de quilômetros rodados, calcule o
preço a ser pago por uma corrida em que
se percorreu 22 quilômetros?
Imagem: The Wordsmith / Creative 
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
Situação 3
O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina e os seus
respectivos preços a pagar em um posto de combustível na cidade de Itapetim:
Quantidade 
de litros (l)
Preço 
a pagar (R$) O preço a pagar é dado em função
da quantidade de litros que se coloca
no tanque, ou seja o preço depende
do número de litros comprados.
1
2
3
.
.
.
50
x
3,37
6,74
10,11
.
.
.
168,50
3,27x
preço a pagar (p) = R$ 3,27 vezes o número de litros (x) comprados
p = 3,27.x (lei da função ou fórmula matemática da função)
Agora, responda:
a) Qual é o preço de 10 litros de
gasolina?
b) Quantos litros de gasolina podem
ser comprados com R$ 43,81?
Situação 4
A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um terreno quadrado (l), em
metros, e o seu perímetro (P), também em metros.
Observe que o perímetro do quadrado é dado em
função da medida do seu lado, isto é, o perímetro
depende da medida do lado. A cada valor dado
para a medida do lado corresponde um único
valor para o perímetro.
perímetro (P) = 4 vezes a medida do lado (l ) ou
P = 4.l
Como o perímetro depende da medida do lado,
ele é a variável dependente, a medida do lado é a
chamada variável independente.
Agora, responda:
a) Qual o perímetro de um terreno quadrado cuja medida do lado é 3,5 m?
b) Qual a medida do lado do terreno quadrado cujo perímetro é de 22 m?
Medida 
do lado (l)
Perímetro (P)
1 4
2 8
2,5 10
3 12
4,1 16,4
...
...
l 4l
l
l
Situação 5
Uma maneira útil de interpretar uma função é considerá-la como uma
máquina, onde os números que entram nessa máquina são processados ou
calculados. Os números que saem da máquina são dados em função dos
números que entram. Observe a seguir uma “máquina” de dobrar números.
Representando o número de saída n e o número de entrada x, temos:
n = 2.x (fórmula matemática da função)
Agora, invente uma “máquina de triplicar e somar 1”, baseada no exemplo
acima, e escreva a fórmula matemática dessa função.
- 3 4,3 x21
2 - 64 8,6 2x
Máquina 
de dobrar
A noção de função por meio de conjuntos
1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão os
números inteiros e em B, outros.
Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B
Note que:
- todos os elementos de A têm correspondente em B;
- a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.
-2∙
-1∙
0 ∙
1 ∙
2 ∙
∙ -8
∙ -6
∙ -4
∙ -3
∙ 0
∙ 3
∙ 6
A B
2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada
elemento de A é menor do que um elemento de B:
Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A
correspondem três elementos de B, e não apenas um único elemento de B.
0 ∙
4 ∙
∙ 2
∙ 3
∙ 5
A B
3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A
aos elementos de igual valor em B.
Observe que há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse
caso, não temos uma função de A em B.
-4∙
-2∙
0 ∙
2 ∙
4 ∙
∙ 0
∙ 2
∙ 4
∙ 6
∙ 8
A B
Definição e notação
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação
que indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único elemento
y do conjunto B.
Usamos a seguinte notação:
“A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função .”
A B

: A → B
x f(x)
Domínio, contradomínio e conjunto imagem
O diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B.
Vamos determinar:
a) D(f) b) CD(f)
D(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B
c) Im (f) d) f(3)
Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6
e) f(5) f) x para f(x) = 4
f(5) = 10 x = 2
2∙
3 ∙
5 ∙
∙ 0
∙ 2
∙ 4
∙ 6
∙ 8
∙ 10
A B
Uma pausa para um vídeo...
No link https://www.youtube.com/watch?v=UhIbDZaObfQ vamos assistir um
vídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de
Campinas (Unicamp).
