Álgebra - Caderno 11

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
11
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Números complexos e polinômios
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1
MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
 NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
1 Números complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
O conjunto dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . .4
Conjugado de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . .7
Divisão de números complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Representação geométrica dos números complexos . . . .11
Módulo de um número complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Forma trigonométrica dos números complexos . . . . . . . .18
Equações binômias e trinômias . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Valor numérico de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Igualdade de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Raiz de um polinômio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Operações com polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
Divisão por x 2 a: dispositivo prático de Briot-Ruffini. . . . 52
Teorema de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
Teorema do fator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
Equações polinomiais ou algébricas . . . . . . . . . . . . . . .58
Determinação das raízes de uma equação algébrica. . . .59
Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
Pesquisa de raízes racionais de uma equação 
algébrica de coeficientes inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . .68
Raízes complexas não reais numa equação 
algébrica de coeficientes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
Métodos numéricos para resolução de equações . . . . . .73
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772131836 (PR)
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Imagem ampliada de um brócolis romanesco. Sua 
disposição espiralada é um exemplo de forma fractal 
na natureza.
MÓDULO
Números complexos 
e polinômios
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
É muito comum encontrar na natureza, em árvo-
res, flores, montanhas, nuvens e até mesmo em 
nossos vasos sanguíneos e pulmões formas geo-
métricas que se repetem “indefinidamente”. Essa 
concepção de movimento, desordenado e alea-
tório, foi denominada fractal pelo matemático 
Benoit Mandelbrot (1924-2010). Mandelbrot foi 
um dos primeiros a utilizar computação gráfica 
para criar imagens de Geometria fractal (uma 
Geometria não euclidiana), o que o levou a des-
cobrir o conjunto de Mandelbrot, possibili-
tando-o demonstrar como formas visualmente 
complexas podem ser criadas a partir de regras 
simples.
O primeiro dos fractais abaixo é chamado con-
junto de Mandelbrot e as outras são réplicas 
dele contidas nele mesmo. Por definição, o con-
junto de Mandelbrot é o conjunto dos pontos 
c do plano complexo que satisfazem uma se-
quência iterativa, isto é, que se forma por repe-
tição de uma ou mais ações.
Você sabe qual é a definição de número com-
plexo? Sabe como representá-lo geometri-
camente?
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4 Números complexos e polinômios
CAPÍTULO
1 Números complexos
Objetivos:
c Entender o conceito 
de número complexo 
e sua relação com os 
números reais.
c Conhecer as operações 
básicas no conjunto 
dos complexos.
c Conhecer a forma 
trigonométrica e as 
operações nessa 
forma.
c Resolver equações 
binômias e trinômias.
Os números complexos apareceram no século XVI, motivados pelas resoluções de equações de 
terceiro e quarto graus. Em 1545, o matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576) publicou o 
livro Ars Magna, no qual tratava da resolução de equações de terceiro grau do tipo x3 1 ax 1 b 5 0.
Mais tarde, no século XVIII, Euler introduziu o símbolo i para representar a raiz quadrada de 
21 e Gauss tornou mais significativo o estudo e a aplicabilidade dos números complexos com sua 
representação geométrica.
Entre os conjuntos numéricos já conhecidos, tínhamos inicialmente o conjunto dos números 
naturais:
N 5 {0, 1, 2, 3, …, n, …}
Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendido e obtivemos o conjunto dos 
números inteiros:
Z 5 {…, 2n, …, 22, 21, 0, 1, 2, …, n, …}
Para que também a divisão fosse possível, estendemos este último e obtivemos o conjunto 
dos números racionais, cujos elementos podem ser escritos na forma de fração, com numerador e 
denominador inteiros:
x
a
b
, com a , b e b 0Q Z Z{ }= = ≠[ [
Em Q, a equação x2 5 2 não pode ser resolvida, ou seja, as soluções x 5 2 e x 5 − 2 não 
podem ser representadas por uma fração a
b
, com b Þ 0, e a e b pertencentes a Z. 2 e − 2 são 
exemplos dos números chamados de irracionais (Ir).
Da união dos racionais com os irracionais surgem os números reais (R):
R 5 Q < Ir
Portanto, podemos identificar N como uma parte de Z, Z como uma parte de Q e Q como 
uma parte de R e escrever:
N , Z , Q , R
Sabemos que, se x [ R, então x2 > 0. Assim, a equação x2 1 1 5 0 não tem solução em R, pois:
x2 1 1 5 0 ⇒ x2 5 21 ⇒ x 5 ± –1
e não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte 21. Por isso, temos de estender 
o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números 
complexos.
 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O conjunto C é um conjunto cujos elementos – os números complexos – devem ser tais que 
possam ser somados e multiplicados, e também possibilitem a extração da raiz quadrada de um 
número negativo. Logicamente, os números reais precisam ser elementos desse conjunto C, e as ope-
rações de adição e multiplicação em C devem ser as mesmas operações já conhecidas, feitas sobre os 
números reais. Note que, se isso não fosse observado, o conjunto R não seria um subconjunto de C.
Ao longo do tempo, os elementos do conjunto C, os números complexos, foram definidos de 
várias formas. Gauss, por exemplo, definiu os complexos como pares ordenados de números reais.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Em Q, a única divisão impossível 
é a divisão por 0.
PARA
REFLETIR
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Números complexos e polinômios
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5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Hoje em dia, a notação preferida para definir os elementos do conjunto complexo é a 
forma algébrica.
A forma algébrica
Todo número complexo z pode ser escrito de maneira única na forma:
z 5 a 1 bi (a [ R, b [ R e i2 5 21)
Essa é a forma algébrica ou forma binomial de escrever um número complexo. Observemos 
que um número complexo escrito nessa forma tem duas partes:
z z
z a bi
parte real de
Re(z) a
parte imaginária de
Im(z) b

↓ ↓
5 1
5 5
i é a unidade imaginária, tal que i2 5 21.
A existência do i é que permite que no conjunto C exista raiz de índice par de números nega-
tivos, não definida no conjunto R.
Por exemplo, se x [ C e x2 5 225, então x 5 ± 5i, pois:
225 5 (i2) ? 25 5 i2 (± 5)2 5 (± 5i)2
Se o número complexo possui a parte imaginária (ou seja, se b Þ 0) ele é chamado de imaginário.
Devemos observar também que, se b 5 0, temos z 5 a (número real); e se a 5 0 e b Þ 0, temos 
z 5 bi, que é um número imaginário puro.
Exemplos:
1o) Para z 5 2 1 3i, temos Re(z) 5 2 e Im(z) 5 3.Portanto, z é imaginário.
2o) Para z 5 3, temos Re(z) 5 3 e Im(z) 5 0. Portanto, z é real.
3o) Para z 5 22i, temos Re(z) 5 0 e Im(z) 5 22. Portanto, z é um número imaginário puro.
Usando a forma algébrica, as operações de adição, subtração e multiplicação são intuitivas. Na 
multiplicação, por exemplo, basta aplicar a mesma propriedade distributiva usada na multiplicação 
de binômios, porém observando que i2 é um número real e vale 21. Não há necessidade de decorar 
fórmulas.
Exemplos:
1o) (2 1 3i) 1 (23 1 4i) 5 2 1 3i 2 3 1 4i 5 (2 2 3) 1 (3 1 4)i 5 21 1 7i
2o) (1 1 2i)(2 2 3i) 5 1 ? 2 1 1(23i) 1 (2i)2 1 (2i)(23i) 5 2 2 3i 1 4i 2 6i2 5
5 2 1 i 2 6(21) 5 2 1 i 1 6 5 8 1 i
3o) (1 1 i) 2 (3 1 2i) 5 1 1 i 2 3 2 2i 5 (1 2 3) 1 (1 2 2)i 5 22 2 1i 5 22 2 i
Como i2 5 21, também pode-
mos definir i como i 5 –1.
Mas continuaremos usando 
i2 5 21.
PARA
REFLETIR
1 Dados os números complexos z 1 3i1 5 1 e 52 1z 2 i2 , calcule:
a) z z1 21
b) z z1 2
c) z1
2
d) z z1 2
2
1
RESOLUÇÃO:
a) z z1 21 5 (1 1 3i) 1 (22 1 i) 5 1 1 3i 2 2 1 i 5 (1 2 2) 1 (3 1 1)i 5 21 1 4i
b) z z1 2 5 (1 1 3i)(22 1 i) 5 1(22) 1 1 ? i 1 3i(22) 1 3i ? i 5 22 1 i 2 6i 1 3i
2 5 22 2 5i 1 3(21) 5 25 2 5i
c) z1
2
 5 (1 1 3i)2 5 12 1 2 ? 1 ? 3i 1 (3i)2 5 1 1 6i 1 9i2 5 1 1 6i 1 9(21) 5 28 1 6i
d) z z1 2
2
1 5 (1 1 3i) 1 (22 1 i)2 5 (1 1 3i) 1 (4 2 4i 1 i2) 5 (1 1 3i) 1 [4 2 4i 1 (21)] 5 (1 1 3i) 1 (3 2 4i) 51 1 3i 1 3 2 4i 5 
5 4 2 i
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6 Números complexos e polin™mios
PARA CONSTRUIR
2 Calcule z
1
 2 z
2
, dados os números complexos z
1
 5 2 1 3i e 
z
2
 5 21 1 4i.
RESOLU‚ÌO:
z
1
 2 z
2
 5 (2 1 3i) 2 (21 1 4i) 5 2 1 3i 1 1 2 4i 5 (2 1 1) 1 
1 (3 2 4)i 5 3 2 i
3 Calcule o valor de:
a) i49
b) i100
c) 3i15 2 i16
RESOLU‚ÌO:
a) Primeira solução: i49 5 i48 ? i 5 (i4)12 ? i 5 i
 Segunda solução: i49 5 i48 ? i 5 (i2)24i 5 (21)24i 5 1i 5 i
 Portanto, i49 5 i.
b) Primeira solução: i100 5 (12)50 5 (21)50 5 1
 Segunda solução: i100 5 (i4)25 ? i0 5 i0 5 1
 Portanto, i100 5 1.
c) 3i15 2 i16
 i15 5 i14 ? i 5 (i2)7 i 5 (21)7 i 5 21i 5 2i
 i16 5 (i2)8 5 (21)8 5 1
 Então, temos:
 3i15 2 i16 5 3(2i) 2 1 5 23i 2 1
 Portanto, 3i15 2 i16 5 21 2 3i.
49
09
1
4
12
100
20
0
4
25
15
3
4
3
74
34
2
4
18
i49 5 i1 5 i i15 5 i3 5 2i
i100 5 i0 5 1 i74 5 i2 5 21
PARA
REFLETIR
1 Determine o número z em cada caso:
a) 3z 1 4i 5 z 2 6i20
C‡lculo de i20 
20
0
4
5 
Logo:
i20 5 i0 5 1
Ent‹o:
3z 1 4i 5 z 2 6i20 ⇒ 3z 1 4i 5 z 2 6 ⇒ 2z 5 26 2 4i ⇒ 
⇒ z 5 23 2 2i
b) 3zi 5 z 1 i
Como z 5 a 1 bi, temos:
3(a 1 bi)i 5 a 1 bi 1 i ⇒ 3ai 1 3bi2 5 a 1 bi 1 i ⇒ 3ai 2 3b 5 
5 a 1 (b 1 1)i ⇒ 23b 1 3ai 5 a 1 (b 1 1)i ⇒ 
3b a
3a b 1
2 5
5 1{ 
Ent‹o: b 1 1 5 3(23b) ⇒ b 1 1 5 29b ⇒ 10b 5 21 ⇒ b 5 2
1
10
Mas:
a 5 23b 5 23 ? 


2
1
10
 5 
3
10
 
Logo, z 5 
3
10
 2 
1
10
 i.
2 Verifique as seguintes igualdades:
a) (2 2 3i)(22 1 i) 5 21 1 8i
(2 2 3i)(22 1 i) 5 24 1 2i 1 6i 2 3i2 5 24 1 8i 1 3 5 21 1 8i
b) (3 1 i)(3 2 i)




1
5
1
10
i1 5 2 1 i
(3 1 i)(3 2 i)



1
1
5
1
10
i 5 (9 2 i2)



1
1
5
1
10
i 5 (9 1 1)



1
1
5
1
10
i 5 
5 10



1
1
5
1
10
i 5 2 1 i 
c) ( )2 i2 2 i 1 i 22( ) 5 22i
( 2 2 i) 2 (1 2 i 2)i 5 2 2 i 2 i 1 2i2 5 2 2 2i 2 2 5 22i
d) (1 2 i)4 5 24
(1 2 i)4 5 [(1 2 i)2]2 5 (1 2 2i 1 i2)2 5 (1 2 2i 2 1)2 5 (22i)2 5 
5 4i2 5 4(21) 5 24
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
As compet•ncias e habilidades do Enem est‹o indicadas em quest›es diversas ao longo do m—dulo. Se necess‡rio, explique aos alunos que a utilidade 
deste ÒseloÓ Ž indicar o nœmero da(s) compet•ncia(s) e habilidade(s) abordada(s) na quest‹o, cuja ‡rea de conhecimento est‡ diferenciada por cores (Lin-
guagens: laranja; Ci•ncias da Natureza: verde; Ci•ncias Humanas: rosa; Matem‡tica: azul). A tabela para a consulta da Matriz de Refer•ncia do Enem est‡ 
dispon’vel no portal.
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Números complexos e polinômios
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 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 3 Para aprimorar: 1 a 3
 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Seja z um nœmero complexo, Ž v‡lida a seguinte propriedade: se z Þ 0, existe um œnico nœmero 
complexo 
1
z
 tal que z ? 
1
z
 5 1. Chamamos 
1
z
 de inverso multiplicativo de z.
Como podemos determinar o nœmero 1
z
 na forma algŽbrica?
Para isso, precisamos definir o que vem a ser o conjugado de um nœmero complexo.
O conjugado de um nœmero complexo z 5 (a, b) 5 a 1 bi Ž o nœmero complexo z 5 (a, 2b) 5 
5 a 2 bi.
Exemplos:
1o) Se z 5 2 1 3i, ent‹o z 5 2 2 3i.
2o) Se z 5 23 2 4i, ent‹o z 5 23 1 4i.
3o) Se z 5 2, ent‹o z 5 2.
4o) Se z 5 5i, ent‹o z 5 25i.
5o) Se z 5 i, ent‹o z 5 2i.
6o) Se z 5 (2, 3), ent‹o z 5 (2, 23).
7o) Se z 5 (21, 21), ent‹o z 5 (21, 1).
8o) Se z 5 0, ent‹o z 5 0.
Em que casos temos z 5 z?
PARA
REFLETIR
EXERCÍCIO RESOLVIDO
4 Determine o número complexo z tal que 2z 2 1 5 z 1 i.
RESOLUÇÃO:
Considerando z 5 a 1 bi, temos que z 5 a 2 bi.
Então: 2z 2 1 5 z 1 i ⇔ 2(a 1 bi) 2 1 5 (a 2 bi) 1 i ⇔ 2a 1 2bi 2 1 5 a 2 bi 1 i ⇔ (2a2 1) 1 2bi 5 a 1 (2b 1 1)i
Igualando as partes reais e imaginárias, temos:
2a 2 1 5 a ⇒ a 5 1
2b 5 2b 1 1 ⇒ 3b 5 1 ⇒ b 5 
1
3
 