Vídeo: Carro Flex
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Recordar conceitos básicos relacionados a funções;
2. Exemplificar o uso de funções no cotidiano.
Sinopse
Frentista ajuda cliente a descobrir quais são as proporções de álcool e gasolina
que devem ser abastecidas em seu carro flex para que o custo tenha um valor
preestabelecido.
https://www.youtube.com/watch?v=UhIbDZaObfQ
Função e gráfico
Coordenadas cartesianas
A forma de localizar pontos no plano foi imaginada por René
Descartes (1596-1650), no século XVII. O sistema cartesiano é
formado por duas retas perpendiculares entre si e que se cruzam
no ponto zero. Esse ponto é denominado origem do sistema
cartesiano e é frequentemente denotado por O. Cada reta
representa um eixo e são nomeados Ox e Oy. Sobrepondo um
sistema cartesiano e um plano, obtém-se o um plano
cartesiano, cuja principal vantagem é associar a cada
ponto do plano um par de números reais. Assim, um ponto
A do plano corresponde a um par ordenado (m, n) com m
e n reais.O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e o
eixo vertical Oy, de eixo das ordenadas. Esses eixos
dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
Imagem: Frans Hals / Portrait of 
René Descartes, c. 1649-1700 / 
Louvre Museum, Richelieu, 2nd 
floord, room 27 Paris / Public 
Domain.
y
x
1º Q
0
Eixo das ordenadas
Eixo das
abscissas
2º Q
3º Q 4º Q
m
n A (m,n)
Gráfico de função
O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham x
pertencente ao domínio da função  e y = f(x).
Reconhecimento do gráfico de uma função
Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cada
elemento do domínio existe apenas um único correspondente no
contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular ao
eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.
y
x
y
x
y
x
Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox
intercepta o gráfico em um único ponto;
portanto, o gráfico representa uma
função de x em y.
Existem retas perpendiculares ao eixo Ox
que interceptam o gráfico em mais de
um ponto; portanto, o gráfico não
representa uma função de x em y.
Existem retas perpendiculares ao eixo Ox
que interceptam o gráfico em mais de
um ponto; portanto, o gráfico não
representa uma função de x em y.
Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Domínio e imagem a partir do gráfico
x
y
a b
f(b)
f(a)
Domínio: a  x  b ou [a, b]
Imagem: f(a)  x  f(b) ou [f(a), f(b)]
Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Todos os dias nos deparamos com notícias do tipo:
•Dólar fecha em queda após quatro altas seguidas;
•Mercado prevê mais inflação, queda maior do PIB e
nova alta dos juros;
•Com mercado de carros novos em queda, cresce a
venda de veículos novos;
•Previsão de inflação para o ano continua subindo;
•Agência aprova novas taxas, e conta de luz vai subir
em todo o país.
Função crescente e decrescente
Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Função crescente Função decrescente
quando o valor de y 
aumentar conforme o de x 
aumentar, temos uma 
função crescente.
quando o valor de y 
diminuir conforme o de x 
aumentar, temos uma 
função decrescente.
Matemática, 1º Ano, Função: conceito
1) A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4 e é constante
para x ≥ 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é
2) Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [–5, 6].
Essa função é decrescente em
a) [– 5, – 3] U [3, 5]
b) [– 3, 0] U [0, 3]
c) [– 3, – 1] U [4, 6]
d) [– 3, 0] U [5, 6]
e) [– 1, 2] U [2, 4]
Imagem: SEE-PE
Imagem: SEE-PE
Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permite que o filho comece
30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dado a seguir:
a) Pelo gráfico, como é possível dizer
quem ganhou a corrida e qual foi a
diferença de tempo?
O pai ganhou a corrida, pois ele
chegou aos 100 m em 14 s e o filho,
em 17 s; a diferença de tempo foi de
3 s.
b) A que distância do início o pai
alcançou seu filho?
Cerca de 70 m.
5 10 15
20
40
60
80
100
Distância (m)
Tempo (s)
0
c) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem?
Cerca de 10 s.
Imagem: JC Santos/ Public Domain.
Entendemos por par ordenado um conjunto de dois
elementos, sendo:
Produto cartesiano:
PAR ORDENADO (x,y)
a,b( ) = c,d( )Ûa= c eb= d
A X B = {(X,Y)/ X A e Y B}Î Î
Exemplo:
Dados os conjuntos A={2, 3} e B={1, 3, 5}, teremos: 
A x B ={(2, 1),(2, 3),(2, 5),(3, 1),(3, 3), (3, 5)}
primeiro elemento é do conjunto A e o 
segundo é do B.