Logo, z 5 1 1 
1
3
i.
3 (Unicamp-SP) Sejam x e y números reais tais que x yi 3 4i1 5 1 , onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a: d
a) 22.
b) 21.
c) 1.
d) 2.
Elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, temos:
( ) ( )⇔ ⇔1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1(x yi) ( 3 4i ) (x y ) 2xyi 3 4i x y 2xy i 3 4i2 2 2 2 2 2
Portanto, para que a igualdade se verifique, devemos ter (x2 2 y2) 5 3 e (2xy)i 5 4i, mas 2xy 5 4 se, e somente se, 5xy 2.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
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8 Nœmeros complexos e polin™mios
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Propriedades do conjugado
1a) Se z 5 a 1 bi, então:
zz 5 a2 1 b2 (que é real, positivo ou nulo)
 Dados ou hipóteses 



5 1
5 2
z a bi
z a bi
 
 Tese: 5 1zz a b
2 2
 Demonstração:
 Efetuando o produto zz, temos:
 zz 5 (a 1 bi)(a 2 bi) 5 a2 2 (bi)2 5 a2 2 (21)b2 5 a2 1 b2
2a) Para o número complexo z, temos que:
 z 5 z ⇔ z é um número real
 Demonstração:
 Se z 5 a 1 bi, temos:
 z 5 z ⇔ a 1 bi 5 a 2 bi ⇔ bi 5 2bi ⇔ b 5 0 ⇔ z é real
3a) Se z
1
 e z
2
 são números complexos, então:
 1z z1 2 5 z1 1 z2 (o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados)
 Demonstração:
 Se z1 5 a 1 bi e z2 5 c 1 di, temos:
 1z z1 2 5 1 1 1(a bi) (c di) 5 1 1 1(a c) (b d)i 5 (a 1 c) 2 (b 1 d)i 5 a 1 c 2 bi 2 di 5
5 (a 2 bi) 1 (c 2 di) 5 z
1
 1 z
2
4a) Se z
1
 e z
2
 são números complexos, então:
 z z1 2 5 z1 ? z2 (o conjugado de um produto indicado é igual ao produto dos conjugados)
 Demonstração:
 Se z1 5 a 1 bi e z2 5 c 1 di, temos:
 z z (ac bd) (bc ad)i 1 2 5 2 1 1 ⇒   z z (ac bd) (bc ad)i (I)1 2 5 2 2 1
 Sabemos também que:
 z
1
 5 a 2 bi e z
2
 5 c 2 di
 Portanto:
 z z (II)5 2 2 5 2 2 1(a bi )(c di) (ac bd) (bc ad) i1 2
 Comparando (I) e (II), concluímos que:
 z z1 2 5 z z1 2
5 Dado z Þ 0, determine 
1
z
 na forma a 1 bi de tal modo que z ? 
1
z
 5 1.
RESOLUÇÃO:
Basta multiplicar numerador e denominador de 1
z
 por z, ou seja, pelo conjugado de z, que 
é diferente de 0, pois z Þ 0. Assim:
1
z
 5 
z
zz
 ⇒ 
1
a bi1
 5 
a bi
(a bi)(a bi)
2
1 2
 5 
a bi
a b2 2
2
1
 5 
a
a b2 21
 2 
b
a b2 21
i
Logo:
 
1
z
 5 
a
a b2 21
 2 
b
a b2 21
i 5 
a bi
a b2 2
2
1
 5 
z
a b2 21
 
Se z Þ 0, 
1
z
 é o inverso multipli-
cativo de z e pode ser indicado 
também por z 21.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 8 12/22/15 2:50 PM
Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
9
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 4 e 5 Para aprimorar: 4 e 5
PARA CONSTRUIR
4 (ESPCEX-SP) Sendo z o conjugado do número complexo z e 
i a unidade imaginária, o número complexo z que satisfaz à 
condição z 2 z 2 zi1 5 2 é: d
a) z 0 1i5 1b) z 0 0i5 1
c) z 1 0i5 1
d) z 1 i5 1
e) z 1 i5 2
Se z a bi5 1 com a e b reais, então z a bi5 2 . Desse modo, 
⇔ ⇔
⇔
1 5 2 1 1 ? 2 5 2 1 ?
2 5 1 2
z 2z 2 zi a bi 2 (a bi) 2 (a bi) i
3a bi (b 2) ai.
Logo, obtemos o sistema: 
3a b 2
a b
a 1
b 1
5 1
5
5
5{ {⇔
 
Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i5 1 .
5 Se z
1
 5 2 2 3i e z
2
 5 3 1 5i, determine:
a) z
1
, z
2
, z
1
1 z
2
 e z z1 21 .
z
1
 5 2 2 3i; z
2
 5 3 1 5i
z
1
 5 2 1 3i; z
2
 5 3 2 5i
z
1
 1 z
2
 5 (2 1 3i) 1 (3 2 5i) 5 5 2 2i
z z1 21 5 2 1 1(2 3i) (3 5i) 5 5 2i1 5 5 2 2i
b) z
1
 1 z
2
z
1
 1 z
2
 5 2 2 3i 1 3 5i1 5 2 2 3i 1 3 2 5i 5 5 2 8i
c) z
1
 z
2
z
1
 z
2
 5 (2 2 3i)(3 2 5i) 5 6 2 10i 2 9i 1 15i2 5 6 2 19i 2 15 5 
5 29 2 19i
d) z
1 
z
1
 1 z
2
z
1 
z
1 
1 z
2
 5 (2 2 3i)(2 1 3i) 1 (3 1 5i) 5 4 1 6i 2 6i 2 9i2 1 3 1 
1 5i 5 4 2 9(21) 1 3 1 5i 5 4 1 9 1 3 1 5i 5 16 1 5i
6 Escreva na forma z 5 a 1 bi os números complexos:
a) z 5 
1
1 i1
 
z 5 
1
1 i1
 5 
1
1 i1
 ? 
2
2
1 i
1 i
 5 
2
2
1 i
1 i2
 5 
2
1
1 i
1 1
 5 
1
2
 2 
i
2
 5 
1
2
 2 
1
2
i
b) z 5 
(3 4i)(4 3i)
3 2i
2 2
2
 
z 5 
(3 4i)(4 3i)
3 2i
2 2
2
 5 
12 9i 16i 12i
3 2i
2
2 2 1
2
 5 
12 25i 12
3 2i
2 2
2
 5 
5 
25i
3 2i
2
2
 5 225i ? 
2
1
3 2i
 5 
25i
3 2i
2
2
 ? 
3 2i
3 2i
1
1
 5 
75i 50i
9 4
2
2 2
1
 5 
5 
50 75i
13
2
 5 
50
13
 2 
75
13
i
c) z 5 
i
2 i1
 2 
2 i
i
1
 
z 5 
i
2 i1
 2 
2 i
i
1
 
Mas:
⋅






1
5
1
2
2
5
2
1
5
1
5 1
1
5
1
⋅ 5
2
5
2
2
5 2
i
2 i
i
2 i
2 i
2 i
2i i
4 1
1 2i
5
1
5
2
5
i
2 i
i
2 i
i
i
i
2i i
i
2i 1
1
1 2i
2
2
2
Logo:
z 5 
1
2 i1
 2 
2 i
i
1
 5 
1
5
2
5
i1



 2 (1 2 2i) 5 
1
5
12



 1 
2
5
21



 i 5 
5 2 
4
5
 1 
12
5
i
d) z 5 
1 i
2i
4
1



 
z 5 
1 i
2i
4
1


 5 
(1 i)
(2i)
2
2
2
1



 5 
(2i)
( 4)
2
2
2
 5 
4
16
2
 5 2
1
4
 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 9 12/22/15 2:50 PM
10 Números complexos e polinômios
PARA CONSTRUIR
7 (UFPR Ð Adaptada) Considere o nœmero complexo z 4i
13
2 3i
0 5 1
1
.
Determine a parte real e a parte imagin‡ria de z0.
Tem-se que:
5 1
1
5
1
1
5
1
1
?
2
2
5 1 5 1z 4i
13
2 3i
1 8i
2 3i
1 8i
2 3i
2 3i
2 3i
26
13
13
13
i 2 i0
Portanto, 5Re(z ) 20 e 5Im(z ) 10 .
8 Calculando o valor da express‹o 
i i i i . . . i i
i i i i . . . i i
2 5 6 41 42
3 4 7 8 43 44
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
 obtemos: b
a) 1.
b) 21.
c) i 2 1.
d) i 1 1.
e) 2i 1 1.
Observe que: i1 5 i, i2 5 21, i3 5 2i, i4 5 1, i5 5 i, ...
Logo, examinando a expressão, vemos que:
 numerador: formado por i e 21
 denominador: formado por 2i e 1
Portanto:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
i i i i ... i i
i i i i ... i i
2 5 6 41 42
3 4 7 8 43 44
 5 
2 1 2 1 1 2
2 1 1 2 1 1 1 2 1
(i 1) (i 1) ... (i 1)
( i 1) ( i 1) ... ( i 1)
 5 
2
2 1
n(i 1)
n( i 1)
 5 
2
2 2
i 1
(i 1)
 5 21
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
6 Escreva na forma a 1 bi o nœmero complexo 
1
3 i2
.
RESOLU‚ÌO:
1
3 i2
 5 
1(3 i)
(3 i)(3 i)
1
2 1
 5 
3 i
9 1
1
1
 5 
3
10
 1 
1
10
i
7 Efetue 
z
z
1
2
 sabendo que z
1
 5 1 1 2i e z
2
 5 2 1 5i.
RESOLU‚ÌO:
z
z
1
2
 5 
1 2i
2 5i
1
1
 5 
(1 2i)(2 5i)
(2 5i)(2 5i)
1 2
1 2
 5 
2 5i 4i 10i
2 5
2
2 2
2 1 2
1
 5 
12 i
29
2
 5 
12
29
 2 
1
29
i
Logo, 
z
z
1
2
 5 
12
29
 2 
1
29
i
 DIVISÌO DE NòMEROS COMPLEXOS
O quociente 
z
z
1
2
 entre dois números complexos, com z
2
 Þ 0, é dado por 
z
z
1
2
 5 
z z
z z
1 2
2 2
.
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 10 12/22/15 2:50 PM
Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
11
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 6 a 8 Para aprimorar: 6 e 7
9 Simplificando 
⋅
⋅
(2 i) (2 i)
( 2 i) (i 2)
101 50
100 49
1 2
2 2 2
, temos: e
a) 1.
b) 2 1 i.
c) 2 2 i.
d) 5.
e) 25.
[ ]
( ) ( )
( )
1 ? 2
2 2 ? 2
5
1 ? 2
2 1 ? 2 2
5
5
1 ? 2
2 1 ? 2 2
5
1 2
? 2
5
5
2
2
52 2 52
(2 i) (2 i)
( 2 i) (i 2)
(2 i) (2 i)
( 1)(2 i) [( 1)(2 i)]
(2 i) (2 i)
( 1) (2 i) ( 1) (2 i)
2 i 2 i
1 1
2 i
1
4 1 5
101 50
100 49
101 50
100 49
101 50
100 100 49 49
2 2
10 Calculando (1 1 i)10 2 (1 2 i)10, temos: c
a) 32.
b) 32i.
c) 64i.
d) 64.
e) 32 1 32i.
(1 1 i)10 2 (1 2 i)10 5 [(1 1 i)2]5 2 [(1 2 i)2]5 5 [(1 1 2i 1 i2)]5 2 [(1 2 
2 2i 1 i2)]5 5 (2i)5 2 (22i)5 5
5 25 ? i5 1 25 ? i5 5 2 ? 25 ? i5 5 26 ? i 5 64i
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
 REPRESENTA‚ÌO GEOMƒTRICA DOS NòMEROS 
COMPLEXOS 
Os números complexos podem ser representados de v‡rias formas. Até agora vimos a forma 
algébrica a 1 bi. Outra maneira de representar um complexo z é através de um par ordenado de 
números reais. Assim, se z 5 a 1 bi, podemos escrever que z 5 (a, b). (Gauss s— usava essa notação.)
Por outro lado, sabemos que a cada par de números reais (a, b) est‡ associado um único ponto 
do plano. Logo, podemos associar a cada número complexo z 5 a 1 bi o ponto P de coordenadas 
a e b, isto é, P(a, b).
x
y
b P(a, b)
a0
 
O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é denominado plano 
complexo ou plano de Argand-Gauss. Dizemos que o ponto P(a, b) é o afixo do número complexo 
a 1 bi.
Exemplo: 
Vamos representar geometricamente os números complexos:
z
1
5 3 2 2i, o afixo de z
1
 é (3,22)
z
2 
5 5, o afixo de z
2
 é (5, 0)
z
3
 5 22i, o afixo de z
3
 é (0, 22)
z
4
 5 2 1 i, o afixo de z
4
 é (2, 1)
z
5
 5 22 1 i, o afixo de z
5
 é (22, 1)
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 11 12/22/15 2:50 PM
12 Nœmeros complexos e polin™mios
Acesse o portal e veja o simulador 
Explorando as propriedades 
dos nœmeros complexos.
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
x
y
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
0
1
21 1 2 3 4 5
21
22
22
Observações:
1a) Os nœmeros complexos reais pertencem ao eixo x, mantendo a correspond•ncia segundo 
a qual para cada nœmero real existe um ponto da reta.
2a) Os nœmeros imagin‡rios puros pertencem ao eixo y.
3a) Os demais nœmeros complexos (a 1 bi, com a Þ 0 e b Þ 0) pertencem aos v‡rios quadran-
tes, de acordo com os sinais de a e b.
4a) Para cada nœmero complexo existe um œnico ponto do plano e vice-versa.
5a) Podemos associar a cada complexo z 5 a 1 bi um œnico vetor com extremidades no ponto O, 
origem do sistema de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a, b).
No plano complexo abaixo, alŽm do nœmero complexo z 5 a 1 bi, est‹o representados outros 
dois nœmeros complexos, z
1
 e z
2
, e a soma deles, z
1
 1 z
2
 (diagonal do paralelogramo formado por 
z
1
 e z
2
).
x
y
z1
z1 1 z2 z2
b
P(a, b)
aO
6a) A associa•‹o dos nœmeros complexos z 5 a 1 bi aos vetores permite o uso dos nœmeros 
complexos em diversos campos nos quais as grandezas s‹o vetoriais. Um exemplo disso Ž o 
estudo da eletricidade em n’vel superior; o aluno que optar por um curso superior na ‡rea 
de exatas descobrir‡ que corrente elŽtrica, voltagem, imped‰ncia, etc., s‹o todos nœmeros 
complexos.
8 Dados os nœmeros complexos z1 5 24 1 2i, z2 5 23i e z3 5 4, localize, no plano complexo, os pontos correspondentes a cada 
nœmero.
RESOLU‚ÌO:
z
1
 5 24 1 2i ⇒ (24, 2); z
2
 5 23i ⇒ (0, 23); z
3
 5 4 ⇒ (4, 0)
x
y
z1
z2
0
21 1 2 3 4
21
1
2
22
23
222324
z3
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 12 12/22/15 2:50 PM
Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
9 Dados os pontos correspondentes aos números complexos 
z
1
 e z
2
, descubra os pontos correspondentes aos números 
2z
1
 e 2z
2
.
x
y
1
22 21
21
1 20
z
2
z
1
RESOLU‚ÌO:
P(1, 1) ⇒ z
1
 5 1 1 i ⇒ 2 z
1
 5 21 2 i ⇒ P'(21, 21)
Q(22, 21) ⇒ z
2
 5 22 2 i ⇒2z
2
 5 2 1 i ⇒ Q'(2, 1)
x
y
2z
1
z
2
z
1
1
22 21
Ð1
1 2
0
2z
2
10 Localize os pontos do plano correspondentes aos números 
complexos z 5 a 1 bi, nos seguintes casos:
a) a 5 3
b) a > 0 e b< 0
c) a , 0 e b 5 0
RESOLU‚ÌO:
a) Pontos z 5 a 1 bi, com a 5 3 e b qualquer:
x
y
0 1 2 3
b) Pontos z 5 a 1 bi, com a > 0 e b < 0:
 
x
y
c) Pontos z 5 a 1 bi, com a , 0 e b 5 0:
 
x
y
11 Efetue algébrica e geometricamente a adi•ão dos números 
complexos z
1
 5 1 1 2i e z
2
 5 4 1 i.
RESOLU‚ÌO:
Algebricamente:
z
1
 1 z
2
 5 (1 1 2i) 1 (4 1 i) 5 5 1 3i 5 z
3
Geometricamente:
Observe que z
3
 corresponde ao ponto (5, 3), ou seja, ao nú-
mero complexo z
3
 5 5 1 3i.
x
y
1
1
2
3
z
1
z
2
z
3
z
1
 1 z
2
2 3 4 5
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 13 12/22/15 2:50 PM
14 Números complexos e polinômios
PARA CONSTRUIR
11 Efetue algébrica e geometricamente a adição dos números 
complexos z
1
 e z
2
 quando:
a) z
1
 5 2 1 2i e z
2
 5 4 1 3i
z
1
 1 z
2
 5 6 1 5i
 
y
x0 21 43 5 6
2
1
3
5
4
z
1
z
2
z
1 + z2 
b) z
1
 5 1 e z
2
 5 4
z
1
 1 z
2
 5 5
y
x0 1 4 52 3
z1 z2 z1 + z2
c) z
1
 5 1 2 i e z
2
 5 4 2 2i
z
1
 1 z
2
 5 5 2 3i
 
x
y
0
4 52 3
22
21
1
23
z
1 z2
z
1 1 z2
d) z
1
 5 22 1 i e z
2
 5 21 1 4i
z
1
 1 z
2
 5 23 1 5i
x
y
022
4
1
5
2
3
2123
z
1
z
2
z
1 1 z2
12 Em que quadrante fica o ponto correspondente ao número 
complexo z 5 
2 i
3 i
35
2
1
?
2 i
3 i
35
2
1
 5 
2 i
3 i
3
2
1
 5 
1
1
2 i
3 i
 5 
(2 i)(3 i)
(3 i)(3 i)
2 2
1 2
 5 
6 2i 3i i
9 1
2
2 1 2
1
 5 
6 i 1
10
1 1
 5 
5 
7
10
 1 
1
10
i
Como z 5 
7
10
 1 
1
10
i, então o par ordenado associado a z é 




7
10
,
1
10
. 
Logo, o ponto correspondente a z está no 1o quadrante.
13 (ESPCEX-SP) Sendo z o número complexo obtido na rotação 
de 90°, em relação à origem, do número complexo 1 1 i, de-
termine z3: e
a) 1 2 i.
b) 21 1 i.
c) 22i.
d) 21 2 2i.
e) 2 1 2i.
Im
45¡
real
(21 1 i) (1 1 i)
O complexo obtido com a rotação de 90° de 1 1 i é z 5 21 1 i 
Fazendo: (21 1 i)3 , temos:
z3 5 (i 2 1)3 5 i3 2 3 ? i2 ? 1 1 3 ? i ? 12 213 5 2i 1 3 1 3i 2 1 5 
5 2 1 2i 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 14 12/22/15 2:50 PM
Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
15
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 9 e 10 Para aprimorar: 8 e 9
14 Dados os pontos correspondentes aos números complexos 
z
1
, z
2 
e z
3
, descubra os pontos correspondentes aos números 
complexos 2z
1
, 2z
2
 e 2z
3
.
x
y
z
2
z
1
z
3
1
021 1 2 3
21
22
22
2
z
1
 5 (3, 2) ⇒ 2z
1
 5 (23, 22)
z
2
 5 (22, 1) ⇒ 2z
2
 5 (2, 21)
z
3
 5 (0, 22) ⇒ 2z
3
 5 (0, 2)
15 (Uesc-BA – Adaptada) A representação, no plano Argand-
-Gauss, do conjunto de números complexos {z [ C; 2z 1 z y 5 
5 2i} é uma reta: a
a) paralela ao eixo x que passa pelo ponto (0, 21).
b) paralela ao eixo x que passa pelo ponto (0, 1).
c) paralela ao eixo y que passa pelo ponto (21, 0).
d) não paralela ao eixo y que passa pelo ponto (21, 0).
e) não paralela a nenhum dos eixos x e y e que passa pelo 
ponto (0, 21).
Se z 5 x 1 yi ⇒ z 5 x 2 yi, então:
2(x 1 yi) 1 (x 2 yi) 5 2i
2x 2 yi 1 x 2 yi 5 2i
22yi 5 2i
y 5 21
Portanto, como z 5 x 2 i, tem-se uma reta paralela ao eixo x que 
passa pelo ponto (0, 21).
16 (Uncisal) Dados os números complexos z 5 1 2 3i e w 5 1 2 
2 i, o afixo do número 
z
w
 está representado pelo ponto P, no 
plano de Argand-Gauss, na alternativa: e
a) y
0 2
P
x
i
b) 
2
0 x
y P
c) 
x0
2P
y
21
d) 
P
x0
21
y
1
e) 
P
x0
21
y
2
z
w
 5 
(1 3i)
(1 i)
2
2
 ? 
(1 i)
(1 i)
1
1
 5 
1 i 3i 3i
1 i
2
2 2
1 2 2
2
 5 
4 2i
2
2
 5 2 2 i
Portanto:
z
w
 5 (2, 2 1)
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
Interpreta•‹o geomŽtrica do conjugado
Geometricamente, o conjugado z de z Ž representado pelo simŽtrico de z em rela•‹o ao eixo x.
x
y z 5 (a, b) 5 a 1 bi
z .5 (a, 2b) 5 a 2 bi
0
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 15 12/22/15 2:50 PM
16 Números complexos e polinômios
 MîDULO DE UM NòMERO COMPLEXO 
Geometricamente, o m—dulo de um nœmero complexo Ž a dist‰ncia da origem O do sistema 
de coordenadas ao afixo de z.
y
xa
P(a, b) ou 
afxo de z 5 a 1 bi
UzU
0
b
A
Aplicando o teorema de Pit‡goras no tri‰ngulo OAP, temos:
|z|2 5 a2 1 b2 ⇒ |z| 5 a b2 21
Observemos que essa igualdade vale tambŽm para os pontos situados nos eixos e nos demais 
quadrantes.
Ent‹o, podemos dizer que, dado um nœmero complexo z 5 a 1 bi, chama-se m—dulo de z e 
indica-se por |z| o nœmero real positivo ou nulo dado por:
|z| 5 a b2 21
Observa•‹o:
Uma conex‹o interessante com a geometria anal’tica Ž que, pensando nos complexos z e w como 
pontos no plano, o m—dulo da diferen•a entre eles Ž a dist‰ncia entre os dois pontos: |z 2 w| 5 d(z, w).
Propriedades envolvendo m—dulo
1a) Se z Ž um nœmero complexo, ent‹o:
 zz 5 |z|2
 Demonstra•‹o:
 Sabemos que:
 zz 5 (a 1 bi)(a 2 bi) 5 a2 1 b2
 |z| 5 a b2 21
 Logo:
 |z|2 5 ( )a b2 2
2
1 5 a2 1 b2 5 zz
 Portanto, zz 5 |z|2.
2a) Se z Ž um nœmero complexo, ent‹o:
 |z| 5 |z|
 Demonstra•‹o:
 Dado z 5 a 1 bi, temos:
 z 5 a 2 bi
 |z| 5 a b2 21
 |z| 5 a ( b)2 21 2 5 a b2 21
 Portanto, |z| 5 |z|.
3a) Se z
1
 e z
2
 s‹o nœmeros complexos, ent‹o:
 |z
1
 z
2
| 5 |z
1
 || z
2
|
 Demonstra•‹o:
 Usando a primeira propriedade, temos:
 |z
1
 z
2
|2 5 (z
1 
z
2
) ( z
1 
z
2
) (I)
Quando |z| 5 1, o que ocorre 
com z21?
PARA
REFLETIR
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 16 12/22/15 2:50 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
17
 Mas sabemos que:
 z z z z1 2 1 25 5 (II)
 Então, substituindo (II) em (I), vem:
 | z z | z z z z ( z z ) (z z ) | z | | z | (| z || z |)1 2
2
1 2 1 2 1 1 2 2 1
2
2
2
1 2
2
5 5 5 5
Como o módulo é um número positivo ou nulo, podemos extrair a raiz quadrada em ambos 
os membros e chegamos ao que pretendíamos demonstrar:
|z
1
 z
2
| 5 |z
1 
|| z
2
|
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 13 Para aprimorar: 10 e 11
PARA CONSTRUIR
17 Dada a figura, localize nela os nœmeros complexos 2z, z e 2z.
x
y
z 5 a 1 bi
02a
2b
2z .
 z .
2z
b
a
Se z 5 a 1 bi, ent‹o:
2z 5 2a 2 bi
z 5 a 2 bi
2z 5 2a 1 bi
18 Localize graficamente os nœmeros complexos z tal que:
a) |z| 5 4
Se z 5 x 1 yi, vem:
|z| 5 1x y2 2 5 4 ⇒ x2 1 y2 5 16
(equa•‹o de uma circunfer•ncia de centro (0, 0) e raio 4)
x
y
z
24
24
4
40
b) |z| . 4
 Se z 5 x 1 yi, tem-se:
 |z| 5 1x y2 2 . 4 V 1x y2 2 . 16
 
x
y
z
24
24
4
40
c) z Ž um imagin‡rio puro e |z| > 4
 
x
y
z
z24
4
0
Se z Ž imagin‡rio puro, ent‹o 
z 5 bi, b Þ 0.
Como |z| 5 |b|, ent‹o b > 4 
ou b < 24.
d) |z| < 2
Se z 5 x 1 yi, vem:
|z| 5 x y2 21 < 2 ⇒ x2 1 y2 < 4 (c’rculo de centro (0, 0) e raio 2)
x
y
22
22
2
20
e) z Ž um imagin‡rio puro e |z| , 3
Se z Ž imagin‡rio puro, ent‹o z 5 bi, com b Þ 0.
Assim, como |z| , 3:
|z| 5 a b2 21 5 0 b2 21 5
5 |b| , 3 ⇒ 23 , b , 3 (b Þ 0)
x
y
z
23
3
0
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 17 12/22/15 2:50 PM
18 Números complexos e polinômios
 FORMA TRIGONOMƒTRICA DOS NòMEROS 
COMPLEXOS
Sabemos que um nœmero complexo z 5 a 1 bi Ž representado por um ponto do plano, de 
coordenadas (a, b). Essas s‹o as coordenadas cartesianas do ponto P, afixo de z. Veremos agora que 
esse mesmo ponto pode ser representado por suas coordenadas polares, que s‹o:
1a) o m—dulo do vetor 
u ru
Oz , indicado por |z| ou r, representando a dist‰ncia do ponto P ˆ 
origem do plano (supondo |z| Þ 0);
2a) o ‰ngulo u, em que 0 < u < 2p, que o vetor 
u ru
Oz
 forma com o eixo x. Esse ‰ngulo u Ž cha-
mado argumento de z (ou argumento principal de z) e Ž indicado por arg(z).
y
xa
uzu 5 r
z 5 a 1 bi
ou
P(a, b)
0
b
u
z 5 a 1 bi, z Þ 0
|z| 5 r 5 a b2 21
arg(z) 5 u
Usando conceitos de trigonometria, podemos afirmar que:
cos u 5 
a
z (com 0 < u < 2p)
sen u 5 
b
z
Essas igualdades levam a:
cos u 5 
a
z
 ⇒ a 5 |z| ? cos u
senu 5 
b
z
 ⇒ b 5 |z| ? sen u
Substituindo esses valores em z 5 a 1 bi, temos:
z 5 a 1 bi 5 |z| ? cos u 1 |z| ? sen u ? i 5 |z|(cos u 1 i ? sen u)
Portanto:
z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u)
que Ž chamada forma trigonomŽtrica ou forma polar de z.
Acesse o portal e veja o simula-
dor Explorando as proprieda-
des dos números complexos.
Devemos considerar u a partir do 
eixo x, no sentido anti-hor‡rio.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 18 12/22/15 2:50 PM
Números complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
19
PARA CONSTRUIR
EXERCêCIO RESOLVIDO
12 Escreva na forma algŽbrica os nœmeros complexos:
a) z 5 2 cos
4
i sen
4