Essa forma de representação é denominada forma 
tabular.
Forma gráfica:
A x B = {(2, 1),(2, 3), (2, 5), (3, 1),(3, 3),(3, 5)} {(1, 2), (3, 2), (5, 2),(1, 3), (3, 3), (5, 3)}
A = {2, 3} e B = {1, 3, 5}
B x A =
0 2 3
1
3
5
. .
.
..
.
(2, 1)
(2, 3)
(2, 5)
(3, 1)
(3, 3)
(3, 5)
0 3 5
2
3
. .
..
(3, 2)
(3, 3)
(5, 2)
(5, 3)
1
.
.
(1, 3)
(1, 2)
Y
X
Y
X
{(2, 2), (2, 4),(2, 5),
Seja A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos:
A x B =
Chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto 
cartesiano A x B.
(2, 6),(2, 7),(2, 8),(2, 9),(3, 2),(3, 4),(3, 5),
(3, 6), (3, 7),(3, 8), (3, 9), (4, 2),(4, 4),(4, 5),(4, 6),(4, 7), (4, 8),(4, 9)}
Chamemos uma relação binária R do produto cartesiano A x B, em 
que y é o consecutivo do dobro de x.
R= {(2, 5),
A equação y = 2x + 1 é a Lei da relação R.
(3, 7), (4, 9)}R = {(X,Y)/ A X B/ Y = 2X+1}Î
• 2
• 3
• 4
• 6
A B
A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
R= {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}
• 2
• 4
• 5
• 7
• 8
• 9
D = {2, 3, 4} são os primeiros 
elementos da relação R.
CD = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são os 
elementos do conjunto B.
Im = {5, 7, 9} são os elementos 
do conj. B que fazem parte da 
relação.
D = domínio
CD = contradomínio Im = imagem
A relação R = {(x,y)/ A x B/ y = 2x+1} em diagramas de flechas.Î
Exemplo:
• 1
• 3
• 4
A B
A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9}
R= {(3, 2), (4, 3)}
• 2
• 3
• 5
• 9
D = {3 , 4} são os primeiros
elementos da relação R.
CD = {2, 3, 5, 9} são os elementos 
do conjunto B.
Im = {2, 3} são os elementos do
conj. B que fazem parte da relação.
D = domínio
CD = contradomínio
Im = imagem
• 7
R
A relação R = {(x,y)/ A x B/ y = x- 1} em diagramas de flechas.Î
A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9}
R= {(3, 2), (4, 3)}
0 2 3
1
3
9
.
.
(3, 2)
(4, 3)
Y
X4
2
Função é uma relação binária em que cada elemento x do conjunto
A corresponde a um único elemento y do conjunto B.
f: A → B lê-se: f é função de A em B.
Sejam A e B conjuntos não vazios.
Exemplos:
• 1
• 3
• 4
A B
• 2
• 3
• 5
a)
R1 é uma função de A em B, 
pois cada elemento do 
conjunto A corresponde a 
um único elemento do 
conjunto B. 
R1
y = f(x) lê-se: y é função de x, com x A e y B.Î Î
• 1
• 3
• 4
A B
• 2
• 3
• 5
b)
R2 é uma função de A em B, 
pois cada elemento do 
conjunto A corresponde a um 
único elemento do conjunto B. 
R2
• 1
• 3
A B
• 2
• 3
• 5
c)
R3 não é uma função de A em 
B, pois o elemento 3 do 
conjunto A corresponde a dois 
elementos do conjunto B. 
R3
• 3
A B
• 2
• 3
• 5
d)
R4 não é uma função de A em 
B, pois o elemento 3 do 
conjunto A corresponde a três 
elementos do conjunto B. 
R4
• 1
• 3
A B
• 2
• 3
• 5
e)
R3 não é uma função de A em 
B, pois o elemento 4 do 
conjunto A não corresponde a 
um elemento do conjunto B. 
R5
• 4
• .