p
1 ?
p
;
b) z 5 3 cos
2
i sen
2




p
1 ?
p
;
c) z 5 8 cos
7
6
i sen
7
6
p
1 ?
p




 .
RESOLU‚ÌO:
a) z 5 2



cos 4
i sen
4
p
1 ?
p
 5 2
2
2
i
2
2




1 ? 5 
2 2
2
 1 i ? 
2 2
2
 5 2 1 i 2
 Logo, z 5 2 1 i 2.
b) z 5 3 cos
2
i sen
2




p
1 ?
p
 5 3(0 1 i ? 1) 5 3 ? 0 1 i 3 ? 1 5 i 3
 Logo, z 5 3i.
c) z 5 8 cos
7
6
i sen
7
6




p
1 ?
p
 5 8 cos
6
i sen
6








2
p
1 2
p 5 8








3
2
i
1
2
2 1 2 5 24 3 2 4i
 Logo, z 5 24 3 2 4i.
19 (Insper-SP) Considere um nœmero complexo z, de m—dulo 
10, tal que z (k i)25 1 , em que k Ž um nœmero real. A parte 
real desse nœmero complexo Ž igual a: b
a) 5 3.
b) 8.
c) 5 2.
d) 6.
e) 5.
Escrevendo o nœmero complexo z na forma algŽbrica, obtemos 
z (k i) (k 1) 2k i2 25 1 5 2 1 ? .
Sabendo que 5| z | 10 e | z | |(k i) | |k i | k 12 2 25 1 5 1 5 1 , temos:
1 5 5⇔k 1 10 k 92 2
Portanto, 5 2 5 2 5Re(z) k 1 9 1 82 .
20 D• a representa•‹o geomŽtrica e a forma trigonomŽtrica dos 
nœmeros complexos:
a) 3 1 i
x
y
0
z1
u
uzu
√3
z 5 3 1 i ⇒ a 5 3 e b 5 1
|z| 5 3 i1 5 ( 3) i2 21 5 2
cos u 5 
a
z
 5 
3
2
sen u 5 
b
z
 5 
1
2
0 < u < 2p
Ent‹o, u 5 arg(z) 5 
p
6
.
Assim:
z 5 |z| (cos u 1 i ? sen u) 5 2 cos
6
i sen
6




p
1 ?
p
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 19 12/22/15 2:50 PM
20 Números complexos e polinômios
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 14 a 16 Para aprimorar: 12 e 13
b) Ð 3 1 i
x
y
0
1
u
2√3
uzu
z 5 32 1 i ⇒ a 5 2 3 e b 5 1
|z| 5 3 i2 1 5 2 1( )3 i2 2 5 2
cos u 5 
a
z
 5 2
3
2
sen u 5 
b
z
 5 
1
2
0 < u < 2p
Ent‹o, u 5 arg(z) 5 
p5
6
.
Assim:
z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u) 5 2 cos
5
6
i sen
5
6




p
1 ?
p
c) 3 2 i
z 5 3 2 i ⇒ a 5 3 e b 5 21
x
y
21
u
uzu
√3
|z| 5 3 i2 5 3 ( 1)
2
2
1 2( ) 5 2
cos u 5 
a
z
 5 
3
2
sen u 5 
b
z
 5 
1
2
2
0 < u , 2p
Ent‹o, u 5 arg(z) 5 
p11
6
.
Assim:
z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u) 5 2 cos
11
6
i sen
11
6




p
1 ?
p
d) 32 2 i
z 5 2 3 2 i ⇒ a 5 2 3 e b 5 21
|z| 5 2 1 23 1
2 2( ) ( ) 5 2
cos u 5 
a
z
 5 Ð
3
2
sen u 5 
b
z
 5 Ð
1
2
0 < u < 2p
Ent‹o, u 5 arg(z) 5 
p7
6
.
Assim:
z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u) 5 2 cos
7
6
i sen
7
6




p
1 ?
p
21 Determine o valor do arg(z) dos números complexos:
a) z 5 
2
1 i 3
2
1
Para obter arg(z), devemos representar z na forma algŽbrica.
Ent‹o:
z 5 
2
1 3i
2
1
 ? 
1 3i
1 3i
2
2
 5 
2 1
1 )(
2 2 3i
1 32
2
 5 
2 12 2 3i
4
 5 
1
2
2 1 
3i
2
Assim, a 5 1
2
2 e b 5 
3
2
. 
Portanto:
|z| 5 1a b
2 2
 5 2 1








1
2
3
2
2 2
 5 1
cos u 5 
a
z
 5 2
1
2
sen u 5 
b
z
 5 
3
2
0 < u , 2p
Logo, u 5 arg(z) 5 p2
3
.
b) z 5 
2 2
i
2 2i
z 5 
i
2 2i2 2
 5 
i
2 2i2 2
 ? 
2 2i
2 2i
2 1
2 1
 5 
2i 2i
4 4
2
2 1
1
 5 
2i 2
8
2 2
 5 
5 
1
4
2 2
i
4
 ⇒ a 5 
1
4
2 e b 5 
1
4
2
|z| 5 1a b2 2 5 1
16
1
16
1 5 
2
16
 5 
2
4
cos u 5 
a
z
 5 
1
4
2
4
2
 5 
1
4
2 ? 
4
2
 5 
1
2
2 5 
2
2
2
sen u 5 
b
z
 5 
1
4
2
4
2
 5 
1
4
2 ? 
4
2
 5 
1
2
2 5 
2
2
2
0 < u , 2p 
Portanto, u 5 arg(z) 5 
5
4
p
.x
y
21
u
uzu2√3
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 20 12/22/15 2:50 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
21
Multiplica•‹o de números complexos na forma trigonomŽtrica
Consideremos os nœmeros complexos z
1
 e z
2
, dados na forma trigonomŽtrica:
z
1
 5 |z
1
|(cos u
1
 1 i ⋅ sen u
1
)
z
2
 5 |z
2
|(cos u
2
 1 i ⋅ sen u
2
)
O produto ?z z1 2 Ž dado por:
?z z1 2 5 |z1|(cos 1u 1 i ? sen 1u )|z2|(cos 2u 1 i ? sen 2u ) 5
5 |z1 ||z2|(cos 1u 1 i ? sen 1u ) (cos 2u 1 i ? sen 2u ) 5 
5 |z1 ||z2|[(cos 1u ? cos u2 2 sen u1 ? sen u2) 1 i (sen u1 ? cos 2u 1 sen u2 ? cos u1)] =
5 |z1 ||z2|[cos ( 1u 1 u2) 1 i ? sen ( 1u 1 u2)]
Portanto:
z1 z2 5 |z1|| z2|[cos ( 1u 1 u2)1 i ? sen ( 1u 1 u2)]
Assim, o produto de dois nœmeros complexos escritos na forma trigonomŽtrica Ž o nœmero 
complexo cujo m—dulo Ž igual ao produto dos m—dulos dos fatores e cujo argumento Ž igual ˆ soma 
dos argumentos dos fatores reduzida ˆ 1a volta (0 < arg(z
1
z
2
) , 2p).
EXERCêCIO RESOLVIDO
13 Calcule o produto z
1
z
2
 com
z
1
5 2 cos
4
i sen
4




p
1 ?
p
 e z
2
 5 3 cos
2
i sen
2




p
1 ?
p
RESOLU‚ÌO:
z
1 
z
2
 5 2 ? 3 cos
4 2
i sen
4 2












p
1
p
1 ?
p
1
p
 5 6 cos
3
4
i sen 3
4




p
1 ?
p
Interpreta•‹o geomŽtrica:
 
y
x
z
1
z
2
z
1
z
2
3
2
6
p
2
p
4
u 5
p
4
p
2
3p
4
1 5
Em z
1
z
2
 houve uma rota•‹o positiva a z
1
 de um ‰ngulo igual ao ‰ngulo de z
2
. Ou seja, neste caso, houve uma rota•‹o de 
2
p
 a z
1
. 
Como o argumento de z
1
 era 
4
p
 e z
1
 recebeu uma rota•‹o de 
2
p
, o produto z
1
 e z
2
 passa a ter argumento igual a 
4
p
 1 
2
p
 5 
3
4
p
. J‡ 
o m—dulo z
1
z
2
 Ž 6, que corresponde a 2 ? 3 ou z z .1 2
Observação:
A f—rmula da multiplica•‹o de dois nœmeros complexos, segundo a qual basta multiplicar os módulos e somar seus argumen-
tos, Ž v‡lida para um nœmero qualquer finito de valores. Isso nos levar‡ ˆ potencia•‹o de nœmeros complexos.
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 21 12/22/15 2:50 PM
22 Nœmeros complexos e polin™mios
Divis‹o de nœmeros complexos na forma trigonomŽtrica
Dados os números complexos z
1
 e z
2
 na forma trigonométrica:
z1 5 |z1|(cos u1 1 i ? sen u1)
z
2
 5 |z
2
|(cos u
2
 1 i ? sen u
2
)
podemos obter o quociente 
z
z
1
2
 para z2 Þ 0, assim:
A demonstração dessa relação pode ser feita mostrando que o produto de 
 
z
z
cos ( ) i sen ( )1
2
1 2 1 2u 2u 1 ? u 2u 
por z
2
 é igual a z
1
.
Assim, o quociente de dois números complexos na forma trigonométrica, com o denominador 
diferente de 0, é o número complexo cujo módulo é o quociente dos módulos e cujo argumento é a 
diferença dos argumentos dos dois números na ordem dada, reduzida à 1a volta 








0 arg
z
z
21
2
< , p .
z
z
1
2
 5 
z
z
1
2
 [cos ( 1u 2 2u ) 1 i ? sen ( 1u 2 2u )]
Fa•a a demonstra•‹o menciona-
da ao lado.
PARA
REFLETIR
EXERCêCIO RESOLVIDO
14 Calcule o quociente 
z
z
1
2
 para z
1
 5 2 cos
4
i sen
4
p
1 ?
p


 e z2 5 3
p
1 ?
pcos
2
i sen
2



 .
RESOLU‚ÌO:
Substituindo z
1
 e z
2
 na f—rmula dada, temos:
z
z
1
2
 5 
2
3
cos
4 2
i sen
4 2












p
2
p
1 ?
p
2
p
 5 
5 
2
3
cos
4
i sen
4












2
p
1 ? 2
p
 5 
5 
2
3
 cos
7
4
i sen
7
4




p
1 ?
p
Logo, 
z
z
1
2
 5 
2
3
 cos
7
4
i sen
7
4




p
1 ?
p
.
7
4
p
 Ž o ‰ngulo c™ngruo de 
4
2
p
 
tal que 0 < 
7
4
p
 , 2p.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 22 12/22/15 2:50 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
23
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 17 e 18 Para aprimorar: 14
PARA CONSTRUIR
22 Determine o produto z
1 
z
2
 e d• a sua interpreta•‹o geomŽtri-
ca, nos casos:
a) z
1
 5 2
p
1 ?
p
cos
3
i sen
3



 e z2 5 5
p
1 ?
p
cos
2
i sen
2



 
z
1
z
2
 5 2 ? 5 cos
3 2
i sen
3 2

















p
1
p
1 ?
p
1
p
 5 
5 10
p
1 ?
p


cos
5
6
i sen
5
6
x
y
p
3
p
2
p
3
u 5 51
p
2
5p
6
10
z
1
z
2
z
1
z
2
5
2
u
|z
1
z
2
| 5 |z
1
| ? |z
2
| 5 2 ? 5 5 10
arg(z
1
z
2
) 5 arg(z
1
) 1 arg(z
2
) 5 
p
1
p
5
p
3 2
5
6
b) z
1
 5 cos 
3
4
p
 1 i ? sen 
3
4
p
 e z
2
 5 cos 
2
3
p
 1 i ? 
2
3
p
z
1
z
2
 5 1 ? 1 cos
3
4
2
3
i sen
3
4
2
3












p
1
p
1 ?
p
1
p
 5 
5 1 cos
17
12
i sen
17
12




p
1 ?
p
 
x
y
2p
3
3p
4
17p
12
0
z
1
z
2
z
1
z
2
|z
1
z
2
| 5 |z
1
| ? |z
2
| 5 1 ? 1 5 1
arg(z
1
z
2
) 5 arg(z
1
) 1 arg(z
2
) 5
5 
p
1
p
5
p3
4
2
3
17
12
23 (Cefet-AL) Sejam z
1
, z
2
 e z
3
 tr•s nœmeros complexos, cujos 
m—dulos e argumentos principais s‹o dados, respectivamen-
te, por: 2 e 
6
p
; 4 e 
5
6
p
; 2 e 
4
3
p
. 
O produto P 5 ⋅ ⋅z z z
1 2 3
 pode ser representado por: c
a) P 5 8 2 ? cos
5
3
i sen
5
3












p
1 ?
p
b) P 5 8 ? cos
7
3
i sen
7
3












p
1 ?
p
c) P 5 8 2 ? cos
7
3
i sen
7
3












p
1 ?
p
d) P 5 4 2 ? cos
3
2
i sen
3
2












p
1 ?
p
e) P 5 8 2 ? cos
9
2
i sen
9
2












p
1 ?
p
z
1
 ? z
2
 ? z
3
 5 2 ? 4 ? 2 












cos
6
5
6
4
3
sen
6
5
6
4
3
i
p
1
p
1
p
1
p
1
p
1
p
z
1
 ? z
2
 ? z
3
 5 8 2 










cos
7
3
i sen
7
3
i
p
1 ?
p
24 (Ufam) Se z
1
 5 
1
2
 2 
3
2
i e z
2
 5 
1
2
2 1 
1
2
i s‹o nœmeros 
complexos, ent‹o: e
a) z
1
 2 z
2
 5 cos 
3
p
 2 i sen 
3
p
b) z
1
 ? z
2
 5 cos 
11
12
p
 1 i sen 
11
12
p
c) 
z
z
1
2
 5 cos 
5
9
p
 1 i sen 
5
9
p
d) z
1
 1 z
2
 5 cos 
2
p
 1 i sen 
2
p
e) z
1
 ? z
2
 5 cos 
5
12
p
 1 i sen 
5
12
p
z
1
 5 cos 2p
3
 1 sen 2p
3
z
2
 5 cos 


p3
4
 1 sen 




p3
4
i
z
1
 ? z
2
 5 cos 




2p
1
p
3
3
4
 1 




2p
1
p
3
3
4
 i 5 cos 


p5
12
 1 sen 




p5
12
 i
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 23 12/22/15 2:51 PM
24 Nœmeros complexos e polin™mios
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
Potencia•‹o de nœmeros complexos na forma trigonomŽtrica Ð
a primeira f—rmula de De Moivre
A pot•ncia zn, n [ N*, Ž dada por zn 5 ? ? ?
n
z z . . . z
fatores
 
Assim, se um nœmero complexo z est‡ escrito na forma trigonomŽtrica z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u), 
temos:
zn 5 ? ? ?
n
z z . . . z
multiplica•‹o de fatores
 5 ? ? ?
n
z z . . . z
produtode fatores
 ? u 1u 1 1u 1
n
[cos( . . . )
soma de argumentos
 i ? u 1u 1 1u
n
sen( . . . )]
soma de argumentos
 ⇒
 ⇒ (f—rmula de De Moivre)
Para n 5 0, temos:
z0 5 |z|0[cos (0 ? u) 1 i ? sen (0 ? u)] 5 1(cos 0 1 i ? sen 0) 5 1(1 1 0) 5 1
Assim, podemos dizer que a pot•ncia de ordem n de um nœmero complexo escrito na forma 
trigonomŽtrica Ž o nœmero complexo cujo m—dulo Ž igual ao m—dulo do nœmero elevado a n e 
cujo argumento Ž igual ao argumento do nœmero multiplicado por n, reduzido ˆ primeira volta 
(0 < arg(zn) , 2p).
zn 5 |z|n[cos (nu) 1 i ? sen (nu)]
15 Calcule a pot•ncia (1 2 i)10.
RESOLU‚ÌO:
Uma das maneiras Ž multiplicar (1 2 i) por ele mesmo, usando 
dez fatores. Outra Ž desenvolver a express‹o (1 2 i)10 usando 
o binômio de Newton. Uma terceira maneira Ž escrever o 
número complexo (1 2 i) na forma trigonomŽtrica e usar 
a f—rmula de De Moivre. Assim, temos:
z 5 1 2 i
a 5 1
b 5 21
|z| 5 (1) ( 1)2 21 2 5 2









⇒
cos a
z
1
2
2
2
sen b
z
1
2
2
2
0 2
arg(z) 7
4
u5 5 5
u5 5
2
5
2
< u , p
u5 5
p
z 5 1 2 i 5 2
p
1 ?
p



cos
7
4
i sen
7
4
z10 5 (1 2 i)10 5 ( )2 10    


?
p
1 ? ?
pcos 10 7
4
i sen 10 7
4
Mas:
( )2 10 5 

2
1
2
10
 5 25
10 ? 
7
4
p
 5 
70
4
p
 5 
35
2
p
35
2
p corresponde a oito voltas mais 
3
2
p
, isto Ž:
35
2
p
 5 
32
2
p
 1 
3
2
p
 5 16p 1 
3
2
p
 5 8 ? 2p 1 
3
2
p
Ou seja, 35
2
p Ž côngruo de 3
2
p .
Portanto:
z10 5 (1 2 i)10 5 25 p 1 ? p




cos
3
2
i sen
3
2
Na forma algŽbrica, temos:
z10 5 (1 2 i)10 5 32[0 1 i(21)] 5 32 ? 0 2 32i 5 232i
Logo, z10 5 232i. 
16 Determine o menor valor de n [ N* para o qual 1( )2 3i 2 n 
Ž real e positivo.
RESOLU‚ÌO:
Passando o número z 5 2 1 2 3i para a forma trigonomŽtrica:
|z| 5 1( )2 2 32 2 5 14 12 5 4






⇒
cos a
z
2
4
1
2
sen b
z
2 3
4
3
2
3
(60¡)
u5 5 5
u5 5 5
u5
p
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 24 12/22/15 2:51 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
25
Usando a f—rmula de De Moivre:
zn 5 |z|n(cos nu 1 i ? sen nu) 5 



cos
n
3
i sen n
3
p
1 ?
p
Para que zn seja real e positivo, devemos ter:
sen n
3
p 5 0 e cos 
n
3
p
 . 0
Como n [ N*, fazemos:
n 5 1 ⇒ sen 
1
3
p
 5 
3
2
 Þ 0
n 5 2 ⇒ sen 
2
3
p
 5 
3
2
 Þ 0
n 5 3 ⇒ sen 
3
3
p
 5 sen p 5 0 e cos 
3
3
p
 5 cos p 5 21 , 0
n 5 6 ⇒ sen 
6
3
p
 5 sen 2p 5 0 e cos 
6
3
p
 5 
5 cos 2p 5 1 . 0
Logo, o menor valor de n [ N* Ž 6.
Nesse caso, temos:
 1(2 3i 2)6 5 46(cos 2p 1 i ? sen 2p) 5 4 096 
(real positivo)
Verifique para n 5 4 e n 5 5.
PARA
REFLETIR
PARA CONSTRUIR
25 Determine o número complexo z
1
 sabendo que z
2
 5 10



cos 9
i sen
9
p
1 ?
p
 e z
1
z
2 
5 20 3

cos
17
8
i sen 17
8
p
1 ?
p .
Pelo enunciado, temos:
|z
1
z
2
| 5 20 3 ⇒ |z1 ||z2| 5 20 3 ⇒ |z1 | ? 10 5 20 3 ⇒ |z1 | 5 2 3
arg(z
1
z
2
) 5 arg(z
1
) 1 arg(z
2
) ⇒ 17
18
p 5 arg(z
1
) 1 
9
p
 ⇒ arg(z
1
) 5 17
18
p 2 
9
p
 5 
17 2
18
p 2 p
 5 
15
18
p
 5 
5
6
p
Ent‹o, z
1
 5 2 3 

cos
5
6
i sen
5
6
p
1 ?
p .
26 Determine o produto z
1 
z
2
 e o quociente 
z
z
1
2
 para:
a) z
1
 5 

2 cos
2
3
i sen 2
3
p
1 ?
p e z
2
 5 



3 cos 4
i sen
4
p
1 ?
p
z
1
z
2
 5 2 ? 3












cos
2
3 4
i sen
2
3 4
p
1
p
1 ?
p
1
p
 5 6



cos
11
12
i sen
11
12
p
1 ?
p
z
z
1
2
 5 
2
3












cos
2
3 4
i sen
2
3 4
p
2
p
1 ?
p
2
p
 5 
2
3



cos
5
12
i sen
5
12
p
1 ?
p
b) z
1
 5 4



cos 6
i sen
6
p
1 ?
p
 e z
2
 5 2



cos
3
4
i sen 3
4
p
1 ?
p
z
1
z
2
 5 4 ? 2 















cos 6
3
4
i sen
6
3
4
p
1
p
1 ?
p
1
p 5 8



cos
11
12
i sen
11
12
p
1 ?
p
z
z
1
2
 5 
4
2

















cos 6
3
4
i sen
6
3
4
p
2
p
1 ?
p
2
p
 5 2












cos
7
12
i sen
7
12
2
p
1 ? 2
p
 5 2



cos
17
12
i sen
17
12
p
1 ?
p
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 25 12/22/15 2:51 PM
26 Nœmeros complexos e polin™mios
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 19 a 21 Para aprimorar: 15 e 16
27 Sabendo que z
1
 5 2(cos 30¡ 1 i ? sen 30¡) e z
2
 5 3(cos 150¡ 1 
1 i ? sen 150¡), determine:
a) z
1
z
2
 
z
1
z
2
 5 2 ? 3[cos (30¡ 1 150¡) 1 i ? sen (30¡ 1 150¡)] 5 6 (cos 180¡ 1 
1 i ? sen 180¡) 5 26
b) 
z
z
1
2
z
z
1
2
 5 
2
3
[cos (30¡ 2 150¡) 1 i ? sen (30¡ 2 150¡)] 5 
2
3
[cos (2120¡) 1 
1 i ? sen (2120¡)] 5 
2
3
[cos 240¡ 1 i ? sen 240¡] 5 
1
3
2 2 
3
3
i 
c) z1
3
z1
3
 5 23[cos (3 ? 30¡) 1 i ? sen (3 ? 30¡)] 5 8 (cos 90¡ 1 i ? sen 90¡) 5 8i
d) z2
99
z2
99
 5 399[cos (99 ? 150¡) 1 i ? sen (99 ? 150¡)] 5 399 (cos 14 850¡ 1 
1 i ? sen 14 850¡) 5 399 (cos 90¡ 1 i ? sen 90¡) 5 399i
28 (Escola Naval-RJ) Qual valor de n, n inteiro maior que zero, 
para que 1(1 i)n seja um número real? c
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Escrevendo 1 1 i na forma trigonomŽtrica: 
1 i 2 cos
4
i sen
4
1 5 ?
p
1 ?
p



Portanto, (1 i) 2 cos n
4
i sen n
4
n n
1 5 ? ?
p
1 ? ?
p










.
Para que (1 i)n1 seja um nœmero real, devemos ter:
n
4
0 k , com k
n 4k, com k
Z
Z




p
5 1 ? p
5
[
[
n Ž um mœltiplo de 4, e o œnico mœltiplo de 4 nas op•›es Ž o pr—prio 4. 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
Radicia•‹o Ð ra’zes enŽsimas de números complexos
Dado um número complexo z e um número natural n, n . 1, definimos em C:
Raiz enŽsima de z Ž um número complexo v tal que vn 5 z.
Exemplos:
1o) 2, 22, 2i e 22i s‹o as ra’zes quartas do número complexo 16, pois:
 24 5 16
 (22)4 5 16
 (2i)4 5 16
 (22i)4 5 16
 Há, portanto, em C, quatro ra’zes quartas de 16.
2o) i e 2i s‹o as ra’zes quadradas do número complexo 21, pois:
 i2 5 21
 (2i)2 5 21
 Há, portanto, em C, duas ra’zes quadradas de 21.
3o) 3 e 23 s‹o as ra’zes quadradas do número complexo 9, pois:
 32 5 9
 (23)2 5 9
 Há, portanto, em C, duas ra’zes quadradas de 9.
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 26 12/22/15 2:51 PM
Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
4o) 1, 21, i e 2i s‹o as ra’zes quartas do nœmero complexo 1, pois:
 14 5 1
 (21)4 5 1
 i4 5 1
 (2i)4 5 1
 H‡, portanto, em C, quatro ra’zes quartas de 1.
5o) A œnica raiz quinta de 0 Ž 0, pois 0 Ž o œnico nœmero complexo tal que 05 5 0.
 A pergunta, ent‹o, Ž: quantas s‹o as ra’zes enŽsimas de um nœmero complexo z Þ 0 e como 
podemos determin‡-las?
A segunda fórmula de De Moivre
Consideremos o nœmero complexo z Þ 0 tal que z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u). Encontrar as ra’zes 
enŽsimas de z significa determinar todos os nœmeros complexos distintos do tipo:
v 5 |v|(cos a 1 i ? sen a)
de modo que vn5 z, para n . 1, ou seja, procurar nœmeros v tal que:
[|v|(cos a 1 i ? sen a)]n 5 |z|(cos u 1 i ? sen u)
Aplicando a primeira f—rmula de De Moivre, temos:
|v|n (cos na 1 i ? sen n a) 5 |z|(cos u 1 i ? sen u)
Da igualdade:
vn 5 |v|n (cos na 1 i ? sen na) 5 z 5 |z|(cos u 1 i ? sen u)
obtemos |v|n 5 |z|, cos na 5 cos u e sen na 5 sen u.
De |v|n 5 |z|, temos |v| 5 |z|n (sempre real e positivo).
De cos na 5 cos u e sen na 5 sen u, temos:
na 5 u 1 2k ⇒ a 5 
2k
n
u1 p
 (com k [ Z)
Mas, para que 0 < � , 2p, Ž necess‡rio que 0 < k < n 2 1. 
Assim, conclu’mos que:
v
k
 5 




|z| cos
2k
n
i sen
2k
n
n
u1 p
1 ?
u1 p
Ap—s k 5 n 2 1, os valores come•am a se repetir. Ent‹o, de 0 a n 2 1, temos n ra’zes distintas.
Observemos que essa f—rmula tambŽm pode ser escrita assim:
v
k
 5 










u
1
p
1 ?
u
1
p|z| cos
n
k 2
n
i sen
n
k 2
n
n
Assim, qualquer nœmero complexo z, n‹o nulo, admite n ra’zes enŽsimas distintas. Todas elas 
t•m m—dulo igual a |z|n e seus argumentos formam uma progress‹o aritmŽtica de primeiro termo 
n
u
 e raz‹o 2
n
p . 
Geometricamente, as n ra’zes s‹o vŽrtices de um pol’gono regular de n lados:
v
n
v
1
v
2
v
3
2p
n
u
n
Logo, sabendo uma delas e sabendo quantas s‹o no total, Ž poss’vel obter as n 2 1 ra’zes 
desconhecidas.
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 27 12/22/15 2:51 PM
28 Números complexos e polinômios
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
17 Determine as raízes cúbicas de 2i e interprete-as geometri-
camente.
PARA
REFLETIR
Números complexos da forma 
z 5 ai têm argumento 
2
p para 
a . 0 e 3
2
p para a , 0.
RESOLUÇÃO:
Escrevendo z na forma trigonométrica:
z 5 2i
a 5 0
b 5 21
|z| 5 0 ( 1)
2 2
1 2 5 1 5 1