Quais diagramas representam funções?
a)
• 8
• 7
• 6
• 9
• 8
• 7
b)
• –1
• 2
• 4
• 1
• 3
c)
• 3
• 3
d)
• 6
• –12
• 12
e)
• 4
• 7
• 2
• 8
• 3
f)
• –2
• –3
• –1
• 0
• 0
2
A B A B A B
A B A B A B
Sim Não Sim
Não Sim Não
Sejam os conjuntos:
A= {–1, 0, 1, 2, 3} e B= {–3, –2, –1, 0, 1, 2} e a relação
R= {(–1, –3), (0, –2), (1, –1), (2, 0), (3, 1)}
e
• –1
• 0
• 0
• 2
R
• 1
• 2
• –3
• –2
• –1
• 1
A B
• 3
R = {(x,y)/ A x B/ y = x – 2}Î
• 1
• 3
• 4
A B
• 2
• 3
• 5
Considerando uma função f: A→B, temos:
f
D(f) = A lê-se: o domínio da função f é igual ao conjunto A.
CD(f) = B lê-se: o contradomínio da função f é igual ao conjunto B.
Im(f) = {2, 3} lê-se: o conj. imagem da função f está contido no CD.
D(f) = {1, 3, 4}
CD(f) = {2, 3, 5}
Im(f) = {2, 3}
–2.32 –3–2x2 –3 =
a) Considerando a função f(x)= x + 2, temos:
f:(1) = 1 + 2 = 3 (a imagem de 1 pela função f é f(1) = 3)
f:(–2) = –2 + 2 = 0 (a imagem de –2 pela função f é f(– 2) = 0)
b) Considerando a função f(x)= –2x2 – 3, temos:
f:(3) = = –2.9 –3
(a imagem de 3 pela função f é f(3) = – 21)
= –18 –3 = –21
f:(–1) = –2.(–1)2 –3
(a imagem de –1 pela função f é f(–1) = – 5)
= –2.1 –3 = –2 –3 = –5
x + 2f:(x) =
f:(x) = x + 2
f:(x) =
f:(x) = –2x2 –3 =
Exemplo: Dados os conjuntos A= {–1, 0, 1} e B= {–1, 1, 2, 3}, determinar 
a função f:A→B definida pela lei y = 2x +1.
• –1
• 0
• 1
A B
• –1
• 1
• 2
f
• 3
x= –1
y= 2.(–1) + 1
y = –2+1
y= – 1
x= 0
y= 2.0 + 1
y = 0 +1
y= 1
x= 1
y= 2.1 + 1
y = 2 +1
y= 3
OBS: Cada elemento de A corresponde 
apenas a um elemento em B.
FUNÇÃO INJETORA
Seja f uma função de A em B (f:A B). Se para quaisquer elementos 
distintos do conjunto A (x1 ≠ x2) correspondem elementos diferentes do 
conjunto B (y1 ≠ y2), dizemos que a função é injetora.
®
FUNÇÃO SOBREJETORA
Seja f uma função de A em B (f:A→B). Dizemos que f é uma função 
sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B.
Exemplo: Dados os conjuntos A= {–1, 1, 2} e B= {1, 7}, determinar
a função f:A→B definida pela lei y= 2x2 –1.
• –1
• 1
• 2
A B
• 1
• 7
f
x= –1
y= 2.(–1)2 – 1
y = 2. 1–1
y= 2 – 1
y= 1
OBS: Cada elemento de B é imagem de 
pelo menos um elemento de A.
Im(f) = B ou Im(f) = CD(f)
x= 1
y= 2.12 – 1
y = 2. 1–1
y= 2 – 1
y= 1
x= 2
y= 2.22 – 1
y = 2. 4–1
y= 8 – 1
y= 7
FUNÇÃO BIJETORA
x= 0
y= 2.0 – 1
y= 0 – 1
y= –1
x= 2
y= 2.2 – 1
y = 4 –1
y= 3
x= 4
y= 2.4 – 1
y= 8 – 1
y= 7
Seja f uma função de A em B (f:A→B). Dizemos que f é uma função 
bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Neste caso, cada 
elemento distinto de A corresponde a um elemento distinto em B 
(injetora) e Im(f) = B (sobrejetora).
Exemplo: Dados os conjuntos A= {0, 2, 4} e B= {–1, 3, 7}, 
determinar a função f:A→B definida pela lei y= 2x –1.
• 0
• 2
• 4
A B
• –1 
• 3
f
OBS: Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de 
A e cada elemento de A possui uma imagem distinta em B.