⇒
cos 0
1
0
sen –1
1
–1
0 2
arg(z) 3
2
u5 5
u5 5
< u , p
u5 5
p
Portanto:
z 5 1 

cos
3
2
i sen 3
2
p
1 ?
p
Usando a segunda fórmula de De Moivre, vem:
v
k
 5 



z cos
2k
n
i sen
+2k
n
n
u 1 p
1 ?
u p
5 
5 
p
1 p
1
p
1 p
1
cos
3
2
2k
3
i sen
3
2
2k
3
3
⋅










13 5 1 (real positivo)
Como n 5 3, então k poderá ser 0, 1 ou 2:
 para k 5 0:
3
2
2k
3
p
1 p
 5 
3
2
3
p
 5 
3
6
p
 5 
2
p
 para k 5 1:
3
2
2k
3
p
1 p
 5 
3
2
2
3
p
1 p
 5 
7
2
3
p
 5 
7
6
p
 para k 5 2:
3
2
2k
3
p
1 p
 5 
3
2
4
3
p
1 p
 5 
11
2
3
p
 5 
11
6
p
Observe que 
2
p 5 
3
6
p
, 
7
6
p
, 
11
6
p
 é uma PA de razão 4
6
p .
Assim, as raízes cúbicas de 2i são:
v
0
 5 1

cos 2
i sen
2
p
1 ?
p
 5 cos 
2
p
 1 i ? sen 
2
p
 5 0 1 i ? 1 5 i
v
1
 5 1 ⋅


p
1
p
cos
7
2
i sen
7
2
5 cos 
7
6
p
 1 i ? sen 
7
6
p
 5 3
2
2 1 
1 i
1
2



2 5 
3
2
2 2 1
2
i
v
2
 5 1



cos
11
6
i sen 11
6
p
1 ?
p
 5 cos 11
6
p 1 i ? sen 
11
6
p
 5 
5 
3
2
 1 i
1
2



2 5 
3
2
 2 
1
2
i
Interpretando geometricamente, as três raízes cúbicas estão 
sobre uma circunferência de raio |v| 5 1 e dividem a circun-
ferência em três arcos congruentes de 
4
6
p
, cujas extremida-
des formam um triângulo equilátero de vértices P
0
, P
1
 e P
2
. 
Se calculássemos v
3
, encontraríamos v
3 
5 v
0
 e P
3
 coincidiria 
com P
0
. E assim por diante: P
4
 ; P
1 
, P
5
 ; P
2
, etc.
y
x
p
2
3p
6
5
i 5 P
0
10
5 P
12 2
1
2
i
2
P
2
 5 2
√3
2
1
i
2
√3
18 Encontre as raízes quartas do número complexo 1 1 i.
RESOLUÇÃO:
z 5 1 1 i
a 5 1
b 51
|z| 5 1 12 21 5 2









⇒
cos 1
2
2
2
sen 1
2
2
2
0 2
arg(z)
4
u5 5
u5 5
< u , p
u5 5
p
 
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 28 12/22/15 2:51 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
29
PARA
REFLETIR
Para a . 0, temos:
a 1 ai ⇔ argumento 
4
p
; 
2a 1 ai ⇔ argumento 
3
4
p
; 
2a 2 ai ⇔ argumento 
5
4
p
; 
a 2 ai ⇔ argumento 7
4
p .
Portanto:
z 5 


p
?
p
2 cos
4
+ i sen
4
Aplicando a segunda f—rmula de De Moivre:
v
k
 5 zn




cos
2k
n
i sen
2k
n
u1 p
1 ?
u1 p
 ⇒ 
⇒ v
k
 5 2
4










cos 4
2k
4
i sen 4
2k
4
p
1 p
1 ?
p
1 p
24 5 28
Como n 5 4, ent‹o k poder‡ ser 0, 1, 2 e 3:
 para k 5 0:
4
0
4
p
1
 5 4
4
p
 5 
16
p
 para k 5 1:
4
2
4
p
1 p
 5 
9
4
4
p
 5 
9
16
p
 para k 5 2:
4
4
4
p
1 p
 5 
17
4
4
p
 5 
17
16
p
 para k 5 3:
4
6
4
p
1 p
 5 
25
4
4
p
 5 
25
16
p
Observe que os argumentos 
16
, 9
16
, 17
16
, 25
16
p p p p formam 
uma PA de raz‹o 
8
16
p
. As ra’zes quartas de z s‹o dadas por:
v
0
 5 



p
1 ?
p
2 cos
16
i sen
16
8
v
1
 5 

2 cos
9
16
+ i sen 9
16
8 p
?
p
v
2
 5 




p
1 ?
p
2 cos
17
16
i sen
17
16
8
v
3
 5 



p
?
p
2 cos
25
16
+ i sen
25
16
8
Geometricamente, as quatro ra’zes quartas est‹o sobre uma 
circunfer•ncia de raio 28 e dividem a circunfer•ncia em qua-
tro arcos congruentes a 8
16
p rad, cujas extremidades formam 
um quadrado de vŽrtices P
0
, P
1
, P
2
 e P
3
.
 
y
x
p
16
P1
P2
P3
P0
19 Determine as ra’zes enŽsimas do nœmero complexo 1.
PARA
REFLETIR
Todo nœmero real positivo ou 
nulo tem argumento 0, e todo 
nœmero real negativo tem argu-
mento p.
RESOLUÇÃO:
z 5 1
a 5 1
b 5 0
|z| 5 |1| 5 1
cos 1
1
1
sen 0
1
0
0 2
arg(z) 0







⇒
u5 5
u5 5
< u , p
u5 5
z 5 1(cos 0 1 i ? sen 0)
Pela segunda f—rmula de De Moivre:
v
k
 5 




cos
0 2k
n
i sen
0 2k
n
1 p
1 ?
1 p
 V
V v
k 
5 



cos
2k
n
i sen 2k
n
p
1 ?
p
em que k 5 0, 1, 2, 3, . . ., (n 2 1).
Logo, as ra’zes enŽsimas da unidade s‹o dadas por:



1 cos
2k
n
i sen 2k
n
n p
1 ?
p
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 29 12/22/15 2:51 PM
30 Nœmeros complexos e polin™mios
PARA CONSTRUIR
sendo k 5 0, 1, 2, 3, . . ., n 2 1
Por exemplo, as raízes quartas da unidade são obtidas fazendo 
n 5 4 e k 5 0, k 5 1, k 5 2, k 5 3.
 para k 5 0:
 v
0
 5 1(cos 0 1 i ? sen 0) 5 1
 para k 5 1:
 v
1
 5 1



cos
2
4
i sen
2
4
p
1 ?
p
 5 1(0 1 i) 5 i
 para k 5 2:
 v
2
 5 1



cos
4
4
i sen
4
4
p
1 ?
p
 5 1(21 1 i ? 0) 5 21
 para k 5 3:
 v
3
 5 1



cos
6
4
i sen
6
4
p
1 ?
p
 5 1[0 1 i(21)] 5 2 i
Geometricamente, as n raízes enésimas da unidade estão so-
bre a circunferência de raio 1 e dividem a circunferência em 
n partes congruentes a 
2
n
p
.Neste exemplo, a circunferência 
ficou dividida em quatro arcos congruentes a 
2
p .
Observação:
Se v é uma das 
raízes enésimas de 
um número com-
plexo z e m
1
, m
2
, . . ., 
m
n
 são raízes ené-
simas da unidade, 
então vm
1
, vm
2
, . . ., 
vm
n
 são as raízes 
enésimas de z. Por 
exemplo, para de-
terminar as raízes quartas de 81:
34 5 81 ⇒ v 5 3 (é uma raiz quarta de 81)
Como as raízes quartas da unidade são m
1
 5 1, m
2
 5 i, m
3
 5 
5 21 e m
4
 5 2i, então as quatro raízes quartas de 81 são:
vm
1
5 3 ? 1 5 3
vm
2
 5 3 ? i 5 3i
vm
3
 5 3(21) 5 23
vm
4
 5 3(2i) 5 23i
29 Determine as raízes quadradas dos seguintes números complexos e dê sua representação geométrica:
a) 24
O número complexo z 5 24 na forma polar é
z 5 4 (cos p 1 i ? sen p).
Segundo a fórmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 |z| cos
+ 2k
n
+ i sen
+ 2k
n
n ⋅



u p u p
Então:
w
k
 5 ⋅



4 cos
+ 2k
2
i sen
+ 2k
2
2
p p
1
p p
, k 5 0 e k 5 1
k 5 0: 
p 1 ? ? p2 0
2
 5 
p 1 0
2
 5 
p
2
 ⇒ w
0
 5 2



cos 2
i sen
2
p
1 ?
p
 5 2(0 1 i) 5 2i
k 5 1: 
p 1 ? ? p2 1
2
 5 
p3
2
 ⇒ w
1
 5 


cos
3
2
i sen
3
2
p
1 ?
p 5 2(0 2 i) 5 22i
As duas raízes dividem a circunferência de raio 2 em dois arcos congruentes a p radianos.
y
x
22i
2i
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
y
x
21
2i
i
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 30 12/22/15 2:51 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
31
b) 2i
z 5 2i 5 0 2 1i 5 1
p
1 ?
p
cos
3
2
i sen
3
2 )(
Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 




|z| cos
2k
n
i sen
2k
n
n
u 1 p
1 ?
u 1 p
 5 










1 cos
3
2
2k
2
i sen
3
2
2k
2
2
p
1 p
1 ?
p
1 p
k 5 0: 
p
1 ? ? p
3
2
2 0
2
 5 
p3
4
 ⇒
⇒ w
0
 5 1



cos
3
4
i sen
3
4
p
1 ?
p
 5 2
2
2
 1 
2
2
i
k 5 1: 
p
1 p
3
2
2
2
 5 
p7
4
 ⇒ w
1
 5 1



cos
7
4
i sen
7
4
p
1 ?
p
 5 
2
2
 2 
2
2
i
y
x0
w
1
w
0
As duas raízes dividem a circunferência de raio 1 em dois arcos congruentes a p radianos.
c) 1 2 i
z 5 1 2 i ⇒ a 5 1 e b 5 21
|z| 5 1a b2 2 5 1 21 ( 1)2 2 5 2
cos u 5 
a
z
 5 
1
2
 5 
2
2
sen u 5 
b
z
 5 2 1
2
2 5 2
2
2
u < u , 2p
Então, u 5 
p7
4
.
Assim, z 5 p 1 ?
p
2 cos
7
4
i sen
7
4



 .
Usando a segunda fórmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 
u 1 p
1 ?
u 1 p
z cos
2k
n
i sen
2k
n
n



 5 










2 cos
7
4
2k
2
i sen
7
4
2k
2
p
1 p
1 ?
p
1 p
k 5 0: 
p
1
7
4
0
2
 5 
p7
8
 ⇒ w
0
 5 

2 cos
7
8
i sen
7
8
4 p
1 ?
p
k 5 1: 
p
1 p
7
4
2
2
 5 
p15
8
 ⇒ w
1
 5 

2 cos
15
8
i sen
15
8
4 p
1 ?
p
y
x0
w
1
w
0
As duas raízes dividem a circunferência de raio 24 em dois arcos congruentes a p radianos.
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 31 12/22/15 2:51 PM
32 Nœmeros complexos e polin™mios
d) 1 2 3i
z 5 1 2 3 i ⇒ a 5 1 e b 5 2 3
|z| 5 1a b2 2 5 1 21 ( 3)
2 2
 5 2
cos u 5 
a
z
 5 
1
2
sen u 5 
b
z
 5 2
3
2
0 < u , 2p
Ent‹o, u 5 
p5
3
.
Assim, z 5 2




p
1 ?
p
cos
5
3
i sen
5
3
.
Usando a segunda f—rmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 zn 




u 1 p
1 ?
u 1 p
cos
2k
n
i sen
2k
n
 5 2










p
1 p
1 ?
p
1 p
cos
5
3
2k
2
i sen
5
3
2k
2
k 5 0: 
p
1
5
3
0
2
 5 
p5
6
 ⇒ w
0
 5 

2 cos
5
6
i sen
5
6
p
1 ?
p
5 




2
3
2
i
1
2
2 1 ? 5 2
6
2
 1 2
2
i
k 5 1: 
p
1 p
5
3
2
2
 5 
p11
6
 ⇒ w
1
 5 



2 cos
11
6
i sen
11
6
p
1 ?
p
5 
6
2
 2 
2
2
i
 
y
x0
w1
w0
As duas ra’zes dividem a circunfer•ncia de raio 2 em arcos congruentes a 
p
2
 radianos.
30 Determine as raízes quartas do número complexo 21 e dê sua representação geométrica:
z 5 21 5 21 1 0i 5 1(cos p 1 i ? sen p)
Usando a segunda f—rmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 zn 



u 1 p
1 ?
u 1 p
cos
2k
n
i sen
2k
n
 5 14




p 1 p
?
p 1 p
cos
2k
4
+ i sen
2k
4
 
k 5 0: 
p 1 0
4
 5 
p
4
 ⇒ w
0
 5 1




p
1 ?
p
cos
4
i sen
4
 5 
2
2
 1 
2
2
i
k 5 1: 
p 1 p2
4
 5 
3
4
p
 ⇒ w
1
 5 1



cos
3
4
i sen
3
4
p
1 ?
p
 5 
2
2
2 1 
2
2
i
k 5 2: 4
4
p 1 p 5 
5
4
p
 ⇒ w
2
 5 1



cos
5
4
i sen
5
4
p
1 ?
p
 5 2
2
2 2 
2
2
i
k 5 3: 6
4
p 1 p 5 
7
4
p
 ⇒ w
3
 5 1



cos
7
4
i sen
7
4
p
1 ?
p
 5 
2
2
 2 
2
2
i
y
x0
w1
w2 w3
w0
As quatro ra’zes dividem a circunfer•ncia de raio 1 em quatro arcos congruentes a 
2
p radianos.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 32 12/22/15 3:52 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
33
31 Encontre as raízes cúbicas do número complexo 125 e dê sua representação geométrica:
z 5 125 5 125 1 0i 5 125(cos 0 1 i ? sen 0)
Usando a segunda fórmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 
u 1 p
1 ?
u 1 p
z cos
2k
n
i sen
2k
n
n