• 7
Determinar o domínio de uma função em IR, é determinar o 
subconjunto de IR, formados por todos os valores de x possíveis, 
para que as expressões resultem em um número real.
Exemplos:
Determine o domínio, em IR, das funções:
a) .
5x2
x3
)x(f
−
+
= .
5
6x2
)x(f
−
=
D (f) = {x R/ x ≠ 5/2}
b)
2x – 5 ≠ 0
2x ≠ 5
x ≠ 5/2
Î
2x – 6 ≥ 0
2x ≥ 6
x ≥ 3
D (f) = {x R/ x ≥ 3}Î
c) .
2x
3
)x(f
+
=
x + 2 > 0
x > 0 –2
x > –2
d) xx)x(f 3 +=
Não há restrição. Qualquer n.º 
real é possível. D(f) = IR
D (f) = {x R/ x > -2}Î
Observe as tabelas:
Percurso
(km)
Consumo
(L)
10 1
20 2
30 3
40 4
Consumo
(L)
Custo
(R$)
1 12,00
2 24,00
3 36,00
4 48,00
Percurso
(km)
Custo
(R$)
10 12,00
20 24,00
30 36,00
40 48,00
f(x)= 0,1x
g(x)= 12x
h(x)= 1,2x
Fazendo a composição das duas 
tabelas, podemos obter o custo do 
percurso sem verificar o consumo.
Essa lei é obtida fazendo a 
composição entre as funções g(x) e 
f(x), ou seja:
g o f(x) = g[f(x)] = 12.[f(x)]
g o f(x) = 12.(0,1x)
h(x) = g o f(x) = 1,2x
• 10
• 20
• 30
A
C
• 12
• 24
• 36
• 1
• 2
• 3
B
Percurso (km) Custo (R$)
Consumo (L)
• 4
• 40
• 48
Observe que CD(f) = D(g)
h
f
g
Então: h é g o f (função 
composta de g com f)
EM DIAGRAMAS
Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g:
a) f(x)= x + 3 e g(x)= x2 – 5.
(g o f)(x)= g[f(x)]
(g o f)(x)= [f(x)]2 – 5
(g o f)(x)= [x + 3]2 – 5
(g o f)(x)= x2 +6x + 9 – 5
(g o f)(x)= x2 +6x + 4
(f o g)(x)= f[g(x)]
(f o g)(x)= [g(x)] + 3
(f o g)(x)= x2 – 5 + 3
(f o g)(x)= x2 – 2
g o f f o g
Exemplos
b) f(x)= x + 5 e g(x)= x2 – 1.
(g o f)(x)= g[f(x)]
(g o f)(x)= [f(x)]2 – 1
(g o f)(x)= [x + 5]2 – 1
(g o f)(x)= x2 +10x + 25 – 1
(g o f)(x)= x2 +10x + 24
(f o g)(x)= f[g(x)]
(f o g)(x)= [g(x)] + 5
(f o g)(x)= x2 – 1 + 5
(f o g)(x)= x2 + 4
g o f f o g
Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g:
https://phet.colorado.edu/sims/html/function-builder/latest/function-
builder_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-lines/latest/graphing-
lines_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/function-builder/latest/function-builder_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/function-builder/latest/function-builder_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-lines/latest/graphing-lines_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-lines/latest/graphing-lines_pt_BR.html
Referências
DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações / Luiz Roberto
Dante. – 2. ed. – São Paulo: Ática, 2013. Obra em 3 v.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini,
Herval Paccola. 2. ed. Ver. E ampl. – São Paulo: Moderna 1995.
BUCCHI, Paulo. Curso prático de matemática / Paulo Bucchi – São Paulo:
Moderna, 1998.
STOCCO SMOLE, Kátia. Matemática: ensino médio 1 / Kátia Stocco Smole,
Maria Ignez Diniz. - 8. ed. São Paulo: Saraiva 2013.
LIMA, Elon Lages. A Matemática do ensino médio – volume 1 / Elon Lages
Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. –
10. ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2012.
BORBA, Fabiana Machado de. Jogos matemáticos para o ensino de função /
Fabiana Machado de Borba. – Canoas, 2008.
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