 5 
1253 cos
0 2k
3
i sen
0 2k
3




1 p
1 ?
1 p
k 5 0: 
0 2 0
3
1 ? ? p
 5 0 ⇒ w
0
 5 1253 (cos 0 1 i ? sen 0) 5 5(1 1 i ? 0) 5 5
k 5 1: 
0 2 1
3
1 ? ? p
 5 
2
3
p
 ⇒ w
1
 5 1253 


cos
2
3
i sen
2
3
p
1 ?
p 5 5




1
2
i
3
2
2 1 ? 5 
5
2
2 1 
5 3
2
i
k 5 2: 
0 2 2
3
1 ? ? p
 5 
4
3
p
 ⇒ w
2
 5 1253 


cos
4
3
i sen
4
3
p
1 ?
p
 5 5




1
2
3
2
i2 2 5 
5
2
2 2 
5 3
2
i
y
x0
w1
w2
w0
As três raízes dividem a circunferência de raio 5 em três arcos congruentes a 
2
3
p
 radianos.
32 Calcule e represente geometricamente as raízes cúbicas da unidade.
z 5 1 5 1 1 0i 5 1(cos 0 1 i ? sen 0)
Usando a segunda fórmula de De Moivre, temos:
w
k
 5 zn cos
0 2k
n
i sen
0 2k
n




1 p
1 ?
1 p
 5 



1 cos
0 2k
3
i sen
0 2k
3
3 1 p
1 ?
1 p
 5 1



cos
2k
3
i sen
2k
3
p
1 ?
p
k 5 0: 
0 0
3
1
 5 0 ⇒ w
0
 5 1(cos 0 1 i ? sen 0) 5 1(1 1 0 ? i) 5 1
k 5 1: 
0 2
3
1 p
 5 
2
3
p
 ⇒ w
1
 5 1



cos
2
3
i sen
2
3
p
1 ?
p
 5 
1
2
2 1 
3
2
i
k 5 2: 
0 4
3
1 p
 5 
4
3
p
 ⇒ w
2
 5 1



cos
4
3
i sen
4
3
p
1 ?
p
 5 
1
2
2 2 
3
2
i
As raízes cúbicas da unidade são 1, 
1
2
2 ± 
3
2
i.
 
y
x0
w1
w2
w0
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 33 12/22/15 2:51 PM
34 Números complexos e polinômios
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 22 a 24 Para aprimorar: 17
33 (UFBA) Sendo z
1
 e z
2
 nœmeros complexos tais que:
 z
1
Ž a raiz cœbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante;
 z
2
 satisfaz a equa•‹o x4 1 x2 2 12 5 0 e Im(z
2
) . 0.
 Calcule 3
z
z
z1
2
21 .
Seja z 5 8i, temos que: 
z
1
 5 z3 
z 5 8












cos
2
sen
2
i
p
1
p
z
1
 5 






























8 cos 2
2k
3
sen 2
2k
3
i3
p
1 p
1
p
1 p
 
Para:
k 5 0 → u 5 
6
p
 (1o quadrante)
k 5 1 → u 5 
5
6
p
 (2o quadrante)
Portanto:
z
1
 5 2












⇒cos 5
6
+ sen
5
6
i
p p
 z
1
 5 32 1 i
C‡lculo de z
2
:
x4 1 x2 2 12 5 0
Faremos uma troca de vari‡vel, ou seja, suponha que:
y 5 x2, ent‹o
y2 1 y 2 12 5 0
Δ 5 1 1 48
Δ 5 49
y
1
 5 
1 7
2
2 2
 5 24
y
2
 5 
1 7
2
2 1
 5 3
Para y 5 24, temos:
x2 524
x 5 ± 42 
x 5 ±2i
Para y 5 3, temos:
x2 5 3
x 5 ± 3
Portanto, como Im(z
2
) . 0, z
2
 5 2i.
z
z
1
2
 5 
2 1 2
2
( 3 i) ( 2i)
(2i)( 2i)
 5 
1
2
 1 
3
2
i 
3
z
z
1
2
 5 3 




1
2
3
2
i1 5 
3
2
 1 
3
2
i
3
z
z
1
2
 1 z2 5 




3
2
3
2
i1 1 (22i) 5 
3
2
 2 
1
2
i
13
z
z
z1
2
2 5 
3
4
1
4
1 5 1 5 1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 34 12/22/15 2:52 PM
Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
35
EXERCêCIO RESOLVIDO
 EQUA‚ÍES BINïMIAS E TRINïMIASQualquer equa•‹o que possa ser reduzida ˆ forma:
axn 1 b 5 0 (com a [ C e b [ C, a Þ 0 e n [ N) Ž chamada equa•‹o bin™mia.
Para resolv•-la, isolamos xn no primeiro membro e aplicamos a segunda f—rmula de De Moivre:
axn 1 b 5 0 ⇔ xn 5 
b
a
2
 
Essa equa•‹o admite as n ra’zes enŽsimas de 
b
a
2
 como solu•‹o.
Outro tipo muito comum de equa•‹o que envolve nœmeros complexos Ž o que se pode reduzir 
ˆ chamada equa•‹o trin™mia:
ax2n 1 bxn 1 c 5 0
(com a [ C, b [ C e c [ C, a Þ 0, b Þ 0 e n [ N)
Para resolv•-la, fazemos uma mudan•a de vari‡vel, xn 5 y, obtendo uma equa•‹o do 2o grau:
ay2 1 by 1 c 5 0
cujas solu•›es s‹o y' e yÓ.
Reca’mos ent‹o nas equa•›es anteriores, pois y' 5 xn e yÓ 5 xn.
Resolvendo-as, temos as ra’zes da equa•‹o inicial.
20 Resolva as equações em C:
a) 2x3 2 16i 5 0
b) x6 1 26x3 2 27 5 0
RESOLU‚ÌO:
a) 2x3 2 16i 5 0 ⇒ 2x3 5 16i ⇒ x3 5 8i
 Vamos procurar as raízes cúbicas de 8i:
 z 5 8i
 a 5 0
 b 5 8
 |z| 5 0 82 21 5 8
 







⇒
cos 0
8
0
sen 8
8
1
0 2
arg(z)
2
u 5 5
u 5 5
< u , p
u 5 5
p
 
 Portanto:
 z 5 8i 5 8 cos
2
i sen
2
p
1 ?
p



 v
k
 5 z cos 2k
n
i sen 2k
n
n 



u 1 p
1 ?
u 1 p
 Como n 5 3, k 5 0, k 5 1, k 5 2, 83 5 2 e u 5 
2
p
, temos:
 v
0
 5 2 cos
6
i sen
6
p
1 ?
p


 5 
3 i1
 v
1
 5 2 cos
5
6
i sen 5
6
p
1 ?
p


 5 3 i2 1
 v
2
 5 2 cos
9
6
i sen 9
6
p
1 ?
p


 5 22i
 
y
x
2√3 1 i
22i
√3 1 i
 Logo, o conjunto solução da equação 2x3 2 16i 5 0
 é S 5 { }3 i, 3 i, 2i1 2 1 2 .
b) x6 1 26x3 2 27 5 0
 Fazendo a mudança de variável x3 5 y, temos:
 y2 1 26y 2 27 5 0 ⇒
 ⇒ 5
2 2 ? 2
5
5
2
5
2
)(
⇒
y
26 26 4 1 27
2
26 784
2
26 28
2
2
±
± ±
 
 ⇒ y’ 5 1 e y” 5 227
 Agora, precisamos resolver as equações binômias x3 5 1 e 
x3 5 227, ou seja, precisamos encontrar as raízes cúbicas 
de 1 e de 227.
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 35 12/22/15 2:52 PM
36 Nœmeros complexos e polin™mios
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 25 e 26 Para aprimorar: 18 e 19
PARA CONSTRUIR
 x3 5 1
 z 5 1 ⇒ |z| 5 1
 u 5 arg(z) 5 0
 Portanto:
 v
k
 5 z cos
2k
n
i sen 2k
n
n 



u 1 p
1 ?
u 1 p
 n 5 3, k 5 0, k 5 1, k 5 2 e u 5 0
 v
0
 5 1(cos 0 1 i ? sen 0) 5 1
 v
1
 5 1 cos
2
3
i sen 2
3
p
1 ?
p


 5 
1
2
2 3
2
i1 
 v
2
 5 1 cos
4
3
i sen 4
3
p
1 ?
p


 5 
1
2
2 3
2
2 i
 x3 5 227
 z 5 227 ⇒ |z| 5 27
 u 5 arg(z) 5 p
 273 5 3
 v
0
 5 3 cos
3
i sen
3
p
1 ?
p


 5 
3
2
 1 3 3
2
i
 v
1
 5 3(cos p 1 i ? sen p) 5 23
 v
2
 5 3 cos
5
3
i sen 5
3
p
1 ?
p


 5 
3
2
 2 
3 3
2
i
 Logo, o conjunto solução da equação x6 1 26x3 2 27 5 0 é:
 S 5 






1, 1
2
3
2
i, 1
2
3
2
i, 3
2
3 3
2
i, 3, 3
2
3 3
2
i2 1 2 2 1 2 2
34 Constate que 1 1 i 3 é uma das seis soluções da equação x6 1 9x3 1 8 5 0.
z3 5 (1 1 3i)3 5 13 1 3 ? 12 ? 3i 1 3 ? 1 ? ( 3i)2 1 ( 3i)3 5 1 1 3 3i 2 9 2 3 3i 5 28
z6 5 (28)2 5 64
Ent‹o:
z6 1 9z3 1 8 5 64 2 72 1 8 5 0
Logo, z Ž raiz da equa•‹o.
35 Resolva as seguintes equações em C:
a) 2x2 2 6x 1 5 5 0
2x2 2 6x 1 5 5 0 ⇒ x 5 
±6 36 40
2 2
2
?
 5 
±6 4
4
2
 5 
6 2i
4
±
 ⇒ xÕ 5 
3
2
 1 
i
2
 e xÓ 5 
3
2
 2 
i
2
{ }S 32 i2, 32 i25 1 2
b) x2 1 2ix 2 5 5 0
x2 1 2ix 2 5 5 0 ⇒ x 5 
±2i 4i 20
2
2
2 1
 5 
±2i 4 20
2
2 2 1
 5 
±2i 4
2
2
 5 2i ± 2 ⇒ 
⇒ xÕ 5 2i 1 2 5 2 2 i e xÓ 5 2i 2 2 5 22 2 i
S 5 {2 2 i, 22 2 i}
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 36 12/22/15 2:52 PM
Nœmeros complexos e polin™mios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
37
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
21 Aplicação à Geometria
Uma aplica•‹o importante da multiplica•‹o de nœmeros 
complexos na forma trigonomŽtrica Ž possibilitar a rota•‹o 
de coordenadas no plano. Uma das aplica•›es de matrizes 
Ž a rota•‹o de pontos em rela•‹o ˆ origem. Esse mesmo pa-
pel exercido por uma matriz de rota•‹o pode ser desempe-
nhado pelos nœmeros complexos, pois na multiplica•‹o de 
dois complexos na forma trigonomŽtrica multiplicam-se os 
m—dulos e somam-se os argumentos. Portanto, se um ponto 
(a, b) deve ser rotacionado, em rela•‹o ˆ origem, em a graus 
no sentido anti-hor‡rio, basta multiplicar o nœmero complexo 
a 1 bi pelo complexo a 1 ? a( ) 1 cos i sen . 
De acordo com o texto:
a) Encontre as novas coordenadas do ponto A(3, 4) ap—s 
uma rota•‹o de 90¡ no sentido anti-hor‡rio em rela•‹o ˆ 
origem.
y
x
90°
AÕ 5 ? A(3, 4)
b) Encontre as novas coordenadas do segmento AB, com 
A(1, 1) e B(3, 4) ap—s uma rota•‹o de 90¡ no sentido anti-
-hor‡rio em rela•‹o ao ponto A.
 
y
x
90¡
BÕ 5 ? B(3, 4)
A(1, 1)
RESOLU‚ÌO:
a) O ponto A(3, 4) representa geometricamente o complexo 
z 5 3 1 4i. Para haver uma rota•‹o de 90¡ no sentido anti-
-hor‡rio, precisamos multiplicar z por 1(cos 90¡ 1 i ? sen 90¡). 
Como 1(cos 90¡ 1 i ? sen 90¡) 5 i, basta multiplicar z por i.
(3 1 4i) ? i 5 24 1 3i 5 (24, 3)
 Ent‹o, as novas coordenadas do ponto A s‹o 24 e 3, ou 
seja, AÕ(24, 3).
b) O ponto A(1, 1) e o ponto B(3, 4) representam geometrica-
mente os complexos w 5 1 1 i e z 5 3 1 4i. Como a ro-
ta•‹o Ž em torno do ponto A, devemos rotacionar apenas 
o nœmero complexo t que equivale ˆ diferen•a z 2 w (no 
caso, t 5 z 2 w 5 2 1 3i) e depois som‡-lo novamente 
com w. Assim, como visto no item a, para haver uma rota-
•‹o de 90¡ no sentido anti-hor‡rio, precisamos multiplicar 
por i e depois somar t 1 w, pois a rota•‹o Ž em torno de w:
tÕ 5 (2 1 3i) ? i 5 23 1 2i
tÕ 1 w 5 23 1 2i 1 1 1 i 5 22 1 3i
 Assim, as novas coordenadas do ponto B s‹o 22 e 3, ou 
seja, B'(22, 3) e A(1, 1).
22 Aplicação à Engenharia elétrica
Em circuitos de corrente alternada, por exemplo, nas instala-
•›es elŽtricas residenciais, as grandezas elŽtricas s‹o analisadas 
com o aux’lio dos nœmeros complexos, o que facilita muito os 
c‡lculos. A rela•‹o U 5 Ri, estudada na F’sica do Ensino MŽdio 
e que se utiliza dos nœmeros reais, torna-se U 5 Zi, em que U Ž 
a tens‹o, Z Ž a imped‰ncia e i Ž a corrente elŽtrica, e essas gran-
dezas passam a ser representadas atravŽs de nœmeros comple-
xos. Para que n‹o haja confus‹o entre i, s’mbolo da corrente 
elŽtrica, e i, unidade imagin‡ria, os engenheiros elŽtricos usam 
j como unidade imagin‡ria na representa•‹o algŽbrica a 1 bj. 
AlŽm disso, usam a nota•‹o |w| / u para a forma trigonomŽtri-
ca |w|(cos u 1 i ? sen u) do nœmero complexo w.
Baseado no texto, resolva o problema a seguir:
Uma fonte de tens‹o, de valor eficaz 220 / 0¡, alimenta uma 
carga de imped‰ncia Z 5 (10 1 10j) ohm. Obtenha a corren-
te fornecida pela fonte.
RESOLU‚ÌO:
U 5 Zi ⇒ i 5 
U
Z
 
Para efetuar essa divis‹o, Ž prefer’vel ter U e Z na forma trigo-
nomŽtrica.
J‡ temos U 5 220 / 0¡ 5 220(cos 0¡ 1 j ? sen 0¡), e agora 
precisamos obter a forma trigonomŽtrica de Z:
Z 5 10 1 10j ⇒ |Z| 5 10 102 21 5 10 2






⇒
cos 10
10 2
2
2
sen 10
10 2
2
2
45¡
u 5 5
u 5 5
u 5
Ent‹o:
10 1 10j 5 10 2 (cos 45¡ 1 j ? sen 45¡) 5 10 2 / 45¡
 OUTRAS APLICA‚ÍES
SER1_CAD11_MAT_ALG.CAP1.indd 37 12/22/15 2:52 PM
38 Números complexos e polinômios
PARA CONSTRUIR
Assim:
i 5 
U
Z
 5 
220
10 2
 [cos (0° 2 45°) 1 j ? sen (0° 2 45°)] 5 
5 11 2 [cos (315°) 1 j ? sen (315°)] 5
5 11 2




2
2
2
2
j2 5 11 2 11j
(ou 11 2 / 245°)
36 (Vunesp) Um tom—grafo mapeia o interior de um objeto por meio da intera•‹o de feixes de raios X com as diferentes partes e 
constitui•›es desse objeto. Ap—s atravessar o objeto, a informa•‹o do que ocorreu com cada raio X Ž registrada em um detector, 
o que possibilita, posteriormente, a gera•‹o de imagens do interior do objeto.
No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X est‡ sendo usada para mapear o ponto P que est‡ no interior de um objeto 
circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se encontra tambŽm nesse plano. A dist‰ncia entre 
P e a origem O do sistema de coordenadas Ž igual a 6.
y
x
P
O
Fonte
Objeto
Detector
Raio X
60¡
675¡
a) Calcule as coordenadas (x, y) doponto P.
Considere a figura, em que A e B s‹o, respectivamente, os pontos de interse•‹o do raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. 
y
P
A
B
O
60¡
75¡
x
 O ponto P Ž o afixo do nœmero complexo de m—dulo 6 e argumento 
3
p
 rad. Desse modo, tem-se:



P 6 cos 3
, 6 sen
3
(3, 3 3)5 ?
p
?
p
5
b) Determine a equa•‹o reduzida da reta que contŽm o segmento que representa o raio X da figura. 
 Sendo 5BOP 60 °, temos  5 5° − ° °POA 90 60 30 e, portanto,  5 °OAP 75 . Da’, segue que OP 5 OA 5 6 e, assim, 5A (0, 6).
Portanto, a equa•‹o reduzida da reta 
s ruu
AP Ž
⇔y 6 3 3 6
3 0
(x 0) y ( 3 2)x 62 5
2
2
? 2 5 2 1
 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
3
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Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
39
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 27
37 (UFSM-RS) Os edif’cios ÒverdesÓ t•m sido uma nova tend•ncia na constru•‹o civil. Na execu•‹o da obra desses prŽdios, h‡ uma 
preocupa•‹o toda especial com o meio ambiente em que est‹o inseridos e com a correta utiliza•‹o dos recursos naturais neces-
s‡rios ao seu funcionamento, alŽm da correta destina•‹o dos res’duos gerados por essa utiliza•‹o.
A demarca•‹o do terreno onde ser‡ constru’do um edif’cio ÒverdeÓ foi feita atravŽs dos pontos P
1
, P
2
, P
3
 e P
4
, sendo o terreno delimi-
tado pelas poligonais PP , P P , P P e P P1 2 2 3 3 4 4 1, medidas em metros. Sabendo que P1, P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem 
dos complexos = +z 20 40i
1
, = − +z 15 50i2 , = − −z 15 10i3 e 5 2z
1
16
z
5
4
z4 1 3 , qual Ž a ‡rea, em m
2, desse terreno? d
a) 1 595. b) 1 750. c) 1 795. d) 1 925. e) 2 100.
Temos 5 1 5z 20 40i (20, 40)1 , 52 1 5 −z 15 50i ( 15, 50)2 , z3 5 215 2 10i 5 (215, 210) e 
z
1
16
z
5
4
z
1
16
(20 40i)
5
4
( 15 10i)
5
4
10
4
i
75
4
50
4
i 20 10i (20, 10).
4 1 35 2 5 1 2 2 1 5 1 1
1 2 5 2 5 2
Logo, o terreno tem a forma de um trapŽzio ret‰ngulo, conforme a figura:
Im
ReO
P
1
P
2
P
3
P
4
A ‡rea do terreno Ž dada por 
60 50
2
35 1925 m2
1
? 5 .
38 (UFSM-RS) Observe a vista aŽrea do planet‡rio e a representa•‹o, no plano Argand-Gauss, dos números complexos z
1
, z
2
, . . ., z
12
, 
obtida pela divis‹o do c’rculo de raio 14 em 12 partes iguais.
Considere as seguintes informa•›es:
 I. z 7 3 14i2 5 1 II. z z11 35 III. z z z5 4 115 ?
Est‡(‹o) correta(s): b
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III.
I. Falsa, pois ° °z 14 (cos 30 i sen 30 ) 7 3 7i.2 5 ? 1 ? 5 1
II. Verdadeira, pois z
11
 e z
3
 s‹o simŽtricos em rela•‹o ao eixo das abscissas.
III. Falsa, pois 
?[ ]
° °
° °
° °
° ° ° °
z 14 (cos 120 i sen 120 )
z 14 (cos 90 i sen 90 )
z z 14 (cos 60 i sen 60 )
z z 14 14 cos (60 90 ) i sen (60 90 ) z
5
4
11 3
4 11 5
5 ? 1 ?
5 ? 1 ?
5 5 ? 1 ?
? 5 ? ? 1 1 ? 1
Portanto, apenas a afirma•‹o II Ž verdadeira. 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
3
En
em
C-2
H-7
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
3
F
O
N
T
E
: 
<
W
W
W
.M
A
P
S
.G
O
O
G
L
E
.C
O
M
.B
R
>
. 
A
D
A
P
T
A
D
O
.
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40 Números complexos e polinômios
TAREFA PARA CASA
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Dados os nœmeros complexos z
1
 5 1 1 2i, z
2
 5 21 1 3i e z
3
 5
5 2 2 2i, calcule:
a) z
1
 1 z
2
b) z
1
 2 z
2
c) z
1 
z
2
d) (z
1
 1 z
2
)z
3
2 Determine o valor de x, real, para que o nœmero complexo:
a) (x2 2 x) 1 3i seja um nœmero imagin‡rio puro;
b) (x2 2 1) 1 i seja um nœmero imagin‡rio puro;
c) x 1 (x2 2 4)i seja um nœmero real;
d) x 1 xi seja o nœmero real 0;
e) (x2 2 4x 1 3) 1 (x 22)i seja um nœmero imagin‡rio puro;
f ) x 1 (x2 2 7x 1 12)i seja um nœmero real;
g) (1 2 xi)(x 1 i) seja um nœmero real.
3 Efetue as opera•›es indicadas, escrevendo o resultado na for-
ma algŽbrica z 5 a 1 bi.
a) (1 2 3i) 1 (2 1 5i)
b) (23 1 i) 1 (22 2 5i)
c) 
1
2
i

1 1 
1
3
i

2 1 i
d) (1 2 5i) 2 (2 2 7i)
e) (1 2 i) 1 (3 1 i) 2 (2 2 i)
f ) i 1 (3 2 i) 2 2 
g) (22 2 i) 2 (23 2 i) 2 (2 1 i)
h) 

1
1
3
i1 2 



2
1
4
i2 1 



1
1
6
i1
4 Efetue:
a) i9 
b) i14 
c) i60 
d) i99 
e) i1 035 
5 Determine z para:
a) z 5 1 1 5i;
b) z 5 2i;
c) z 5 0;
d) z 5 24 1 2i.
6 Efetue as divis›es indicadas:
a) 2 3i
1 2i
1
1
b) 
1
3 2i1
c) 
1 3i
1 i
1
2
d) 
1 i
i
1
e) 
1 i
1 i
2
1
7 O valor de i19981999876543210 Ž:
a) 0.
b) 1.
c) 21.
d) i.
e) 2i.
8 Se i representa o nœmero complexo cujo quadrado Ž igual a 21, 
determine o valor numŽrico da soma 1 1 i 1 i2 1 i3 1 . . . 1 i27.
9 Localize os pontos do plano correspondentes aos nœmeros 
complexos z 5 a 1 bi, nos seguintes casos:
a) b 5 22
b) a 5 21 e b . 0
c) a 5 0 e b . 0
d) a < 3 e b > 23
10 Num mesmo plano complexo, localize os pontos correspon-
dentes aos seguintes nœmeros complexos:
z
1
 5 23 1 3i; z
2
 5 1 1 4i; z
3
 5 2i; z
4
 5 24i; z
5
 5 2 2 3i; z
6
 5 
5 3; z
7
 5 24.
11 Localize no plano complexo os nœmeros complexos dados 
abaixo e seus respectivos conjugados:
a) z 5 1 1 3i
b) z 5 21 2 i
c) z 5 3i
d) z 5 3
12 Determine o m—dulo de cada um dos nœmeros complexos:
a) z 5 1 1 i
b) z 5 23 2 2i 
c) z 5 27
d) z 5 3 2i2 
13 Determine o m—dulo de cada um dos nœmeros complexos:
a) (3 2 i)(2 1 2i) 
b) (2 3i)
i
2
1 
c) 
3 4i
2 i
1
1
 
d) 
(1 i) (2 3i)
1 i
1 1
2
 
14 (UERN) Seja z a bi5 1 um nœmero complexo, tal que 
4z zi 5 1 10i2 1 52 1 . Assim, o m—dulo do complexo z Ž: 
a) 2.
b) 2 2.
c) 3 2.
d) 4 2.
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
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Números complexos e polinômios
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
41
15 Escreva na forma trigonomŽtrica os seguintes nœmeros com-
plexos:
a) 2 2i1
b) 2i
c) 
1
1 i1
d) (1 1 i)(1 2 i)
16 Dados os nœmeros complexos z 5 1 2 3i e w 5 1 2 i, deter-
mine:
a) z
b) |z|
c) arg(w)
d) o quadrante do afixo de w
e) z 1 w
f ) w 2 z
g) zw
h) z2
17 (Uece) O valor de a, no intervalo 0,
2




p
, para o qual o nœmero 
complexo = +x cos a isen a Ž tal que x 1
2
3
2
2
5 1 i, satisfaz:
a) 
3
a
2
.
p
, ,
p
b) 
6
a
3
.
p
, ,
p
c) 
6
a
4
.
p
, ,
p
d) 
10
a
5
.
p
, ,
p
18 (Fatec-SP) Na figura abaixo, os pontos A, B e C s‹o as ima-
gens dos nœmeros complexos z
1
, z
2
 e z
3
, no plano de Argand-
-Gauss.
 
lm (z)
Re (z)
C
O
uu
AB
Se |z
1
| 5 |z
2
| 5 |z
3
| 5 3 e u 5 60¡, ent‹o z
1
 1 z
2
 1 z
3
 Ž igual a:
a) (3 2 3)i.
b) 3 2 3i.
c) (3 1 3)i.
d) 3 1 3i.
e) 3i 2 3.
19 Dados os nœmeros complexos z 5 cos
5
6
i sen
5
6




p
1 ?
p
 e 
w 5 3 cos
4
i sen
4




p
1 ?
p
, calcule zw, z2, z
w
 e w
z
.
20 Calcule os valores das pot•ncias z2, z3 e z9, sabendo que 
z 5 

2 cos 3
i sen
3
p
1 ?
p .
21 Usando a f—rmula de De Moivre, calcule as pot•ncias:
a) (1 1 i)3 
b) (3 2 3i)5 
c) ( )2 i 2 71
d) (21 2 3i)100
22 As ra’zes quadradas do nœmero 3 1 4i, onde i 5 12 s‹o: 
a) {2 1 i, 22 2 i}.
b) {1 1 i, 21 2 i}.
c) {3 1 i, 23 2 i}.
d) {4 1 i, 24 2 i}.
23 Dado o nœmero complexo z 5 21 1 3i calcule:
a) z5;
b) as ra’zes quartas de z.
24 Um hex‡gono regular est‡ inscrito na circunfer•ncia de 
equa•‹o x2 1 y2 5 4 e um de seus vŽrtices Ž o afixo de z 5 2i. 
Determine os outros cinco vŽrtices.
25 Resolva as equa•›es em C:
a) x3 2 8 5 0
b) x2 2 i 5 0
c) x4 1 1 5 0
d) x4 2 i 5 0
e) x6 1 729